Простори тест функција и дистрибуција

У математичкој анализи, простори тест функција и дистрибуција су тополошки векторски простори (ТВП) који се користе за дефинисање и примену дистрибуција. Тест функције су обично бесконачно диференцијабилне комплексно-вредносне (или понекад реално-вредносне) функције на непразном отвореном подскупу $U\subseteq {ℝ}^n$ које имају компактан носач. Простор свих тест функција, означен са Шаблон:Tmath, снабдевен је одређеном топологијом, званом Шаблон:Em, која чини $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ комплетним Хаусдорфовим локално конвексним ТВП-ом. Јаки дуални простор од $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ назива се Шаблон:Em и означава са ${𝒟}^{\prime }(U):={{(C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U))}_b}^{\prime },$ где доњи индекс „$b$” означава да је непрекидни дуални простор од $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U),$ означен са ${(C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U))}^{\prime },$ снабдевен јаком дуалном топологијом.

Постоје и други могући избори за простор тест функција, који доводе до других различитих простора дистрибуција. Ако је $U={ℝ}^n$ онда употреба Шварцових функција као тест функција даје известан потпростор од ${𝒟}^{\prime }(U)$ чији се елементи називају Шаблон:Em. Оне су важне јер омогућавају да се Фуријеова трансформација прошири са „стандардних функција” на умерене дистрибуције. Скуп умерених дистрибуција чини векторски потпростор простора дистрибуција ${𝒟}^{\prime }(U)$ и стога је један пример простора дистрибуција; постоји много других простора дистрибуција.

Такође постоје и друге главне класе тест функција које Шаблон:Em подскупови од Шаблон:Tmath, као што су простори аналитичких тест функција, које производе веома различите класе дистрибуција. Теорија таквих дистрибуција има другачији карактер од претходне јер не постоје аналитичке функције са непразним компактним носачем. Употреба аналитичких тест функција води до Сатоове теорије хиперфункција.

Нотација

Следећа нотација ће се користити у целом овом чланку:

• $n$ је фиксни позитиван цео број и $U$ је фиксни непразни отворени подскуп еуклидског простора ${ℝ}^n.$
• $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ означава природне бројеве.
• $k$ ће означавати ненегативан цео број или $\mathrm{\infty }.$
• Ако је $f$ функција онда $\mathrm{Dom}(f)$ означава њен домен, а Шаблон:Em $f,$ означен са $\mathrm{supp}(f),$ дефинише се као затворење скупа $\{x\in \mathrm{Dom}(f):f(x)\ne 0\}$ у $\mathrm{Dom}(f).$
• За две функције $f,g:U\to ℂ$, следећа нотација дефинише каноничко спаривање: $$⟨f,g⟩:={\int }_{U}f(x)g(x)dx.$$
• Шаблон:Em величине $n$ је елемент у ${\mathbb{N}}^n$ (с обзиром да је $n$ фиксно, ако се величина мулти-индекса изостави онда треба претпоставити да је величина $n$). Шаблон:Em мулти-индекса $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{N}}^n$ дефинише се као ${\alpha }_1+\cdots +{\alpha }_n$ и означава са $|\alpha |.$ Мулти-индекси су посебно корисни када се ради са функцијама више променљивих, посебно уводимо следеће ознаке за дати мулти-индекс $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{N}}^n$: $$\begin{array}{cc}{x}^{\alpha }& =x_1^{{\alpha }_1}\cdots x_n^{{\alpha }_n}\\ {\partial }^{\alpha }& =\frac{{\partial }^{|\alpha |}}{\partial x_1^{{\alpha }_1}\cdots \partial x_n^{{\alpha }_n}}\end{array}$$ Такође уводимо парцијално уређење свих мулти-индекса са $\beta \ge \alpha$ ако и само ако ${\beta }_i\ge {\alpha }_i$ за све $1\le i\le n.$ Када је $\beta \ge \alpha$ дефинишемо њихов мулти-индексни биномни коефицијент као: $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\beta }{\alpha }):=(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\beta }_1}{{\alpha }_1})\cdots (\genfrac{}{}{0ex}{}{{\beta }_n}{{\alpha }_n}).$$
• $𝕂$ ће означавати извесну непразну колекцију компактних подскупова од $U$ (детаљно описану у наставку).

Дефиниције тест функција и дистрибуција

У овом одељку формално ћемо дефинисати реално-вредносне дистрибуције на Шаблон:Mvar. Уз мање модификације, могу се такође дефинисати комплексно-вредносне дистрибуције, а може се заменити ${ℝ}^n$ било којом (паракомпактном) глатком многострукошћу.

