Дуални простор

Дуални простор (V*) векторског простора V је простор линеарних функционала на V у ознаци $V^{*}=\hat{L}(V,𝔽)$. Другим речима, дуални простор је линеал свих линеарних функционала, тј. линеал оператора који векторе из V пресликава у скаларе из поља F.

Дуални простор се преко појма полилинеарних функционала може искористи за увођење и дефиницију тензора.

Особине дуалних простора

Дуални простор као векторски простор је дефинисан са две операције, сабирањем и скаларним множењем.

$\begin{array}{cc}& (\phi +\psi )(x)=\phi (x)+\psi (x)\\ & (a\phi )(x)=a(\phi (x))\end{array}$

Димензије простора V и V* су једнаке, а оба простора су и простори над истим пољем. Како су сви коначнодимензионални векторски простори исте димензије над истим пољем међусобно изоморфни, важи и $V\cong V^{*}$. Међутим, не постоји неки унапред одређени природни изоморфизам између та два простора. Веза између векторских простора V и V* је дуализам, дефинисан Риж-Фришеовим теоремом. Дуализам између V и V* је антизоморфизам (антилинеарна бијекција) када је F поље комплексних бројева, а изоморфизам када је дато поље реалних бројева.

Дуални простор V** дуалног простора V* је простор V. Уопштавањм ланца дуалних простора, парни степени дуалних простора у ланцу се могу идентификовати са V, а непарни са V*. Последица ове особине дуалних простора је да векторски простори V и V* формирају сва линеарна пресликавања у поље F тензорских простора.

Дуални простор је могуће разматрати и независно од простора V тако да се не узима у обзир чињеница да су његови вектори функционали простора V. Потребно је изабрати базис у простору V* и сваком вектору придружити колону по општем поступку репрезентовања n-димензионалног вектора колоном ${𝔽}^n$.

Види још

• тензор
• линеарни функционал