Хан-Банахова теорема

У функционалној анализи, Хан-Банахова теорема је централни резултат који омогућава проширење ограничених линеарних функционала дефинисаних на векторском потпростору неког векторског простора на цео простор. Теорема такође показује да постоји довољно непрекидних линеарних функционала дефинисаних на сваком нормираном векторском простору како би се проучавао дуални простор. Друга верзија Хан—Банахове теореме позната је као Хан-Банахова теорема о раздвајању или Теорема о раздвајању хиперравни, и има бројне примене у конвексној геометрији.

Историја

Теорема је названа по математичарима Хансу Хану и Стефану Банаху, који су је независно доказали крајем 1920-их година. Специјалан случај ове теореме за простор $C[a,b]$ непрекидних функција на интервалу доказао је раније (1912. године) Едуард Хели, док је општију теорему о проширењу, теорему М. Риса о проширењу, из које се Хан-Банахова теорема може извести, 1923. године доказао Марсел Рис.

Прву Хан—Банахову теорему доказао је Едуард Хели 1912. године, који је показао да одређени линеарни функционали дефинисани на потпростору одређеног типа нормираног простора (${ℂ}^{\mathbb{N}}$) имају проширење исте норме. Хели је ово учинио користећи технику првобитног доказивања да постоји једнодимензионално проширење (где је домен линеарног функционала проширен за једну димензију), а затим користећи математичку индукцију. Године 1927, Хан је дефинисао опште Банахове просторе и искористио Хелијеву технику да би доказао верзију Хан—Банахове теореме која очувава норму за Банахове просторе (где ограничени линеарни функционал на потпростору има ограничено линеарно проширење исте норме на цео простор). Године 1929, Банах, који није био упознат са Хановим резултатом, уопштио ју је тако што је верзију која очувава норму заменио верзијом доминираног проширења која користи сублинеарне функције. Док је Хелијев доказ користио математичку индукцију, Хан и Банах су користили трансфинитну индукцију.Шаблон:Sfn

Хан-Банахова теорема је проистекла из покушаја да се реше бесконачни системи линеарних једначина. Ово је неопходно за решавање проблема као што је проблем момената, при чему на основу свих потенцијалних момената функције треба утврдити да ли функција са тим моментима постоји, и ако да, пронаћи је преко тих момената. Други такав проблем је проблем Фуријеовог косинусног реда, при чему, имајући све потенцијалне Фуријеове косинусне коефицијенте, треба утврдити да ли функција са тим коефицијентима постоји, и, поново, пронаћи је ако постоји.

Рис и Хели су решили проблем за одређене класе простора (као што су $L^p([0,1])$ и $C([a,b])$) где су открили да је постојање решења еквивалентно постојању и непрекидности одређених линеарних функционала. У суштини, морали су да реше следећи проблем:Шаблон:Sfn

(Шаблон:Visible anchor) Дат је скуп ${\left(f_i\right)}_{i\in I}$ ограничених линеарних функционала на нормираном простору $X$ и скуп скалара ${\left(c_i\right)}_{i\in I},$ утврдити да ли постоји $x\in X$ тако да важи $f_i(x)=c_i$ за све $i\in I.$

Ако је $X$ случајно рефлексивни простор, онда за решавање векторског проблема, довољно је решити следећи дуални проблем:Шаблон:Sfn

(Функционални проблем) Дат је скуп ${\left(x_i\right)}_{i\in I}$ вектора у нормираном простору $X$ и скуп скалара ${\left(c_i\right)}_{i\in I},$ утврдити да ли постоји ограничени линеарни функционал $f$ на $X$ тако да важи $f\left(x_i\right)=c_i$ за све $i\in I.$

Рис је затим 1910. године дефинисао $L^p([0,1])$ простор ($1<p<\mathrm{\infty }$), а 1913. године ${\ell }^p$ просторе. Током проучавања ових простора доказао је специјалан случај Хан—Банахове теореме. Хели је такође доказао специјалан случај Хан—Банахове теореме 1912. године. Рис је 1910. године решио функционални проблем за неке специфичне просторе, а 1912. године га је Хели решио за општију класу простора. Тек 1932. године је Банах, у једној од првих важних примена Хан—Банахове теореме, решио општи функционални проблем. Следећа теорема формулише општи функционални проблем и карактерише његово решење.Шаблон:Sfn

