Универзално својство

Типичан дијаграм дефиниције универзалног морфизма.

У математици, тачније у теорији категорија, универзално својство је својство које карактерише резултат неких конструкција до на изоморфизам. Дакле, универзална својства се могу користити за дефинисање неких објеката независно од методе изабране за њихову конструкцију. На пример, дефиниције целих бројева на основу природних бројева, рационалних бројева на основу целих бројева, реалних бројева на основу рационалних бројева, и прстена полинома на основу поља њихових коефицијената могу се урадити у смислу универзалних својстава. Конкретно, концепт универзално својства омогућава једноставан доказ да су све конструкције реалних бројева еквивалентне: довољно је доказати да задовољавају исто универзално својство.

Технички, универзално својство је дефинисано у терминима категорија и функтора помоћу универзалног морфизма (види Формална дефиниција испод). Универзални морфизми се такође могу апстрактније схватити као иницијални или терминални објекти у категорији запете (види Веза са категоријама запете испод).

Универзална својства се јављају готово свуда у математици, а употреба овог концепта омогућава коришћење општих особина универзалних својстава за лако доказивање неких својстава која би иначе захтевала досадна проверавања. На пример, за дати комутативни прстен $R$, поље разломака количничког прстена $R$ по простом идеалу $p$ може се поистоветити са пољем остатака локализације $R$ у $p$; односно $R_p/p{R}_p\cong \mathrm{Frac}(R/p)$ (све ове конструкције могу бити дефинисане универзалним својствима).

Остали објекти који се могу дефинисати универзалним својствима укључују: све слободне објекте, директне производе и директне суме, слободне групе, слободне мреже, Гротендикову групу, комплетирање метричког простора, комплетирање прстена, Дедекинд-Макнилово комплетирање, топологије производа, Стоун-Чехову компактификацију, тензорски производе, инверзни лимес и директни лимес, језгра и којезгра, количничке групе, количничке векторске просторе, и друге количничке просторе.

Мотивација

Пре давања формалне дефиниције универзалних својстава, нудимо одређену мотивацију за проучавање оваквих конструкција.

• Конкретни детаљи дате конструкције могу бити неуредни, али ако конструкција задовољава универзално својство, сви ти детаљи се могу заборавити: све што треба знати о конструкцији већ је садржано у универзалном својству. Докази често постају кратки и елегантни ако се користи универзално својство уместо конкретних детаља. На пример, тензорска алгебра векторског простора је помало компликована за конструкцију, али је много лакше радити са њом кроз њено универзално својство.
• Универзална својства дефинишу објекте јединствено до на јединствен изоморфизам. Стога, једна од стратегија за доказивање да су два објекта изоморфна јесте да се покаже да задовољавају исто универзално својство.
• Универзалне конструкције су функторијалне природе: ако се конструкција може спровести за сваки објекат у категорији $𝒞$, онда се добија функтор на $𝒞$. Штавише, овај функтор је десни или леви адјунговани функтор функтору $U$ који се користи у дефиницији универзалног својства.
• Универзална својства се јављају свуда у математици. Разумевањем њихових апстрактних својстава, добијају се информације о свим овим конструкцијама и може се избећи понављање исте анализе за сваки појединачни случај.

Формална дефиниција

Да би се разумела дефиниција универзалне конструкције, важно је погледати примере. Универзалне конструкције нису дефинисане ни из чега, већ су дефинисане након што су математичари почели да примећују образац у многим математичким конструкцијама (види Примере испод). Стога, дефиниција можда у почетку неће имати смисла, али ће постати јасна када се повеже са конкретним примерима.

Нека је $F:𝒞\to 𝒟$ функтор између категорија $𝒞$ и $𝒟$. У даљем тексту, нека је $X$ објекат у $𝒟$, $A$ и $A^{\prime }$ објекти у $𝒞$, и $h:A\to A^{\prime }$ морфизам у $𝒞$.

Тада функтор $F$ пресликава $A$, $A^{\prime }$ и $h$ из $𝒞$ у $F(A)$, $F(A^{\prime })$ и $F(h)$ у $𝒟$.

