Метризабилан тополошки векторски простор

У функционалној анализи и сродним областима математике, метризабилан (одн. псеудометризабилан) тополошки векторски простор (ТВП) је ТВП чија је топологија индукована метриком (одн. псеудометриком). ЛМ-простор је индуктивни лимес низа локално конвексних метризабилних ТВП-а.

Псеудометрике и метрике

Псеудометрика на скупу $X$ је пресликавање $d:X\times X\to ℝ$ које задовољава следећа својства:

1. $d(x,x)=0\text{ за све }x\in X$;
2. Симетрија: $d(x,y)=d(y,x)\text{ за све }x,y\in X$;
3. Субадитивност: $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\text{ за све }x,y,z\in X.$

Псеудометрика се назива метриком ако задовољава:

4. Идентитет неразазнатљивих: за све $x,y\in X,$ ако је $d(x,y)=0$ онда је $x=y.$

Ултрапсеудометрика

Псеудометрика $d$ на $X$ се назива ултрапсеудометриком или јаком псеудометриком ако задовољава:

5. Јака/Ултраметричка неједнакост троугла: $d(x,z)\le max\{d(x,y),d(y,z)\}\text{ за све }x,y,z\in X.$

Псеудометрички простор

Псеудометрички простор је пар $(X,d)$ који се састоји од скупа $X$ и псеудометрике $d$ на $X$ такве да је топологија на $X$ идентична топологији на $X$ индукованој са $d.$ Псеудометрички простор $(X,d)$ називамо метричким простором (одн. ултрапсеудометричким простором) када је $d$ метрика (одн. ултрапсеудометрика).

Топологија индукована псеудометриком

Ако је $d$ псеудометрика на скупу $X$, онда колекција отворених кугли: $$B_r(z):=\{x\in X:d(x,z)<r\}$$ када $z$ узима вредности из $X$ и $r>0$ узима вредности из позитивних реалних бројева, чини базу за топологију на $X$ која се назива $d$-топологија или псеудометричка топологија на $X$ индукована са $d.$

Шаблон:Em: Ако је $(X,d)$ псеудометрички простор и $X$ се посматра као тополошки простор, онда уколико није другачије назначено, треба претпоставити да је $X$ снабдевен топологијом индукованом са $d.$

Псеудометризабилан простор

Тополошки простор $(X,\tau )$ се назива псеудометризабилним (одн. метризабилним, ултрапсеудометризабилним) ако постоји псеудометрика (одн. метрика, ултрапсеудометрика) $d$ на $X$ таква да је $\tau$ једнако топологији индукованој са $d.$Шаблон:Sfn

Псеудометрике и вредности на тополошким групама

Адитивна тополошка група је адитивна група снабдевена топологијом, која се назива топологија групе, под којом сабирање и негирање постају непрекидни оператори.

Топологија $\tau$ на реалном или комплексном векторском простору $X$ се назива векторска топологија или ТВП топологија ако чини операције векторског сабирања и множења скаларом непрекидним (односно, ако чини $X$ тополошким векторским простором).

Сваки тополошки векторски простор (ТВП) $X$ је адитивна комутативна тополошка група, али нису све топологије групе на $X$ векторске топологије. Разлог томе је што, упркос томе што чини сабирање и негирање непрекидним, топологија групе на векторском простору $X$ можда неће учинити множење скаларом непрекидним. На пример, дискретна топологија на било ком нетривијалном векторском простору чини сабирање и негирање непрекидним, али не чини множење скаларом непрекидним.

Инваријантна псеудометрика у односу на транслацију

Ако је $X$ адитивна група, онда кажемо да је псеудометрика $d$ на $X$ инваријантна у односу на транслацију или само инваријантна ако задовољава било који од следећих еквивалентних услова:

1. Инваријантност на транслацију: $d(x+z,y+z)=d(x,y)\text{ за све }x,y,z\in X$;
2. $d(x,y)=d(x-y,0)\text{ за све }x,y\in X.$

Вредност/Г-семинорма

Ако је $X$ тополошка група, онда је вредност или Г-семинорма на $X$ (слово Г означава Групу) реално пресликавање $p:X\to ℝ$ са следећим својствима:Шаблон:Sfn

1. Ненегативност: $p\ge 0.$
2. Субадитивност: $p(x+y)\le p(x)+p(y)\text{ за све }x,y\in X$;
3. $p(0)=0.$
4. Симетричност: $p(-x)=p(x)\text{ за све }x\in X.$

при чему Г-семинорму називамо Г-нормом ако задовољава додатни услов:

5. Тоталност/Позитивна дефинитност: Ако је $p(x)=0$ онда је $x=0.$

Својства вредности

Ако је $p$ вредност на векторском простору $X$, онда:

• $|p(x)-p(y)|\le p(x-y)\text{ за све }x,y\in X.$Шаблон:Sfn
• $p(nx)\le np(x)$ и $\frac{1}{n}p(x)\le p(x/n)$ за све $x\in X$ и позитивне целе бројеве $n.$Шаблон:Sfn
• Скуп $\{x\in X:p(x)=0\}$ је адитивна подгрупа од $X.$Шаблон:Sfn

Инваријантна псеудометрика која не индукује векторску топологију

Нека је $X$ нетривијалан (тј. $X\ne \{0\}$) реални или комплексни векторски простор и нека је $d$ инваријантна тривијална метрика у односу на транслацију на $X$ дефинисана са $d(x,x)=0$ и $d(x,y)=1\text{ за све }x,y\in X$ такве да је $x\ne y.$ Топологија $\tau$ коју $d$ индукује на $X$ је дискретна топологија, која чини $(X,\tau )$ комутативном тополошком групом у односу на сабирање, али Шаблон:Em формира векторску топологију на $X$ јер је $(X,\tau )$ неповезан, док је свака векторска топологија повезана. Оно што не важи јесте да множење скаларом није непрекидно на $(X,\tau ).$

Овај пример показује да инваријантна (псеудо)метрика у односу на транслацију Шаблон:Em довољна да гарантује векторску топологију, што нас води ка дефинисању паранорми и Ф-семинорми.

