Банахов простор

У математици, тачније у функционалној анализи, Банахов простор је комплетан нормиран векторски простор. Стога, Банахов простор је векторски простор са метриком која омогућава израчунавање дужине вектора и удаљености између вектора, и комплетан је у смислу да Кошијев низ вектора увек конвергира ка добро дефинисаној граничној вредности која се налази унутар тог простора.

Банахови простори су названи по пољском математичару Стефану Банаху, који је увео овај концепт и систематски га проучавао од 1920. до 1922. године заједно са Хансом Ханом и Едуардом Хелијем. Морис Рене Фреше је први употребио термин „Банахов простор”, а Банах је затим сковао термин „Фрешеов простор”.Шаблон:Sfn Банахови простори су првобитно проистекли из проучавања простора функција од стране Хилберта, Фрешеа и Риса раније у том веку. Банахови простори играју централну улогу у функционалној анализи. У другим областима анализе, простори који се проучавају су често Банахови простори.

Дефиниција

Банахов простор је комплетан нормиран простор $(X,\Vert \cdot \Vert ).$ Нормиран простор је пар $(X,\Vert \cdot \Vert )$ који се састоји од векторског простора $X$ над пољем скалара $𝕂$ (где је $𝕂$ обично $ℝ$ или $ℂ$) заједно са истакнутом нормом $\Vert \cdot \Vert :X\to ℝ.$ Као и све норме, ова норма индукује транслационо инваријантну функцију удаљености, која се назива канонска или (нормом) индукована метрика, дефинисана за све векторе $x,y\in X$ са $$d(x,y):=\Vert y-x\Vert =\Vert x-y\Vert .$$ Ово претвара $X$ у метрички простор $(X,d).$ Низ $x_1,x_2,\dots$ се назива Кошијев у $(X,d)$ или $d$-Кошијев или $\Vert \cdot \Vert$-Кошијев ако за сваки реалан број $r>0,$ постоји неки индекс $N$ такав да, када су $m$ и $n$ већи од $N$ $$d(x_n,x_m)=\Vert x_n-x_m\Vert <r.$$ Нормиран простор $(X,\Vert \cdot \Vert )$ се назива Банахов простор, а канонска метрика $d$ се назива комплетна метрика ако је $(X,d)$ комплетан метрички простор, што по дефиницији значи да за сваки Кошијев низ $x_1,x_2,\dots$ у $(X,d),$ постоји неки $x\in X$ такав да $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x\text{ у }(X,d),$$ где се, пошто је $\Vert x_n-x\Vert =d(x_n,x),$ конвергенција овог низа ка $x$ еквивалентно може изразити као $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert x_n-x\Vert =0\text{ у }ℝ.$$

Норма $\Vert \cdot \Vert$ нормираног простора $(X,\Vert \cdot \Vert )$ се назива комплетна норма ако је $(X,\Vert \cdot \Vert )$ Банахов простор.

L-полускаларни производ

За сваки нормиран простор $(X,\Vert \cdot \Vert ),$ постоји L-полускаларни производ $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ на $X$ такав да је $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ за све $x\in X.$ Уопштено, може постојати бесконачно много L-полускаларних производа који задовољавају овај услов, а доказ о постојању L-полускаларних производа ослања се на неконструктивну Хан-Банахову теорему. L-полускаларни производи су генерализација скаларних производа, који су оно што суштински разликује Хилбертове просторе од свих осталих Банахових простора. Ово показује да се сви нормирани простори (а тиме и сви Банахови простори) могу посматрати као генерализације (пред-)Хилбертових простора.

Карактеризација преко редова

Структура векторског простора омогућава повезивање понашања Кошијевих низова са понашањем конвергентних редова вектора. Нормиран простор $X$ је Банахов простор ако и само ако сваки апсолутно конвергентан ред у $X$ конвергира ка вредности која се налази унутар $X,$ симболички: $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert v_n\Vert <\mathrm{\infty }⟹\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{v}_n\text{ конвергира у }X.$$

Топологија

Канонска метрика $d$ нормираног простора $(X,\Vert \cdot \Vert )$ индукује уобичајену метричку топологију ${\tau }_d$ на $X,$ која се назива канонска или нормом индукована топологија. Аутоматски се претпоставља да сваки нормиран простор носи ову Хаусдорфову топологију, осим ако није другачије назначено. Са овом топологијом, сваки Банахов простор је Беров простор, иако постоје нормирани простори који су Берови, али нису Банахови.Шаблон:Sfn Норма $\Vert \cdot \Vert :X\to ℝ$ је увек непрекидна функција у односу на топологију коју индукује.

Отворене и затворене кугле полупречника $r>0$ са центром у тачки $x\in X$ су, респективно, скупови $$B_r(x):=\{z\in X\mid \Vert z-x\Vert <r\}\text{ и }{C}_r(x):=\{z\in X\mid \Vert z-x\Vert \le r\}.$$ Свака таква кугла је конвексан и ограничен подскуп од $X,$ али компактна кугла/околина постоји ако и само ако је $X$ коначнодимензионалан. Посебно, ниједан бесконачнодимензионалан нормиран простор не може бити локално компактан нити имати Хајне-Борелово својство. Ако је $x_0$ вектор и $s\ne 0$ скалар, тада је $$x_0+s{B}_r(x)=B_{|s|r}(x_0+sx)\text{ и }{x}_0+s{C}_r(x)=C_{|s|r}(x_0+sx).$$ Узимајући да је $s=1$ показује се да је топологија индукована нормом инваријантна на транслацију, што значи да за сваки $x\in X$ и $S\subseteq X,$ подскуп $S$ је отворен (односно, затворен) у $X$ ако и само ако је његова транслација $x+S:=\{x+s\mid s\in S\}$ отворена (односно, затворена). Сходно томе, топологија индукована нормом је потпуно одређена било којом базом околина у координатном почетку. Неке уобичајене базе околина у почетку укључују $$\{B_r(0)\mid r>0\},\{C_r(0)\mid r>0\},\{B_{r_n}(0)\mid n\in \mathbb{N}\},\text{ и }\{C_{r_n}(0)\mid n\in \mathbb{N}\},$$ где $r_1,r_2,\dots$ може бити било који низ позитивних реалних бројева који конвергира ка $0$ у $ℝ$ (чести избори су $r_n:=\frac{1}{n}$ или $r_n:=1/2^n$). Тако се, на пример, сваки отворени подскуп $U$ од $X$ може написати као унија $$U=\bigcup _{x\in I}{B}_{r_x}(x)=\bigcup _{x\in I}x+B_{r_x}(0)=\bigcup _{x\in I}x+r_x{B}_1(0)$$ индексирана неким подскупом $I\subseteq U,$ где сваки $r_x$ може бити изабран из претходно поменутог низа $r_1,r_2,\dots .$ (Отворене кугле могу бити замењене и затвореним куглама, мада индексирајући скуп $I$ и полупречници $r_x$ тада можда морају да се промене). Додатно, $I$ се увек може изабрати тако да буде пребројив ако је $X$ сепарабилан, што по дефиницији значи да $X$ садржи неки пребројив густ подскуп.

Класе хомеоморфизама сепарабилних Банахових простора

Сви коначнодимензионални нормирани простори су сепарабилни Банахови простори и свака два Банахова простора исте коначне димензије су линеарно хомеоморфна. Сваки сепарабилан бесконачнодимензионални Хилбертов простор је линеарно изометријски изоморфан сепарабилном простору низова ${\ell }^2(\mathbb{N})$ са његовом уобичајеном нормом $\Vert \cdot {\Vert }_2.$

Андерсон-Кадецова теорема тврди да је сваки бесконачнодимензионални сепарабилни Фрешеов простор хомеоморфан простору производа ${\prod }_{i\in \mathbb{N}}ℝ$ пребројиво много копија простора $ℝ$ (овај хомеоморфизам не мора бити линеарно пресликавање).Шаблон:Sfn Тако су сви бесконачнодимензионални сепарабилни Фрешеови простори хомеоморфни један другом (или другачије речено, њихова топологија је јединствена до на хомеоморфизам). Пошто је сваки Банахов простор уједно и Фрешеов простор, ово важи и за све бесконачнодимензионалне сепарабилне Банахове просторе, укључујући ${\ell }^2(\mathbb{N}).$ У ствари, ${\ell }^2(\mathbb{N})$ је чак хомеоморфан својој сопственој јединичној сфери $\{x\in {\ell }^2(\mathbb{N})\mid \Vert x{\Vert }_2=1\},$ што представља оштру супротност коначнодимензионалним просторима (Еуклидска раван ${ℝ}^2$ није хомеоморфна јединичном кругу, на пример).