Универзални морфизам из $X$ у $F$ је јединствени пар $(A,u:X\to F(A))$ који има следеће својство, које се обично назива универзално својство:

За сваки морфизам облика $f:X\to F(A^{\prime })$ у $𝒟$, постоји јединствени морфизам $h:A\to A^{\prime }$ у $𝒞$ такав да следећи дијаграм комутира:

Типичан дијаграм дефиниције универзалног морфизма.

Шаблон:Anchor Можемо дуализовати овај категоријски концепт. Универзални морфизам из $F$ у $X$ је јединствени пар $(A,u:F(A)\to X)$ који задовољава следеће универзално својство:

За сваки морфизам облика $f:F(A^{\prime })\to X$ у $𝒟$, постоји јединствени морфизам $h:A^{\prime }\to A$ у $𝒞$ такав да следећи дијаграм комутира:

Најважнија стрелица овде је $u:F(A)\to X$ која успоставља универзално својство.

Имајте на уму да су у свакој дефиницији стрелице обрнуте. Обе дефиниције су неопходне за описивање универзалних конструкција које се појављују у математици; али оне такође настају због инхерентне дуалности присутне у теорији категорија. У оба случаја, кажемо да пар $(A,u)$ који се понаша као што је горе наведено задовољава универзално својство.

Веза са категоријама запете

Универзални морфизми се могу концизније описати као иницијални и терминални објекти у категорији запете (тј. оној где се морфизми посматрају као објекти сами по себи).

Нека је $F:𝒞\to 𝒟$ функтор и $X$ објекат из $𝒟$. Подсетимо се да је категорија запете $(X\downarrow F)$ категорија у којој:

• Објекти су парови облика $(B,f:X\to F(B))$, где је $B$ објекат у $𝒞$
• Морфизам из $(B,f:X\to F(B))$ у $(B^{\prime },f^{\prime }:X\to F(B^{\prime }))$ је дат морфизмом $h:B\to B^{\prime }$ у $𝒞$ таквим да дијаграм комутира:

Морфизам у категорији запете је дат морфизмом $h:B\to B^{\prime }$ који такође чини да дијаграм комутира.

Сада претпоставимо да је објекат $(A,u:X\to F(A))$ у $(X\downarrow F)$ иницијалан. Тада за сваки објекат $(A^{\prime },f:X\to F(A^{\prime }))$, постоји јединствени морфизам $h:A\to A^{\prime }$ такав да следећи дијаграм комутира.

Ово демонстрира везу између универзалног дијаграма који је иницијални објекат у категорији запете.

Имајте на уму да једнакост овде једноставно значи да су дијаграми исти. Такође имајте на уму да је дијаграм са десне стране једнакости потпуно исти као онај који је понуђен у дефинисању универзалног морфизма из $X$ у $F$. Према томе, видимо да је универзални морфизам из $X$ у $F$ еквивалентан иницијалном објекту у категорији запете $(X\downarrow F)$.

Обрнуто, подсетимо се да је категорија запете $(F\downarrow X)$ категорија у којој:

• Објекти су парови облика $(B,f:F(B)\to X)$ где је $B$ објекат у $𝒞$
• Морфизам из $(B,f:F(B)\to X)$ у $(B^{\prime },f^{\prime }:F(B^{\prime })\to X)$ је дат морфизмом $h:B\to B^{\prime }$ у $𝒞$ таквим да дијаграм комутира:

Ово једноставно демонстрира дефиницију морфизма у категорији запете.

Претпоставимо да је $(A,u:F(A)\to X)$ терминални објекат у $(F\downarrow X)$. Тада за сваки објекат $(A^{\prime },f:F(A^{\prime })\to X)$, постоји јединствени морфизам $h:A^{\prime }\to A$ такав да следећи дијаграми комутирају.

Ово показује да терминални објекат у специфичној категорији запете одговара универзалном морфизму.

Дијаграм са десне стране једнакости је исти дијаграм приказан приликом дефинисања универзалног морфизма из $F$ у $X$. Стога, универзални морфизам из $F$ у $X$ одговара терминалном објекту у категорији запете $(F\downarrow X)$.

Примери

Испод је неколико примера, како би се истакла општа идеја. Читалац може конструисати бројне друге примере консултујући чланке поменуте у уводу.

