Holomorfna funkcija

Pravougaona mreža (gore) i njegova slika pod konformalnom mapom -{f}- (dole).

Holomorfne funkcije su kompleksne funkcije definisane na otvorenom podskupu kompleksne ravni koje su diferencijabilne. Funkcija je holomorfna u nekoj tački ako u toj tački postoji izvod te funkcije i ako je različit od nule. Funkcija je holomorfna na nekoj oblasti ako je holomorfna u svakoj tački te oblasti. Postojanje kompleksnog derivata u blizini je veoma jak uslov, jer implicira da je svaka holomorfna funkcija zapravo beskrajno diferencijabilna i jednaka, lokalno, svojoj Tejlorovoj seriji (analitička). Holomorfne funkcije su centralni predmeti proučavanja u kompleksnoj analizi.

Iako se termin analitička funkcija često upotrebljava sinonimno sa „holomorfna funkcija”", reč „analitička” je definisana u širem smislu da označi bilo koju funkciju (realnu, kompleksnu ili opštiji tip) koja se može napisati kao konvergentna stepena serija u okolini svake tačke u njenom domenu. Činjenica da su sve holomorfne funkcije kompleksne analitičke funkcije, i obrnuto, glavna je teorema u kompleksnoj analizi.

Holomorfne funkcije se takođe ponekad nazivaju regularnim funkcijama. Holomorfna funkcija čiji je domen cela kompleksna ravan se naziva celokupnom funkcijom. Fraza „holomorfna u tački -{z}-₀” ne znači samo diferencijabilna u -{z}-₀, već je diferencijabilna svuda unutar izvesne okoline -{z}-₀ u kompleksnoj ravni.

Definicija

Funkcija $f(z)=\overline{z}$ nije kompleksno-diferencijabilna u nuli, jer kao što je prikazano iznad, vrednost $\frac{f(z)-f(0)}{z-0}$ varira u zavisnosti od pravca iz kog se pristupa nuli. Duž realne ose, -{f}- je jednako funkciji -{g(z) = z}- i limit je 1, dok je duž imaginarne ose, -{f}- jednako -{h(z) = −z}- i limit je −1. Drugi pravci daju druge limite.

Za datu funkciju kompleksne vrednosti -{f}- jedne složene promenljive, derivat od -{f}- u tački -{z₀}- u njenom domenu je definisan limesom

$f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{\lim }\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.$

To je isto što i definicija derivata za realne funkcije, osim što su svi kvantiteti kompleksni. Konkretno, granica se uzima dok se kompleksni broj -{z}- približava -{z}-₀, i mora imati istu vrednost za bilo koji niz složenih vrednosti za -{z}- koji prilaze -{z}-₀ na kompleksnoj ravni. Ako granica postoji, kaže se da je -{f}- kompleksno-diferencijabilno u tački -{z}-₀. Ovaj koncept kompleksne diferencijabilnosti deli nekoliko svojstava sa realnom diferencibilnošću: on je linearan i pokorava se pravilu proizvoda, pravilu kvocijenta i lančanom pravilu.

Ako je funkcija -{f}- kompleksno diferencijabilna u svakoj tački -{z}-₀ u jednom otvorenom setu -{U}-, kaže se da je -{f}- holomorfna na -{U}-. Funkcija -{f}- je holomorfna u tački -{z}-₀, ako je -{f}- kompleksno diferencijabilna u okolini -{z}-₀. Funkcija -{f}- je holomorfna na nekom zatvorenom setu -{A}- ako je homomorfna na otvorenom setu koji sadrži -{A}-. Kao patološki ne-primer, funkcija data sa -{f(z) = |z|²}- je kompleksno diferencijabilna u tačno jednoj tački (-{z}-₀ = 0), i iz tog razloga ona nije holomorfna u 0, jer ne postoji otvoreni set oko 0 na kome je -{f}- kompleksno diferencijabilna.

Odnos između realne diferencijabilnosti i kompleksne diferencijabilnosti je sledeći. Ako je kompleksna funkcija Шаблон:Nowrap holomorfna, onda -{u}- i -{v}- imaju prve parcijalne derivate u odnosu na x i y, i zadovoljavaju Koši-Rimanove jednačine:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\text{and}\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

ili, ekvivalentno, Virtindžerov derivat od -{f}- u odnosu na kompleksni konjugat od -{z}- je nula:

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0,$

drugim rečima -{f}- je funkcionalno nezavisna od kompleksnog konjugata od -{z}-.

Ako kontinualnost nije data, suprotno nije nužno tačno. Jednostavna suprotnost je da ako -{u}- i -{v}- imaju kontinualni prvi parcijalni derivat i zadovoljavaju Koši–Rimanove jednačine, onda je -{f}- holomorfna. U većoj meri zadovoljavajuću suprotnost, koja se znatno teže može dokazati, daje Luman-Menčofova teorema: ako je -{f}- kontinuirano, -{u}- i -{v}- imaju prve parcijalne derivate (mada nisu nužno kontinuirani), i oni zadovoljavaju Koši–Rimanove jednačine, onda je -{f}- holomorfno.

Terminologija

Reč „holomorfan” su uvela dva Košijeva studenta, Briot (1817–1882) i Buke (1819–1895), i izvedena je iz grčkih reči ὅλος (-{holos}-) sa značenjem „celokupan”, i μορφή (-{morphē}-) sa značenjem „forma” ili „izgled”.