Хан-Банахова теорема имплицира горенаведену тврдњу.Шаблон:Sfn Да би се то увидело, довољно је приметити да постојање непрекидног линеарног функционала $f:X⟶𝕂$, где је $𝕂$ или $ℝ$ или $ℂ$, имплицира тезу, једноставно узимајући за $K$ (коначну) норму функционала $f$, која је ненегативан реални број. За обрнуто, нека је $M$ векторски потпростор од $X$ генерисан породицом ${\left(x_i\right)}_{i\in I}$. Тада неједнакост имплицира да постоји добро дефинисан линеарни функционал $g:M⟶𝕂$, такав да је $g\left(x_i\right)=c_i$, за све $i\in I$. Штавише, наведена неједнакост такође имплицира да је овај линеарни функционал $g$ истовремено непрекидан и да је његова норма $||g||$ ограничена са $K$ као непрекидни линеарни оператор. Свакако, узимајући $p:X⟶ℝ$, дефинисано као $p(v):=K||v||$, одмах закључујемо да је $p$ семинарма и да важи $|g(w)|\le p(w)$, за све $w\in M$. Према томе, Хан-Банахова теорема (погледати „реалну или комплексну” верзију испод) имплицира постојање $f:V⟶𝕂$ које проширује $g$, при чему је његова норма, као линеарног оператора, ограничена одозго са $K$ и, стога, непрекидна. Пошто $f$ проширује g, $f$ задовољава прву тврдњу. Другим речима, Хан-Банахова теорема имплицира ову теорему како је формулисана. У случају када је $X$ рефлексиван, обе тврдње су еквивалентне.

Хан-Банахова теорема

За реалну функцију $f:M\to ℝ$ дефинисану на подскупу $M$ простора $X$ каже се да је Шаблон:Em функцијом $p:X\to ℝ$ ако важи $f(m)\le p(m)$ за свако $m\in M.$ Из тог разлога, следећа верзија Хан—Банахове теореме назива се Шаблон:Em.

Теорема остаје тачна ако се захтеви за $p$ ублаже тако да се тражи само да $p$ буде конвексна функција:Шаблон:SfnШаблон:Sfn $$p(tx+(1-t)y)\le tp(x)+(1-t)p(y)\text{ за све }0<t<1\text{ и }x,y\in X.$$ Функција $p:X\to ℝ$ је конвексна и задовољава $p(0)\le 0$ ако и само ако $p(ax+by)\le ap(x)+bp(y)$ за све векторе $x,y\in X$ и све ненегативне реалне бројеве $a,b\ge 0$ такве да је $a+b\le 1.$ Свака сублинеарна функција је конвексна функција. Са друге стране, ако је $p:X\to ℝ$ конвексна уз $p(0)\ge 0,$ тада функција дефинисана са $p_0(x)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{t>0}{inf}\frac{p(tx)}{t}$ представља позитивно хомогену функцију (јер за свако $x$ и $r>0$ важи $p_0(rx)=\underset{t>0}{inf}\frac{p(trx)}{t}=r\underset{t>0}{inf}\frac{p(trx)}{tr}=r\underset{\tau >0}{inf}\frac{p(\tau x)}{\tau }=r{p}_0(x)$), па, будући да је конвексна, она је и сублинеарна. Такође је ограничена одозго са $p_0\le p,$ и задовољава $F\le p_0$ за сваки линеарни функционал $F\le p.$ Према томе, проширење Хан—Банахове теореме на конвексне функционале нема знатно шири садржај од класичног који се односи на сублинеарне функционале.

Ако је $F:X\to ℝ$ линеарна, тада важи $F\le p$ ако и само акоШаблон:Sfn $$-p(-x)\le F(x)\le p(x)\text{ за свако }x\in X,$$ што је (еквивалентан) закључак који неки ауториШаблон:Sfn пишу уместо $F\le p.$ Одавде следи да ако је $p:X\to ℝ$ уједно и Шаблон:Em, што значи да важи $p(-x)=p(x)$ за свако $x\in X,$ тада $F\le p$ ако и само ако $|F|\le p.$ Свака норма је семинорма и обе су симетричне уравнотежене сублинеарне функције. Сублинеарна функција је семинарма ако и само ако је уравнотежена функција. На реалном векторском простору (мада не на комплексном векторском простору), сублинеарна функција је семинарма ако и само ако је симетрична. Функција идентитета $ℝ\to ℝ$ на $X:=ℝ$ представља пример сублинеарне функције која није семинарма.

За комплексне или реалне векторске просторе

Теорема о доминираном проширењу за реалне линеарне функционале имплицира следећу алтернативну тврдњу Хан—Банахове теореме која се може применити на линеарне функционале над реалним или комплексним векторским просторима.

Теорема остаје тачна ако се захтеви за $p$ ублаже тако да се тражи само да за све $x,y\in X$ и све скаларе $a$ и $b$ који испуњавају $|a|+|b|\le 1,$Шаблон:Sfn $$p(ax+by)\le |a|p(x)+|b|p(y).$$ Овај услов је испуњен ако и само ако је $p$ конвексна и уравнотежена функција која задовољава $p(0)\le 0,$ или еквивалентно, ако и само ако је конвексна, задовољава $p(0)\le 0,$ и $p(ux)\le p(x)$ за све $x\in X$ и све скаларе $u$ јединичне дужине.