Тензорска алгебра

Нека је $𝒞$ категорија векторских простора $K$-Vect над пољем $K$ и нека је $𝒟$ категорија алгебри $K$-Alg над $K$ (за које се претпоставља да су унитарне и асоцијативне). Нека је $$U:K\text{-}𝐀𝐥𝐠\to K\text{-}𝐕𝐞𝐜𝐭$$ заборавни функтор који свакој алгебри додељује њен основни векторски простор.

За дати векторски простор $V$ над $K$ можемо конструисати тензорску алгебру $T(V)$. Тензорску алгебру карактерише чињеница:

„Свако линеарно пресликавање из $V$ у алгебру $A$ може се јединствено проширити до хомоморфизма алгебри из $T(V)$ у $A$.”

Ова тврдња је иницијално својство тензорске алгебре јер изражава чињеницу да је пар $(T(V),i)$, где је $i:V\to U(T(V))$ пресликавање инклузије, универзални морфизам из векторског пространства $V$ у функтор $U$.

Пошто ова конструкција функционише за сваки векторски простор $V$, закључујемо да је $T$ функтор из $K$-Vect у $K$-Alg. Ово значи да је $T$ леви адјунговани функтор заборавном функтору $U$ (види одељак испод о вези са адјунгованим функторима).

Производи

Категоријски производ се може окарактерисати универзалном конструкцијом. Конкретно, може се посматрати Декартов производ у категорији Set, директан производ у Grp, или топологија производа у Top, где производи постоје.

Нека су $X$ и $Y$ објекти категорије $𝒞$ са коначним производима. Производ објеката $X$ и $Y$ је објекат $X\times Y$ заједно са два морфизма

${\pi }_1:X\times Y\to X$

${\pi }_2:X\times Y\to Y$

таква да за сваки други објекат $Z$ у $𝒞$ и морфизме $f:Z\to X$ и $g:Z\to Y$ постоји јединствени морфизам $h:Z\to X\times Y$ такав да је $f={\pi }_1\circ h$ и $g={\pi }_2\circ h$.

Да бисмо ову карактеризацију разумели као универзално својство, узмимо да је категорија $𝒟$ категорија производа $𝒞\times 𝒞$ и дефинишимо дијагонални функтор

$\mathrm{\Delta }:𝒞\to 𝒞\times 𝒞$

као $\mathrm{\Delta }(X)=(X,X)$ и $\mathrm{\Delta }(f:X\to Y)=(f,f)$. Тада је $(X\times Y,({\pi }_1,{\pi }_2))$ универзални морфизам из $\mathrm{\Delta }$ у објекат $(X,Y)$ категорије $𝒞\times 𝒞$: ако је $(f,g)$ било који морфизам из $(Z,Z)$ у $(X,Y)$, онда он мора бити једнак морфизму $\mathrm{\Delta }(h:Z\to X\times Y)=(h,h)$ из $\mathrm{\Delta }(Z)=(Z,Z)$ у $\mathrm{\Delta }(X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)$ након којег следи $({\pi }_1,{\pi }_2)$. Као комутативни дијаграм:

Комутативни дијаграм који показује како производи имају универзално својство.

За пример Декартовог производа у Set, морфизам $({\pi }_1,{\pi }_2)$ се састоји од две пројекције ${\pi }_1(x,y)=x$ и ${\pi }_2(x,y)=y$. За дати скуп $Z$ и функције $f,g$ јединствено пресликавање такво да тражени дијаграм комутира дато је са $h=⟨x,y⟩(z)=(f(z),g(z))$.

Лимеси и колимеси

Категоријски производи су посебна врста лимеса у теорији категорија. Претходни пример се може генерализовати на произвољне лимесе и колимесе.

