Тополошки векторски простор

Тополошки векторски простор (такође се назива и линеарни тополошки простор и обично скраћује ТВП или т.в.п.) је једна од основних структура која се проучава у функционалној анализи. Тополошки векторски простор је векторски простор који је истовремено и тополошки простор са особином да су операције векторског простора (сабирање вектора и множење скаларом) такође непрекидне функције. Таква топологија се назива Шаблон:Em и сваки тополошки векторски простор има униформну тополошку структуру, што омогућава појам униформне конвергенције и комплетности. Неки аутори такође захтевају да је простор Хаусдорфов простор (иако овај чланак то не чини). Једна од највише проучаваних категорија ТВП-а су локално конвексни тополошки векторски простори. Овај чланак се фокусира на ТВП-е који нису нужно локално конвексни. Други добро познати примери ТВП-а укључују Банахове просторе, Хилбертове просторе и Собољевљеве просторе.

Многи тополошки векторски простори су простори функција, или линеарних оператора који делују на тополошким векторским просторима, а топологија се често дефинише тако да обухвати одређени појам конвергенције низова функција.

У овом чланку, скаларно поље тополошког векторског простора ће се сматрати да је или комплексни бројеви $ℂ$ или реални бројеви $ℝ,$ осим ако није јасно другачије назначено.

Мотивација

Нормирани простори

Сваки нормирани векторски простор има природну тополошку структуру: норма индукује метрику, а метрика индукује топологију. Ово је тополошки векторски простор зато штоШаблон:Потребан цитат:

1. Пресликавање сабирања вектора $\cdot +\cdot :X\times X\to X$ дефинисано са $(x,y)\mapsto x+y$ је (заједнички) непрекидно у односу на ову топологију. Ово директно следи из неједнакости троугла коју задовољава норма.
2. Пресликавање множења скаларом $\cdot :𝕂\times X\to X$ дефинисано са $(s,x)\mapsto s\cdot x,$ где је $𝕂$ основно скаларно поље од $X,$ је (заједнички) непрекидно. Ово следи из неједнакости троугла и хомогености норме.

Стога су сви Банахови простори и Хилбертови простори примери тополошких векторских простора.

Ненормирани простори

Постоје тополошки векторски простори чија топологија није индукована нормом, али су и даље од интереса у анализи. Примери таквих простора су простори холоморфних функција на отвореном домену, простори бесконачно диференцијабилних функција, Шварцови простори и простори тест функција и простори дистрибуција на њима.Шаблон:Sfn Ово су све примери Монтелових простора. Бесконачно-димензиони Монтелов простор никада није нормабилан. Постојање норме за дати тополошки векторски простор карактерише Колмогоров критеријум нормабилности.

Тополошко поље је тополошки векторски простор над сваким од својих подпоља.

Дефиниција

Фамилија околина координатног почетка са горње две особине једнозначно одређује тополошки векторски простор. Систем околина било које друге тачке у векторском простору се добија транслацијом.

Тополошки векторски простор (ТВП) $X$ је векторски простор над тополошким пољем $𝕂$ (најчешће реалним или комплексним бројевима са њиховим стандардним топологијама) који је снабдевен топологијом таквом да су сабирање вектора $\cdot +\cdot :X\times X\to X$ и множење скаларом $\cdot :𝕂\times X\to X$ непрекидне функције (при чему су домени ових функција снабдевени топологијама производа). Таква топологија се назива Шаблон:Visible anchor или Шаблон:Visible anchor на $X.$

Сваки тополошки векторски простор је такође комутативна тополошка група у односу на сабирање.

Хаусдорфова претпоставка

Многи аутори (на пример, Волтер Рудин), али не и ова страница, захтевају да топологија на $X$ буде T₁; одатле следи да је простор Хаусдорфов, па чак и Тихоновљев. За тополошки векторски простор се каже да је Шаблон:Em ако је Хаусдорфов; важно је напоменути да „сепариран“ не значи сепарабилан. Тополошке и линеарно алгебарске структуре могу се још чвршће повезати додатним претпоставкама, од којих су најчешће наведене испод.

Категорија и морфизми

Категорија тополошких векторских простора над датим тополошким пољем $𝕂$ се обично означава са ${\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{S}}_{𝕂}$ или ${\mathrm{T}\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}}_{𝕂}.$ Објекти су тополошки векторски простори над $𝕂$, а морфизми су непрекидна $𝕂$-линеарна пресликавања са једног објекта на други.

Шаблон:Em (скраћено Шаблон:Em), такође се назива и Шаблон:Em,Шаблон:SfnШаблон:Sfn је непрекидно линеарно пресликавање $u:X\to Y$ између тополошких векторских простора (ТВП) такво да је индуковано пресликавање $u:X\to \mathrm{Im}u$ отворено пресликавање када је $\mathrm{Im}u:=u(X),$ што је опсег или слика од $u,$ снабдевен топологијом потпростора индукованом са $Y.$

Шаблон:Em (скраћено Шаблон:Em), такође се назива и Шаблон:Em, је инјективни тополошки хомоморфизам. Еквивалентно, ТВП-утапање је линеарно пресликавање које је такође и тополошко утапање.Шаблон:Sfn

Шаблон:Em (скраћено Шаблон:Em), такође се назива и Шаблон:EmШаблон:Sfn или Шаблон:Em, је бијективни линеарни хомеоморфизам. Еквивалентно, то је сурјективно ТВП утапање.Шаблон:Sfn

Многа својства ТВП-а која се проучавају, као што су локална конвексност, метризабилност, комплетност и нормабилност, су инваријантна у односу на ТВП изоморфизме.

Неопходан услов за векторску топологију

Колекција $𝒩$ подскупова векторског простора назива се Шаблон:EmШаблон:Sfn ако за свако $N\in 𝒩,$ постоји неко $U\in 𝒩$ такво да је $U+U\subseteq N.$

Сви горњи услови су стога неопходни да би топологија формирала векторску топологију.

Дефинисање топологија коришћењем околина координатног почетка

Пошто је свака векторска топологија транслационо инваријантна (што значи да за свако $x_0\in X,$ пресликавање $X\to X$ дефинисано са $x\mapsto x_0+x$ је хомеоморфизам), да би се дефинисала векторска топологија довољно је дефинисати базу околина (или подбазу) за њу у координатном почетку.