Овај образац у класама хомеоморфизама проширује се на уопштења метризабилних (локално еуклидских) тополошких многострукости познатих као метричке Банахове многострукости, што су метрички простори који су око сваке тачке локално хомеоморфни неком отвореном подскупу датог Банаховог простора (метричке Хилбертове многострукости и метричке Фрешеове многострукости дефинишу се слично).Шаблон:Sfn На пример, сваки отворени подскуп $U$ Банаховог простора $X$ је канонски метричка Банахова многострукост моделована на $X$ јер је пресликавање инклузије $U\to X$ отворен локални хомеоморфизам. Користећи микросвежњеве Хилбертовог простора, Дејвид Хендерсон је показаоШаблон:Sfn 1969. године да свака метричка многострукост моделована на сепарабилном бесконачнодимензионалном Банаховом (или Фрешеовом) простору може бити тополошки уклопљена као отворен подскуп простора ${\ell }^2(\mathbb{N})$ и, сходно томе, такође допушта јединствену глатку структуру чинећи је $C^{\mathrm{\infty }}$ Хилбертовом многострукошћу.

Компактни и конвексни подскупови

Постоји компактан подскуп $S$ од ${\ell }^2(\mathbb{N})$ чији конвексни омотач $\mathrm{co}(S)$ није затворен, па самим тим није ни компактан.Шаблон:Sfn Међутим, као и у свим Банаховим просторима, затворени конвексни омотач $\overline{\mathrm{co}}S$ овог (и сваког другог) компактног подскупа биће компактан.Шаблон:Sfn У нормираном простору који није комплетан, генерално није загарантовано да ће $\overline{\mathrm{co}}S$ бити компактан кад год је $S$ компактан; пример се чак може наћи у (некомплетном) пред-Хилбертовом векторском потпростору простора ${\ell }^2(\mathbb{N}).$

Као тополошки векторски простор

Ова топологија индукована нормом такође претвара $(X,{\tau }_d)$ у оно што је познато као тополошки векторски простор (ТВП), који је по дефиницији векторски простор опремљен топологијом која операције сабирања и множења скаларом чини непрекидним. Наглашава се да је ТВП $(X,{\tau }_d)$ само векторски простор заједно са одређеним типом топологије; то јест, када се посматра као ТВП, он није повезан ни са којом посебном нормом или метриком (обе су „заборављене”). Овај Хаусдорфов ТВП $(X,{\tau }_d)$ је чак локално конвексан јер скуп свих отворених кугли центрираних у координатном почетку формира базу околина у почетку која се састоји од конвексних балансираних отворених скупова. Овај ТВП је такође нормабилан, што се по дефиницији односи на сваки ТВП чија је топологија индукована неком (можда непознатом) нормом. Нормабилни ТВП-ови карактеришу се тиме што су Хаусдорфови и имају ограничену конвексну околину координатног почетка. Сви Банахови простори су бачвасти простори, што значи да је свака бачва околина почетка (све затворене кугле центриране у почетку су бачве, на пример) и гарантује да важи Банах-Штајнхаусова теорема.

Поређење комплетних метризабилних векторских топологија

Теорема о отвореном пресликавању имплицира да када су ${\tau }_1$ и ${\tau }_2$ топологије на $X$ које чине и $(X,{\tau }_1)$ и $(X,{\tau }_2)$ комплетним метризабилним ТВП-овима (на пример, Банахови или Фрешеови простори), ако је једна топологија финија или грубља од друге, онда оне морају бити једнаке (тј. ако је ${\tau }_1\subseteq {\tau }_2$ или ${\tau }_2\subseteq {\tau }_1$ онда је ${\tau }_1={\tau }_2$).Шаблон:Sfn На пример, ако су $(X,p)$ и $(X,q)$ Банахови простори са топологијама ${\tau }_p$ и ${\tau }_q,$ и ако једна од ових простора има неку отворену куглу која је такође отворен подскуп другог простора (или, еквивалентно, ако је једно од пресликавања $p:(X,{\tau }_q)\to ℝ$ или $q:(X,{\tau }_p)\to ℝ$ непрекидно), тада су њихове топологије идентичне, а норме $p$ и $q$ су еквивалентне.

Комплетност

Комплетне норме и еквивалентне норме

За две норме, $p$ и $q,$ на векторском простору $X$ каже се да су еквивалентне ако индукују исту топологију; ово важи ако и само ако постоје реални бројеви $c,C>0$ такви да је $cq(x)\le p(x)\le Cq(x)$ за све $x\in X.$ Ако су $p$ и $q$ две еквивалентне норме на векторском простору $X$ тада је $(X,p)$ Банахов простор ако и само ако је $(X,q)$ Банахов простор. Погледајте ову фусноту за пример непрекидне норме на Банаховом простору која није еквивалентна датој норми тог Банаховог простора. Све норме на коначнодимензионалном векторском простору су еквивалентне и сваки коначнодимензионални нормирани простор је Банахов простор.

Комплетне норме наспрам комплетних метрика

Метрика $D$ на векторском простору $X$ је индукована нормом на $X$ ако и само ако је $D$ инваријантна на транслацију и апсолутно хомогена, што значи да је $D(sx,sy)=|s|D(x,y)$ за све скаларе $s$ и све $x,y\in X,$ у ком случају функција $\Vert x\Vert :=D(x,0)$ дефинише норму на $X$ а канонска метрика индукована са $\Vert \cdot \Vert$ је једнака $D.$

Претпоставимо да је $(X,\Vert \cdot \Vert )$ нормиран простор и да је $\tau$ норма топологија индукована на $X.$ Претпоставимо да је $D$ било која метрика на $X$ таква да је топологија коју $D$ индукује на $X$ једнака $\tau .$ Ако је $D$ инваријантна на транслацију онда је $(X,\Vert \cdot \Vert )$ Банахов простор ако и само ако је $(X,D)$ комплетан метрички простор.Шаблон:Sfn Ако $D$ није инваријантна на транслацију, онда може бити могуће да $(X,\Vert \cdot \Vert )$ буде Банахов простор али да $(X,D)$ не буде комплетан метрички просторШаблон:Sfn (погледајте ову фусноту за пример). Насупрот томе, Клијева теорема (Klee),Шаблон:Sfn која се такође примењује на све метризабилне тополошке векторске просторе, имплицира да ако постоји било која комплетна метрика $D$ на $X$ која индукује топологију норме $\tau$ на $X,$ онда је $(X,\Vert \cdot \Vert )$ Банахов простор.

Фрешеов простор је локално конвексан тополошки векторски простор чија је топологија индукована неком транслационо инваријантном комплетном метриком. Сваки Банахов простор је Фрешеов простор, али обрнуто не важи; заправо, постоје чак и Фрешеови простори на којима ниједна норма није непрекидна функција (као што је простор реалних низова ${ℝ}^{\mathbb{N}}={\prod }_{i\in \mathbb{N}}ℝ$ са топологијом производа). Међутим, топологија сваког Фрешеовог простора је индукована неком пребројивом фамилијом реалних (нужно непрекидних) пресликавања која се зову полунорме, а која представљају уопштења норми. Чак је могуће да Фрешеов простор има топологију која је индукована пребројивом фамилијом норми (такве норме би нужно биле непрекидне)Шаблон:Sfn али да није Банахов/нормабилан простор јер се његова топологија не може дефинисати ниједном појединачном нормом. Пример таквог простора је Фрешеов простор $C^{\mathrm{\infty }}(K),$ чија се дефиниција може наћи у чланку о просторима тест функција и дистрибуција.

Комплетне норме наспрам комплетних тополошких векторских простора

Постоји још један појам комплетности поред метричке комплетности, а то је појам комплетног тополошког векторског простора (ТВП) или ТВП-комплетности, који користи теорију униформних простора. Конкретно, појам ТВП-комплетности користи јединствену транслационо инваријантну униформност, која се зове канонска униформност, која зависи само од одузимања вектора и топологије $\tau$ којом је векторски простор опремљен, па је, посебно, овај појам ТВП комплетности независан од било које норме која је индуковала топологију $\tau$ (и чак се примењује на ТВП-ове који нису ни метризабилни). Сваки Банахов простор је комплетан ТВП. Штавише, нормиран простор је Банахов простор (односно, његова метрика индукована нормом је комплетна) ако и само ако је комплетан као тополошки векторски простор. Ако је $(X,\tau )$ метризабилан тополошки векторски простор (као што је било која топологија индукована нормом, на пример), тада је $(X,\tau )$ комплетан ТВП ако и само ако је секвенцијално комплетан ТВП, што значи да је довољно проверити да ли сваки Кошијев низ у $(X,\tau )$ конвергира у $(X,\tau )$ ка некој тачки из $X$ (тј. нема потребе разматрати општији појам произвољних Кошијевих мрежа).