За комплексни функционал $F$ кажемо да је Шаблон:Em ако важи $|F(x)|\le p(x)$ за свако $x$ из домена од $F.$ Са овом терминологијом, претходне тврдње Хан—Банахове теореме могу се концизније преформулисати:

Хан-Банахова теорема о доминираном проширењу: Ако је $p:X\to ℝ$ семинорма дефинисана на реалном или комплексном векторском простору $X,$ тада сваки доминирани линеарни функционал дефинисан на векторском потпростору од $X$ има доминирано линеарно проширење на цео $X.$ У случају када је $X$ реални векторски простор и $p:X\to ℝ$ само конвексна или сублинеарна функција, овај закључак ће остати тачан уколико се оба појма „доминиран” (што значи $|F|\le p$) ослабе тако да уместо њих значе „[[#доминирана реална функционала|доминиран Шаблон:Em]]” (што значи $F\le p$).Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Доказ

Следећа запажања омогућавају да се Хан-Банахова теорема за реалне векторске просторе примени на (комплесне) линеарне функционале над комплексним векторским просторима.

Сваки линеарни функционал $F:X\to ℂ$ над комплексним векторским простором је потпуно одређен својим реалним делом $\mathrm{Re}F:X\to ℝ$ преко формулеШаблон:Sfn $$F(x)=\mathrm{Re}F(x)-i\mathrm{Re}F(ix)\text{ за свако }x\in X$$ и додатно, ако је $\Vert \cdot \Vert$ норма на $X$ онда су њихове дуалне норме једнаке: $\Vert F\Vert =\Vert \mathrm{Re}F\Vert .$Шаблон:Sfn Специфично, линеарни функционал на $X$ проширује неки други који је дефинисан на $M\subseteq X$ ако и само ако су њихови реални делови једнаки на $M$ (другим речима, линеарни функционал $F$ проширује $f$ ако и само ако $\mathrm{Re}F$ проширује $\mathrm{Re}f$). Реални део линеарног функционала на $X$ је увек Шаблон:Visible anchor (што значи да је линеаран када се $X$ посматра као реални векторски простор), а ако је $R:X\to ℝ$ реално-линеарни функционал над комплексним векторским простором тада $x\mapsto R(x)-iR(ix)$ дефинише јединствени линеарни функционал на $X$ чији је реални део $R.$

Ако је $F$ линеарни функционал на (комплексном или реалном) векторском простору $X$ и ако је $p:X\to ℝ$ семинарма тада важиШаблон:Sfn $$|F|\le p\text{ ако и само ако је }\mathrm{Re}F\le p.$$ Исказано једноставнијим речником, линеарни функционал је доминиран семинармом $p$ ако и само ако је његов реални део доминиран одозго са $p.$

Претходни доказ показује да када је $p$ семинарма, тада постоји бијекција између доминираних линеарних проширења од $f:M\to ℂ$ и доминираних реално-линеарних проширења од $\mathrm{Re}f:M\to ℝ;$ доказ чак даје и формулу за експлицитну конструкцију линеарног проширења функције $f$ из било ког датог реално-линеарног проширења њеног реалног дела.

Непрекидност

Линеарни функционал $F$ на тополошком векторском простору је непрекидан ако и само ако ово важи за његов реални део $\mathrm{Re}F;$ уколико је домен нормиран простор тада је $\Vert F\Vert =\Vert \mathrm{Re}F\Vert$ (при чему је једна страна бесконачна ако и само ако је друга бесконачна).Шаблон:Sfn Претпоставимо да је $X$ тополошки векторски простор и да је $p:X\to ℝ$ сублинеарна функција. Ако је $p$ непрекидна сублинеарна функција која доминира линеарним функционалом $F$ тада је $F$ нужно непрекидан.Шаблон:Sfn Штавише, линеарни функционал $F$ је непрекидан ако и само ако је његова апсолутна вредност $|F|$ (која представља семинарму која доминира функцијом $F$) непрекидна.Шаблон:Sfn Конкретно, линеарни функционал је непрекидан ако и само ако је доминиран неком непрекидном сублинеарном функцијом.

Доказ

Хан-Банахова теорема за реалне векторске просторе у основи следи из Хелијевог почетног резултата за специјални случај где се линеарни функционал проширује са $M$ на већи векторски простор у којем $M$ има кодимензију $1.$Шаблон:Sfn