Генерално, скуп свих балансираних и апсорбујућих подскупова векторског простора не задовољава услове ове теореме и не формира базу околина у координатном почетку ни за једну векторску топологију.Шаблон:Sfn

Дефинисање топологија коришћењем стрингова

Нека је $X$ векторски простор и нека је $U_{\bullet }={\left(U_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ низ подскупова од $X.$ Сваки скуп у низу $U_{\bullet }$ назива се Шаблон:Visible anchor од $U_{\bullet }$ и за сваки индекс $i,$ $U_i$ се назива $i$-ти чвор од $U_{\bullet }.$ Скуп $U_1$ се назива почетак од $U_{\bullet }.$ Низ $U_{\bullet }$ је/је:Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn

• Шаблон:Visible anchor ако је $U_{i+1}+U_{i+1}\subseteq U_i$ за сваки индекс $i.$
• Балансиран (респ. апсорбујући, затворен, конвексан, отворен, симетричан, буреласт, апсолутно конвексан/дискован, итд.) ако је то тачно за свако $U_i.$
• Шаблон:Visible anchor ако је $U_{\bullet }$ сумативан, апсорбујући и балансиран.
• Шаблон:Visible anchor или Шаблон:Visible anchor у ТВП-у $X$ ако је $U_{\bullet }$ стринг и сваки његов чвор је околина координатног почетка у $X.$

Ако је $U$ апсорбујући диск у векторском простору $X$, онда низ дефинисан са $U_i:=2^{1-i}U$ формира стринг који почиње са $U_1=U.$ Ово се назива природни стринг од $U$Шаблон:Sfn Штавише, ако векторски простор $X$ има пребројиву димензију, онда сваки стринг садржи апсолутно конвексан стринг.

Сумативни низови скупова имају посебно лепо својство да дефинишу ненегативне непрекидне реалновредносне субадитивне функције. Ове функције се затим могу користити за доказивање многих основних особина тополошких векторских простора.

Шаблон:Математичка теорема Доказ горње теореме је дат у чланку о метризабилним тополошким векторским просторима.

Ако су $U_{\bullet }={\left(U_i\right)}_{i\in \mathbb{N}}$ и $V_{\bullet }={\left(V_i\right)}_{i\in \mathbb{N}}$ две колекције подскупова векторског простора $X$ и ако је $s$ скалар, онда по дефиницији:Шаблон:Sfn

• $V_{\bullet }$ садржи $U_{\bullet }$: $U_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }$ ако и само ако $U_i\subseteq V_i$ за сваки индекс $i.$
• Скуп чворова: $\mathrm{Knots}{U}_{\bullet }:=\{U_i:i\in \mathbb{N}\}.$
• Језгро: $\ker U_{\bullet }:={\bigcap }_{i\in \mathbb{N}}{U}_i.$
• Скаларни умножак: $s{U}_{\bullet }:={\left(s{U}_i\right)}_{i\in \mathbb{N}}.$
• Збир: $U_{\bullet }+V_{\bullet }:={(U_i+V_i)}_{i\in \mathbb{N}}.$
• Пресек: $U_{\bullet }\cap V_{\bullet }:={(U_i\cap V_i)}_{i\in \mathbb{N}}.$

Ако је $𝕊$ колекција низова подскупова од $X,$ онда се за $𝕊$ каже да је усмерена (надоле) по инклузији или једноставно усмерена надоле ако $𝕊$ није празна и за све $U_{\bullet },V_{\bullet }\in 𝕊,$ постоји неко $W_{\bullet }\in 𝕊$ такво да је $W_{\bullet }\subseteq U_{\bullet }$ и $W_{\bullet }\subseteq V_{\bullet }$ (другачије речено, ако и само ако је $𝕊$ предфилтер у односу на садржавање $\subseteq$ дефинисано горе).

Нотација: Нека $\mathrm{Knots}𝕊:={\bigcup }_{U_{\bullet }\in 𝕊}\mathrm{Knots}{U}_{\bullet }$ буде скуп свих чворова свих стрингова у $𝕊.$

Дефинисање векторских топологија коришћењем колекција стрингова је посебно корисно за дефинисање класа ТВП-а које нису нужно локално конвексне.

Ако је $𝕊$ скуп свих тополошких стрингова у ТВП-у $(X,\tau )$, онда је ${\tau }_{𝕊}=\tau .$Шаблон:Sfn Хаусдорфов ТВП је метризабилан ако и само ако његова топологија може бити индукована једним тополошким стрингом.Шаблон:Sfn

Тополошка структура

Векторски простор је Абелова група у односу на операцију сабирања, а у тополошком векторском простору инверзна операција је увек непрекидна (пошто је то исто што и множење са $-1$). Стога је сваки тополошки векторски простор Абелова тополошка група. Сваки ТВП је потпуно регуларан, али ТВП не мора бити нормалан.Шаблон:Sfn

Нека је $X$ тополошки векторски простор. За дати потпростор $M\subseteq X,$ количнички простор $X/M$ са уобичајеном количничком топологијом је Хаусдорфов тополошки векторски простор ако и само ако је $M$ затворен. Ово дозвољава следећу конструкцију: за дати тополошки векторски простор $X$ (који вероватно није Хаусдорфов), формирајмо количнички простор $X/M$ где је $M$ затворење од $\{0\}.$ $X/M$ је тада Хаусдорфов тополошки векторски простор који се може проучавати уместо $X.$

Инваријантност векторских топологија

Једно од најчешће коришћених својстава векторских топологија је да је свака векторска топологија Шаблон:Em:

за свако $x_0\in X,$ пресликавање $X\to X$ дефинисано са $x\mapsto x_0+x$ је хомеоморфизам, али ако $x_0\ne 0$ онда није линеарно и стога није ТВП-изоморфизам.

Множење скаларом не-нула скаларом је ТВП-изоморфизам. Ово значи да ако $s\ne 0$ онда је линеарно пресликавање $X\to X$ дефинисано са $x\mapsto sx$ хомеоморфизам. Користећи $s=-1$ добија се пресликавање негације $X\to X$ дефинисано са $x\mapsto -x,$ које је последично линеарни хомеоморфизам и стога ТВП-изоморфизам.

Ако $x\in X$ и било који подскуп $S\subseteq X,$ онда је ${\mathrm{cl}}_X(x+S)=x+{\mathrm{cl}}_{X}S$Шаблон:Sfn и штавише, ако $0\in S$ онда је $x+S$ околина (респ. отворена околина, затворена околина) од $x$ у $X$ ако и само ако исто важи за $S$ у координатном почетку.

Локални појмови

За подскуп $E$ векторског простора $X$ каже се да је

• апсорбујући (у $X$): ако за свако $x\in X,$ постоји реално $r>0$ такво да је $cx\in E$ за било који скалар $c$ који задовољава $|c|\le r.$Шаблон:Sfn
• балансиран или кружан: ако $tE\subseteq E$ за сваки скалар $|t|\le 1.$Шаблон:Sfn
• конвексан: ако $tE+(1-t)E\subseteq E$ за свако реално $0\le t\le 1.$Шаблон:Sfn
• диск или апсолутно конвексан: ако је $E$ конвексан и балансиран.
• симетричан: ако $-E\subseteq E,$ или еквивалентно, ако $-E=E.$

Свака околина координатног почетка је апсорбујући скуп и садржи отворену балансирану околину од $0$Шаблон:Sfn, тако да сваки тополошки векторски простор има локалну базу апсорбујућих и балансираних скупова. Координатни почетак чак има базу околина која се састоји од затворених балансираних околина од $0;$ ако је простор локално конвексан, онда такође има базу околина која се састоји од затворених конвексних балансираних околина координатног почетка.