Ако је $(X,\tau )$ тополошки векторски простор чија је топологија индукована неком (можда непознатом) нормом (такви простори се називају нормабилним), тада је $(X,\tau )$ комплетан тополошки векторски простор ако и само ако се простору $X$ може доделити норма $\Vert \cdot \Vert$ која индукује на $X$ топологију $\tau$ и такође чини $(X,\Vert \cdot \Vert )$ Банаховим простором. Хаусдорфов локално конвексан тополошки векторски простор $X$ је нормабилан ако и само ако је његов јаки дуални простор $X{\text{'}}_b$ нормабилан,Шаблон:Sfn у ком случају је $X{\text{'}}_b$ Банахов простор ($X{\text{'}}_b$ означава јаки дуални простор простора $X,$ чија је топологија генерализација топологије индуковане дуалном нормом на непрекидном дуалном простору $X^{\prime }$; погледајте ову фусноту за више детаља). Ако је $X$ метризабилан локално конвексан ТВП, онда је $X$ нормабилан ако и само ако је $X{\text{'}}_b$ Фреше-Урисонов простор. Ово показује да су у категорији локално конвексних ТВП-ова, Банахови простори тачно они комплетни простори који су истовремено и метризабилни и имају метризабилне јаке дуалне просторе.

Комплетирања

Сваки нормирани простор се може изометријски уклопити (утопити) на густ векторски потпростор Банаховог простора, при чему се овај Банахов простор назива комплетирање нормираног простора. Ово Хаусдорфово комплетирање је јединствено до на изометријски изоморфизам.

Прецизније, за сваки нормиран простор $X,$ постоји Банахов простор $Y$ и пресликавање $T:X\to Y$ такво да је $T$ изометријско пресликавање и $T(X)$ је густо у $Y.$ Ако је $Z$ неки други Банахов простор такав да постоји изометријски изоморфизам из $X$ на густ подскуп од $Z,$ онда је $Z$ изометријски изоморфан са $Y.$ Банахов простор $Y$ је Хаусдорфово комплетирање нормираног простора $X.$ Основни метрички простор за $Y$ је исти као метричко комплетирање простора $X,$ са операцијама векторског простора проширеним са $X$ на $Y.$ Комплетирање простора $X$ се понекад означава са $\hat{X}.$

Општа теорија

Линеарни оператори, изоморфизми

Шаблон:Main Ако су $X$ и $Y$ нормирани простори над истим основним пољем $𝕂,$ скуп свих непрекидних $𝕂$-линеарних пресликавања $T:X\to Y$ означава се са $B(X,Y).$ У бесконачнодимензионалним просторима, нису сва линеарна пресликавања непрекидна. Линеарно пресликавање из нормираног простора $X$ у други нормиран простор је непрекидно ако и само ако је ограничено на затвореној јединичној кугли простора $X.$ Стога се векторском простору $B(X,Y)$ може доделити операторска норма $$\Vert T\Vert =sup\{\Vert Tx{\Vert }_Y\mid x\in X,\Vert x{\Vert }_X\le 1\}.$$

За Банахов простор $Y,$ простор $B(X,Y)$ је Банахов простор у односу на ову норму. У категорским контекстима, понекад је погодно ограничити простор функција између два Банахова простора само на кратка пресликавања; у том случају се простор $B(X,Y)$ поново појављује као природни бифунктор.

Ако је $X$ Банахов простор, простор $B(X)=B(X,X)$ формира униталну Банахову алгебру; операција множења је дата композицијом линеарних пресликавања.

Ако су $X$ и $Y$ нормирани простори, они су изоморфни нормирани простори ако постоји линеарна бијекција $T:X\to Y$ таква да су $T$ и његов инверз $T^{-1}$ непрекидни. Ако је један од два простора $X$ или $Y$ комплетан (или рефлексиван, сепарабилан, итд.), онда је такав и други простор. Два нормирана простора $X$ и $Y$ су изометријски изоморфни ако је уз то $T$ изометрија, односно, $\Vert T(x)\Vert =\Vert x\Vert$ за свако $x$ у $X.$ Банах-Мазурово растојање $d(X,Y)$ између два изоморфна, али не изометријска простора $X$ и $Y$ даје меру тога колико се два простора $X$ и $Y$ разликују.

Непрекидне и ограничене линеарне функције и полунорме

Сваки непрекидни линеарни оператор је ограничени линеарни оператор и ако се ради само о нормираним просторима, важи и обрнуто. То јест, линеарни оператор између два нормирана простора је ограничен ако и само ако је непрекидна функција. Такође, пошто је поље скалара (које је $ℝ$ или $ℂ$) нормиран простор, линеарни функционал на нормираном простору је ограничени линеарни функционал ако и само ако је непрекидни линеарни функционал. Ово омогућава примену резултата везаних за непрекидност (попут оних испод) на Банахове просторе. Иако је ограниченост исто што и непрекидност за линеарна пресликавања између нормираних простора, термин „ограничен” се чешће користи када се првенствено бави Банаховим просторима.

Ако је $f:X\to ℝ$ субадитивна функција (као што је норма, сублинеарна функција или реални линеарни функционал), ондаШаблон:Sfn је $f$ непрекидно у координатном почетку ако и само ако је $f$ униформно непрекидно на целом $X$; и ако је додатно $f(0)=0$ онда је $f$ непрекидно ако и само ако је његова апсолутна вредност $|f|:X\to [0,\mathrm{\infty })$ непрекидна, што се дешава ако и само ако је $\{x\in X\mid |f(x)|<1\}$ отворен подскуп од $X.$Шаблон:Sfn И врло важно за примену Хан-Банахове теореме, линеарни функционал $f$ је непрекидан ако и само ако је то тачно за његов реални део $\mathrm{Re}f$ и штавише, $\Vert \mathrm{Re}f\Vert =\Vert f\Vert$ и реални део $\mathrm{Re}f$ у потпуности одређује $f,$ због чега се Хан-Банахова теорема често исказује само за реалне линеарне функционале. Такође, линеарни функционал $f$ на $X$ је непрекидан ако и само ако је полунорма $|f|$ непрекидна, што важи ако и само ако постоји непрекидна полунорма $p:X\to ℝ$ таква да је $|f|\le p$; овај последњи исказ који укључује линеарни функционал $f$ и полунорму $p$ среће се у многим верзијама Хан-Банахове теореме.

Основни појмови

Декартов производ $X\times Y$ два нормирана простора није канонски опремљен нормом. Међутим, неколико еквивалентних норми се обично користи, као што су $$\Vert (x,y){\Vert }_1=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,\Vert (x,y){\Vert }_{\mathrm{\infty }}=max(\Vert x\Vert ,\Vert y\Vert )$$ које одговарају (респективно) копроизводу и производу у категорији Банахових простора и кратких пресликавања (дискутовано горе). За коначне (ко)производе, ове норме дају изоморфне нормиране просторе, а производ $X\times Y$ (или директна сума $X\oplus Y$) је комплетан ако и само ако су оба фактора комплетна.

Ако је $M$ затворен линеарни потпростор нормираног простора $X,$ постоји природна норма на количничком простору $X/M,$ $$\Vert x+M\Vert =\underset{m\in M}{inf}\Vert x+m\Vert .$$

Количник $X/M$ је Банахов простор када је $X$ комплетан. Количничко пресликавање са $X$ на $X/M,$ које шаље $x\in X$ у његову класу $x+M,$ је линеарно, сурјективно (на) и има норму $1,$ осим када је $M=X,$ у ком случају је количник нула-простор.

За затворени линеарни потпростор $M$ у $X$ се каже да је комплементиран потпростор од $X$ ако је $M$ слика ограниченог линеарног сурјективног пројекционог пресликавања $P:X\to M.$ У овом случају, простор $X$ је изоморфан директној суми простора $M$ и $\ker P,$ језгра пројекције $P.$

Претпоставимо да су $X$ и $Y$ Банахови простори и да $T\in B(X,Y).$ Постоји канонска факторизација оператора $T$ као $$T=T_1\circ \pi ,T:X\stackrel{\pi }{⟶}X/\ker T\stackrel{T_1}{⟶}Y$$ где је прво пресликавање $\pi$ количничко пресликавање, а друго пресликавање $T_1$ шаље сваку класу $x+\ker T$ из количника у слику $T(x)$ у $Y.$ Ово је добро дефинисано јер сви елементи у истој класи имају исту слику. Пресликавање $T_1$ је линеарна бијекција из $X/\ker T$ на слику $T(X),$ чији инверз не мора нужно бити ограничен.