Адитивни низови

Колекција $𝒩$ подскупова векторског простора назива се адитивномШаблон:Sfn ако за сваки $N\in 𝒩,$ постоји неки $U\in 𝒩$ такав да је $U+U\subseteq N.$

Сви горенаведени услови су стога неопходни да би топологија формирала векторску топологију. Адитивни низови скупова имају посебно лепо својство да дефинишу ненегативне непрекидне реалне субадитивне функције. Ове функције се затим могу користити за доказивање многих основних својстава тополошких векторских простора, а такође и за показивање да је Хаусдорфов ТВП са пребројивом базом околина метризабилан. Следећа теорема важи општије за комутативне адитивне тополошке групе.

Шаблон:Collapse top Претпоставимо да $n_{\bullet }=(n_1,\dots ,n_k)$ увек означава коначан низ ненегативних целих бројева и користимо нотацију: $$\sum 2^{-n_{\bullet }}:=2^{-n_1}+\cdots +2^{-n_k}\text{ и }\sum U_{n_{\bullet }}:=U_{n_1}+\cdots +U_{n_k}.$$

За било које целе бројеве $n\ge 0$ и $d>2,$ $$U_n\supseteq U_{n+1}+U_{n+1}\supseteq U_{n+1}+U_{n+2}+U_{n+2}\supseteq U_{n+1}+U_{n+2}+\cdots +U_{n+d}+U_{n+d+1}+U_{n+d+1}.$$

Из овога следи да ако се $n_{\bullet }=(n_1,\dots ,n_k)$ састоји од различитих позитивних целих бројева, онда је $\sum U_{n_{\bullet }}\subseteq U_{-1+min\left(n_{\bullet }\right)}.$

Сада ће бити показано индукцијом по $k$ да ако се $n_{\bullet }=(n_1,\dots ,n_k)$ састоји од ненегативних целих бројева таквих да је $\sum 2^{-n_{\bullet }}\le 2^{-M}$ за неки цео број $M\ge 0$, онда је $\sum U_{n_{\bullet }}\subseteq U_M.$ Ово је очигледно тачно за $k=1$ и $k=2,$ па претпоставимо да је $k>2,$ што имплицира да су сви $n_i$ позитивни. Ако су сви $n_i$ различити, онда је овај корак готов, а иначе изаберимо различите индексе $i<j$ такве да је $n_i=n_j$ и конструишимо $m_{\bullet }=(m_1,\dots ,m_{k-1})$ од $n_{\bullet }$ тако што ћемо сваки $n_i$ заменити са $n_i-1$ и обрисати $j$-ти елемент из $n_{\bullet }$ (сви остали елементи из $n_{\bullet }$ се преносе у $m_{\bullet }$ непромењени). Приметимо да је $\sum 2^{-n_{\bullet }}=\sum 2^{-m_{\bullet }}$ и $\sum U_{n_{\bullet }}\subseteq \sum U_{m_{\bullet }}$ (јер $U_{n_i}+U_{n_j}\subseteq U_{n_i-1}$) па позивајући се на индуктивну хипотезу закључујемо да је $\sum U_{n_{\bullet }}\subseteq \sum U_{m_{\bullet }}\subseteq U_M,$ што смо и желели.

Јасно је да је $f(0)=0$ и да је $0\le f\le 1$, па да бисмо доказали да је $f$ субадитивна, довољно је доказати да је $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ када су $x,y\in X$ такви да је $f(x)+f(y)<1,$ што имплицира да $x,y\in U_0.$ Ово је вежба за читаоца. Ако су сви $U_i$ симетрични, онда $x\in \sum U_{n_{\bullet }}$ ако и само ако $-x\in \sum U_{n_{\bullet }}$, из чега следи да је $f(-x)\le f(x)$ и $f(-x)\ge f(x).$ Ако су сви $U_i$ уравнотежени, онда се неједнакост $f(sx)\le f(x)$ за све јединичне скаларе $s$ такве да је $|s|\le 1$ доказује на сличан начин. Пошто је $f$ ненегативна субадитивна функција која задовољава $f(0)=0,$ као што је описано у чланку о сублинеарним функционалима, $f$ је равномерно непрекидна на $X$ ако и само ако је $f$ непрекидна у координатном почетку. Ако су сви $U_i$ околине координатног почетка, онда за сваки реални број $r>0,$ бирамо цео број $M>1$ такав да је $2^{-M}<r$, тако да $x\in U_M$ имплицира $f(x)\le 2^{-M}<r.$ Ако скуп свих $U_i$ чини базу уравнотежених околина координатног почетка, онда се може показати да за сваки $n>1,$ постоји неки $0<r\le 2^{-n}$ такав да $f(x)<r$ имплицира $x\in U_n.$ $◼$ Шаблон:Collapse bottom

Паранорме

Ако је $X$ векторски простор над пољем реалних или комплексних бројева, онда је паранорма на $X$ Г-семинорма (претходно дефинисана) $p:X\to ℝ$ на $X$ која задовољава било који од следећих додатних услова, од којих сваки почиње са „за све низове $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ у $X$ и све конвергентне низове скалара $s_{\bullet }={\left(s_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$”:Шаблон:Sfn

1. Непрекидност множења: ако су $s$ скалар и $x\in X$ такви да $p(x_i-x)\to 0$ и $s_{\bullet }\to s,$ онда $p(s_i{x}_i-sx)\to 0.$
2. Оба услова:
   • ако $s_{\bullet }\to 0$ и ако је $x\in X$ такав да $p(x_i-x)\to 0$, онда $p\left(s_i{x}_i\right)\to 0$;
   • ако $p\left(x_{\bullet }\right)\to 0$, онда $p\left(s{x}_i\right)\to 0$ за сваки скалар $s.$
3. Оба услова:
   • ако $p\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ и $s_{\bullet }\to s$ за неки скалар $s$, онда $p\left(s_i{x}_i\right)\to 0$;
   • ако $s_{\bullet }\to 0$, онда $p\left(s_{i}x\right)\to 0\text{ за све }x\in X.$
4. Засебна непрекидност:Шаблон:Sfn
   • ако $s_{\bullet }\to s$ за неки скалар $s$, онда $p(s{x}_i-sx)\to 0$ за свако $x\in X$;
   • ако је $s$ скалар, $x\in X,$ и $p(x_i-x)\to 0$, онда $p(s{x}_i-sx)\to 0$.