Ограничени подскупови

Подскуп $E$ тополошког векторског простора $X$ је ограниченШаблон:Sfn ако за сваку околину $V$ координатног почетка постоји $t$ такво да је $E\subseteq tV$.

Дефиниција ограничености може се мало ослабити; $E$ је ограничен ако и само ако је сваки његов пребројив подскуп ограничен. Скуп је ограничен ако и само ако је сваки његов подниз ограничен скуп.Шаблон:Sfn Такође, $E$ је ограничен ако и само ако за сваку балансирану околину $V$ координатног почетка, постоји $t$ такво да је $E\subseteq tV.$

Штавише, када је $X$ локално конвексан, ограниченост се може окарактерисати полунормама: подскуп $E$ је ограничен ако и само ако је свака непрекидна полунорма $p$ ограничена на $E.$Шаблон:Sfn

Сваки тотално ограничен скуп је ограничен.Шаблон:Sfn Ако је $M$ векторски потпростор ТВП-а $X,$ онда је подскуп од $M$ ограничен у $M$ ако и само ако је ограничен у $X.$Шаблон:Sfn

Метризабилност

ТВП је псеудометризабилан ако и само ако има пребројиву базу околина у координатном почетку, или еквивалентно, ако и само ако је његова топологија генерисана неком F-полунормом. ТВП је метризабилан ако и само ако је Хаусдорфов и псеудометризабилан.

Још јаче: за тополошки векторски простор се каже да је нормабилан ако његова топологија може бити индукована нормом. Тополошки векторски простор је нормабилан ако и само ако је Хаусдорфов и има конвексну ограничену околину координатног почетка.

Нека је $𝕂$ не-дискретно локално компактно тополошко поље, на пример реални или комплексни бројеви. Хаусдорфов тополошки векторски простор над $𝕂$ је локално компактан ако и само ако је коначно-димензионалан, то јест, изоморфан са ${𝕂}^n$ за неки природан број $n.$Шаблон:Sfn

Комплетност и униформна структура

Канонска униформностШаблон:Sfn на ТВП-у $(X,\tau )$ је јединствена транслационо-инваријантна униформност која индукује топологију $\tau$ на $X.$

Претпоставља се да је сваки ТВП снабдевен овом канонском униформношћу, што све ТВП-е чини униформним просторима. Стога има смисла говорити о повезаним појмовима као што су комплетност, униформна конвергенција, Кошијеве мреже и униформна непрекидност, итд., за које се увек претпоставља да су у односу на ову униформност (осим ако није другачије назначено). Ово имплицира да је сваки Хаусдорфов тополошки векторски простор Тихоновљев.Шаблон:Sfn Подскуп ТВП-а је компактан ако и само ако је комплетан и тотално ограничен (за Хаусдорфове ТВП-е, бити тотално ограничен је еквивалентно са бити прекомпактан). Али ако ТВП није Хаусдорфов, онда постоје компактни подскупови који нису затворени. Међутим, затворење компактног подскупа не-Хаусдорфовог ТВП-а је поново компактно (тако да су компактни подскупови релативно компактни).

У односу на ову униформност, мрежа (или низ) $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ је Кошијева ако и само ако за сваку околину $V$ од $0,$ постоји неки индекс $n$ такав да је $x_i-x_j\in V$ кад год је $i\ge n$ и $j\ge n.$

Сваки Кошијев низ је ограничен, иако Кошијеве мреже и Кошијеви филтери можда нису ограничени. Тополошки векторски простор у коме сваки Кошијев низ конвергира назива се секвенцијално комплетан; генерално, можда није комплетан (у смислу да сви Кошијеви филтери конвергирају).

Операција сабирања векторског простора је униформно непрекидна и отворено пресликавање. Множење скаларом је Кошијево непрекидно, али генерално, готово никада није униформно непрекидно. Због тога се сваки тополошки векторски простор може комплетирати и стога је густ линеарни потпростор комплетног тополошког векторског простора.

• Сваки ТВП има комплетирање и сваки Хаусдорфов ТВП има Хаусдорфово комплетирање.Шаблон:Sfn Сваки ТВП (чак и они који су Хаусдорфови и/или комплетни) има бесконачно много неизоморфних не-Хаусдорфових комплетирања.
• Компактан подскуп ТВП-а (не нужно Хаусдорфовог) је комплетан.Шаблон:Sfn Комплетан подскуп Хаусдорфовог ТВП-а је затворен.Шаблон:Sfn
• Ако је $C$ комплетан подскуп ТВП-а, онда је сваки подскуп од $C$ који је затворен у $C$ комплетан.Шаблон:Sfn
• Кошијев низ у Хаусдорфовом ТВП-у $X$ није нужно релативно компактан (то јест, његово затворење у $X$ није нужно компактно).
• Ако Кошијев филтер у ТВП-у има тачку нагомилавања $x$, онда конвергира ка $x.$
• Ако ред ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i$ конвергира у ТВП-у $X$, онда $x_{\bullet }\to 0$ у $X.$Шаблон:Sfn

Примери

Најфинија и најгрубља векторска топологија

Нека је $X$ реалан или комплексан векторски простор.

Тривијална топологија

Тривијална топологија или индискретна топологија $\{X,\varnothing \}$ је увек ТВП топологија на сваком векторском простору $X$ и то је најгрубља могућа ТВП топологија. Важна последица овога је да пресек било које колекције ТВП топологија на $X$ увек садржи ТВП топологију. Било који векторски простор (укључујући и оне који су бесконачно димензиони) снабдевен тривијалном топологијом је компактан (и стога локално компактан) комплетан псеудометризабилан семинормабилан локално конвексан тополошки векторски простор. Он је Хаусдорфов ако и само ако је $\dim X=0.$

Најфинија векторска топологија

Постоји ТВП топологија ${\tau }_f$ на $X,$ која се назива Шаблон:Visible anchor на $X,$ која је финија од сваке друге ТВП-топологије на $X$ (то јест, свака ТВП-топологија на $X$ је нужно подскуп од ${\tau }_f$).Шаблон:Sfn Свако линеарно пресликавање из $(X,{\tau }_f)$ у други ТВП је нужно непрекидно. Ако $X$ има непребројиву Хамелову базу, онда ${\tau }_f$ Шаблон:Em локално конвексна и Шаблон:Em метризабилна.Шаблон:Sfn

Декартови производи

Декартов производ фамилије тополошких векторских простора, када је снабдевен топологијом производа, је тополошки векторски простор. Размотримо на пример скуп $X$ свих функција $f:ℝ\to ℝ$ где $ℝ$ носи своју уобичајену Еуклидску топологију. Овај скуп $X$ је реалан векторски простор (где су сабирање и множење скаларом дефинисани по тачкама, као и обично) који се може идентификовати са (и заиста се често дефинише као) Декартов производ ${ℝ}^{ℝ},$ који носи природну топологију производа. Са овом топологијом производа, $X:={ℝ}^{ℝ}$ постаје тополошки векторски простор чија се топологија назива Шаблон:Em Разлог за ово име је следећи: ако је ${\left(f_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ низ (или општије, мрежа) елемената у $X$ и ако $f\in X$, онда $f_n$ конвергира ка $f$ у $X$ ако и само ако за сваки реалан број $x,$ $f_n(x)$ конвергира ка $f(x)$ у $ℝ.$ Овај ТВП је комплетан, Хаусдорфов и локално конвексан, али не и метризабилан и последично не и нормабилан; заиста, свака околина координатног почетка у топологији производа садржи праве (то јест, 1-димензионе векторске потпросторе, који су подскупови облика $ℝf:=\{rf:r\in ℝ\}$ са $f\ne 0$).