Ова лема остаје тачна уколико је $p:X\to ℝ$ само конвексна функција уместо сублинеарне функције.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Шаблон:Collapse top Претпоставимо да је $p$ конвексна, што значи да важи $p(ty+(1-t)z)\le tp(y)+(1-t)p(z)$ за све $0\le t\le 1$ и $y,z\in X.$ Нека $M,$ $f:M\to ℝ,$ и $x\in X\setminus M$ буду као у тексту леме. За било које $m,n\in M$ и било које позитивне реалне бројеве $r,s>0,$ позитивни реални бројеви $t:=\frac{s}{r+s}$ и $\frac{r}{r+s}=1-t$ се сабирају у $1$ па стога конвексност функције $p$ на $X$ гарантује $$\begin{array}{cccccc}p(\frac{s}{r+s}m+\frac{r}{r+s}n)& =p(\frac{s}{r+s}(m-rx)& & +\frac{r}{r+s}(n+sx))& & \\ & \le \frac{s}{r+s}p(m-rx)& & +\frac{r}{r+s}p(n+sx)& & \end{array}$$ и отуда $$\begin{array}{cccc}sf(m)+rf(n)& =(r+s)f(\frac{s}{r+s}m+\frac{r}{r+s}n)& & \text{ због линеарности од }f\\ & \le (r+s)p(\frac{s}{r+s}m+\frac{r}{r+s}n)& & f\le p\text{ на }M\\ & \le sp(m-rx)+rp(n+sx)\end{array}$$ чиме се доказује да важи $-sp(m-rx)+sf(m)\le rp(n+sx)-rf(n),$ што након множења обе стране са $\frac{1}{rs}$ постаје $$\frac{1}{r}[-p(m-rx)+f(m)]\le \frac{1}{s}[p(n+sx)-f(n)].$$ Ово имплицира да су вредности дефинисане са $$a=\underset{\stackrel{m\in M}{r>0}}{sup}\frac{1}{r}[-p(m-rx)+f(m)]\text{ и }c=\underset{\stackrel{n\in M}{s>0}}{inf}\frac{1}{s}[p(n+sx)-f(n)]$$ реални бројеви који испуњавају $a\le c.$ Као у претходном доказу једнодимензионалне теореме о доминираном проширењу, за било који реални број $b\in ℝ$ дефинишемо $F_b:M\oplus ℝx\to ℝ$ са $F_b(m+rx)=f(m)+rb.$ Може се проверити да ако важи $a\le b\le c$ тада је $F_b\le p$ где $rb\le p(m+rx)-f(m)$ следи из $b\le c$ када је $r>0$ (односно, следи из $a\le b$ када је $r<0$). $◼$ Шаблон:Collapse bottom

Лема изнад је кључни корак у извођењу теореме о доминираном проширењу помоћу Цорнове леме.

Када $M$ има пребројиву кодимензију, тада се доказ Хан—Банахове теореме може завршити коришћењем индукције и поменуте леме. Стандардни доказ општег случаја користи Цорнову лему иако се може користити и строго слабија лема о ултрафилтеруШаблон:Sfn (која је еквивалентна теореми о компактности и теореми о Буловом простом идеалу). Хан-Банахова теорема се такође може доказати користећи Тихоновљеву теорему за компактне Хаусдорфове простореШаблон:Sfn (која је такође еквивалентна леми о ултрафилтеру).

Пројекат Mizar је у потпуности формализовао и аутоматски проверио доказ Хан—Банахове теореме у датотеци HAHNBAN.

Теорема о непрекидном проширењу

Хан-Банахова теорема се може користити да би се гарантовало постојање непрекидних линеарних проширења непрекидних линеарних функционала.

Изражено речником теорије категорија, основно поље векторског простора представља ијективни објекат у категорији локално конвексних векторских простора.

На нормираном (или семинормираном) простору, за линеарно проширење $F$ неког ограниченог линеарног функционала $f$ се каже да је Шаблон:Em ако има исту дуалну норму као оригинални функционал: $\Vert F\Vert =\Vert f\Vert .$ Због ове терминологије, други део горенаведене теореме понекад се назива „верзијом Хан—Банахове теореме која очувава норму”.Шаблон:Sfn Експлицитно:

Доказ теореме о непрекидном проширењу

Следећа запажања омогућавају да се теорема о непрекидном проширењу изведе из Хан—Банахове теореме.Шаблон:Sfn

Апсолутна вредност линеарног функционала је увек семинарма. Линеарни функционал $F$ на тополошком векторском простору $X$ је непрекидан ако и само ако је његова апсолутна вредност $|F|$ непрекидна, што се дешава ако и само ако постоји непрекидна семинарма $p$ на $X$ таква да важи $|F|\le p$ на домену функције $F.$Шаблон:Sfn Ако је $X$ локално конвексан простор тада ова тврдња остаје тачна и када је линеарни функционал $F$ дефинисан на Шаблон:Em векторском потпростору од $X.$