Класични простори

Основни примери Банахових простора укључују: L^p просторе и њихове посебне случајеве, просторе низова ${\ell }^p$ који се састоје од скаларних низова индексираних природним бројевима $\mathbb{N}$; међу њима, простор ${\ell }^1$ апсолутно сумабилних низова и простор ${\ell }^2$ квадратно сумабилних низова; простор $c_0$ низова који теже нули и простор ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ ограничених низова; простор $C(K)$ непрекидних скаларних функција на компактном Хаусдорфовом простору $K,$ опремљен максимум нормом, $$\Vert f{\Vert }_{C(K)}=max\{|f(x)|\mid x\in K\},f\in C(K).$$

Према Банах-Мазуровој теореми, сваки Банахов простор је изометријски изоморфан потпростору неког $C(K).$ За сваки сепарабилни Банахов простор $X,$ постоји затворени потпростор $M$ од ${\ell }^1$ такав да је $X:={\ell }^1/M.$

Било који Хилбертов простор служи као пример Банаховог простора. Хилбертов простор $H$ над пољем $𝕂=ℝ,ℂ$ је комплетан за норму облика $$\Vert x{\Vert }_H=\sqrt{⟨x,x⟩},$$ где је $$⟨\cdot ,\cdot ⟩:H\times H\to 𝕂$$ скаларни производ, линеаран по првом аргументу који задовољава следеће: $$\begin{array}{cc}⟨y,x⟩& =\overline{⟨x,y⟩},\text{ за све }x,y\in H\\ ⟨x,x⟩& \ge 0,\text{ за све }x\in H\\ ⟨x,x⟩=0\text{ ако и само ако је }x& =0.\end{array}$$

На пример, простор $L^2$ је Хилбертов простор.

Хардијеви простори и Собољевљеви простори су примери Банахових простора који су повезани са $L^p$ просторима и имају додатну структуру. Они су важни у различитим гранама анализе, хармонијској анализи и теорији парцијалних диференцијалних једначина, између осталог.

Банахове алгебре

Банахова алгебра је Банахов простор $A$ над пољем $𝕂=ℝ$ или $ℂ,$ заједно са структуром алгебре над $𝕂$, таквом да је пресликавање производа $A\times A\ni (a,b)\mapsto ab\in A$ непрекидно. Еквивалентна норма на $A$ се може наћи тако да важи $\Vert ab\Vert \le \Vert a\Vert \Vert b\Vert$ за све $a,b\in A.$

Примери

• Банахов простор $C(K)$ са производом по тачкама је Банахова алгебра.
• Алгебра диска $A(𝐃)$ састоји се од функција које су холоморфне у отвореном јединичном диску $D\subseteq ℂ$ и непрекидне на његовом затворењу: $\overline{𝐃}.$ Опремљена максимум нормом на $\overline{𝐃},$ алгебра диска $A(𝐃)$ је затворена подалгебра од $C\left(\overline{𝐃}\right).$
• Винерова алгебра $A(𝐓)$ је алгебра функција на јединичном кругу $𝐓$ са апсолутно конвергентним Фуријеовим редовима. Преко пресликавања које придружује функцији на $𝐓$ низ њених Фуријеових коефицијената, ова алгебра је изоморфна Банаховој алгебри ${\ell }^1(Z),$ где је производ конволуција низова.
• За сваки Банахов простор $X,$ простор $B(X)$ ограничених линеарних оператора на $X,$ са композицијом пресликавања као производом, јесте Банахова алгебра.
• C*-алгебра је комплексна Банахова алгебра $A$ са антилинеарном инволуцијом $a\mapsto a^{\ast }$ таквом да је $\Vert a^{\ast }a\Vert =\Vert a{\Vert }^2.$ Простор $B(H)$ ограничених линеарних оператора на Хилбертовом простору $H$ је фундаменталан пример C*-алгебре. Гелфанд-Најмаркова теорема тврди да је свака C*-алгебра изометријски изоморфна некој C*-подалгебри од $B(H).$ Простор $C(K)$ комплексних непрекидних функција на компактном Хаусдорфовом простору $K$ је пример комутативне C*-алгебре, где инволуција свакој функцији $f$ придружује њој комплексно конјуговану функцију $\bar{f}.$

Дуални простор

Шаблон:Main Ако је $X$ нормиран простор, а $𝕂$ основно поље (било реални или комплексни бројеви), непрекидни дуални простор је простор непрекидних линеарних пресликавања са $X$ у $𝕂,$ или непрекидних линеарних функционала. Ознака за непрекидни дуал је $X^{\prime }=B(X,𝕂)$ у овом чланку. Пошто је $𝕂$ Банахов простор (са апсолутном вредношћу као нормом), дуал $X^{\prime }$ је Банахов простор, за сваки нормиран простор $X.$ Диксмије-Нгова теорема (Dixmier–Ng) карактерише дуалне просторе Банахових простора.

Главни алат за доказивање постојања непрекидних линеарних функционала је Хан-Банахова теорема.

Посебно, сваки непрекидни линеарни функционал на потпростору нормираног простора може се непрекидно проширити на цео простор, без повећања норме функционала. Важан специјалан случај је следећи: за сваки вектор $x$ у нормираном простору $X,$ постоји непрекидни линеарни функционал $f$ на $X$ такав да је $$f(x)=\Vert x{\Vert }_X,\Vert f{\Vert }_{X^{\prime }}\le 1.$$

Када $x$ није једнак нултом вектору $\mathrm{𝟎},$ функционал $f$ мора имати норму један, и назива се нормирајући функционал за $x.$

Хан-Банахова теорема о сепарацији тврди да се два дисјунктна непразна конвексна скупа у реалном Банаховом простору, од којих је један отворен, могу раздвојити затвореном афином хиперравни. Отворени конвексни скуп лежи строго са једне стране хиперравни, док други конвексни скуп лежи са друге стране, али може додиривати хиперраван.

Подскуп $S$ у Банаховом простору $X$ је тоталан ако је линеарни омотач од $S$ густ у $X.$ Подскуп $S$ је тоталан у $X$ ако и само ако је једини непрекидни линеарни функционал који се поништава на $S$ заправо $\mathrm{𝟎}$ функционал: ова еквиваленција следи из Хан-Банахове теореме.

Ако је $X$ директна сума два затворена линеарна потпростора $M$ и $N,$ онда је дуал $X^{\prime }$ простора $X$ изоморфан директној суми дуала простора $M$ и $N.$ Ако је $M$ затворени линеарни потпростор у $X,$ може се дефинисати ортогонал од $M$ у дуалу, $$M^{\mathrm{\perp }}=\{x^{\prime }\in X\mid x^{\prime }(m)=0\text{ за све }m\in M\}.$$

Ортогонал $M^{\mathrm{\perp }}$ је затворени линеарни потпростор дуала. Дуал простора $M$ је изометријски изоморфан простору $X^{\prime }/M^{\mathrm{\perp }}.$ Дуал простора $X/M$ је изометријски изоморфан са $M^{\mathrm{\perp }}.$

Дуал сепарабилног Банаховог простора не мора бити сепарабилан, али важи следеће:

Када је $X^{\prime }$ сепарабилан, горњи критеријум за тоталност се може користити за доказивање постојања пребројивог тоталног подскупа у $X.$

Слабе топологије

Слаба топологија на Банаховом простору $X$ је најгрубља топологија на $X$ за коју су сви елементи $x^{\prime }$ из непрекидног дуалног простора $X^{\prime }$ непрекидни. Топологија норме је стога финија од слабе топологије. Из Хан-Банахове теореме о сепарацији следи да је слаба топологија Хаусдорфова, и да је нормом затворен конвексни подскуп Банаховог простора такође и слабо затворен. Нормом непрекидно линеарно пресликавање између два Банахова простора $X$ и $Y$ је такође слабо непрекидно, односно, непрекидно из слабе топологије простора $X$ у слабу топологију простора $Y.$

Ако је $X$ бесконачнодимензионалан, постоје линеарна пресликавања која нису непрекидна. Простор $X^{\ast }$ свих линеарних пресликавања са $X$ у основно поље $𝕂$ (овај простор $X^{\ast }$ се назива алгебарски дуални простор, да би се разликовао од $X^{\prime }$) такође индукује топологију на $X$ која је финија од слабе топологије, и много се ређе користи у функционалној анализи.

На дуалном простору $X^{\prime },$ постоји топологија слабија од слабе топологије од $X^{\prime },$ која се назива слаба* топологија. То је најгрубља топологија на $X^{\prime }$ за коју су сва пресликавања евалуације $x^{\prime }\in X^{\prime }\mapsto x^{\prime }(x),$ где $x$ узима вредности из $X,$ непрекидна. Њен значај проистиче из Банах-Алаоглуове теореме.

Банах-Алаоглуова теорема се може доказати коришћењем Тихоновљеве теореме о бесконачним производима компактних Хаусдорфових простора. Када је $X$ сепарабилан, јединична кугла $B^{\prime }$ дуала је метризабилан компакт у слабој* топологији.

Примери дуалних простора

Дуал простора $c_0$ је изометријски изоморфан простору ${\ell }^1$: за сваки ограничени линеарни функционал $f$ на $c_0,$ постоји јединствени елемент $y=\{y_n\}\in {\ell }^1$ такав да је $$f(x)=\sum _{n\in \mathbb{N}}{x}_n{y}_n,x=\{x_n\}\in c_0,\text{и}\Vert f{\Vert }_{(c_0{)}^{\prime }}=\Vert y{\Vert }_{{\ell }_1}.$$

Дуал простора ${\ell }^1$ је изометријски изоморфан простору ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$. Дуал Лебеговог простора $L^p([0,1])$ је изометријски изоморфан простору $L^q([0,1])$ када је $1\le p<\mathrm{\infty }$ и $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

За сваки вектор $y$ у Хилбертовом простору $H,$ пресликавање $$x\in H\to f_y(x)=⟨x,y⟩$$

дефинише непрекидни линеарни функционал $f_y$ на $H.$ Рисова теорема о репрезентацији тврди да је сваки непрекидни линеарни функционал на $H$ облика $f_y$ за јединствено дефинисан вектор $y$ у $H.$ Пресликавање $y\in H\to f_y$ је антилинеарна изометријска бијекција са $H$ на његов дуал $H^{\prime }.$ Када су скалари реални, ово пресликавање је изометријски изоморфизам.