Нека су $𝒥$ и $𝒞$ категорије при чему је $𝒥$ мала категорија која служи као индексна категорија и нека је ${𝒞}^{𝒥}$ одговарајућа категорија функтора. Дијагонални функтор

$\mathrm{\Delta }:𝒞\to {𝒞}^{𝒥}$

је функтор који пресликава сваки објекат $N$ у $𝒞$ у константни функтор $\mathrm{\Delta }(N):𝒥\to 𝒞$ (тј. $\mathrm{\Delta }(N)(X)=N$ за сваки $X$ у $𝒥$ и $\mathrm{\Delta }(N)(f)=1_N$ за сваки $f:X\to Y$ у $𝒥$) и сваки морфизам $f:N\to M$ у $𝒞$ у природну трансформацију $\mathrm{\Delta }(f):\mathrm{\Delta }(N)\to \mathrm{\Delta }(M)$ у ${𝒞}^{𝒥}$ дефинисану тако да, за сваки објекат $X$ из $𝒥$, компонента буде $$\mathrm{\Delta }(f)(X):\mathrm{\Delta }(N)(X)\to \mathrm{\Delta }(M)(X)=f:N\to M$$ у $X$. Другим речима, природна трансформација је она која је дефинисана тако што има константну компоненту $f:N\to M$ за сваки објекат у $𝒥$.

За дати функтор $F:𝒥\to 𝒞$ (који се посматра као објекат у ${𝒞}^{𝒥}$), лимес функтора $F$, ако постоји, није ништа друго до универзални морфизам из $\mathrm{\Delta }$ у $F$. Дуално, колимес функтора $F$ је универзални морфизам из $F$ у $\mathrm{\Delta }$.

Својства

Постојање и јединственост

Дефинисање неке величине не гарантује њено постојање. За дати функтор $F:𝒞\to 𝒟$ и објекат $X$ у $𝒟$, универзални морфизам из $X$ у $F$ може и не мора постојати. Ако, међутим, универзални морфизам $(A,u)$ постоји, онда је он суштински јединствен. Специфично, јединствен је до на јединствен изоморфизам: ако је $(A^{\prime },u^{\prime })$ неки други пар, онда постоји јединствени изоморфизам $k:A\to A^{\prime }$ такав да је $u^{\prime }=F(k)\circ u$. Ово се лако може видети заменом $(A,u^{\prime })$ у дефиницију универзалног морфизма.

Управо је пар $(A,u)$ суштински јединствен на овај начин. Сам објекат $A$ је јединствен само до на изоморфизам. Заиста, ако је $(A,u)$ универзални морфизам и $k:A\to A^{\prime }$ било који изоморфизам, онда је и пар $(A^{\prime },u^{\prime })$, где је $u^{\prime }=F(k)\circ u$, такође универзални морфизам.

Еквивалентне формулације

Дефиниција универзалног морфизма може бити преформулисана на различите начине. Нека је $F:𝒞\to 𝒟$ функтор и нека је $X$ објекат у $𝒟$. Тада су следећа тврђења еквивалентна:

• $(A,u)$ је универзални морфизам из $X$ у $F$
• $(A,u)$ је иницијални објекат категорије запете $(X\downarrow F)$
• $(A,F(\bullet )\circ u)$ је репрезентација функтора ${\text{Hom}}_{𝒟}(X,F(-))$, где су његове компоненте $(F(\bullet )\circ u{)}_B:{\text{Hom}}_{𝒞}(A,B)\to {\text{Hom}}_{𝒟}(X,F(B))$ дефинисане са

$$(F(\bullet )\circ u{)}_B(f:A\to B):X\to F(B)=F(f)\circ u:X\to F(B)$$

за сваки објекат $B$ у $𝒞$.

Дуална тврђења су такође еквивалентна:

• $(A,u)$ је универзални морфизам из $F$ у $X$
• $(A,u)$ је терминални објекат категорије запете $(F\downarrow X)$
• $(A,u\circ F(\bullet ))$ је репрезентација функтора ${\text{Hom}}_{𝒟}(F(-),X)$, где су његове компоненте $(u\circ F(\bullet ){)}_B:{\text{Hom}}_{𝒞}(B,A)\to {\text{Hom}}_{𝒟}(F(B),X)$ дефинисане са

$$(u\circ F(\bullet ){)}_B(f:B\to A):F(B)\to X=u\circ F(f):F(B)\to X$$

за сваки објекат $B$ у $𝒞$.