Доказ за нормиране просторе

Линеарни функционал $f$ на нормираном простору је непрекидан ако и само ако је ограничен, што значи да је његова дуална норма $$\Vert f\Vert =sup\{|f(m)|:\Vert m\Vert \le 1,m\in \mathrm{domain}f\}$$ коначна, у ком случају важи $|f(m)|\le \Vert f\Vert \Vert m\Vert$ за сваку тачку $m$ у његовом домену. Штавише, ако је $c\ge 0$ такво да важи $|f(m)|\le c\Vert m\Vert$ за свако $m$ из домена функционала, онда нужно следи да је $\Vert f\Vert \le c.$ Ако је $F$ линеарно проширење линеарног функционала $f$ онда њихове дуалне норме увек задовољавају неједнакост $\Vert f\Vert \le \Vert F\Vert$ тако да је једнакост $\Vert f\Vert =\Vert F\Vert$ еквивалентна са $\Vert F\Vert \le \Vert f\Vert ,$ што важи ако и само ако је $|F(x)|\le \Vert f\Vert \Vert x\Vert$ за сваку тачку $x$ у домену проширења. Ово се може преформулисати преко функције $\Vert f\Vert \Vert \cdot \Vert :X\to ℝ$ дефинисане са $x\mapsto \Vert f\Vert \Vert x\Vert ,$ која је увек семинарма:

Линеарно проширење ограниченог линеарног функционала $f$ очувава норму ако и само ако је то проширење доминирано семинармом $\Vert f\Vert \Vert \cdot \Vert .$

Применом Хан—Банахове теореме на $f$ са овом семинармом $\Vert f\Vert \Vert \cdot \Vert$ тако се добија доминирано линеарно проширење чија је норма (нужно) једнака норми функционала $f,$ чиме се теорема доказује:

Простори који нису локално конвексни

Теорема о непрекидном проширењу можда неће важити уколико тополошки векторски простор (ТВП) $X$ није локално конвексан. На пример, за $0<p<1,$ Лебегов простор $L^p([0,1])$ је комплетан метризабилан ТВП (Ф-простор) који Шаблон:Em локално конвексан (заправо, његови једини конвексни отворени подскупови су он сам $L^p([0,1])$ и празан скуп) а једини непрекидни линеарни функционал на $L^p([0,1])$ је константна функција $0$ Шаблон:Harv. Пошто је $L^p([0,1])$ Хаусдорфов простор, сваки коначнодимензионални векторски потпростор $M\subseteq L^p([0,1])$ је линеарно хомеоморфан са Еуклидским простором ${ℝ}^{\dim M}$ или ${ℂ}^{\dim M}$ (на основу теореме Ф. Риса) па је тако сваки не-нула линеарни функционал $f$ на $M$ непрекидан, али ниједан нема непрекидно линеарно проширење на цео $L^p([0,1]).$ Међутим, могуће је да ТВП $X$ не буде локално конвексан, али да свеједно има довољно непрекидних линеарних функционала да његов непрекидни дуални простор $X^{\ast }$ раздваја тачке; за такав ТВП, непрекидни линеарни функционал дефинисан на векторском потпростору Шаблон:Em имати непрекидно линеарно проширење на цео простор.

Уколико ТВП $X$ није локално конвексан тада можда неће постојати ниједна непрекидна семинарма $p:X\to ℝ$ Шаблон:Em (а не само на $M$) која доминира са $f,$ у ком случају се Хан-Банахова теорема не може применити на начин на који је то урађено у горенаведеном доказу теореме о непрекидном проширењу. Ипак, аргументација тог доказа се може уопштити како би дала карактеризацију тога када непрекидни линеарни функционал има непрекидно линеарно проширење: Ако је $X$ било какав ТВП (не нужно локално конвексан), тада непрекидни линеарни функционал $f$ дефинисан на векторском потпростору $M$ има непрекидно линеарно проширење $F$ на цео $X$ ако и само ако постоји нека непрекидна семинарма $p$ на $X$ која доминира функцијом $f.$ Конкретно, ако је дато непрекидно линеарно проширење $F$ онда је $p:=|F|$ непрекидна семинарма на $X$ која доминира са $f;$ и обрнуто, ако је дата непрекидна семинарма $p:X\to ℝ$ на $X$ која доминира са $f$ тада ће било које доминирано линеарно проширење од $f$ на $X$ (чије је постојање загарантовано Хан—Банаховом теоремом) бити непрекидно линеарно проширење.

Геометријска Хан-Банахова теорема (Хан—Банахове теореме о раздвајању)

Кључни елемент Хан—Банахове теореме у основи је резултат о раздвајању два конвексна скупа: $\{-p(-x-n)-f(n):n\in M\},$ и $\{p(m+x)-f(m):m\in M\}.$ Ова врста аргументације се широко појављује у конвексној геометрији, теорији оптимизације и економији. Леме у ову сврху изведене из оригиналне Хан—Банахове теореме познате су као Хан—Банахове теореме о раздвајању. Оне представљају уопштења теореме о раздвајању хиперравни, која наводи да два дисјунктна непразна конвексна подскупа коначнодимензионалног простора ${ℝ}^n$ могу бити раздвојена неком Шаблон:Em, што представља влакно (ниво скуп) облика $f^{-1}(s)=\{x:f(x)=s\}$ где је $f\ne 0$ не-нула линеарни функционал а $s$ је скалар.