Када је $K$ компактан Хаусдорфов тополошки простор, дуал $M(K)$ од $C(K)$ је простор Радонових мера у смислу Бурбакија. Подскуп $P(K)$ простора $M(K)$ који се састоји од ненегативних мера масе 1 (мера вероватноће) је конвексан слабо*-затворен подскуп јединичне кугле од $M(K).$ Екстремне тачке скупа $P(K)$ су Диракове мере на $K.$ Скуп Диракових мера на $K,$ опремљен слабо*-топологијом, је хомеоморфан простору $K.$

Резултат су проширили Амир и Камберн (Cambern) на случај када је мултипликативно Банах-Мазурово растојање између $C(K)$ и $C(L)$ мање од $2.$ Теорема више не важи када је растојање $=2.$

У комутативној Банаховој алгебри $C(K),$ максимални идеали су управо језгра Диракових мера на $K,$ $$I_x=\ker {\delta }_x=\{f\in C(K)\mid f(x)=0\},x\in K.$$

Општије, према Гелфанд-Мазуровој теореми, максимални идеали униталне комутативне Банахове алгебре могу се идентификовати са њеним карактерима—не само као скупови већ и као тополошки простори: први са топологијом омотач-језгро, а други са слабо*-топологијом. У овој идентификацији, простор максималних идеала се може посматрати као слабо*-компактан подскуп јединичне кугле у дуалу $A^{\prime }.$

Није свака унитална комутативна Банахова алгебра облика $C(K)$ за неки компактан Хаусдорфов простор $K.$ Међутим, ова тврдња важи ако се $C(K)$ посматра у мањој категорији комутативних C*-алгебри. Гелфандова теорема о репрезентацији за комутативне C*-алгебре тврди да је свака комутативна унитална C*-алгебра $A$ изометријски изоморфна неком простору $C(K).$ Хаусдорфов компактан простор $K$ овде је поново простор максималних идеала, који се у контексту C*-алгебри такође назива спектар од $A.$

Бидуал

Ако је $X$ нормиран простор, (непрекидни) дуал $X^{″}$ дуала $X^{\prime }$ назива се бидуал или други дуал од $X.$ За сваки нормиран простор $X,$ постоји природно пресликавање, $$\{\begin{array}{c}{F}_X:X\to X^{″}\\ F_X(x)(f)=f(x)& \text{ за све }x\in X,\text{ и за све }f\in X^{\prime }\end{array}$$

Ово дефинише $F_X(x)$ као непрекидни линеарни функционал на $X^{\prime },$ односно, елемент из $X^{″}.$ Пресликавање $F_X:x\to F_X(x)$ је линеарно пресликавање са $X$ у $X^{″}.$ Као последица постојања нормирајућег функционала $f$ за свако $x\in X,$ ово пресликавање $F_X$ је изометријско, па је стога и инјективно.

На пример, дуал од $X=c_0$ се идентификује са ${\ell }^1,$ а дуал од ${\ell }^1$ се идентификује са ${\ell }^{\mathrm{\infty }},$ простором ограничених скаларних низова. Под овим идентификацијама, $F_X$ је инклузивно пресликавање из $c_0$ у ${\ell }^{\mathrm{\infty }}.$ Оно је заиста изометријско, али није сурјективно (није пресликавање „на”).

Ако је $F_X$ сурјективно, онда се нормиран простор $X$ назива рефлексиван (види доле). Будући да је дуал нормираног простора, бидуал $X^{″}$ је комплетан, стога је сваки рефлексиван нормиран простор Банахов простор.

Користећи изометријско утапање $F_X,$ уобичајено је да се нормиран простор $X$ посматра као подскуп свог бидуала. Када је $X$ Банахов простор, на њега се гледа као на затворени линеарни потпростор од $X^{″}.$ Ако $X$ није рефлексиван, јединична кугла простора $X$ је прави подскуп јединичне кугле простора $X^{″}.$ Голдстајнова теорема тврди да је јединична кугла нормираног простора слабо*-густа у јединичној кугли бидуала. Другим речима, за свако $x^{″}$ у бидуалу постоји мрежа $(x_i{)}_{i\in I}$ у $X$ тако да је $$\underset{i\in I}{sup}\Vert x_i\Vert \le \Vert x^{″}\Vert ,x^{″}(f)=\underset{i}{lim}f(x_i),f\in X^{\prime }.$$

Мрежа се може заменити слабо*-конвергентним низом када је дуал $X^{\prime }$ сепарабилан. С друге стране, елементи бидуала простора ${\ell }^1$ који нису у ${\ell }^1$ не могу бити слаба*-гранична вредност низова у ${\ell }^1,$ будући да је ${\ell }^1$ слабо секвенцијално комплетан.

Банахове теореме

Овде су наведени главни општи резултати о Банаховим просторима који потичу из времена Банахове књиге (Шаблон:Harvtxt) и повезани су са Беровом теоремом о категорији. Према овој теореми, комплетан метрички простор (као што је Банахов простор, Фрешеов простор или F-простор) не може бити једнак унији пребројиво много затворених подскупова са празним унутрашњостима. Због тога, Банахов простор не може бити унија пребројиво много затворених потпростора, осим ако није већ једнак једном од њих; Банахов простор са пребројивом Хамеловом базом је коначнодимензионалан.

Банах-Штајнхаусова теорема није ограничена само на Банахове просторе. Она се може проширити на пример на случај када је $X$ Фрешеов простор, под условом да се закључак модификује на следећи начин: под истом хипотезом, постоји околина $U$ од $\mathrm{𝟎}$ у $X$ таква да су сви $T$ из $F$ униформно ограничени на $U,$ $$\underset{T\in F}{sup}\underset{x\in U}{sup}\Vert T(x){\Vert }_Y<\mathrm{\infty }.$$

Овај резултат је директна последица претходне Банахове теореме о изоморфизму и канонске факторизације ограничених линеарних пресликавања.

Ово је још једна последица Банахове теореме о изоморфизму, примењена на непрекидну бијекцију са $M_1\oplus \cdots \oplus M_n$ на $X$ која шаље $m_1,\cdots ,m_n$ у суму $m_1+\cdots +m_n.$

Рефлексивност

Нормиран простор $X$ се назива рефлексивним када је природно пресликавање $$\{\begin{array}{c}{F}_X:X\to X^{″}\\ F_X(x)(f)=f(x)& \text{ за све }x\in X,\text{ и за све }f\in X^{\prime }\end{array}$$ сурјективно. Рефлексивни нормирани простори су нужно Банахови простори.

Ово је последица Хан-Банахове теореме. Штавише, према теореми о отвореном пресликавању, ако постоји ограничени линеарни оператор са Банаховог простора $X$ на Банахов простор $Y,$ онда је и $Y$ рефлексиван.

Заиста, ако је дуал $Y^{\prime }$ Банаховог простора $Y$ сепарабилан, онда је и $Y$ сепарабилан. Ако је $X$ рефлексиван и сепарабилан, онда је дуал од $X^{\prime }$ сепарабилан, па је и $X^{\prime }$ сепарабилан.

Хилбертови простори су рефлексивни. $L^p$ простори су рефлексивни када је $1<p<\mathrm{\infty }.$ Општије, униформно конвексни простори су рефлексивни, према Милман-Петисовој теореми. Простори $c_0,{\ell }^1,L^1([0,1]),C([0,1])$ нису рефлексивни. У овим примерима нерефлексивних простора $X,$ бидуал $X^{″}$ је „много већи” од $X.$ Наиме, под природним изометријским утапањем $X$ у $X^{″}$ датим Хан-Банаховом теоремом, количник $X^{″}/X$ је бесконачнодимензионалан, и чак несепарабилан. Међутим, Роберт Ч. Џејмс је конструисао пример нерефлексивног простора, обично названог „Џејмсов простор” и означеног са $J,$ таквог да је количник $J^{″}/J$ једнодимензионалан. Штавише, овај простор $J$ је изометријски изоморфан свом бидуалу.

Када је $X$ рефлексиван, следи да су сви затворени и ограничени конвексни подскупови простора $X$ слабо компактни. У Хилбертовом простору $H,$ слаба компактност јединичне кугле се врло често користи на следећи начин: сваки ограничени низ у $H$ има слабо конвергентне поднизове.

