Хилбертов простор

Извор: testwiki
Пређи на навигацију Пређи на претрагу

Хилбертов простор је математички концепт који генерализује еуклидски простор. У њему се методе векторске алгебре и анализе из еуклидске равни и еуклидског тродимензионалног простора проширују на простор са коначним или бесконачним бројем димензија. Добио је име по Давиду Хилберту.

Хилбертов простор се често појављује у математици, физици и инжењерству, типично као пресликавања бесконачног броја димензија.

Геометријске аналогије имају велики значај у разумевању теорије Хилбертових простора. За њих постоји еквивалентна Питагорина теорема и закон паралелограма.

Дефиниција

Хилбертов простор над пољем -{F}- у ознаци -{H}-(-{F}-) је векторски простор (над пољем -{F}-) са скаларним производом, потпун у односу на метрику -{d}-2.[1]

Особине

Хилбертов простор -{H}- је реалан или комплексан векторски простор који је истовремено и Кошијев метрички простор у односу на метричку функцију векторског производа. Какда кажемо да је -{H}- комплексни векторски простор, то значи да у H постоји производ 〈x,y〉 који пару елемената -{x}-,-{y}- из -{H}-, придружује комплексну вредност, при чему је:

⟨y,x⟩=⟨x,y⟩‾.
  • 〈x,y〉 је линеарна по првом аргументу. За све комплексне бројеве -{a}- и -{b}-,
⟨ax1+bx2,y⟩=a⟨x1,y⟩+b⟨x2,y⟩.
⟨x,x⟩≥0
где знак једнакости важи за x = 0.

Реални векторски простор се дефинише на исти начин, осим што векторски производ има реалне вредности.

Интензитет вектора дефинише се као производ 〈•,•〉 у облику реалне функције:

‖x‖=⟨x,x⟩,

а растојање између тачака -{x,y}- у -{H}- дефинише се помоћу интензитета на следећи начин:

d(x,y)=‖x−y‖=⟨x−y,x−y⟩.

Ово је функција метрике, што значи да (1) да је симетрична по -{x}- и -{y}-, (2) да је растојање између -{x}- и -{x}- нула, а да су остала растојања између -{x}- и -{y}- позитивна, (3) да важи неједнакост троугла, што значи да дужина странице -{a}- у троуглу -{xyz}- не може бити дужа од збира преостале две странице:

d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z).

Последња особина је последица Коши-Шварцове неједнакости која тврди да:

|⟨x,y⟩|≤‖x‖‖y‖

где знак једнакости важи када су -{x}- и -{y}- линеарно зависни.

Када се функција удаљености дефинише на овај начин, као функција метрике, онда векторски простор постаје пре-Хилбертов простор. Сваки копмплетан пре-Хилбертов простор је Хилбертов простор. Комплетност се дефинише условом: ако за низ вектора важи ∑k=0∞uk апсолутно конвергира тако да

∑k=0∞‖uk‖<∞,

тада низ конвергира у -{H}-, у смислу да парцијалне суме теже неком елементу -{H}-.

Као Кошијеви нормирани простори, Хилбертови простори су по дефиницији и Банахови простори. Они су и тополошки векторски простори у којима су дефинисаани тополошки појмови отворених и затворених подскупова.

Апсолутна конвергенција

Низ 𝐱n који се састоји из вектора у -{F}-3 (где је -{F}- поље), апсолутно конвергира под условом да конвергира ∑k=0∞‖𝐱k‖, тј. да је ∑k=0∞‖𝐱k‖<∞. Такав низ конвергира ка неком вектору -{L}- у простору над пољем -{F}-, и то тако да важи: ‖𝐋−∑k=0N𝐱k‖→0 када N→∞.

Слаба конвергенција

Низ xn слабо конвергира ка вектору ω ако за свако y∈𝐻 бројни низ (xn,y) конвергира ка (ω,y).[1]

Еуклидски простор

Еуклидски простор (-{R}-3) је Хилбертов простор који се састоји из тродимензионалних вектора у коме је дефинисан оператор производа. Оператор производа узима два вектора -{x}- и -{y}- као аргументе и као резултат даје реалан број -{x·y}-.

Оператор производа задовољава следеће услове:

  1. Симетричан је у односу на -{x}- и -{y}-: -{x·y}- = -{y·x}-.
  2. Линеаран је у односу на први аргумент: (-{ax'}-1 + -{bx'}-2)·-{y}- = -{ax'}-1·-{y}- + -{bx'}-2·-{y}- за било које скаларе -{a, b}- и векторе -{x}-1, -{x}-2 и -{y}-.
  3. То је позитивна билинеарна форма: за све векторе -{x}-, -{x·x}- ≥ 0, где знак једнакости важи ако и само ако је -{x}- = 0.

Операција над паром вектора која задовољава ова три услова се назива скаларно множење вектора. Сваки векторски простор са коначним бројем димензија у коме је дефинисан скаларни производ представља Хилбертов простор. Карактеристика горедефинисаног оператора множења која га повезује са еуклидском геометријом је што зависи и од дужине (или интензитета) вектора, који се означава са ||-{x}-||, и од угла θ између вектора -{x}- и -{y}-. Та зависност се изражава формулом:

𝐱⋅𝐲=‖𝐱‖‖𝐲‖cos⁡θ.

Специјално, ако су -{x}- и -{y}- представљени у Декартовим координатама, онда се оператор производа дефинише као:

𝐱⋅𝐲=(x1,x2,x3)⋅(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3.

Сепарабилан Хилбертов простор

Теорема: Хилбертов простор је сепарабилан акко садржи пребројиви ортонормирани скуп.

Референце

Шаблон:Reflist

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Нормативна контрола

  1. ↑ 1,0 1,1 Хилбертови простори и групе, Милан Дамњановић Шаблон:Wayback, приступљено: 19. октобар 2014.
Преузето из „https://sr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Хилбертов_простор&oldid=1344”