Веза са адјунгованим функторима

Претпоставимо да је $(A_1,u_1)$ универзални морфизам из $X_1$ у $F$ и $(A_2,u_2)$ универзални морфизам из $X_2$ у $F$. Према универзалном својству универзалних морфизама, за дати морфизам $h:X_1\to X_2$ постоји јединствени морфизам $g:A_1\to A_2$ такав да следећи дијаграм комутира:

Универзални морфизми се могу понашати као природна трансформација између функтора под одговарајућим условима.

Ако сваки објекат $X_i$ у $𝒟$ допушта универзални морфизам у $F$, онда додељивање $X_i\mapsto A_i$ и $h\mapsto g$ дефинише функтор $G:𝒟\to 𝒞$. Пресликавања $u_i$ тада дефинишу природну трансформацију из $1_{𝒟}$ (функтор идентитета на $𝒟$) у $F\circ G$. Функтори $(F,G)$ тада представљају пар адјунгованих функтора, где је $G$ леви адјунговани функтор функтору $F$, а $F$ је десни адјунговани функтор функтору $G$.

Слична тврђења важе и за дуалну ситуацију терминалних морфизама из $F$. Ако такви морфизми постоје за сваки $X$ у $𝒞$, добија се функтор $G:𝒞\to 𝒟$ који је десни адјунговани функтор функтору $F$ (па је $F$ леви адјунговани функтор функтору $G$).

Заиста, сви парови адјунгованих функтора произилазе из универзалних конструкција на овај начин. Нека су $F$ и $G$ пар адјунгованих функтора са јединицом $\eta$ и којединицом $ϵ$ (види чланак о адјунгованим функторима за дефиниције). Тада имамо универзални морфизам за сваки објекат у $𝒞$ и $𝒟$:

• За сваки објекат $X$ у $𝒞$, $(F(X),{\eta }_X)$ је универзални морфизам из $X$ у $G$. Односно, за сваки $f:X\to G(Y)$ постоји јединствени $g:F(X)\to Y$ за који следећи дијаграми комутирају.
• За сваки објекат $Y$ у $𝒟$, $(G(Y),{ϵ}_Y)$ је универзални морфизам из $F$ у $Y$. Односно, за сваки $g:F(X)\to Y$ постоји јединствени $f:X\to G(Y)$ за који следећи дијаграми комутирају.

Јединица и којединица адјункције, које представљају природне трансформације између функтора, важан су пример универзалних морфизама.

Универзалне конструкције су општије од парова адјунгованих функтора: универзална конструкција је попут проблема оптимизације; она доводи до адјунгованог пара ако и само ако овај проблем има решење за сваки објекат у $𝒞$ (еквивалентно, за сваки објекат у $𝒟$).

Историја

Универзална својства различитих тополошких конструкција представио је Пјер Самјуел 1948. године. Касније их је екстензивно користио Бурбаки. Блиско повезан концепт адјунгованих функтора независно је увео Данијел Кан 1958. године.

Види још

• Слободан објекат
• Природна трансформација
• Адјунговани функтори
• Монада (теорија категорија)
• Варијетет алгебри
• Декартово затворена категорија

Литература

• Шаблон:Cite book, , Holland. .
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications)
• Шаблон:Cite book. Hermann, .
• Шаблон:Cite book. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• nLab, вики пројекат посвећен математици, физици и филозофији са нагласком на тачку гледишта $n$-категорија
• Андре Жоајал, CatLab, вики пројекат посвећен излагању категоријске математике
• Шаблон:Cite book формални увод у теорију категорија.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
• Стенфордова енциклопедија филозофије: "Теорија категорија" — аутор Жан-Пјер Марки. Опсежна библиографија.
• Списак академских конференција о теорији категорија
• Баез, Џон, 1996, "The Tale of n-categories." Неформалан увод у категорије вишег реда.
• WildCats је пакет за теорију категорија за програм Математика. Манипулација и визуелизација објеката, морфизама, категорија, функтора, природних трансформација, универзалних својстава.
• The catsters, Јутјуб канал о теорији категорија.
• Видео архива снимљених предавања релевантних за категорије, логику и основе физике.
• Интерактивна веб страница која генерише примере категоријских конструкција у категорији коначних скупова.

Шаблон:Теорија категорија Шаблон:Подножје}}