Слаба компактност јединичне кугле пружа алат за проналажење решења у рефлексивним просторима за одређене проблеме оптимизације. На пример, свака конвексна непрекидна функција на јединичној кугли $B$ рефлексивног простора достиже свој минимум у некој тачки у $B.$

Као специјалан случај претходног резултата, када је $X$ рефлексиван простор над $ℝ,$ сваки непрекидни линеарни функционал $f$ у $X^{\prime }$ достиже свој максимум $\Vert f\Vert$ на јединичној кугли простора $X.$ Следећа теорема Роберта Ч. Џејмса даје обрнуто тврђење.

Теорема се може проширити да би дала карактеризацију слабо компактних конвексних скупова.

На сваком нерефлексивном Банаховом простору $X,$ постоје непрекидни линеарни функционали који не „достижу норму”. Међутим, Бишоп-Фелпсова теорема тврди да су функционали који достижу норму густи по норми у дуалу $X^{\prime }$ простора $X.$

Слабе конвергенције низова

Низ $\{x_n\}$ у Банаховом простору $X$ је слабо конвергентан ка вектору $x\in X$ ако $\{f(x_n)\}$ конвергира ка $f(x)$ за сваки непрекидни линеарни функционал $f$ у дуалу $X^{\prime }.$ Низ $\{x_n\}$ је слаби Кошијев низ ако $\{f(x_n)\}$ конвергира ка скаларној граници $L(f)$ за сваки $f$ у $X^{\prime }.$ Низ $\{f_n\}$ у дуалу $X^{\prime }$ је слабо* конвергентан ка функционалу $f\in X^{\prime }$ ако $f_n(x)$ конвергира ка $f(x)$ за сваки $x$ у $X.$ Слаби Кошијеви низови, слабо конвергентни и слабо* конвергентни низови су ограничени по норми, што је последица Банах-Штајнхаусове теореме.

Када је низ $\{x_n\}$ у $X$ слаби Кошијев низ, граница $L$ изнад дефинише ограничени линеарни функционал на дуалу $X^{\prime },$ то јест, елемент $L$ бидуала простора $X,$ и $L$ је граница од $\{x_n\}$ у слабој*-топологији бидуала. Банахов простор $X$ је слабо секвенцијално комплетан ако сваки слаби Кошијев низ конвергира слабо у $X.$ Из претходне дискусије следи да су рефлексивни простори слабо секвенцијално комплетни.

Ортонормални низ у Хилбертовом простору је једноставан пример слабо конвергентног низа, са границом једнаком нултом вектору $\mathrm{𝟎}.$ База јединичних вектора простора ${\ell }^p$ за $1<p<\mathrm{\infty },$ или простора $c_0,$ је још један пример слабо нултог низа, односно низа који слабо конвергира ка $\mathrm{𝟎}.$ За сваки слабо нулти низ у Банаховом простору, постоји низ конвексних комбинација вектора из датог низа који по норми конвергира ка $\mathrm{𝟎}.$

База јединичних вектора од ${\ell }^1$ није слаби Кошијев низ. Слаби Кошијеви низови у ${\ell }^1$ су слабо конвергентни, јер су $L^1$-простори слабо секвенцијално комплетни. Заправо, слабо конвергентни низови у ${\ell }^1$ су конвергентни по норми. Ово значи да ${\ell }^1$ задовољава Шурово својство.

Резултати који укључују базу ${\ell }^1$

Слаби Кошијеви низови и база простора ${\ell }^1$ су супротни случајеви дихотомије коју је установио Хаскел П. Розентал у следећем дубоком резултату.

Допуну овом резултату дали су Одел (Odell) и Розентал (1975).

Према Голдстајновој теореми, сваки елемент јединичне кугле $B^{″}$ од $X^{″}$ је слаба*-граница мреже у јединичној кугли од $X.$ Када $X$ не садржи ${\ell }^1,$ сваки елемент од $B^{″}$ је слаба*-граница низа у јединичној кугли од $X.$

Када је Банахов простор $X$ сепарабилан, јединична кугла дуала $X^{\prime },$ опремљена слабо*-топологијом, јесте метризабилан компактан простор $K,$ и сваки елемент $x^{″}$ у бидуалу $X^{″}$ дефинише ограничену функцију на $K$: $$x^{\prime }\in K\mapsto x^{″}(x^{\prime }),|x^{″}(x^{\prime })|\le \Vert x^{″}\Vert .$$

Ова функција је непрекидна за компактну топологију простора $K$ ако и само ако се $x^{″}$ заправо налази у $X,$ посматраном као подскуп од $X^{″}.$ Претпоставимо додатно за остатак пасуса да $X$ не садржи ${\ell }^1.$ Према претходном резултату Одела и Розентала, функција $x^{″}$ је граница по тачкама на $K$ низа $\{x_n\}\subseteq X$ непрекидних функција на $K,$ и стога је функција прве Берове класе на $K.$ Јединична кугла бидуала је тачкасто компактан подскуп прве Берове класе на $K.$

Низови, слаба и слаба* компактност

Када је $X$ сепарабилан, јединична кугла дуала је слабо*-компактна према Банах-Алаоглуовој теореми и метризабилна за слабо* топологију, те стога сваки ограничени низ у дуалу има слабо* конвергентне поднизове. Ово се примењује на сепарабилне рефлексивне просторе, али у овом случају важи и више, као што је наведено у наставку.

Слаба топологија Банаховог простора $X$ је метризабилна ако и само ако је $X$ коначнодимензионалан. Ако је дуал $X^{\prime }$ сепарабилан, слаба топологија јединичне кугле од $X$ је метризабилна. Ово се посебно односи на сепарабилне рефлексивне Банахове просторе. Иако слаба топологија јединичне кугле генерално није метризабилна, слаба компактност се може карактерисати помоћу низова.

Банахов простор $X$ је рефлексиван ако и само ако сваки ограничени низ у $X$ има слабо конвергентан подниз.

Слабо компактан подскуп $A$ у ${\ell }^1$ је компактан по норми. Заиста, сваки низ у $A$ има слабо конвергентне поднизове по Еберлајн-Шмулијану, који су конвергентни по норми због Шуровог својства простора ${\ell }^1.$

Тип и котип

Шаблон:Main Један од начина да се класификују Банахови простори јесте кроз вероватносни појам типа и котипа, ова два мере колико је далеко Банахов простор од Хилбертовог простора.

Шаудерове базе

Шаудерова база у Банаховом простору $X$ је низ $\{e_n{\}}_{n\ge 0}$ вектора у $X$ са својством да за сваки вектор $x\in X,$ постоје јединствено дефинисани скалари $\{x_n{\}}_{n\ge 0}$ који зависе од $x,$ тако да је $$x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n{e}_n,\mathit{\text{𝑖.𝑒.,}}x=\underset{n}{lim}{P}_n(x),P_n(x):=\sum _{k=0}^n{x}_k{e}_k.$$

Банахови простори са Шаудеровом базом су нужно сепарабилни, јер је пребројив скуп коначних линеарних комбинација са рационалним коефицијентима густ.

Из Банах-Штајнхаусове теореме следи да су линеарна пресликавања $\{P_n\}$ униформно ограничена неком константом $C.$ Нека $\{e_n^{\ast }\}$ означава координатне функционале који сваком $x$ у $X$ додељују координату $x_n$ од $x$ у горњем развоју. Они се називају биортогоналним функционалима. Када вектори базе имају норму $1,$ координатни функционали $\{e_n^{\ast }\}$ имају норму $\le 2C$ у дуалу од $X.$

Већина класичних сепарабилних простора има експлицитне базе. Харов систем $\{h_n\}$ је база за $L^p([0,1])$ када је $1\le p<\mathrm{\infty }.$ Тригонометријски систем је база у $L^p(𝐓)$ када је $1<p<\mathrm{\infty }.$ Шаудеров систем је база у простору $C([0,1]).$ Питање да ли алгебра диска $A(𝐃)$ има базу остало је отворено више од четрдесет година, док Бочкарјов 1974. године није показао да $A(𝐃)$ допушта базу конструисану од Френклиновог система.

Пошто је сваки вектор $x$ у Банаховом простору $X$ са базом граница низа $P_n(x),$ при чему је $P_n$ коначног ранга и униформно ограничен, простор $X$ задовољава својство ограничене апроксимације. Први пример простора који не задовољава својство апроксимације, који је дао Енфло (Enflo), уједно је био и први пример сепарабилног Банаховог простора без Шаудерове базе.

Роберт Ч. Џејмс је карактерисао рефлексивност у Банаховим просторима са базом: простор $X$ са Шаудеровом базом је рефлексиван ако и само ако је база и сужавајућа и ограничено комплетна. У овом случају, биортогонални функционали чине базу дуала од $X.$

Тензорски производ

Нека су $X$ и $Y$ два векторска простора над пољем $𝕂.$ Тензорски производ $X\otimes Y$ простора $X$ и $Y$ је $𝕂$-векторски простор $Z$ са билинеарним пресликавањем $T:X\times Y\to Z$ које има следеће универзално својство:

Ако је $T_1:X\times Y\to Z_1$ било које билинеарно пресликавање у $𝕂$-векторски простор $Z_1,$ тада постоји јединствено линеарно пресликавање $f:Z\to Z_1$ такво да је $T_1=f\circ T.$

Слика пара $(x,y)$ из $X\times Y$ при пресликавању $T$ означава се са $x\otimes y,$ и назива се прост тензор. Сваки елемент $z$ у $X\otimes Y$ је коначна сума таквих простих тензора.