Коначно-димензиони простори

Према Ф. Рисовој теореми, Хаусдорфов тополошки векторски простор је коначно-димензион ако и само ако је локално компактан, што се дешава ако и само ако има компактну околину координатног почетка.

Нека $𝕂$ означава $ℝ$ или $ℂ$ и снабдејмо $𝕂$ његовом уобичајеном Хаусдорфовом нормираном Еуклидском топологијом. Нека је $X$ векторски простор над $𝕂$ коначне димензије $n:=\dim X$ и тако да је $X$ векторски простор изоморфан са ${𝕂}^n$ (експлицитно, ово значи да постоји линеарни изоморфизам између векторских простора $X$ и ${𝕂}^n$). Овај коначно-димензиони векторски простор $X$ увек има јединствену Шаблон:Em векторску топологију, која га чини ТВП-изоморфним са ${𝕂}^n,$ где је ${𝕂}^n$ снабдевено уобичајеном Еуклидском топологијом (која је иста као и топологија производа). Ова Хаусдорфова векторска топологија је такође (јединствена) најфинија векторска топологија на $X.$ $X$ има јединствену векторску топологију ако и само ако је $\dim X=0.$ Ако $\dim X\ne 0$, онда иако $X$ нема јединствену векторску топологију, има јединствену Шаблон:Em векторску топологију.

• Ако $\dim X=0$, онда $X=\{0\}$ има тачно једну векторску топологију: тривијалну топологију, која је у овом случају (и Шаблон:Em у овом случају) Хаусдорфова. Тривијална топологија на векторском простору је Хаусдорфова ако и само ако векторски простор има димензију $0.$
• Ако $\dim X=1$, онда $X$ има две векторске топологије: уобичајену Еуклидску топологију и (не-Хаусдорфову) тривијалну топологију.
  • Пошто је само поље $𝕂$ $1$-димензиони тополошки векторски простор над $𝕂$ и пошто игра важну улогу у дефиницији тополошких векторских простора, ова дихотомија игра важну улогу у дефиницији апсорбујућег скупа и има последице које одјекују кроз функционалну анализу.

• Ако $\dim X=n\ge 2$, онда $X$ има Шаблон:Em различитих векторских топологија:
  • Неке од ових топологија су сада описане: Сваки линеарни функционал $f$ на $X,$ који је векторски простор изоморфан са ${𝕂}^n,$ индукује полунорму $|f|:X\to ℝ$ дефинисану са $|f|(x)=|f(x)|$ где $\ker f=\ker |f|.$ Свака полунорма индукује (псеудометризабилну локално конвексну) векторску топологију на $X$ и полунорме са различитим језгрима индукују различите топологије, тако да посебно, полунорме на $X$ које су индуковане линеарним функционалима са различитим језгрима индукују различите векторске топологије на $X.$
  • Међутим, иако постоји бесконачно много векторских топологија на $X$ када је $\dim X\ge 2,$ постоји, Шаблон:Em, само $1+\dim X$ векторских топологија на $X.$ На пример, ако $n:=\dim X=2$, онда се векторске топологије на $X$ састоје од тривијалне топологије, Хаусдорфове Еуклидске топологије, а затим су преосталих бесконачно много не-тривијалних не-Еуклидских векторских топологија на $X$ све ТВП-изоморфне једна другој.

Не-векторске топологије

Дискретна и кофинитна топологија

Ако је $X$ нетривијалан векторски простор (то јест, не-нулте димензије), онда дискретна топологија на $X$ (која је увек метризабилна) Шаблон:Em ТВП топологија јер иако чини сабирање и негацију непрекидним (што га чини тополошком групом у односу на сабирање), не успева да учини множење скаларом непрекидним. Кофинитна топологија на $X$ (где је подскуп отворен ако и само ако је његов комплемент коначан) такође Шаблон:Em ТВП топологија на $X.$

Линеарна пресликавања

Линеарни оператор између два тополошка векторска простора који је непрекидан у једној тачки је непрекидан на целом домену. Штавише, линеарни оператор $f$ је непрекидан ако је $f(X)$ ограничен (као што је дефинисано испод) за неку околину $X$ координатног почетка.

Хиперраван у тополошком векторском простору $X$ је или густа или затворена. Линеарни функционал $f$ на тополошком векторском простору $X$ има или густо или затворено језгро. Штавише, $f$ је непрекидан ако и само ако је његово језгро затворено.

Типови

У зависности од примене, обично се намећу додатна ограничења на тополошку структуру простора. У ствари, неколико главних резултата у функционалној анализи не важи у општем случају за тополошке векторске просторе: теорема о затвореном графику, теорема о отвореном пресликавању и чињеница да дуални простор простора раздваја тачке у простору.

Испод су неки уобичајени тополошки векторски простори, отприлике поређани по растућој „лепоти“.

