Тејлорова формула

Апроксимација функције f(x) = 1/(1 + x²) њеним Тејлоровим полиномом P_k реда k = 1, ..., 16 centered at x = 0 (црвена боја) и x = 1 (зелена боја). Апроксимације нису задовољавајуће ван интервала (-1,1) и (1-√2,1+√2).

Тејлорова формула, која је добила име по математичару Бруку Тејлору, користи се за приближно израчунавање функција у околини неке одређене тачке уз помоћ Тејлорових полинома.

Тејлоров полином

Шаблон:Главни чланак Тејлоров полином за неку функцију $f(x)$ и дату тачку $a$ је дефинисан на следећи начин:

$T_n(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\dots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=\sum _{k=0}^n(\frac{f^k(a)}{k!}(x-a{)}^k)$

Пошто се при таквој апроксимацији функције полиномом прави некаква грешка, део за који се разликује функција и полином називамо остатком $R_n^a(x)$ полинома и он износи:

$R_n^a(x)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^n{f}^{(n+1)}(t)dt$

Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку $a$ коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:

$f(x)=T_n(x)+R_n(x)$

Доказ

Доказ да се свака функција може представити као збир Тејлоровог полинома и његовог остатка можемо спровести индукцијом.

База индукције:

$n=0$

$f(x)=f(a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}1\cdot f^{\prime }(t)dt.$

Да Тејлорова формула важи за $n=1$ можемо доказати путем парцијалне интеграције:

$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^1{f}^{″}(t)dt$

Корак индукције: Узмимо онда да за неко $n-1$ важи:

$f(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{(n-1)!}(x-a{)}^{n-1}+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t{)}^{n-1}dt$

Доказ:

$n-1\to n$

$R_{n-1}^a(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t{)}^{n-1}dt=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n-1}{f}^{(n)}(t)dt$

Користимо $\frac{d}{dt}\left(\frac{(x-t{)}^n}{n}\right)=-(x-t{)}^{n-1}$:

$R_{n-1}^a(x)=-\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{d}{dt}(\frac{(x-t{)}^n}{n})\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)dt$

$R_{n-1}^a(x)=-\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{u^{\prime }}{\underbrace{\frac{d}{dt}(\frac{(x-t{)}^n}{n!})}}\underset{v}{\underbrace{\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)}}dt$

Парцијалном интеграцијом:

$R_{n-1}^a(x)=-{\left[\underset{u}{\underbrace{\frac{(x-t{)}^n}{n!}}}\underset{v}{\underbrace{\frac{d^n}{d{t}^n}f(t)}}\right]}_a^x+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{u}{\underbrace{\frac{(x-t{)}^n}{n!}}}\underset{v^{\prime }}{\underbrace{\frac{d^{n+1}}{d{t}^{n+1}}f(t)}}dt$

$R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^n+\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^n\frac{d^{n+1}}{d{t}^{n+1}}f(t)dt$

$R_{n-1}^a(x)=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^n+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t{)}^{n}dt$

$\Rightarrow f(x)=T_{n-1}(x)+R_{n-1}(x)=T_n(x)+R_n(x)$,

што смо и хтели да докажемо.

Тејлорова формула у Лагранжовом облику

Тејлорова формула у Лагранжовом облику се добија када се на израз Тејлорове формуле

$\Rightarrow f(x)=T_{n-1}(x)+R_{n-1}(x)=T_n(x)+R_n(x)$

примени Лагранжова теорема за средњу вредност:

$R_n^a(x)=\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^n{f}^{(n+1)}(t)dt=f^{(n+1)}(\xi )\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^n}{n!}dt=f^{(n+1)}(\xi )\frac{(x-a{)}^{n+1}}{(n+1)!}$, где је $a<\xi <x$

Пример

Датотека:Tejlorova formula sin prvi stepen.gif

Црвеном бојом је представљена функција синус, а плавом бојом Тејлоров полином првог степена за синус, што и није нарочито лоша апроксимација ако, као у примеру, посматрамо само сегмент од -0.5 до 0.5.

Израчунавање ниједне тригонометријске функције у општем случају није тривијално. Међутим, за резултате са одређеном тачношћу, Тејлорова формула даје веома добре резултате који се могу и јако брзо израчунати.

Тако, на пример, можемо израчунати приближну вредност синуса у опсегу -0.5 до 0.5. Једна од најефикаснијих могућности за израчунавање је примена Тејлоровог полинома на тачку 0.

За синус знамо да важи:

$f(x)=\sin (x),f^{\prime }(x)=\cos (x),f^{″}(x)=-\sin (x)$

Тејлоров полином првог степена стога гласи:

$n=1,a=0$

$\sin (x)\approx T_1(x)=f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}\cdot (x-a)=\sin (0)+\cos (0)\cdot x=x$

У посматраном интервалу, резултати апроксимације су прилично добри, јер је грешка:

$R_1(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t)f^{″}(t)dt=\sin (x)-x$ највећа код тачака -0.5 и 0.5 и она износи:

$R_1(0.5)=-0.020574$, што је са практичне тачке гледишта сасвим прихватљиво.

Граф за $R_3(x)$.

Тако можемо и практично да опазимо да је наша приближна вредност све гора апроксимација што се даље удаљавамо од тачке $a$.

За боље апроксимације и мање грешке, потребно је само функцију развити до виших степена и тако се све више и више приближавати траженој функцији.

Приказане су апроксимације функције $\sin (x)$ за развијање до све виших и виших редова (до првог реда - црвеном бојом, до трећег реда - зеленом бојом, ...):

Види још

• Маклоренова формула
• Тејлоров ред
• Тејлоров полином

Литература

• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.