Постоје различите норме које се могу дефинисати на тензорском производу основних векторских простора, међу осталима пројективна укрштена норма и инјективна укрштена норма које је увео Александар Гротендик 1955. године.

Уопштено, тензорски производ комплетних простора не мора поново бити комплетан. Када се ради са Банаховим просторима, уобичајено је да се каже да је пројективни тензорски производ два Банахова простора $X$ и $Y$ у ствари комплетирање $X{\hat{\otimes }}_{\pi }Y$ алгебарског тензорског производа $X\otimes Y$ опремљеног пројективном тензорском нормом, и слично за инјективни тензорски производ $X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y.$ Гротендик је посебно доказао да је

$$\begin{array}{cc}C(K){\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y& \simeq C(K,Y),\\ L^1([0,1]){\hat{\otimes }}_{\pi }Y& \simeq L^1([0,1],Y),\end{array}$$ где је $K$ компактан Хаусдорфов простор, $C(K,Y)$ Банахов простор непрекидних функција са $K$ у $Y$ и $L^1([0,1],Y)$ простор Бохнер-мерљивих и интеграбилних функција са $[0,1]$ у $Y,$ и где су изоморфизми изометријски. Ова два горња изоморфизма су респективна проширења пресликавања која шаљу тензор $f\otimes y$ у векторски-вредносну функцију $s\in K\to f(s)y\in Y.$

Тензорски производи и својство апроксимације

Нека је $X$ Банахов простор. Тензорски производ $X^{\prime }{\hat{\otimes }}_{\epsilon }X$ се изометријски идентификује са затворењем у $B(X)$ скупа оператора коначног ранга. Када $X$ има својство апроксимације, ово затворење се поклапа са простором компактних оператора на $X.$

За сваки Банахов простор $Y,$ постоји природно линеарно пресликавање норме $1$ $$Y{\hat{\otimes }}_{\pi }X\to Y{\hat{\otimes }}_{\epsilon }X$$ добијено проширењем идентитетског пресликавања алгебарског тензорског производа. Гротендик је повезао проблем апроксимације са питањем да ли је ово пресликавање инјективно када је $Y$ дуал од $X.$ Прецизније, за сваки Банахов простор $X,$ пресликавање $$X^{\prime }{\hat{\otimes }}_{\pi }X⟶X^{\prime }{\hat{\otimes }}_{\epsilon }X$$ је инјективно (1-1) ако и само ако $X$ има својство апроксимације.

Гротендик је претпоставио да $X{\hat{\otimes }}_{\pi }Y$ и $X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }Y$ морају бити различити кад год су $X$ и $Y$ бесконачнодимензионални Банахови простори. Ово је оповргао Жил Пизије (Gilles Pisier) 1983. године. Пизије је конструисао бесконачнодимензионалан Банахов простор $X$ такав да су $X{\hat{\otimes }}_{\pi }X$ и $X{\hat{\otimes }}_{\epsilon }X$ једнаки. Штавише, баш као и Енфлоов пример, овај простор $X$ је „ручно направљен” простор који нема својство апроксимације. С друге стране, Шанковски је доказао да класични простор $B({\ell }^2)$ нема својство апроксимације.

Неки резултати класификације

Карактеризације Хилбертовог простора међу Банаховим просторима

Потребан и довољан услов да би норма Банаховог простора $X$ била повезана са скаларним производом јесте идентитет паралелограма:

Из овога следи, на пример, да је Лебегов простор $L^p([0,1])$ Хилбертов простор само када је $p=2.$ Ако је овај идентитет задовољен, придружени скаларни производ дат је помоћу идентитета поларизације. У случају реалних скалара, то даје: $$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2).$$

За комплексне скаларе, дефинишући скаларни производ тако да буде $ℂ$-линеаран по $x,$ и антилинеаран по $y,$ идентитет поларизације даје: $$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2+i(\Vert x+iy{\Vert }^2-\Vert x-iy{\Vert }^2)).$$

Да би се видело да је правило паралелограма довољно, запажа се у реалном случају да је $⟨x,y⟩$ симетрично, а у комплексном случају, да задовољава својство хермитске симетрије и $⟨ix,y⟩=i⟨x,y⟩.$ Правило паралелограма имплицира да је $⟨x,y⟩$ адитивно по $x.$ Одатле следи да је линеарно над рационалним бројевима, а тиме и линеарно због непрекидности.

Доступно је неколико карактеризација простора који су изоморфни (а не само изометријски) Хилбертовим просторима. Правило паралелограма се може проширити на више од два вектора, и ослабити увођењем двостране неједнакости са константом $c\ge 1$: Квапјењ (Kwapień) је доказао да ако важи $$c^{-2}\sum _{k=1}^n\Vert x_k{\Vert }^2\le {\mathrm{Ave}}_{\pm }{\Vert \sum _{k=1}^n\pm x_k\Vert }^2\le c^2\sum _{k=1}^n\Vert x_k{\Vert }^2$$ за сваки цео број $n$ и све фамилије вектора $\{x_1,\dots ,x_n\}\subseteq X,$ онда је Банахов простор $X$ изоморфан Хилбертовом простору. Овде, ${\mathrm{Ave}}_{\pm }$ означава просек преко $2^n$ могућих избора предзнака $\pm 1.$ У истом чланку, Квапјењ је доказао да важење Банахово-вредносне Парсевалове теореме за Фуријеову трансформацију карактерише Банахове просторе изоморфне Хилбертовим просторима.

Линденштраус и Цафрири су доказали да је Банахов простор у којем је сваки затворени линеарни потпростор комплементиран (односно, представља слику ограничене линеарне пројекције) изоморфан Хилбертовом простору. Доказ се ослања на Дворецкијеву теорему о еуклидским пресецима високодимензионалних централно симетричних конвексних тела. Другим речима, Дворецкијева теорема тврди да за сваки цео број $n,$ било који коначнодимензионални нормирани простор, чија је димензија довољно велика у поређењу са $n,$ садржи потпросторе који су скоро изометријски са $n$-димензионалним еуклидским простором.

Следећи резултат даје решење проблема хомогеног простора. За бесконачнодимензионални Банахов простор $X$ се каже да је хомоген ако је изоморфан свим својим бесконачнодимензионалним затвореним потпросторима. Банахов простор изоморфан са ${\ell }^2$ је хомоген, а Банах је поставио питање да ли важи обрнуто.

Бесконачнодимензионални Банахов простор је наследно неразложив када ниједан његов потпростор не може бити изоморфан директној суми два бесконачнодимензионална Банахова простора. Гауерсова теорема о дихотомији тврди да сваки бесконачнодимензионални Банахов простор $X$ садржи, или потпростор $Y$ са безусловном базом, или наследно неразложив потпростор $Z,$ и посебно, $Z$ није изоморфан својим затвореним хиперравнима. Ако је $X$ хомоген, онда он мора имати безусловну базу. Из делимичног решења које су добили Коморовски и Томчак-Јегерман, за просторе са безусловном базом, следи да је $X$ изоморфан простору ${\ell }^2.$

Метричка класификација

Ако је $T:X\to Y$ изометрија са Банаховог простора $X$ на Банахов простор $Y$ (где су и $X$ и $Y$ векторски простори над $ℝ$), онда Мазур-Уламова теорема тврди да $T$ мора бити афина трансформација. Посебно, ако је $T(0_X)=0_Y,$ то јест $T$ слика нулу простора $X$ у нулу простора $Y,$ онда $T$ мора бити линеарно. Овај резултат имплицира да метрика у Банаховим просторима, и уопштено у нормираним просторима, у потпуности обухвата њихову линеарну структуру.

Тополошка класификација

Коначнодимензионални Банахови простори су хомеоморфни као тополошки простори ако и само ако имају исту димензију као реални векторски простори.

Андерсон-Кадецова теорема (1965–66) доказује да су било која два бесконачнодимензионална сепарабилна Банахова простора хомеоморфна као тополошки простори. Кадецову теорему је проширио Торуњчик, који је доказао да су било која два Банахова простора хомеоморфна ако и само ако имају исти карактер густине, минималну кардиналност густог подскупа.