• F-простори су комплетни тополошки векторски простори са транслационо-инваријантном метриком.Шаблон:Sfn Они укључују $L^p$ просторе за све $p>0.$
• Локално конвексни тополошки векторски простори: овде свака тачка има локалну базу која се састоји од конвексних скупова.Шаблон:Sfn Техником познатом као функционали Минковског може се показати да је простор локално конвексан ако и само ако се његова топологија може дефинисати фамилијом полунорми.Шаблон:Sfn Локална конвексност је минимални захтев за „геометријске“ аргументе попут Хан-Банахове теореме. $L^p$ простори су локално конвексни (у ствари, Банахови простори) за све $p\ge 1,$ али не и за $0<p<1.$
• Буреласти простори: локално конвексни простори у којима важи Банахово-Штајнхаусова теорема.
• Борнолошки простор: локално конвексан простор где су непрекидни линеарни оператори у било који локално конвексан простор управо ограничени линеарни оператори.
• Стереотипни простор: локално конвексан простор који задовољава варијанту услова рефлексивности, где је дуални простор снабдевен топологијом униформне конвергенције на тотално ограниченим скуповима.
• Монтелов простор: буреласти простор где је сваки затворен и ограничен скуп компактан
• Фрешеови простори: ово су комплетни локално конвексни простори где топологија долази од транслационо-инваријантне метрике, или еквивалентно: од пребројиве фамилије полунорми. Многи занимљиви простори функција спадају у ову класу -- $C^{\mathrm{\infty }}(ℝ)$ је Фрешеов простор под полунормама $\Vert f{\Vert }_{k,\ell }={sup}_{x\in [-k,k]}|f^{(\ell )}(x)|.$ Локално конвексан F-простор је Фрешеов простор.Шаблон:Sfn
• LF-простори су границе Фрешеових простора. ILH простори су инверзне границе Хилбертових простора.
• Нуклеарни простори: ово су локално конвексни простори са особином да је свако ограничено пресликавање из нуклеарног простора у произвољан Банахов простор нуклеарни оператор.
• Нормирани простори и полунормирани простори: локално конвексни простори где се топологија може описати једном нормом или полунормом. У нормираним просторима линеарни оператор је непрекидан ако и само ако је ограничен.
• Банахови простори: Комплетни нормирани векторски простори. Већи део функционалне анализе је формулисан за Банахове просторе. Ова класа укључује $L^p$ просторе са $1\le p\le \mathrm{\infty },$ простор $BV$ функција ограничене варијације и одређене просторе мера.
• Рефлексивни Банахови простори: Банахови простори природно изоморфни свом другом дуалу (види доле), што осигурава да се неки геометријски аргументи могу спровести. Важан пример који Шаблон:Em рефлексиван је $L^1$, чији је дуал $L^{\mathrm{\infty }}$, али је стриктно садржан у дуалу од $L^{\mathrm{\infty }}.$
• Хилбертови простори: они имају унутрашњи производ; иако ови простори могу бити бесконачно-димензиони, већина геометријског резоновања познатог из коначних димензија може се спровести у њима. Они укључују $L^2$ просторе, $L^2$ Собољевљеве просторе $W^{2,k},$ и Хардијеве просторе.
• Еуклидски простори: ${ℝ}^n$ или ${ℂ}^n$ са топологијом индукованом стандардним унутрашњим производом. Као што је истакнуто у претходном одељку, за дато коначно $n,$ постоји само један $n$-димензиони тополошки векторски простор, до на изоморфизам. Из овога следи да је сваки коначно-димензиони потпростор ТВП-а затворен. Карактеризација коначне димензионалности је да је Хаусдорфов ТВП локално компактан ако и само ако је коначно-димензион (стога изоморфан неком Еуклидском простору).

Дуални простор

Сваки тополошки векторски простор има непрекидни дуални простор—скуп $X^{\prime }$ свих непрекидних линеарних функционала, то јест, непрекидних линеарних пресликавања из простора у основно поље $𝕂.$ Топологија на дуалу се може дефинисати као најгрубља топологија таква да је дуално упаривање свака тачка евалуације $X^{\prime }\to 𝕂$ непрекидно. Ово претвара дуал у локално конвексан тополошки векторски простор. Ова топологија се назива слаба-* топологија.Шаблон:Sfn Ово можда није једина природна топологија на дуалном простору; на пример, дуал нормираног простора има природну норму дефинисану на њему. Међутим, веома је важна у применама због својих својстава компактности (види Банах-Алаоглуова теорема). Опрез: Кад год је $X$ ненормабилан локално конвексан простор, онда пресликавање упаривања $X^{\prime }\times X\to 𝕂$ никада није непрекидно, без обзира на то коју топологију векторског простора одаберемо на $X^{\prime }.$ Тополошки векторски простор има нетривијалан непрекидни дуални простор ако и само ако има одговарајућу конвексну околину координатног почетка.Шаблон:Sfn

Особине

За сваки $S\subseteq X$ ТВП-а $X,$ конвексни (респ. балансирани, дисковани, затворени конвексни, затворени балансирани, затворени дисковани) омотач од $S$ је најмањи подскуп од $X$ који има ово својство и садржи $S.$ Затворење (респективно, унутрашњост, конвексни омотач, балансирани омотач, дисковани омотач) скупа $S$ се понекад означава са ${\mathrm{cl}}_{X}S$ (респективно, ${\mathrm{Int}}_{X}S,$ $\mathrm{co}S,$ $\mathrm{bal}S,$ $\mathrm{cobal}S$).

Конвексни омотач $\mathrm{co}S$ подскупа $S$ једнак је скупу свих Шаблон:Em елемената у $S,$ које су коначне линеарне комбинације облика $t_1{s}_1+\cdots +t_n{s}_n$ где је $n\ge 1$ цео број, $s_1,\dots ,s_n\in S$ и $t_1,\dots ,t_n\in [0,1]$ са збиром $1.$Шаблон:Sfn Пресек било које фамилије конвексних скупова је конвексан и конвексни омотач подскупа једнак је пресеку свих конвексних скупова који га садрже.Шаблон:Sfn

Околине и отворени скупови

Особине околина и отворених скупова

Сваки ТВП је повезанШаблон:Sfn и локално повезанШаблон:Sfn и сваки повезан отворен подскуп ТВП-а је лучни повезан. Ако $S\subseteq X$ и $U$ је отворен подскуп од $X$, онда је $S+U$ отворен скуп у $X$Шаблон:Sfn и ако $S\subseteq X$ има непразну унутрашњост, онда је $S-S$ околина координатног почетка.Шаблон:Sfn

Отворени конвексни подскупови ТВП-а $X$ (не нужно Хаусдорфовог или локално конвексног) су управо они који су облика $$z+\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x-z)<1\}$$ за неко $z\in X$ и неки позитивни непрекидни сублинеарни функционал $p$ на $X.$Шаблон:Sfn

Ако је $K$ апсорбујући диск у ТВП-у $X$ и ако је $p:=p_K$ функционал Минковског од $K$, ондаШаблон:Sfn $${\mathrm{Int}}_{X}K\subseteq \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq K\subseteq \{x\in X:p(x)\le 1\}\subseteq {\mathrm{cl}}_{X}K$$ где важно, Шаблон:Em претпостављено да $K$ има било каква тополошка својства нити да је $p$ непрекидан (што се дешава ако и само ако је $K$ околина координатног почетка).

Нека су $\tau$ и $\nu$ две векторске топологије на $X.$ Тада $\tau \subseteq \nu$ ако и само ако кад год мрежа $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ у $X$ конвергира ка $0$ у $(X,\nu )$, онда $x_{\bullet }\to 0$ у $(X,\tau ).$Шаблон:Sfn

Нека је $𝒩$ база околина координатног почетка у $X,$ нека је $S\subseteq X,$ и нека је $x\in X.$ Тада $x\in {\mathrm{cl}}_{X}S$ ако и само ако постоји мрежа $s_{\bullet }={\left(s_N\right)}_{N\in 𝒩}$ у $S$ (индексирана са $𝒩$) таква да $s_{\bullet }\to x$ у $X.$Шаблон:Sfn Ово показује, посебно, да ће често бити довољно разматрати мреже индексиране базом околина координатног почетка уместо мрежа на произвољним усмереним скуповима.

