Кошијев низ

Кошијев низШаблон:Напомена је низ чији су узастопни елементи произвољно близу један другом за довољно велике индексе елемената.

Кошијев низ у скупу реалних бројева

Низ реалних бројева, -{x₁, x₂, x₃...}- назива се Кошијевим, ако за произвољно мало $ϵ$ може да се нађе индекс -{n₀}- за који је апсолутна разлика било која два елемента низа са индексом већим од њега мања од $ϵ$. Симболичким језиком писано, низ реалних бројева (-{x_n}-) је Кошијев, ако:

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{N})(m,n>n_0\Rightarrow |x_m-x_n|<ϵ)$.

Кошијев низ у метричким просторима

У метричком простору -{M}-, са метриком -{d}-, низ елемената скупа -{M}- је Кошијев, ако за произвољно мало $ϵ$ може да се нађе индекс -{n₀}- за који је удаљеност било која два елемента низа са индексом већим од њега мања од $ϵ$. Симболичким језиком писано, низ елемената (-{x_n}-) метричког простора је Кошијев, ако:

$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N})(\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{N})(m,n>n_0\Rightarrow d(x_m,x_n)<ϵ)$.

Кошијев низ у метричким просторима могао би се дефинисати и на сљедећи начин: Низ -{x₁, x₂, x₃...}- је Кошијев ако удаљеност елемената -{x_m}- и -{x_n}- тежи нули кад мањи од индекса -{m}- и -{n}- тежи бесконачности. Симболичким језиком написано, низ елемената (-{x_n}-) метричког простора је Кошијев, ако:

$\underset{min(m,n)\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_m,x_n)=0$.

Особине

За Кошијеве низове, и у скупу реалних бројева, и у произвољним метричким просторима, важе сљедеће особине:

1. Сваки конвергентан низ је Кошијев
2. Сваки Кошијев низ је ограничен
3. Ако Кошијев низ има конвергентан подниз, он је и сам конвергентан.

Обратно тврђење од тврђења 1, међутим, не мора увијек да важи. У скупу реалних бројева оно заиста важи, што се доказује посебном теоремом, али не и у произвољном метричком простору.

Комплетност

За оне метричке просторе за које је тачно да је сваки Кошијев низ конвергентан, каже се да су комплетни.Шаблон:Напомена Један примјер комплетних метричких простора је управо горепоменути скуп реалних бројева, дефинисан стандардном метриком $d(x,y)=|x-y|$.

Види још

• Низ

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Lang Algebra
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book (for uses in constructive mathematics)