Паранорма се назива тоталном ако додатно задовољава:

• Тоталност/Позитивна дефинитност: $p(x)=0$ имплицира $x=0.$

Својства паранорми

Ако је $p$ паранорма на векторском простору $X$, онда је пресликавање $d:X\times X\to ℝ$ дефинисано са $d(x,y):=p(x-y)$ инваријантна псеудометрика у односу на транслацију на $X$ која дефинише Шаблон:Em на $X.$Шаблон:Sfn

Ако је $p$ паранорма на векторском простору $X$, онда:

• скуп $\{x\in X:p(x)=0\}$ је векторски потпростор од $X.$Шаблон:Sfn
• $p(x+n)=p(x)\text{ за све }x,n\in X$ са $p(n)=0.$Шаблон:Sfn
• Ако паранорма $p$ задовољава $p(sx)\le |s|p(x)\text{ за све }x\in X$ и скаларе $s,$ онда је $p$ апсолутно хомогена (тј. важи једнакост)Шаблон:Sfn па је стога $p$ семинорма.

Примери паранорми

• Ако је $d$ инваријантна псеудометрика на векторском простору $X$ која индукује векторску топологију $\tau$ на $X$ (тј. $(X,\tau )$ је ТВП), онда пресликавање $p(x):=d(x-y,0)$ дефинише непрекидну паранорму на $(X,\tau )$; штавише, топологија коју ова паранорма $p$ дефинише у $X$ је $\tau .$Шаблон:Sfn
• Ако је $p$ паранорма на $X$, онда је и пресликавање $q(x):=p(x)/[1+p(x)].$Шаблон:Sfn
• Сваки позитиван скаларни умножак паранорме (одн. тоталне паранорме) је поново таква паранорма (одн. тотална паранорма).
• Свака семинорма је паранорма.Шаблон:Sfn
• Рестрикција паранорме (одн. тоталне паранорме) на векторски потпростор је паранорма (одн. тотална паранорма).Шаблон:Sfn
• Збир две паранорме је паранорма.Шаблон:Sfn
• Ако су $p$ и $q$ паранорме на $X$, онда је и $(p\wedge q)(x):=\underset{}{inf}\{p(y)+q(z):x=y+z\text{ са }y,z\in X\}.$ Штавише, $(p\wedge q)\le p$ и $(p\wedge q)\le q.$ Ово чини скуп паранорми на $X$ условно комплетном мрежом.Шаблон:Sfn
• Свако од следећих реалних пресликавања је паранорма на $X:={ℝ}^2$:
  • $(x,y)\mapsto |x|$
  • $(x,y)\mapsto |x|+|y|$
• Реална пресликавања $(x,y)\mapsto \sqrt{|x^2-y^2|}$ и $(x,y)\mapsto {|x^2-y^2|}^{3/2}$ Шаблон:Em паранорме на $X:={ℝ}^2.$Шаблон:Sfn
• Ако је $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ Хамелова база векторског простора $X,$ онда реално пресликавање које шаље $x=\sum _{i\in I}{s}_i{x}_i\in X$ (где су сви осим коначно много скалара $s_i$ једнаки 0) у $\sum _{i\in I}\sqrt{\left|s_i\right|}$ јесте паранорма на $X,$ која задовољава $p(sx)=\sqrt{|s|}p(x)$ за све $x\in X$ и скаларе $s.$Шаблон:Sfn
• Функција $p(x):=|\sin (\pi x)|+min\{2,|x|\}$ је паранорма на $ℝ$ која Шаблон:Em уравнотежена, али је ипак еквивалентна уобичајеној норми на $R.$ Приметимо да је функција $x\mapsto |\sin (\pi x)|$ субадитивна.Шаблон:Sfn
• Нека је $X_{ℂ}$ комплексни векторски простор и нека $X_{ℝ}$ означава $X_{ℂ}$ посматран као векторски простор над $ℝ.$ Било која паранорма на $X_{ℂ}$ је такође паранорма на $X_{ℝ}.$Шаблон:Sfn

Ф-семинорме

Ако је $X$ векторски простор над пољем реалних или комплексних бројева, онда је Ф-семинорма на $X$ (слово $F$ означава Фрешеа) реално пресликавање $p:X\to ℝ$ са следећа четири својства: Шаблон:Sfn

1. Ненегативност: $p\ge 0.$
2. Субадитивност: $p(x+y)\le p(x)+p(y)$ за све $x,y\in X$
3. Уравнотеженост: $p(ax)\le p(x)$ за $x\in X$ све скаларе $a$ који задовољавају $|a|\le 1;$
   • Овај услов гарантује да је сваки скуп облика $\{z\in X:p(z)\le r\}$ или $\{z\in X:p(z)<r\}$ за неко $r\ge 0$ уравнотежен скуп.
4. За свако $x\in X,$ $p\left(\frac{1}{n}x\right)\to 0$ када $n\to \mathrm{\infty }$
   • Низ ${\left(\frac{1}{n}\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ се може заменити било којим позитивним низом који конвергира ка нули.Шаблон:Sfn

Ф-семинорма се назива Ф-нормом ако додатно задовољава:

5. Тоталност/Позитивна дефинитност: $p(x)=0$ имплицира $x=0.$

Ф-семинорма се назива монотоном ако задовољава:

6. Монотоност: $p(rx)<p(sx)$ за све ненулте $x\in X$ и све реалне бројеве $s$ и $t$ такве да је $s<t.$Шаблон:Sfn

Ф-семинормирани простори

Ф-семинормирани простор (одн. Ф-нормирани простор)Шаблон:Sfn је пар $(X,p)$ који се састоји од векторског простора $X$ и Ф-семинорме (одн. Ф-норме) $p$ на $X.$

Ако су $(X,p)$ и $(Z,q)$ Ф-семинормирани простори, онда се пресликавање $f:X\to Z$ назива изометријским утапањемШаблон:Sfn ако је $q(f(x)-f(y))=p(x,y)\text{ за све }x,y\in X.$

Свако изометријско утапање једног Ф-семинормираног простора у други је тополошко утапање, али обрнуто генерално није тачно.Шаблон:Sfn

Примери Ф-семинорми

• Сваки позитиван скаларни умножак Ф-семинорме (одн. Ф-норме, семинарме) је поново Ф-семинорма (одн. Ф-норма, семинарма).
• Збир коначно много Ф-семинорми (одн. Ф-норми) је Ф-семинорма (одн. Ф-норма).
• Ако су $p$ и $q$ Ф-семинорме на $X,$ онда је и њихов супремум по тачкама $x\mapsto sup\{p(x),q(x)\}.$ Исто важи и за супремум било које непразне коначне фамилије Ф-семинорми на $X.$Шаблон:Sfn
• Рестрикција Ф-семинорме (одн. Ф-норме) на векторски потпростор је Ф-семинорма (одн. Ф-норма).Шаблон:Sfn
• Ненегативна реална функција на $X$ је семинарма ако и само ако је конвексна Ф-семинорма, или еквивалентно, ако и само ако је конвексна уравнотежена Г-семинорма.Шаблон:Sfn Посебно, свака семинорма је Ф-семинорма.
• За сваки $0<p<1,$ пресликавање $f$ на ${ℝ}^n$ дефинисано са $$[f(x_1,\dots ,x_n){]}^p={\left|x_1\right|}^p+\cdots {\left|x_n\right|}^p$$ је Ф-норма која није норма.
• Ако је $L:X\to Y$ линеарно пресликавање и ако је $q$ Ф-семинорма на $Y,$ онда је $q\circ L$ Ф-семинорма на $X.$Шаблон:Sfn
• Нека је $X_{ℂ}$ комплексни векторски простор и нека $X_{ℝ}$ означава $X_{ℂ}$ посматран као векторски простор над $ℝ.$ Било која Ф-семинорма на $X_{ℂ}$ је такође Ф-семинорма на $X_{ℝ}.$Шаблон:Sfn

Својства Ф-семинорми

Свака Ф-семинорма је паранорма и свака паранорма је еквивалентна некој Ф-семинорми.Шаблон:Sfn Свака Ф-семинорма на векторском простору $X$ је вредност на $X.$ Посебно, $p(x)=0,$ и $p(x)=p(-x)$ за све $x\in X.$

Топологија индукована фамилијом Ф-семинорми

Претпоставимо да је $ℒ$ непразна колекција Ф-семинорми на векторском простору $X$ и за сваки коначан подскуп $ℱ\subseteq ℒ$ и свако $r>0,$ нека је $$U_{ℱ,r}:=\bigcap _{p\in ℱ}\{x\in X:p(x)<r\}.$$

Скуп $\{U_{ℱ,r}:r>0,ℱ\subseteq ℒ,ℱ\text{ коначан }\}$ чини базу филтера на $X$ која такође чини базу околина у координатном почетку за векторску топологију на $X$ означену са ${\tau }_{ℒ}.$Шаблон:Sfn Сваки $U_{ℱ,r}$ је уравнотежен и апсорбујући подскуп од $X.$Шаблон:Sfn Ови скупови задовољавајуШаблон:Sfn $$U_{ℱ,r/2}+U_{ℱ,r/2}\subseteq U_{ℱ,r}.$$

• ${\tau }_{ℒ}$ је најгрубља векторска топологија на $X$ која чини свако $p\in ℒ$ непрекидним.Шаблон:Sfn
• ${\tau }_{ℒ}$ је Хаусдорфова ако и само ако за свако ненулто $x\in X,$ постоји неко $p\in ℒ$ такво да је $p(x)>0.$Шаблон:Sfn
• Ако је $ℱ$ скуп свих непрекидних Ф-семинорми на $(X,{\tau }_{ℒ}),$ онда је ${\tau }_{ℒ}={\tau }_{ℱ}.$Шаблон:Sfn
• Ако је $ℱ$ скуп свих супремума по тачкама непразних коначних подскупова од $ℱ$ из $ℒ,$ онда је $ℱ$ усмерена фамилија Ф-семинорми и ${\tau }_{ℒ}={\tau }_{ℱ}.$Шаблон:Sfn

Фрешеова комбинација

Претпоставимо да је $p_{\bullet }={\left(p_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ фамилија ненегативних субадитивних функција на векторском простору $X.$

Фрешеова комбинацијаШаблон:Sfn од $p_{\bullet }$ је дефинисана као реално пресликавање $$p(x):=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{p_i(x)}{2^i[1+p_i(x)]}.$$

Као Ф-семинорма

Претпоставимо да је $p_{\bullet }={\left(p_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ растући низ семинарми на $X$ и нека је $p$ Фрешеова комбинација од $p_{\bullet }.$ Тада је $p$ Ф-семинорма на $X$ која индукује исту локално конвексну топологију као и фамилија семинарми $p_{\bullet }.$Шаблон:Sfn

Пошто је $p_{\bullet }={\left(p_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ растући, база отворених околина координатног почетка састоји се од свих скупова облика $\{x\in X:p_i(x)<r\}$ када $i$ узима вредности из свих позитивних целих бројева и $r>0$ узима вредности из свих позитивних реалних бројева.