Ако је $X$ ТВП који је друге категорије у себи (то јест, немршав простор), онда је сваки затворен конвексан апсорбујући подскуп од $X$ околина координатног почетка.Шаблон:Sfn Ово више није загарантовано ако скуп није конвексан (контра-пример постоји чак и у $X={ℝ}^2$) или ако $X$ није друге категорије у себи.Шаблон:Sfn

Унутрашњост

Ако $R,S\subseteq X$ и $S$ има непразну унутрашњост, онда $${\mathrm{Int}}_{X}S={\mathrm{Int}}_X\left({\mathrm{cl}}_{X}S\right)\text{ и }{\mathrm{cl}}_{X}S={\mathrm{cl}}_X\left({\mathrm{Int}}_{X}S\right)$$ и $${\mathrm{Int}}_X(R)+{\mathrm{Int}}_X(S)\subseteq R+{\mathrm{Int}}_{X}S\subseteq {\mathrm{Int}}_X(R+S).$$

Тополошка унутрашњост диска није празна ако и само ако ова унутрашњост садржи координатни почетак.Шаблон:Sfn Општије, ако је $S$ балансиран скуп са непразном унутрашњошћу ${\mathrm{Int}}_{X}S\ne \varnothing$ у ТВП-у $X$, онда ће $\{0\}\cup {\mathrm{Int}}_{X}S$ нужно бити балансиран;Шаблон:Sfn последично, ${\mathrm{Int}}_{X}S$ ће бити балансиран ако и само ако садржи координатни почетак. Да би ово (тј. $0\in {\mathrm{Int}}_{X}S$) било тачно, довољно је да $S$ буде такође конвексан (поред тога што је балансиран и има непразну унутрашњост).;Шаблон:Sfn Закључак $0\in {\mathrm{Int}}_{X}S$ може бити нетачан ако $S$ није такође конвексан;Шаблон:Sfn на пример, у $X:={ℝ}^2,$ унутрашњост затвореног и балансираног скупа $S:=\{(x,y):xy\ge 0\}$ је $\{(x,y):xy>0\}.$

Ако је $C$ конвексан и $0<t\le 1,$ ондаШаблон:Sfn $t\mathrm{Int}C+(1-t)\mathrm{cl}C\subseteq \mathrm{Int}C.$ Експлицитно, ово значи да ако је $C$ конвексан подскуп ТВП-а $X$ (не нужно Хаусдорфовог или локално конвексног), $y\in {\mathrm{int}}_{X}C,$ и $x\in {\mathrm{cl}}_{X}C$, онда отворени сегмент праве који спаја $x$ и $y$ припада унутрашњости од $C;$ то јест, $\{tx+(1-t)y:0<t<1\}\subseteq {\mathrm{int}}_{X}C.$Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Ако је $N\subseteq X$ било која балансирана околина координатног почетка у $X$, онда ${\mathrm{Int}}_{X}N\subseteq B_{1}N={\bigcup }_{0<|a|<1}aN\subseteq N$ где је $B_1$ скуп свих скалара $a$ таквих да је $|a|<1.$

Ако $x$ припада унутрашњости конвексног скупа $S\subseteq X$ и $y\in {\mathrm{cl}}_{X}S,$ онда полуотворени сегмент праве $$[x,y):=\{tx+(1-t)y:0<t\le 1\}\subseteq {\mathrm{Int}}_X\text{ ako }x\ne y$$ иШаблон:Sfn $$[x,x)=\varnothing \text{ ako }x=y.$$ Ако је $N$ балансирана околина од $0$ у $X$ и $B_1:=\{a\in 𝕂:|a|<1\},$ онда разматрањем пресека облика $N\cap ℝx$ (који су конвексне симетричне околине од $0$ у реалном ТВП-у $ℝx$) следи да: $\mathrm{Int}N=[0,1)\mathrm{Int}N=(-1,1)N=B_{1}N,$ и даље, ако $x\in \mathrm{Int}N\text{ и }r:=sup\{r>0:[0,r)x\subseteq N\}$ онда $r>1\text{ и }[0,r)x\subseteq \mathrm{Int}N,$ и ако $r\ne \mathrm{\infty }$ онда $rx\in \mathrm{cl}N\setminus \mathrm{Int}N.$

Не-Хаусдорфови простори и затворење координатног почетка

Тополошки векторски простор $X$ је Хаусдорфов ако и само ако је $\{0\}$ затворен подскуп од $X,$ или еквивалентно, ако и само ако је $\{0\}={\mathrm{cl}}_X\{0\}.$ Зато што је $\{0\}$ векторски потпростор од $X,$ исто важи и за његово затворење ${\mathrm{cl}}_X\{0\},$ које се назива Шаблон:Em у $X.$ Овај векторски простор задовољава $${\mathrm{cl}}_X\{0\}=\bigcap _{N\in 𝒩(0)}N$$ тако да посебно, свака околина координатног почетка у $X$ садржи векторски простор ${\mathrm{cl}}_X\{0\}$ као подскуп. Потпросторна топологија на ${\mathrm{cl}}_X\{0\}$ је увек тривијална топологија, што посебно имплицира да је тополошки векторски простор ${\mathrm{cl}}_X\{0\}$ компактан простор (чак и ако је његова димензија не-нулта или чак бесконачна) и последично такође ограничен подскуп од $X.$ У ствари, векторски потпростор ТВП-а је ограничен ако и само ако је садржан у затворењу од $\{0\}.$Шаблон:Sfn Сваки подскуп од ${\mathrm{cl}}_X\{0\}$ такође носи тривијалну топологију и стога је сам по себи компактан, а тиме и комплетан, потпростор (видети фусноту за доказ). Посебно, ако $X$ није Хаусдорфов, онда постоје подскупови који су и Шаблон:Em, али Шаблон:Em у $X$;Шаблон:Sfn на пример, ово ће бити тачно за било који непразан прави подскуп од ${\mathrm{cl}}_X\{0\}.$

Ако је $S\subseteq X$ компактан, онда ${\mathrm{cl}}_{X}S=S+{\mathrm{cl}}_X\{0\}$ и овај скуп је компактан. Стога је затворење компактног подскупа ТВП-а компактно (другачије речено, сви компактни скупови су релативно компактни),Шаблон:Sfn што није загарантовано за произвољне не-Хаусдорфове тополошке просторе.