График bump функције $(x,y)\in {𝐑}^2\mapsto \mathrm{\Psi }(r),$ где је $r=(x^2+y^2{)}^{\frac{1}{2}}$ и $\mathrm{\Psi }(r)=e^{-\frac{1}{1-r^2}}\cdot {\mathrm{𝟏}}_{\{|r|<1\}}.$ Ова функција је тест функција на ${ℝ}^2$ и елемент је од $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}\left({ℝ}^2\right).$ Носач ове функције је затворени јединични диск у ${ℝ}^2.$ Она је различита од нуле на отвореном јединичном диску и једнака је Шаблон:Math свуда ван њега.

Приметимо да за све $j,k\in \{0,1,2,\dots ,\mathrm{\infty }\}$ и било које компактне подскупове Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar од Шаблон:Mvar, имамо: $$\begin{array}{cc}{C}^k(K)& \subseteq C_{\text{c}}^k(U)\subseteq C^k(U)\\ C^k(K)& \subseteq C^k(L)& & \text{ ako }K\subseteq L\\ C^k(K)& \subseteq C^j(K)& & \text{ ako }j\le k\\ C_{\text{c}}^k(U)& \subseteq C_{\text{c}}^j(U)& & \text{ ako }j\le k\\ C^k(U)& \subseteq C^j(U)& & \text{ ako }j\le k\end{array}$$

Дистрибуције на Шаблон:Mvar дефинишу се као непрекидни линеарни функционали на $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ када је овај векторски простор снабдевен одређеном топологијом која се зове Шаблон:Em. Ову топологију нажалост није лако дефинисати, али је ипак могуће окарактерисати дистрибуције тако да се каноничка ЛФ-топологија не помиње.

Став: Ако је Шаблон:Mvar линеарни функционал на $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ онда је Шаблон:Mvar дистрибуција ако и само ако су задовољени следећи еквивалентни услови:

1. За сваки компактни подскуп $K\subseteq U$ постоје константе $C>0$ и $N\in \mathbb{N}$ (зависне од $K$) такве да за све $f\in C^{\mathrm{\infty }}(K),$Шаблон:Sfn $$|T(f)|\le Csup\{|{\partial }^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\le N\}.$$
2. За сваки компактни подскуп $K\subseteq U$ постоје константе $C>0$ и $N\in \mathbb{N}$ такве да за све $f\in C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ са носачем садржаним у $K,$ $$|T(f)|\le Csup\{|{\partial }^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\le N\}.$$
3. За сваки компактни подскуп $K\subseteq U$ и сваки низ $\{f_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ у $C^{\mathrm{\infty }}(K),$ ако $\{{\partial }^{\alpha }{f}_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ конвергира униформно ка нули на $K$ за све мулти-индексе $\alpha$, онда $T(f_i)\to 0.$

Горе наведене карактеризације могу се користити за одређивање да ли је линеарни функционал дистрибуција, али напреднија употреба дистрибуција и тест функција (као што су примене на диференцијалне једначине) је ограничена ако се на $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ и Шаблон:Tmath не поставе топологије. Да бисмо дефинисали простор дистрибуција, прво морамо дефинисати каноничку ЛФ-топологију, што заузврат захтева да се прво дефинише неколико других локално конвексних тополошких векторских простора (ТВП). Прво ће бити дефинисана (ненормибилна) топологија на $C^{\mathrm{\infty }}(U)$, затим ће сваки $C^{\mathrm{\infty }}(K)$ бити снабдевен топологијом потпростора индукованом на њега од стране Шаблон:Tmath, и коначно ће бити дефинисана (неметризабилна) каноничка ЛФ-топологија на $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$. Простор дистрибуција, будући дефинисан као непрекидни дуални простор од Шаблон:Tmath, затим је снабдевен (неметризабилном) јаком дуалном топологијом индукованом од стране $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ и каноничке ЛФ-топологије (ова топологија је генерализација уобичајене топологије индуковане операторском нормом која се поставља на непрекидне дуалне просторе нормираних простора). Ово коначно омогућава разматрање напреднијих појмова као што су конвергенција дистрибуција (и низова Шаблон:Em мрежа), разних (под)простора дистрибуција и операција над дистрибуцијама, укључујући проширење диференцијалних једначина на дистрибуције.