Инваријантна псеудометрика у односу на транслацију на $X$ индукована овом Ф-семинормом $p$ је $$d(x,y)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^i}\frac{p_i(x-y)}{1+p_i(x-y)}.$$

Ову метрику је открио Фреше у својој тези из 1906. године за просторе реалних и комплексних низова са операцијама по тачкама.Шаблон:Sfn

Као паранорма

Ако је свако $p_i$ паранорма, онда је то и $p$, и штавише, $p$ индукује исту топологију на $X$ као и фамилија паранорми $p_{\bullet }.$Шаблон:Sfn Ово такође важи за следеће паранорме на $X$:

• $q(x):=\underset{}{inf}\{\sum _{i=1}^n{p}_i(x)+\frac{1}{n}:n>0\text{ је цео број }\}.$Шаблон:Sfn
• $r(x):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}min\{\frac{1}{2^n},p_n(x)\}.$Шаблон:Sfn

Уопштење

Фрешеова комбинација се може уопштити коришћењем ограничене функције реметризације.

Шаблон:EmШаблон:Sfn је непрекидно ненегативно неопадајуће пресликавање $R:[0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$ које има ограничен опсег, субадитивно је (што значи да је $R(s+t)\le R(s)+R(t)$ за све $s,t\ge 0$), и задовољава $R(s)=0$ ако и само ако је $s=0.$

Примери ограничених функција реметризације укључују $\arctan t,$ $\tanh t,$ $t\mapsto min\{t,1\},$ и $t\mapsto \frac{t}{1+t}.$Шаблон:Sfn Ако је $d$ псеудометрика (респективно, метрика) на $X$ и $R$ је ограничена функција реметризације, онда је $R\circ d$ ограничена псеудометрика (респективно, ограничена метрика) на $X$ која је равномерно еквивалентна са $d.$Шаблон:Sfn

Претпоставимо да је $p_{\bullet }={\left(p_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ фамилија ненегативних Ф-семинорми на векторском простору $X,$ $R$ ограничена функција реметризације, и $r_{\bullet }={\left(r_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ низ позитивних реалних бројева чији је збир коначан. Тада $$p(x):=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_{i}R(p_i(x))$$ дефинише ограничену Ф-семинорму која је равномерно еквивалентна са $p_{\bullet }.$Шаблон:Sfn Она има својство да за сваку мрежу $x_{\bullet }={\left(x_a\right)}_{a\in A}$ у $X,$ важи $p\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ ако и само ако $p_i\left(x_{\bullet }\right)\to 0$ за све $i.$Шаблон:Sfn $p$ је Ф-норма ако и само ако $p_{\bullet }$ раздваја тачке на $X.$Шаблон:Sfn

Карактеризације

(Псеудо)метрика индукованих (семи)нормама

Псеудометрика (одн. метрика) $d$ је индукована семинармом (одн. нормом) на векторском простору $X$ ако и само ако је $d$ инваријантна у односу на транслацију и апсолутно хомогена, што значи да за све скаларе $s$ и све $x,y\in X,$ у ком случају је функција дефинисана са $p(x):=d(x,0)$ семинарма (одн. норма) и псеудометрика (одн. метрика) индукована са $p$ је једнака $d.$

Псеудометризабилних ТВП-а

Ако је $(X,\tau )$ тополошки векторски простор (ТВП) (где посебно треба приметити да се за $\tau$ претпоставља да је векторска топологија), онда је следеће еквивалентно:Шаблон:Sfn

1. $X$ је псеудометризабилан (тј. векторска топологија $\tau$ је индукована псеудометриком на $X$).
2. $X$ има пребројиву базу околина у координатном почетку.
3. Топологија на $X$ је индукована инваријантном псеудометриком у односу на транслацију на $X.$
4. Топологија на $X$ је индукована Ф-семинормом.
5. Топологија на $X$ је индукована паранормом.

Метризабилних ТВП-а

Ако је $(X,\tau )$ ТВП, онда је следеће еквивалентно:

1. $X$ је метризабилан.
2. $X$ је Хаусдорфов и псеудометризабилан.
3. $X$ је Хаусдорфов и има пребројиву базу околина у координатном почетку.Шаблон:SfnШаблон:Sfn
4. Топологија на $X$ је индукована инваријантном метриком у односу на транслацију на $X.$Шаблон:Sfn
5. Топологија на $X$ је индукована Ф-нормом.Шаблон:SfnШаблон:Sfn
6. Топологија на $X$ је индукована монотоном Ф-нормом.Шаблон:Sfn
7. Топологија на $X$ је индукована тоталном паранормом.

Локално конвексних псеудометризабилних ТВП-а

Ако је $(X,\tau )$ ТВП, онда је следеће еквивалентно:Шаблон:Sfn

1. $X$ је локално конвексан и псеудометризабилан.
2. $X$ има пребројиву базу околина у координатном почетку која се састоји од конвексних скупова.
3. Топологија од $X$ је индукована пребројивом фамилијом (непрекидних) семинарми.
4. Топологија од $X$ је индукована пребројивим растућим низом (непрекидних) семинарми ${\left(p_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ (растући значи да за све $i,$ $p_i\ge p_{i+1}$).
5. Топологија од $X$ је индукована Ф-семинормом облика: $$p(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{2}^{-n}\arctan p_n(x)$$ где су ${\left(p_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ (непрекидне) семинарме на $X.$Шаблон:Sfn