U današnje vreme, termin „holomorfna funkcija” se donekle preferira u odnosu na „analitička funkcija”, jer je kasniji pojam opštiji koncept. To je isto tako zbog važnog rezultata u kompleksnoj analizi da je svaka holomorfna funkcija kompleksno analitička, što je činjenica koja očigledno ne sledi iz definicija. Termin „analitička” je međutim isto tako u širokoj upotrebi.

Osobine

Kompleksna diferencijacija je linearna i sledi pravila proizvoda i količnika, i lančano pravilo. Stoga su sume, proizvodi i kompozicije holomorfinih funkcija holomorfne, i količnik dve holomorfne funkcije je holomorfan, gde god imenilac nije nula.

Ako se -{C}- poistoveti sa -{R}-², onda se holomorfne funkcije podudaraju sa funkcijama sa dve realne promenljive sa kontinuiranim privim derivatima kojima se rešavaju Koši-Rimanove jednačine, setom od dve parcijalne diferencijalne jednačine.

Svaka holomorfna funkcija se može razložiti na njene stvarne i imaginarne delove, a svaki od njih je rešenje Laplasove jednačine na -{R}-². Drugim rečima, ako se holomorfna funkcija f(z) izrazi Шаблон:Nowrap, onda su -{u}- i -{v}- harmonične funkcije, gde je -{v}- harmonični konjugat.

Košijeva integralna teorema podrazumeva da konturni integral svake holomorfne funkcije duž petlje nestaje:

${\oint }_{\gamma }f(z)dz=0.$

Ovde je γ ispravljiv put u jednostavno povezanom otvorenom podskupu -{U}- u kompleksnoj ravni -{C}- čija početna tačka je jednaka njenoj krajnjoj tački, i Шаблон:Nowrap je holomorfna funkcija.

Košijeva integralna teorema navodi da svaka funkcija holomorfna unutar diska je kompletno određena svojim vrednostima na granici diska. Osim toga, ako se pretpostavi da je -{U}- otvoreni podskup od -{C}-, Шаблон:Nowrap je holomorfna funkcija i zatvoreni disk Шаблон:Nowrap je kompletno sadržan u -{U}-. Neka je γ krug koji formira granicu -{D}-. Onda za svako a u unutrašnjosti od -{D}-:

$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{z-a}dz$

gde je konturni integral uzet u smeru suprotnom kazaljkama sata.

Derivat -{f′(a)}- se može napisati kao konturni integral koristeći Košijeve formule diferencijacije:

$f^{\prime }(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\gamma }\frac{f(z)}{(z-a{)}^2}dz,$

za svaku jednostavnu petlju koja se pozitivno jednom zaokreće oko a, i

$f^{\prime }(a)=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\gamma \to a}\frac{i}{2𝒜(\gamma )}{\oint }_{\gamma }f(z)d\overline{z},$

za infinitezimalno pozitivne petlje γ oko a.

U regionima gde prvi derivat nije jednaka nuli, holomorfne funkcije su konformalne u smislu da čuvaju uglove i oblik (ali ne i veličine) malih figura.

Svaka holomorfna funkcija je analitička. Drugim rečima, holomorfna funkcija -{f}- ima derivate svakog reda u svakoj tački a u svom domenu, i to se podudara sa njenom sopstvenom Tejlorovom serijom u a u blizini a. Zapravo, -{f}- se podudara sa njenom Tejlorovom serijom u a u svakom disku centriranom u toj tački i leži unutra domene funkcije.

Sa algebarske tačke gledišta, set holomorfinih funkcija na otvorenom setu je komutativni prsten i kompleksni vektorski prostor. Dodatno, set holomorfnih funkcija u otvorenom setu -{U}- je integralni domen ako i samo ako je otvoreni set -{U}- povezan. Zapravo, to je lokalno konveksan topološki vektorski prostor, pri čemu su seminorme supreme na kompaktnim podsetovima.

Sa geometrijske perspektive, funkcija -{f}- je holomorfna u -{z}-₀ ako i samo ako je njen spoljašnji derivat -{df}- u blizini -{U}- od -{z}-₀ jednak sa -{f′(z) dz}- za neku kontinuiranu funkciju -{f′}-. Iz

$0=d^{2}f=d(f^{\prime }dz)=d{f}^{\prime }\wedge dz$

sledi da je -{df′}- isto tako proporcionalno sa -{dz}-, te je stoga sam derivat -{f′}- holomorfan i -{f}- je beskonačno diferencijabilna. Slično tome, iz činjenica da je Шаблон:Nowrap sledi da bilo koja funkcija -{f}- koja je holomorfna na jednostavno povezanom regionu -{U}- je isto tako integrabilna na -{U}-. (Za stazu γ od -{z}-₀ do -{z}- koja u potpunosti leži unutar -{U}-, definisanu

$F_{\gamma }(z)=F_0+\underset{\gamma }{\int }fdz$;

u smislu teoreme Žordanove krive i generalizovane Stokesove teoreme, -{F_γ(z)}- je nezavisno od datog izbora puta γ, i stoga je -{F(z)}- dobro definisana funkcija unutar -{U}- za koji je Шаблон:Nowrap i Шаблон:Nowrap.)

Literatura

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Constantin Carathéodory (1932) Conformal Representation, Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Spoljašnje veze

• Шаблон:Springer