Када конвексни скупови имају додатна својства, попут тога да су на пример отворени или компактни, тада се закључак може значајно појачати:

Следећа важна последица је позната као Геометријска Хан-Банахова теорема или Мазурова теорема (такође позната и као Асколи—Мазурова теорема). Она следи из прве ставке изнад и конвексности од $M.$

Мазурова теорема појашњава да векторски потпростори (чак и они који нису затворени) могу бити окарактерисани линеарним функционалима.

Подржавајуће хиперравни

Пошто су тачке тривијално конвексне, геометријска Хан-Банахова теорема имплицира да функционали могу детектовати границу скупа. Конкретно, нека је $X$ реални тополошки векторски простор и $A\subseteq X$ конвексан скуп уз $\mathrm{Int}A\ne \varnothing .$ Ако $a_0\in A\setminus \mathrm{Int}A$ тада постоји функционал који се поништава у $a_0,$ али је подржан на унутрашњости од $A.$

За нормирани простор $X$ каже се да је гладак ако у свакој тачки $x$ његове јединичне лопте постоји јединствена затворена хиперраван на јединичну лопту у тачки $x.$ Кете је 1983. године показао да је нормиран простор гладак у тачки $x$ ако и само ако је норма Гато диференцијабилна у тој тачки.Шаблон:Sfn

Уравнотежене или дисколике околине

Нека је $U$ конвексна уравнотежена околина координатног почетка у локално конвексном тополошком векторском простору $X$ и претпоставимо да $x\in X$ није елемент од $U.$ Тада постоји непрекидни линеарни функционал $f$ на $X$ такав да важиШаблон:Sfn $sup|f(U)|\le |f(x)|.$

Примене

Хан-Банахова теорема је први знак важне филозофије у функционалној анализи: да би се разумео простор, треба разумети његове непрекидне функционале.

На пример, линеарни потпростори су окарактерисани функционалима: ако је Шаблон:Mvar нормирани векторски простор са линеарним потпростором Шаблон:Mvar (не нужно затвореним) и ако је $z$ елемент простора Шаблон:Mvar који није у затворењу од Шаблон:Mvar, тада постоји непрекидно линеарно пресликавање $f:X\to 𝐊$ где је $f(m)=0$ за све $m\in M,$ $f(z)=1,$ и $\Vert f\Vert =\mathrm{dist}(z,M{)}^{-1}.$ (Да бисмо ово увидели, приметимо да је $\mathrm{dist}(\cdot ,M)$ сублинеарна функција.) Штавише, ако је $z$ елемент простора Шаблон:Mvar, тада постоји непрекидно линеарно пресликавање $f:X\to 𝐊$ такво да важи $f(z)=\Vert z\Vert$ и $\Vert f\Vert \le 1.$ Ово имплицира да је природно улагање $J$ из нормираног простора Шаблон:Mvar у његов двоструки дуал $V^{\ast \ast }$ изометрија.

Тај последњи резултат такође сугерише да се Хан-Банахова теорема често може користити за проналажење „лепше” топологије у којој се може радити. На пример, многи резултати у функционалној анализи претпостављају да је простор Хаусдорфов или локално конвексан. Ипак, претпоставимо да је Шаблон:Mvar тополошки векторски простор, не нужно Хаусдорфов или локално конвексан, али са непразним, правим, конвексним, отвореним скупом Шаблон:Mvar. Тада геометријска Хан-Банахова теорема имплицира да постоји хиперраван која раздваја Шаблон:Mvar од било које друге тачке. Специфично, мора постојати не-нула функционал на Шаблон:Mvar — односно, непрекидни дуални простор $X^{\ast }$ је нетривијалан.Шаблон:SfnШаблон:Sfn Посматрајући Шаблон:Mvar са слабом топологијом индукованом од $X^{\ast },$ тада Шаблон:Mvar постаје локално конвексан; по другој ставки геометријске Хан—Банахове теореме, слаба топологија на овом новом простору раздваја тачке. Тако Шаблон:Mvar са овом слабом топологијом постаје Хаусдорфов. Ово понекад омогућава да се неки резултати за локално конвексне тополошке векторске просторе примене на просторе који нису Хаусдорфови и нису локално конвексни.

Парцијалне диференцијалне једначине

Хан-Банахова теорема је често корисна када се жели применити метод априорних оцена. Претпоставимо да желимо да решимо линеарну диференцијалну једначину $Pu=f$ по $u,$ при чему је $f$ дато у неком Банаховом простору Шаблон:Mvar. Ако имамо контролу над величином од $u$ преко $\Vert f{\Vert }_X$ и ако можемо посматрати $u$ као ограничени линеарни функционал на неком одговарајућем простору тест-функција $g,$ тада можемо посматрати $f$ као линеарни функционал путем адјункције: $(f,g)=(u,P^{\ast }g).$ У почетку је овај функционал дефинисан само на слици оператора $P,$ али користећи Хан—Банахову теорему, можемо покушати да га проширимо на цео кодомен Шаблон:Mvar. Добијени функционал се често дефинише као слабо решење једначине.