Простори непрекидних функција

Када су два компактна Хаусдорфова простора $K_1$ и $K_2$ хомеоморфна, Банахови простори $C(K_1)$ и $C(K_2)$ су изометријски. Обрнуто, када $K_1$ није хомеоморфан простору $K_2,$ (мултипликативно) Банах-Мазурово растојање између $C(K_1)$ и $C(K_2)$ мора бити веће или једнако од $2,$ погледајте изнад резултате које су добили Амир и Камберн. Иако непребројиви компактни метрички простори могу имати различите типове хомеоморфизама, важи следећи резултат који дугујемо Миљутину (Milutin):

Ситуација је другачија за пребројиво бесконачне компактне Хаусдорфове просторе. Сваки пребројиво бесконачан компактан простор $K$ је хомеоморфан неком затвореном интервалу ординалних бројева $$⟨1,\alpha ⟩=\{\gamma \mid 1\le \gamma \le \alpha \}$$ опремљеном топологијом поретка, где је $\alpha$ пребројиво бесконачан ординал. Банахов простор $C(K)$ је тада изометријски изоморфан са Шаблон:Math. Када су $\alpha ,\beta$ два пребројиво бесконачна ординала, и уз претпоставку да је $\alpha \le \beta ,$ простори Шаблон:Math и Шаблон:Math су изоморфни ако и само ако је Шаблон:Math. На пример, Банахови простори $$C(⟨1,\omega ⟩),C(⟨1,{\omega }^{\omega }⟩),C(⟨1,{\omega }^{{\omega }^2}⟩),C(⟨1,{\omega }^{{\omega }^3}⟩),\cdots ,C(⟨1,{\omega }^{{\omega }^{\omega }}⟩),\cdots$$ су међусобно неизоморфни.

Примери

Шаблон:Main Речник симбола за доњу табелу:

• $𝔽$ означава поље реалних бројева $ℝ$ или комплексних бројева $ℂ.$
• $K$ је компактан Хаусдорфов простор.
• $p,q\in ℝ$ су реални бројеви са $1<p,q<\mathrm{\infty }$ који су Хелдерови конјугати, што значи да задовољавају $\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1$ а тиме и $q=\frac{p}{p-1}.$
• $\mathrm{\Sigma }$ је $\sigma$-алгебра скупова.
• $\mathrm{\Xi }$ је алгебра скупова (за просторе који захтевају само коначну адитивност, као што је ba простор).
• $\mu$ је мера са варијацијом $|\mu |.$ Позитивна мера је реална позитивна функција скупа дефинисана на $\sigma$-алгебри која је пребројиво адитивна.

Класични Банахови простори
	Дуални простор	Рефлексиван	слабо секвенцијално комплетан	Норма		Напомене
${𝔽}^n$	${𝔽}^n$	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_2$	$={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2)}^{1/2}$	Еуклидов простор
${\ell }_p^n$	${\ell }_q^n$	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_p$	$={(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$
${\ell }_{\mathrm{\infty }}^n$	${\ell }_1^n$	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\underset{1\le i\le n}{max}|x_i|$
${\ell }^p$	${\ell }^q$	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_p$	$={(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i{|}^p)}^{\frac{1}{p}}$
${\ell }^1$	${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_1$	$=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\left|x_i\right|$
${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	$\mathrm{ba}$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\underset{i}{sup}\left|x_i\right|$
$\mathrm{c}$	${\ell }^1$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\underset{i}{sup}\left|x_i\right|$
$c_0$	${\ell }^1$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$	$=\underset{i}{sup}\left|x_i\right|$	Изоморфан, али не и изометричан са $c.$
$\mathrm{bv}$	${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_{bv}$	$=\left|x_1\right|+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_{i+1}-x_i|$	Изометрички изоморфан са ${\ell }^1.$
${\mathrm{bv}}_0$	${\ell }^{\mathrm{\infty }}$	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert x{\Vert }_{b{v}_0}$	$=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_{i+1}-x_i|$	Изометрички изоморфан са ${\ell }^1.$
$\mathrm{bs}$	$\mathrm{ba}$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{bs}$	$=\underset{n}{sup}\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|$	Изометрички изоморфан са ${\ell }^{\mathrm{\infty }}.$
$\mathrm{cs}$	${\ell }^1$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{bs}$	$=\underset{n}{sup}\left|\sum _{i=1}^n{x}_i\right|$	Изометрички изоморфан са $c.$
$B(K,\mathrm{\Xi })$	$\mathrm{ba}(\mathrm{\Xi })$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert f{\Vert }_B$	$=\underset{k\in K}{sup}|f(k)|$
$C(K)$	$\mathrm{rca}(K)$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert x{\Vert }_{C(K)}$	$=\underset{k\in K}{max}|f(k)|$
$\mathrm{ba}(\mathrm{\Xi })$	?	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert \mu {\Vert }_{ba}$	$=\underset{S\in \mathrm{\Xi }}{sup}|\mu |(S)$
$\mathrm{ca}(\mathrm{\Sigma })$	?	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert \mu {\Vert }_{ba}$	$=\underset{S\in \mathrm{\Sigma }}{sup}|\mu |(S)$	Затворени потпростор од $\mathrm{ba}(\mathrm{\Sigma }).$
$\mathrm{rca}(\mathrm{\Sigma })$	?	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert \mu {\Vert }_{ba}$	$=\underset{S\in \mathrm{\Sigma }}{sup}|\mu |(S)$	Затворени потпростор од $\mathrm{ca}(\mathrm{\Sigma }).$
$L^p(\mu )$	$L^q(\mu )$	Шаблон:Yes	Шаблон:Yes	$\Vert f{\Vert }_p$	$={(\int |f{|}^{p}d\mu )}^{\frac{1}{p}}$
$L^1(\mu )$	$L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert f{\Vert }_1$	$=\int |f|d\mu$	Дуал је $L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$ ако је $\mu$ $\sigma$-коначна.
$\mathrm{BV}([a,b])$	?	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert f{\Vert }_{BV}$	$=V_f([a,b])+{lim}_{x\to a^{+}}f(x)$	$V_f([a,b])$ је тотална варијација функције $f$
$\mathrm{NBV}([a,b])$	?	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert f{\Vert }_{BV}$	$=V_f([a,b])$	$\mathrm{NBV}([a,b])$ се састоји од функција из $\mathrm{BV}([a,b])$ таквих да је ${lim}_{x\to a^{+}}f(x)=0$
$\mathrm{AC}([a,b])$	$𝔽+L^{\mathrm{\infty }}([a,b])$	Шаблон:No	Шаблон:Yes	$\Vert f{\Vert }_{BV}$	$=V_f([a,b])+{lim}_{x\to a^{+}}f(x)$	Изоморфан простору Собољева $W^{1,1}([a,b]).$
$C^n([a,b])$	$\mathrm{rca}([a,b])$	Шаблон:No	Шаблон:No	$\Vert f\Vert$	$=\sum _{i=0}^n\underset{x\in [a,b]}{sup}|f^{(i)}(x)|$	Изоморфан са ${ℝ}^n\oplus C([a,b]),$ суштински по Тејлоровој формули.

Изводи

На Банаховом простору може се дефинисати неколико концепата извода. За више детаља погледајте чланке о Фрешеовом изводу и Гатоовом изводу. Фрешеов извод омогућава проширење концепта тоталног извода на Банахове просторе. Гатоов извод омогућава проширење извода у правцу на локално конвексне тополошке векторске просторе. Фрешеова диференцијабилност је јачи услов од Гатоове диференцијабилности. Квази-извод је још једна генерализација извода у правцу која имплицира јачи услов од Гатоове диференцијабилности, али слабији услов од Фрешеове диференцијабилности.

Уопштења

Неколико важних простора у функционалној анализи, на пример простор свих бесконачно често диференцијабилних функција $ℝ\to ℝ,$ или простор свих дистрибуција на $ℝ,$ су комплетни али нису нормирани векторски простори, те стога нису Банахови простори. У Фрешеовим просторима и даље постоји комплетна метрика, док су LF-простори комплетни униформни векторски простори који настају као границе Фрешеових простора.

Види још

• Шаблон:Annotated link
  • Шаблон:Annotated link
  • Шаблон:Annotated link
  • Шаблон:Annotated link
  • Шаблон:Annotated link
  • Шаблон:Annotated link
  • Шаблон:Annotated link
  • Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
  • Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Својство Банах-Сакса

Литература

• Шаблон:Aliprantis Border Infinite Dimensional Analysis A Hitchhiker's Guide Third Edition
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Bachman Narici Functional Analysis 2nd Edition
• Шаблон:Banach Théorie des Opérations Linéaires
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Bourbaki Topological Vector Spaces
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Conway A Course in Functional Analysis
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Edwards Functional Analysis Theory and Applications
• Шаблон:Grothendieck Topological Vector Spaces
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Khaleelulla Counterexamples in Topological Vector Spaces
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Шаблон:Riesz Szőkefalvi-Nagy Functional Analysis Dover 1990
• Шаблон:Rudin Walter Functional Analysis
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
• Шаблон:Swartz An Introduction to Functional Analysis
• Шаблон:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
• Шаблон:Wilansky Modern Methods in Topological Vector Spaces
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• Шаблон:MathWorld