Избор компактних скупова K

Свуда у тексту, $𝕂$ ће бити било која колекција компактних подскупова од $U$ таква да (1) $U={\bigcup }_{K\in 𝕂}K,$ и (2) за сваки компактан $K_1,K_2\subseteq U$ постоји неко $K\in 𝕂$ такво да $K_1\cup K_2\subseteq K.$ Најчешћи избори за $𝕂$ су:

• Скуп свих компактних подскупова од Шаблон:Tmath, или
• Скуп $\{{\bar{U}}_1,{\bar{U}}_2,\dots \}$ где $U={\bigcup }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_i,$ и за све Шаблон:Mvar, ${\bar{U}}_i\subseteq U_{i+1}$ и $U_i$ је релативно компактан непразни отворени подскуп од $U$ (овде, „релативно компактан” значи да је затворење од Шаблон:Tmath, било у Шаблон:Mvar или у Шаблон:Tmath, компактно).

Чинимо $𝕂$ усмереним скупом дефинишући $K_1\le K_2$ ако и само ако $K_1\subseteq K_2.$ Приметимо да иако дефиниције накнадно дефинисаних топологија експлицитно референцирају Шаблон:Tmath, у стварности оне не зависе од избора $𝕂;$ то јест, ако су ${𝕂}_1$ и ${𝕂}_2$ било које две такве колекције компактних подскупова од $U,$ онда су топологије дефинисане на $C^k(U)$ и $C_{\text{c}}^k(U)$ коришћењем ${𝕂}_1$ уместо $𝕂$ исте као оне дефинисане коришћењем ${𝕂}_2$ уместо $𝕂.$

Топологија на -{C^k(U)}-

Сада уводимо полунорме које ће дефинисати топологију на $C^k(U).$ Различити аутори понекад користе различите фамилије полунорми, па наводимо најчешће фамилије у наставку. Међутим, резултујућа топологија је иста без обзира која се фамилија користи.

Шаблон:Block indent Све горе наведене функције су ненегативне $ℝ$-вредносне полунорме на $C^k(U).$ Као што је објашњено у овом чланку, сваки скуп полунорми на векторском простору индукује локално конвексну векторску топологију.

Сваки од следећих скупова полунорми $$\begin{array}{cccccccc}A:=& \{r_{i,K}& & :K\text{ компактан и }& & i\in \mathbb{N}\text{ задовољава }& & 0\le i\le k\}\\ B:=& \{t_{i,K}& & :K\text{ компактан и }& & i\in \mathbb{N}\text{ задовољава }& & 0\le i\le k\}\\ C:=& \{s_{p,K}& & :K\text{ компактан и }& & p\in {\mathbb{N}}^n\text{ задовољава }& & |p|\le k\}\end{array}$$ генерише исту локално конвексну векторску топологију на $C^k(U)$.

Са овом топологијом, $C^k(U)$ постаје локално конвексан Фрешеов простор који Шаблон:Em нормибилан. Сваки елемент од $A\cup B\cup C$ је непрекидна полунорма на Шаблон:Tmath. Под овом топологијом, мрежа $(f_i{)}_{i\in I}$ у $C^k(U)$ конвергира ка $f\in C^k(U)$ ако и само ако за сваки мулти-индекс $p$ са $|p|<k+1$ и сваки компактан Шаблон:Tmath, мрежа парцијалних извода ${\left({\partial }^p{f}_i\right)}_{i\in I}$ конвергира униформно ка ${\partial }^{p}f$ на $K.$Шаблон:Sfn За свако $k\in \{0,1,2,\dots ,\mathrm{\infty }\},$ сваки (фон Нојманов) ограничен подскуп од $C^{k+1}(U)$ је релативно компактан подскуп од $C^k(U).$Шаблон:Sfn Конкретно, подскуп од $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ је ограничен ако и само ако је ограничен у $C^i(U)$ за све $i\in \mathbb{N}.$Шаблон:Sfn Простор $C^k(U)$ је Монтелов простор ако и само ако је $k=\mathrm{\infty }.$Шаблон:Sfn

Топологија на $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ је супериорни лимес топологија потпростора индукованих на $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ од стране ТВП-ова $C^i(U)$ када Шаблон:Mvar пролази кроз ненегативне целе бројеве.Шаблон:Sfn Подскуп $W$ од $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ је отворен у овој топологији ако и само ако постоји $i\in \mathbb{N}$ такво да је $W$ отворен када је $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ снабдевен топологијом потпростора индукованом на њега од стране Шаблон:Tmath.