Пример из Фредхолмове теорије

Да бисмо илустровали стварну примену Хан—Банахове теореме, сада ћемо доказати један резултат који следи готово у потпуности из Хан—Банахове теореме.

Горенаведени резултат се може користити да се покаже како је сваки затворени векторски потпростор од ${ℝ}^{\mathbb{N}}$ комплементиран јер је сваки такав простор или коначнодимензионалан или ТВП-изоморфан са ${ℝ}^{\mathbb{N}}.$

Уопштења

Општи шаблон

Тренутно постоји много других верзија Хан—Банахове теореме. Општи шаблон за различите верзије Хан—Банахове теореме представљене у овом чланку је следећи:

$p:X\to ℝ$ је сублинеарна функција (могуће и семинарма) на векторском простору $X,$ $M$ је векторски потпростор од $X$ (могуће затворен), а $f$ је линеарни функционал на $M$ који задовољава $|f|\le p$ на $M$ (и могуће још неке услове). Тада се закључује да постоји линеарно проширење $F$ функције $f$ на $X$ такво да важи $|F|\le p$ на $X$ (могуће са додатним својствима).

За семинарме

Тако на пример, претпоставимо да је $f$ ограничени линеарни функционал дефинисан на векторском потпростору $M$ неког нормираног простора $X,$ тако да је његова операторска норма $\Vert f\Vert$ ненегативан реални број. Тада је апсолутна вредност линеарног функционала $p:=|f|$ семинарма на $M$ а пресликавање $q:X\to ℝ$ дефинисано са $q(x)=\Vert f\Vert \Vert x\Vert$ је семинарма на $X$ која задовољава $p\le q{|}_M$ на $M.$ Хан-Банахова теорема за семинарме гарантује постојање семинарме $P:X\to ℝ$ која је једнака са $|f|$ на $M$ (пошто је $P{|}_M=p=|f|$) и која је ограничена одозго са $P(x)\le \Vert f\Vert \Vert x\Vert$ свуда на $X$ (пошто је $P\le q$).

Максимално доминирано линеарно проширење

Ако је $S=\{s\}$ синглтон (где је $s\in X$ неки вектор) и ако је $F:X\to ℝ$ овакво максимално доминирано линеарно проширење функционала $f:M\to ℝ,$ тада је $F(s)=\underset{m\in M}{inf}[f(s)+p(s-m)].$Шаблон:Sfn

Инваријантна Хан-Банахова теорема

Скуп $\mathrm{\Gamma }$ пресликавања $X\to X$ је Шаблон:Em (у односу на композицију функција $\circ$) ако важи $F\circ G=G\circ F$ за све $F,G\in \mathrm{\Gamma }.$ За функцију $f$ дефинисану на подскупу $M$ од $X$ каже се да је Шаблон:Em ако важи $L(M)\subseteq M$ и $f\circ L=f$ на $M$ за свако $L\in \mathrm{\Gamma }.$

Ова теорема се може сажети овако:

Сваки $\mathrm{\Gamma }$-инваријантни непрекидни линеарни функционал дефинисан на векторском потпростору нормираног простора $X$ има $\mathrm{\Gamma }$-инваријантно Хан—Банахово проширење на цео $X.$Шаблон:Sfn

За нелинеарне функције

Следећа теорема Мазура и Орлича (1953) је еквивалентна Хан—Банаховој теореми.

Следећа теорема карактерише када Шаблон:Em скаларна функција на $X$ (не нужно линеарна) има непрекидно линеарно проширење на цео $X.$

Обрнуто

Нека је Шаблон:Mvar тополошки векторски простор. Векторски потпростор Шаблон:Mvar простора Шаблон:Mvar има својство проширења ако сваки непрекидни линеарни функционал на Шаблон:Mvar може бити проширен до непрекидног линеарног функционала на Шаблон:Mvar, и кажемо да Шаблон:Mvar има Хан—Банахово својство проширења (ХБСП) ако сваки векторски потпростор од Шаблон:Mvar има својство проширења.Шаблон:Sfn

Хан-Банахова теорема гарантује да сваки Хаусдорфов локално конвексни простор има ХБСП. За комплетне метризабилне тополошке векторске просторе постоји обрнуто тврђење, које потиче од Калтона: сваки комплетан метризабилан ТВП са Хан—Банаховим својством проширења је локално конвексан.Шаблон:Sfn С друге стране, ако је векторски простор Шаблон:Mvar непребројиве димензије, снабдевен најфинијом векторском топологијом, онда је то тополошки векторски простор са Хан—Банаховим својством проширења који није ни локално конвексан ни метризабилан.Шаблон:Sfn