Количници

Нека је $M$ векторски потпростор тополошког векторског простора $(X,\tau ).$

• Ако је $X$ псеудометризабилан ТВП, онда је то и $X/M.$Шаблон:Sfn
• Ако је $X$ комплетан псеудометризабилан ТВП и $M$ је затворен векторски потпростор од $X$, онда је $X/M$ комплетан.Шаблон:Sfn
• Ако је $X$ метризабилан ТВП и $M$ је затворен векторски потпростор од $X$, онда је $X/M$ метризабилан.Шаблон:Sfn
• Ако је $p$ Ф-семинорма на $X,$ онда је пресликавање $P:X/M\to ℝ$ дефинисано са $$P(x+M):=\underset{}{inf}\{p(x+m):m\in M\}$$ Ф-семинорма на $X/M$ која индукује уобичајену количничку топологију на $X/M.$Шаблон:Sfn Ако је додатно $p$ Ф-норма на $X$ и ако је $M$ затворен векторски потпростор од $X$, онда је $P$ Ф-норма на $X/M.$Шаблон:Sfn

Примери и довољни услови

• Сваки семинормиран простор $(X,p)$ је псеудометризабилан са канонском псеудометриком датом са $d(x,y):=p(x-y)$ за све $x,y\in X.$Шаблон:Sfn.
• Ако је $(X,d)$ псеудометрички ТВП са инваријантном псеудометриком $d$ у односу на транслацију, онда $p(x):=d(x,0)$ дефинише паранорму.Шаблон:Sfn Међутим, ако је $d$ инваријантна псеудометрика у односу на транслацију на векторском простору $X$ (без додатног услова да је $(X,d)$ Шаблон:Em), онда $d$ не мора бити ни Ф-семинормаШаблон:Sfn ни паранорма.
• Ако ТВП има ограничену околину координатног почетка, онда је псеудометризабилан; обрнуто генерално није тачно.Шаблон:Sfn
• Ако Хаусдорфов ТВП има ограничену околину координатног почетка, онда је метризабилан.Шаблон:Sfn
• Претпоставимо да је $X$ или ДФ-простор или ЛМ-простор. Ако је $X$ секвенцијални простор, онда је или метризабилан или је Монтелов ДФ-простор.

Ако је $X$ Хаусдорфов локално конвексан ТВП, онда је $X$ са јаком топологијом, $(X,b(X,X^{\prime })),$ метризабилан ако и само ако постоји пребројив скуп $ℬ$ ограничених подскупова од $X$ такав да је сваки ограничени подскуп од $X$ садржан у неком елементу из $ℬ.$Шаблон:Sfn

Јак дуални простор ${X_b}^{\prime }$ метризабилног локално конвексног простора (као што је Фрешеов простор) $X$ јесте ДФ-простор.Шаблон:Sfn Јаки дуал ДФ-простора је Фрешеов простор.Шаблон:Sfn Јаки дуал рефлексивног Фрешеовог простора је борнолошки простор.Шаблон:Sfn Јаки бидуал (то јест, јаки дуални простор јаког дуалног простора) метризабилног локално конвексног простора је Фрешеов простор.Шаблон:Sfn Ако је $X$ метризабилан локално конвексан простор, онда његов јаки дуал ${X_b}^{\prime }$ има једно од следећих својстава, ако и само ако има сва ова својства: (1) борнолошко, (2) инфрабачвасто, (3) бачвасто.Шаблон:Sfn

Нормабилност

Тополошки векторски простор је семинормабилан ако и само ако има конвексну ограничену околину координатног почетка. Штавише, ТВП је нормабилан ако и само ако је Хаусдорфов и семинармабилан.Шаблон:Sfn Сваки метризабилан ТВП на коначнодимензионалном векторском простору је нормабилан локално конвексан комплетан ТВП, будући да је ТВП-изоморфан са Еуклидским простором. Сходно томе, сваки метризабилан ТВП који Шаблон:Em нормабилан мора бити бесконачно димензионалан.

Ако је $M$ метризабилан локално конвексан ТВП који поседује пребројив фундаментални систем ограничених скупова, онда је $M$ нормабилан.Шаблон:Sfn

Ако је $X$ Хаусдорфов локално конвексан простор, онда је следеће еквивалентно:

1. $X$ је нормабилан.
2. $X$ има (фон Нојман) ограничену околину координатног почетка.
3. Јак дуални простор ${X_b}^{\prime }$ од $X$ је нормабилан.Шаблон:Sfn

а ако је овај локално конвексни простор $X$ такође метризабилан, онда се следеће може додати на ову листу:

4. јаки дуални простор од $X$ је метризабилан.Шаблон:Sfn
5. јаки дуални простор од $X$ је Фреше-Урисонов простор који је локално конвексан.

Посебно, ако метризабилан локално конвексан простор $X$ (као што је Фрешеов простор) Шаблон:Em нормабилан, онда његов јаки дуални простор ${X_b}^{\prime }$ није Фреше-Урисонов простор и сходно томе, овај комплетан Хаусдорфов локално конвексан простор ${X_b}^{\prime }$ такође није ни метризабилан ни нормабилан.

Друга последица овога јесте да ако је $X$ рефлексиван локално конвексан ТВП чији је јаки дуал ${X_b}^{\prime }$ метризабилан, онда је ${X_b}^{\prime }$ нужно рефлексиван Фрешеов простор, $X$ је ДФ-простор, оба простора $X$ и ${X_b}^{\prime }$ су нужно комплетни Хаусдорфови ултраборнолошки истакнути мрежасти простори, и штавише, ${X_b}^{\prime }$ је нормабилан ако и само ако је $X$ нормабилан, ако и само ако је $X$ Фреше-Урисонов, ако и само ако је $X$ метризабилан. Посебно, такав простор $X$ је или Банахов простор или иначе није чак ни Фреше-Урисонов простор.