За сваки подскуп $S\subseteq X,$ $$S+{\mathrm{cl}}_X\{0\}\subseteq {\mathrm{cl}}_{X}S$$ и последично, ако је $S\subseteq X$ отворен или затворен у $X$, онда $S+{\mathrm{cl}}_X\{0\}=S$ (тако да се овај Шаблон:Em отворен Шаблон:Em затворен подскуп $S$ може описати као "цев" чија је вертикална страна векторски простор ${\mathrm{cl}}_X\{0\}$). За било који подскуп $S\subseteq X$ овог ТВП-а $X,$ следеће је еквивалентно:

• $S$ је тотално ограничен.
• $S+{\mathrm{cl}}_X\{0\}$ је тотално ограничен.Шаблон:Sfn
• ${\mathrm{cl}}_{X}S$ је тотално ограничен.Шаблон:SfnШаблон:Sfn
• Слика од $S$ под канонским количничким пресликавањем $X\to X/{\mathrm{cl}}_X(\{0\})$ је тотално ограничена.Шаблон:Sfn

Ако је $M$ векторски потпростор ТВП-а $X$, онда је $X/M$ Хаусдорфов ако и само ако је $M$ затворен у $X.$ Штавише, количничко пресликавање $q:X\to X/{\mathrm{cl}}_X\{0\}$ је увек затворено пресликавање на (нужно) Хаусдорфов ТВП.Шаблон:Sfn

Сваки векторски потпростор од $X$ који је алгебарски комплемент од ${\mathrm{cl}}_X\{0\}$ (то јест, векторски потпростор $H$ који задовољава $\{0\}=H\cap {\mathrm{cl}}_X\{0\}$ и $X=H+{\mathrm{cl}}_X\{0\}$) је тополошки комплемент од ${\mathrm{cl}}_X\{0\}.$ Стога, ако је $H$ алгебарски комплемент од ${\mathrm{cl}}_X\{0\}$ у $X$, онда је пресликавање сабирања $H\times {\mathrm{cl}}_X\{0\}\to X,$ дефинисано са $(h,n)\mapsto h+n$, ТВП-изоморфизам, где је $H$ нужно Хаусдорфов, а ${\mathrm{cl}}_X\{0\}$ има индискретну топологију.Шаблон:Sfn Штавише, ако је $C$ Хаусдорфово комплетирање од $H$, онда је $C\times {\mathrm{cl}}_X\{0\}$ комплетирање од $X\cong H\times {\mathrm{cl}}_X\{0\}.$Шаблон:Sfn

Затворени и компактни скупови

Компактни и тотално ограничени скупови

Подскуп ТВП-а је компактан ако и само ако је комплетан и тотално ограничен.Шаблон:Sfn Стога је у комплетном тополошком векторском простору, затворен и тотално ограничен подскуп компактан.Шаблон:Sfn Подскуп $S$ ТВП-а $X$ је тотално ограничен ако и само ако је ${\mathrm{cl}}_{X}S$ тотално ограничен,Шаблон:SfnШаблон:Sfn ако и само ако је његова слика под канонским количничким пресликавањем $$X\to X/{\mathrm{cl}}_X(\{0\})$$ тотално ограничена.Шаблон:Sfn

Сваки релативно компактан скуп је тотално ограниченШаблон:Sfn и затворење тотално ограниченог скупа је тотално ограничено.Шаблон:Sfn Слика тотално ограниченог скупа под униформно непрекидним пресликавањем (као што је на пример непрекидно линеарно пресликавање) је тотално ограничена.Шаблон:Sfn Ако је $S$ подскуп ТВП-а $X$ такав да сваки низ у $S$ има тачку нагомилавања у $S$, онда је $S$ тотално ограничен.Шаблон:Sfn

Ако је $K$ компактан подскуп ТВП-а $X$ и $U$ је отворен подскуп од $X$ који садржи $K,$ онда постоји околина $N$ од 0 таква да $K+N\subseteq U.$Шаблон:Sfn

Затворење и затворен скуп

Затворење сваког конвексног (респективно, балансираног, апсорбујућег) подскупа било ког ТВП-а има исто то својство. Посебно, затворење сваког конвексног, балансираног и апсорбујућег подскупа је [[Буреласти простор#буре|буре].

Затворење векторског потпростора ТВП-а је векторски потпростор. Сваки коначно димензиони векторски потпростор Хаусдорфовог ТВП-а је затворен. Збир затвореног векторског потпростора и коначно-димензионог векторског потпростора је затворен.Шаблон:Sfn Ако је $M$ векторски потпростор од $X$ и $N$ је затворена околина координатног почетка у $X$ таква да је $U\cap N$ затворен у $X$, онда је $M$ затворен у $X.$Шаблон:Sfn Збир компактног скупа и затвореног скупа је затворен. Међутим, збир два затворена подскупа може да не буде затворенШаблон:Sfn (видети ову фусноту за примере).

Ако $S\subseteq X$ и $a$ је скалар, онда $$a{\mathrm{cl}}_{X}S\subseteq {\mathrm{cl}}_X(aS),$$ где ако је $X$ Хаусдорфов, $a\ne 0,\text{ или }S=\varnothing$, онда важи једнакост: ${\mathrm{cl}}_X(aS)=a{\mathrm{cl}}_{X}S.$ Посебно, сваки не-нула скаларни умножак затвореног скупа је затворен. Ако $S\subseteq X$ и ако је $A$ скуп скалара такав да ни $\mathrm{cl}S\text{ ни }\mathrm{cl}A$ не садрже нулу, ондаШаблон:Sfn $(\mathrm{cl}A)\left({\mathrm{cl}}_{X}S\right)={\mathrm{cl}}_X(AS).$

Ако $S\subseteq X\text{ и }S+S\subseteq 2{\mathrm{cl}}_{X}S$, онда је ${\mathrm{cl}}_{X}S$ конвексан.Шаблон:Sfn

Ако $R,S\subseteq X$, ондаШаблон:Sfn $${\mathrm{cl}}_X(R)+{\mathrm{cl}}_X(S)\subseteq {\mathrm{cl}}_X(R+S)\text{ и }{\mathrm{cl}}_X[{\mathrm{cl}}_X(R)+{\mathrm{cl}}_X(S)]={\mathrm{cl}}_X(R+S)$$ и стога, ако је $R+S$ затворен, онда је и ${\mathrm{cl}}_X(R)+{\mathrm{cl}}_X(S)$ затворен.Шаблон:Sfn

Ако је $X$ реалан ТВП и $S\subseteq X,$ онда $$\bigcap _{r>1}rS\subseteq {\mathrm{cl}}_{X}S$$ где је лева страна независна од топологије на $X;$ штавише, ако је $S$ конвексна околина координатног почетка, онда важи једнакост.