Векторски потпростор Шаблон:Mvar ТВП-а Шаблон:Mvar има својство раздвајања ако за сваки елемент из Шаблон:Mvar такав да $x\in ̸M,$ постоји непрекидни линеарни функционал $f$ на Шаблон:Mvar такав да је $f(x)\ne 0$ и $f(m)=0$ за све $m\in M.$ Јасно је да непрекидни дуални простор ТВП-а Шаблон:Mvar раздваја тачке на Шаблон:Mvar ако и само ако $\{0\},$ има својство раздвајања. Године 1992, Какол је доказао да за сваки бесконачнодимензионални векторски простор Шаблон:Mvar, постоје ТВП-топологије на Шаблон:Mvar које немају ХБСП иако имају довољно непрекидних линеарних функционала да непрекидни дуални простор раздваја тачке на Шаблон:Mvar. Ипак, ако је Шаблон:Mvar ТВП тада Шаблон:Em векторски потпростор од Шаблон:Mvar има својство проширења ако и само ако Шаблон:Em векторски потпростор од Шаблон:Mvar има својство раздвајања.Шаблон:Sfn

Однос према аксиоми избора и другим теоремама

Шаблон:AnchorДоказ Хан—Банахове теореме за реалне векторске просторе (ХБ) обично користи Цорнову лему, која је у аксиоматском оквиру Цермело—Френкелове теорије скупова (ЦФ) еквивалентна аксиоми избора (АИ). Лош и Рил-НарђевскиШаблон:Sfn и независно ЛуксембургШаблон:Sfn открили су да се ХБ може доказати помоћу леме о ултрафилтеру (ЛУ), која је еквивалентна (под ЦФ) теореми о Буловом простом идеалу (ТБПИ). ТБПИ је строго слабија од аксиоме избора и касније је показано да је ХБ строго слабија од ТБПИ.Шаблон:Sfn

Лема о ултрафилтеру је еквивалентна (под ЦФ) Банах—Алаоглуовој теореми,Шаблон:Sfn која је још једна фундаментална теорема у функционалној анализи. Иако Банах—Алаоглуова теорема имплицира ХБ, она њој није еквивалентна (речено другачије, Банах—Алаоглуова теорема је строго јача од ХБ). Ипак, ХБ је еквивалентна одређеној ослабљеној верзији Банах—Алаоглуове теореме за нормиране просторе. Хан-Банахова теорема је такође еквивалентна следећој тврдњи:

(∗): На свакој Буловој алгебри Шаблон:Mvar постоји „набој вероватноће”, односно: некостантна коначно адитивна функција са $B$ у $[0,1].$

(ТБПИ је еквивалентна тврдњи да увек постоје неконстантни набоји вероватноће који узимају само вредности 0 и 1.)

У ЦФ, Хан-Банахова теорема је довољна за извођење постојања скупа који није Лебег-мерљив. Поред тога, Хан-Банахова теорема имплицира Банах—Тарски парадокс.

За сепарабилне Банахове просторе, Д. К. Браун и С. Г. Симпсон доказали су да Хан-Банахова теорема следи из WKL₀, слабог подсистема аритметике другог реда који као аксиому узима форму Кенигове леме ограничене на бинарна стабла. Заправо, они доказују да су, под слабим скупом претпоставки, ове две ствари еквивалентне, што представља пример реверзне математике.

Види још

• Фаркашева лема
• Фикерин принцип егзистенције
• Теорема М. Риса о проширењу
• Теорема о раздвајању оса
• Вредносно-векторске Хан—Банахове теореме

Литература

• Шаблон:Adasch Topological Vector Spaces
• Шаблон:Banach Théorie des Opérations Linéaires
• Шаблон:Berberian Lectures in Functional Analysis and Operator Theory
• Шаблон:Bourbaki Topological Vector Spaces
• Шаблон:Conway A Course in Functional Analysis
• Шаблон:Edwards Functional Analysis Theory and Applications
• Шаблон:Grothendieck Topological Vector Spaces
• Шаблон:Jarchow Locally Convex Spaces
• Шаблон:Köthe Topological Vector Spaces I
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Reed, Michael and Simon, Barry, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis, Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. Шаблон:ISBN.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Robertson Topological Vector Spaces
• Шаблон:Rudin Walter Functional Analysis
• Шаблон:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Schechter Handbook of Analysis and Its Foundations
• Шаблон:Swartz An Introduction to Functional Analysis
• Tao, Terence, The Hahn–Banach theorem, Menger's theorem, and Helly's theorem
• Шаблон:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
• Шаблон:Wilansky Modern Methods in Topological Vector Spaces
• Wittstock, Gerd, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. of Functional Analysis 40 (1981), 127–150
• Zeidler, Eberhard, Applied Functional Analysis: main principles and their applications, Springer, 1995.
• Шаблон:Springer