Метрички ограничени скупови и ограничени скупови

Претпоставимо да је $(X,d)$ псеудометрички простор и $B\subseteq X.$ Скуп $B$ је метрички ограничен или $d$-ограничен ако постоји реалан број $R>0$ такав да је $d(x,y)\le R$ за све $x,y\in B$; најмањи такав $R$ се тада назива пречник или $d$-пречник од $B.$Шаблон:Sfn Ако је $B$ ограничен у псеудометризабилном ТВП-у $X,$ онда је он метрички ограничен; обрнуто генерално није тачно, али важи за локално конвексне метризабилне ТВП-ове.Шаблон:Sfn

Својства псеудометризабилних ТВП-а

• Сваки метризабилан локално конвексан ТВП је квазибачваст простор,Шаблон:Sfn борнолошки простор и Мекијев простор.
• Сваки комплетан Шаблон:Emметризабилан ТВП је бачваст простор и Беров простор (и самим тим није оскудан).Шаблон:Sfn Међутим, постоје метризабилни Берови простори који нису комплетни.Шаблон:Sfn
• Ако је $X$ метризабилан локално конвексан простор, онда је јаки дуал од $X$ борнолошки ако и само ако је бачваст, ако и само ако је инфрабачваст.Шаблон:Sfn
• Ако је $X$ комплетан псеудометризабилан ТВП и $M$ је затворен векторски потпростор од $X,$ онда је $X/M$ комплетан.Шаблон:Sfn
• Јаки дуал локално конвексног метризабилног ТВП-а је мрежаст простор.Шаблон:Sfn
• Ако су $(X,\tau )$ и $(X,\nu )$ комплетни метризабилни ТВП-ови (тј. Ф-простори) и ако је $\nu$ грубља од $\tau$, онда је $\tau =\nu$;Шаблон:Sfn ово више није загарантовано тачно ако било који од ових метризабилних ТВП-ова није комплетан.Шаблон:Sfn Речено другачије, ако су $(X,\tau )$ и $(X,\nu )$ оба Ф-простори али са различитим топологијама, онда ниједна од $\tau$ и $\nu$ не садржи другу као подскуп. Једна одређена последица овога је, на пример, да ако је $(X,p)$ Банахов простор и $(X,q)$ је неки други нормирани простор чија је топологија индукована нормом финија (или алтернативно, грубља) од оне на $(X,p)$ (тј. ако је $p\le Cq$ или ако је $q\le Cp$ за неку константу $C>0$), онда је једини начин да $(X,q)$ буде Банахов простор (тј. такође да буде комплетан) да ове две норме $p$ и $q$ буду еквивалентне; ако нису еквивалентне, онда $(X,q)$ не може бити Банахов простор. Као још једна последица, ако је $(X,p)$ Банахов простор и $(X,\nu )$ је Фрешеов простор, онда је пресликавање $p:(X,\nu )\to ℝ$ непрекидно ако и само ако Фрешеов простор $(X,\nu )$ Шаблон:Em ТВП $(X,p)$ (овде се Банахов простор $(X,p)$ посматра као ТВП, што значи да је његова норма „заборављена”, али је његова топологија запамћена).
• Метризабилан локално конвексан простор је нормабилан ако и само ако је његов јаки дуални простор Фреше-Урисонов простор који је локално конвексан.
• Било који производ комплетних метризабилних ТВП-ова је Беров простор.Шаблон:Sfn
• Производ метризабилних ТВП-ова је метризабилан ако и само ако сви осим највише пребројиво много ових ТВП-ова имају димензију $0.$Шаблон:Sfn
• Производ псеудометризабилних ТВП-ова је псеудометризабилан ако и само ако сви осим највише пребројиво много ових ТВП-ова имају тривијалну топологију.
• Сваки комплетан Шаблон:Emметризабилан ТВП је бачваст простор и Беров простор (и самим тим није оскудан).Шаблон:Sfn
• Димензија комплетног метризабилног ТВП-а је или коначна или непребројива.Шаблон:Sfn

Комплетност

Сваки тополошки векторски простор (и општије, тополошка група) има канонску униформну структуру, индуковану својом топологијом, која омогућава да се појмови комплетности и равномерне непрекидности примене на њу. Ако је $X$ метризабилан ТВП и $d$ је метрика која дефинише топологију од $X,$ онда је могуће да $X$ буде комплетан као ТВП (тј. у односу на своју униформност), али да метрика $d$ Шаблон:Em комплетна метрика (такве метрике постоје чак и за $X=ℝ$). Стога, ако је $X$ ТВП чија је топологија индукована псеудометриком $d,$ онда појам комплетности од $X$ (као ТВП-а) и појам комплетности псеудометричког простора $(X,d)$ нису увек еквивалентни. Следећа теорема даје услов када су они еквивалентни:

Ако је $M$ затворен векторски потпростор комплетног псеудометризабилног ТВП-а $X,$ онда је количнички простор $X/M$ комплетан.Шаблон:Sfn Ако је $M$ Шаблон:Em векторски потпростор метризабилног ТВП-а $X$ и ако је количнички простор $X/M$ комплетан, онда је и $X.$Шаблон:Sfn Ако $X$ није комплетан, онда је $M:=X$ некомплетан векторски потпростор од $X.$

Берова сепарабилна тополошка група је метризабилна ако и само ако је космичка.

Подскупови и поднизови

• Нека је $M$ сепарабилан локално конвексан метризабилан тополошки векторски простор и нека је $C$ његово комплетирање. Ако је $S$ ограничен подскуп од $C$, онда постоји ограничен подскуп $R$ од $X$ такав да је $S\subseteq {\mathrm{cl}}_{C}R.$Шаблон:Sfn
• Сваки тотално ограничен подскуп локално конвексног метризабилног ТВП-а $X$ је садржан у затвореном конвексном уравнотеженом омотачу неког низа у $X$ који конвергира ка $0.$
• У псеудометризабилном ТВП-у, сваки борнивор је околина координатног почетка.Шаблон:Sfn
• Ако је $d$ инваријантна метрика у односу на транслацију на векторском простору $X,$ онда је $d(nx,0)\le nd(x,0)$ за све $x\in X$ и сваки позитиван цео број $n.$Шаблон:Sfn
• Ако је ${\left(x_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ нула-низ (то јест, конвергира ка координатном почетку) у метризабилном ТВП-у, онда постоји низ ${\left(r_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ позитивних реалних бројева који дивергира ка $\mathrm{\infty }$ такав да ${\left(r_i{x}_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\to 0.$Шаблон:Sfn
• Подскуп комплетног метричког простора је затворен ако и само ако је комплетан. Ако простор $X$ није комплетан, онда је $X$ затворен подскуп од $X$ који није комплетан.
• Ако је $X$ метризабилан локално конвексан ТВП, онда за сваки ограничен подскуп $B$ од $X,$ постоји ограничен диск $D$ у $X$ такав да је $B\subseteq X_D,$ и оба простора $X$ и помоћни нормирани простор $X_D$ индукују исту топологију потпростора на $B.$Шаблон:Sfn