За било који подскуп $S\subseteq X,$ $${\mathrm{cl}}_{X}S=\bigcap _{N\in 𝒩}(S+N)$$ где је $𝒩$ било која база околина у координатном почетку за $X.$Шаблон:Sfn Међутим, $${\mathrm{cl}}_{X}U\supseteq \bigcap \{U:S\subseteq U,U\text{ је отворен у }X\}$$ и могуће је да ово садржавање буде правоШаблон:Sfn (на пример, ако $X=ℝ$ и $S$ су рационални бројеви). Следи да ${\mathrm{cl}}_{X}U\subseteq U+U$ за сваку околину $U$ координатног почетка у $X.$Шаблон:Sfn

Затворени омотачи

У локално конвексном простору, конвексни омотачи ограничених скупова су ограничени. Ово није тачно за ТВП уопште.Шаблон:Sfn

• Затворени конвексни омотач скупа једнак је затворењу конвексног омотача тог скупа; то јест, једнак ${\mathrm{cl}}_X(\mathrm{co}S).$Шаблон:Sfn
• Затворени балансирани омотач скупа једнак је затворењу балансираног омотача тог скупа; то јест, једнак ${\mathrm{cl}}_X(\mathrm{bal}S).$Шаблон:Sfn
• Затворени дисковани омотач скупа једнак је затворењу дискованог омотача тог скупа; то јест, једнак ${\mathrm{cl}}_X(\mathrm{cobal}S).$Шаблон:Sfn

Ако $R,S\subseteq X$ и затворени конвексни омотач једног од скупова $S$ или $R$ је компактан, ондаШаблон:Sfn $${\mathrm{cl}}_X(\mathrm{co}(R+S))={\mathrm{cl}}_X(\mathrm{co}R)+{\mathrm{cl}}_X(\mathrm{co}S).$$ Ако $R,S\subseteq X$ оба имају затворен конвексни омотач који је компактан (то јест, ${\mathrm{cl}}_X(\mathrm{co}R)$ и ${\mathrm{cl}}_X(\mathrm{co}S)$ су компактни), ондаШаблон:Sfn $${\mathrm{cl}}_X(\mathrm{co}(R\cup S))=\mathrm{co}[{\mathrm{cl}}_X(\mathrm{co}R)\cup {\mathrm{cl}}_X(\mathrm{co}S)].$$

Омотачи и компактност

У општем ТВП-у, затворени конвексни омотач компактног скупа може да Шаблон:Em компактан. Балансирани омотач компактног (респективно, тотално ограниченог) скупа има то исто својство.Шаблон:Sfn Конвексни омотач коначне уније компактних Шаблон:Em скупова је поново компактан и конвексан.Шаблон:Sfn

Друге особине

Мршави, нигде густи и Берови

Диск у ТВП-у није нигде густ ако и само ако је његово затворење околина координатног почетка.Шаблон:Sfn Векторски потпростор ТВП-а који је затворен, али није отворен, је нигде густ.Шаблон:Sfn

Претпоставимо да $X$ је ТВП који не носи индискретну топологију. Тада је $X$ Беров простор ако и само ако $X$ нема балансиран апсорбујући нигде густ подскуп.Шаблон:Sfn

ТВП $X$ је Беров простор ако и само ако је $X$ немршав, што се дешава ако и само ако не постоји нигде густ скуп $D$ такав да $X={\bigcup }_{n\in \mathbb{N}}nD.$Шаблон:Sfn Сваки немршав локално конвексан ТВП је буреласти простор.Шаблон:Sfn

Важне алгебарске чињенице и уобичајене заблуде

Ако $S\subseteq X$, онда $2S\subseteq S+S$; ако је $S$ конвексан, онда важи једнакост. За пример где једнакост Шаблон:Em важи, нека $x$ буде не-нула и нека $S=\{-x,x\};$ $S=\{x,2x\}$ такође функционише.

Подскуп $C$ је конвексан ако и само ако $(s+t)C=sC+tC$ за све позитивне реалне $s>0\text{ и }t>0,$Шаблон:Sfn или еквивалентно, ако и само ако $tC+(1-t)C\subseteq C$ за све $0\le t\le 1.$Шаблон:Sfn

Конвексни балансирани омотач скупа $S\subseteq X$ једнак је конвексном омотачу балансираног омотача од $S;$ то јест, једнак је $\mathrm{co}(\mathrm{bal}S).$ Али генерално, $$\mathrm{bal}(\mathrm{co}S)\subseteq \mathrm{cobal}S=\mathrm{co}(\mathrm{bal}S),$$ где инклузија може бити строга пошто балансирани омотач конвексног скупа не мора бити конвексан (контра-примери постоје чак и у ${ℝ}^2$).

Ако $R,S\subseteq X$ и $a$ је скалар, ондаШаблон:Sfn $$a(R+S)=aR+aS,\text{ и }\mathrm{co}(R+S)=\mathrm{co}R+\mathrm{co}S,\text{ и }\mathrm{co}(aS)=a\mathrm{co}S.$$ Ако су $R,S\subseteq X$ конвексни непразни дисјунктни скупови и $x\in ̸R\cup S,$ онда $S\cap \mathrm{co}(R\cup \{x\})=\varnothing$ или $R\cap \mathrm{co}(S\cup \{x\})=\varnothing .$

У било ком нетривијалном векторском простору $X,$ постоје два дисјунктна непразна конвексна подскупа чија је унија $X.$

Остале особине

Свака ТВП топологија може бити генерисана Шаблон:Em F-полунорми.Шаблон:Sfn

Ако је $P(x)$ неки унарни предикат (истинит или лажан исказ зависан од $x\in X$), онда за свако $z\in X,$ $z+\{x\in X:P(x)\}=\{x\in X:P(x-z)\}.$ Тако на пример, ако $P(x)$ означава „$\Vert x\Vert <1$“, онда за свако $z\in X,$ $z+\{x\in X:\Vert x\Vert <1\}=\{x\in X:\Vert x-z\Vert <1\}.$ Слично, ако $s\ne 0$ је скалар, онда $s\{x\in X:P(x)\}=\{x\in X:P\left(\frac{1}{s}x\right)\}.$ Елементи $x\in X$ ових скупова морају бити из векторског простора (то јест, из $X$), а не само из подскупа, иначе ове једнакости више нису загарантоване; слично, $z$ мора припадати овом векторском простору (то јест, $z\in X$).

Особине очуване операторима над скуповима

• Балансирани омотач компактног (респективно, тотално ограниченог, отвореног) скупа има то исто својство.Шаблон:Sfn
• (Минковски) збир два компактна (респективно, ограничена, балансирана, конвексна) скупа има то исто својство.Шаблон:Sfn Али збир два затворена скупа не мора Шаблон:Em затворен.
• Конвексни омотач балансираног (респ. отвореног) скупа је балансиран (респективно, отворен). Међутим, конвексни омотач затвореног скупа не мора Шаблон:Em затворен.Шаблон:Sfn И конвексни омотач ограниченог скупа не мора Шаблон:Em ограничен.

Следећа табела, боја сваке ћелије показује да ли је дато својство подскупова од $X$ (означено именом колоне, „конвексан“ на пример) очувано под оператором над скупом (означеним именом реда, „затворење“ на пример). Ако је у сваком ТВП-у својство очувано под назначеним оператором над скупом, онда ће та ћелија бити обојена зелено; у супротном, биће обојена црвено.

Тако на пример, пошто је унија два апсорбујућа скупа поново апсорбујућа, ћелија у реду „$R\cup S$“ и колони „Апсорбујући“ је обојена зелено. Али пошто произвољни пресек апсорбујућих скупова не мора бити апсорбујући, ћелија у реду „Произвољни пресеци (од најмање 1 скупа)“ и колони „Апсорбујући“ је обојена црвено. Ако ћелија није обојена, онда та информација тек треба да буде попуњена.

Види још

• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Додатна литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book