Уопштени редови

Као што је описано у овом чланку у одељку о уопштеним редовима, за сваку фамилију вектора ${\left(r_i\right)}_{i\in I}$ индексирану скупом индекса $I$ из ТВП-а $X,$ могуће је дефинисати њихов збир $\sum _{i\in I}{r}_i$ као лимес мреже коначних парцијалних сума $F\in \mathrm{FiniteSubsets}(I)\mapsto \sum _{i\in F}{r}_i$ где је домен $\mathrm{FiniteSubsets}(I)$ усмерен релацијом $\subseteq .$ Ако је $I=\mathbb{N}$ и $X=ℝ,$ на пример, онда уопштени ред $\sum _{i\in \mathbb{N}}{r}_i$ конвергира ако и само ако $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{r}_i$ конвергира безусловно у уобичајеном смислу (што је за реалне бројеве еквивалентно са апсолутном конвергенцијом). Ако уопштени ред $\sum _{i\in I}{r}_i$ конвергира у метризабилном ТВП-у, онда је скуп $\{i\in I:r_i\ne 0\}$ нужно пребројив (то јест, или коначан или бесконачно пребројив) другим речима, сви осим највише пребројиво много $r_i$ ће бити нула и тако је овај уопштени ред $\sum _{i\in I}{r}_i=\sum _{\stackrel{i\in I}{r_i\ne 0}}{r}_i$ заправо збир највише пребројиво много ненултих чланова.

Линеарна пресликавања

Ако је $X$ псеудометризабилан ТВП и $A$ пресликава ограничене подскупове од $X$ у ограничене подскупове од $Y,$ онда је $A$ непрекидно.Шаблон:Sfn Прекидни линеарни функционали постоје на сваком бесконачно димензионалном псеудометризабилном ТВП-у.Шаблон:Sfn Према томе, псеудометризабилан ТВП је коначнодимензионалан ако и само ако је његов непрекидни дуални простор једнак његовом алгебарском дуалном простору.Шаблон:Sfn

Ако је $F:X\to Y$ линеарно пресликавање између ТВП-ова и $X$ је метризабилан, онда је следеће еквивалентно:

1. $F$ је непрекидно;
2. $F$ је (локално) ограничено пресликавање (то јест, $F$ пресликава (фон Нојман) ограничене подскупове од $X$ у ограничене подскупове од $Y$);Шаблон:Sfn
3. $F$ је секвенцијално непрекидно;Шаблон:Sfn
4. слика под $F$ сваког нула-низа у $X$ је ограничен скуп, где је по дефиницији Шаблон:Em низ који конвергира ка координатном почетку.Шаблон:Sfn
5. $F$ пресликава нула-низове у нула-низове;

Отворена и скоро отворена пресликавања

Теорема: Ако је $X$ комплетан псеудометризабилан ТВП, $Y$ Хаусдорфов ТВП, и $T:X\to Y$ је затворена и скоро отворена линеарна сурјекција, онда је $T$ отворено пресликавање.Шаблон:Sfn

Теорема: Ако је $T:X\to Y$ сурјективни линеарни оператор из локално конвексног простора $X$ на бачваст простор $Y$ (нпр. сваки комплетан псеудометризабилан простор је бачваст), онда је $T$ скоро отворен.Шаблон:Sfn

Теорема: Ако је $T:X\to Y$ сурјективни линеарни оператор из ТВП-а $X$ на Беров простор $Y$, онда је $T$ скоро отворен.Шаблон:Sfn

Теорема: Претпоставимо да је $T:X\to Y$ непрекидни линеарни оператор из комплетног псеудометризабилног ТВП-а $X$ у Хаусдорфов ТВП $Y.$ Ако слика од $T$ није оскудна у $Y$, онда је $T:X\to Y$ сурјективно отворено пресликавање и $Y$ је комплетан метризабилан простор.Шаблон:Sfn

Хан-Банахово својство проширења

Векторски потпростор $M$ ТВП-а $X$ има својство проширења ако се било који непрекидни линеарни функционал на $M$ може проширити до непрекидног линеарног функционала на $X.$Шаблон:Sfn Каже се да ТВП $X$ има Хан-Банахово својство проширења (ХБСП) ако сваки векторски потпростор од $X$ има својство проширења.Шаблон:Sfn

Хан-Банахова теорема гарантује да сваки Хаусдорфов локално конвексан простор има ХБСП. За комплетне метризабилне ТВП-ове важи обрнуто:

Ако векторски простор $X$ има непребројиву димензију и ако га снабдемо најфинијом векторском топологијом, онда је ово ТВП са ХБСП-ом који није ни локално конвексан ни метризабилан.Шаблон:Sfn

Види још

• Асиметрична норма
• Комплетан метрички простор
• Комплетан тополошки векторски простор
• Еквиваленција метрика
• Ф-простор
• Фрешеов простор
• Уопштена метрика
• К-простор (функционална анализа)
• Локално конвексан тополошки векторски простор
• Метрички простор
• Псеудометрички простор
• Однос норми и метрика
• Семинорма
• Сублинеарна функција
• Униформни простор
• Урсескуова теорема

Напомене

Докази Шаблон:Reflist

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book