Метрика која дефинише топологију

Ако фамилија компактних скупова $𝕂=\{{\bar{U}}_1,{\bar{U}}_2,\dots \}$ задовољава $U={\bigcup }_{j=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_j$ и ${\bar{U}}_i\subseteq U_{i+1}$ за све $i,$ онда се комплетна транслационо-инваријантна метрика на $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ може добити узимањем погодне пребројиве Фрешеове комбинације било које од горе наведених дефинишућих фамилија полунорми (A, B, C). На пример, коришћење полунорми $(r_{i,K_i}{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ резултује метриком $$d(f,g):=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^i}\frac{r_{i,{\bar{U}}_i}(f-g)}{1+r_{i,{\bar{U}}_i}(f-g)}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^i}\frac{\underset{|p|\le i,x\in {\bar{U}}_i}{sup}|{\partial }^p(f-g)(x)|}{[1+\underset{|p|\le i,x\in {\bar{U}}_i}{sup}|{\partial }^p(f-g)(x)|]}.$$

Често је лакше једноставно разматрати полунорме (избегавајући било какву метрику) и користити алате функционалне анализе.

Топологија на -{C^k(K)}-

Као и раније, фиксирајмо $k\in \{0,1,2,\dots ,\mathrm{\infty }\}.$ Подсетимо се да ако је $K$ било који компактни подскуп од $U$ онда $C^k(K)\subseteq C^k(U).$

За сваки компактни подскуп $K\subseteq U,$ $C^k(K)$ је затворен потпростор Фрешеовог простора $C^k(U)$ и самим тим је такође Фрешеов простор. За све компактне $K,L\subseteq U$ који задовољавају $K\subseteq L,$ означимо инклузионо пресликавање са ${\mathrm{In}}_K^L:C^k(K)\to C^k(L).$ Тада је ово пресликавање линеарно утапање ТВП-ова (то јест, то је линеарно пресликавање које је такође тополошко утапање) чија је слика (или „ранг”) затворена у свом кодомену; другачије речено, топологија на $C^k(K)$ је идентична топологији потпростора коју наслеђује од $C^k(L),$ и такође $C^k(K)$ је затворен подскуп од $C^k(L).$ Унутрашњост од $C^{\mathrm{\infty }}(K)$ релативно у односу на $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ је празна.Шаблон:Sfn

Ако је $k$ коначно онда је $C^k(K)$ Банахов просторШаблон:Sfn са топологијом која се може дефинисати нормом $$r_K(f):=\underset{|p|<k}{sup}\left(\underset{x_0\in K}{sup}|{\partial }^{p}f(x_0)|\right).$$

А када је $k=2,$ онда је $C^k(K)$ чак и Хилбертов простор.Шаблон:Sfn Простор $C^{\mathrm{\infty }}(K)$ је дистингвирани Шварцов Монтелов простор па ако је $C^{\mathrm{\infty }}(K)\ne \{0\}$ онда Шаблон:Em нормибилан и самим тим Шаблон:Em Банахов простор (иако је, као и сви други $C^k(K),$ Фрешеов простор).

Тривијална проширења и независност топологије -{C^k(K)}- од -{U}-

Дефиниција од $C^k(K)$ зависи од Шаблон:Mvar па ћемо са $C^k(K;U)$ означавати тополошки простор $C^k(K),$ који је по дефиницији тополошки потпростор од $C^k(U).$ Претпоставимо да је $V$ отворен подскуп од ${ℝ}^n$ који садржи $U$ и за сваки компактни подскуп Шаблон:Tmath, нека је $C^k(K;V)$ векторски потпростор од $C^k(V)$ који се састоји од пресликавања са носачем садржаним у $K.$ За дато Шаблон:Tmath, његово Шаблон:Em је по дефиницији, функција $I(f):=F:V\to ℂ$ дефинисана са: $$F(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)& x\in U,\\ 0& \text{иначе},\end{array}$$ тако да $F\in C^k(V).$ Нека $I:C_{\text{c}}^k(U)\to C^k(V)$ означава пресликавање које шаље функцију у $C_{\text{c}}^k(U)$ у њено тривијално проширење на Шаблон:Mvar. Ово пресликавање је линеарна инјекција и за сваки компактни подскуп $K\subseteq U$ (где је $K$ такође компактни подскуп од $V$ пошто је Шаблон:Tmath) имамо $$\begin{array}{cc}I(C^k(K;U))& =C^k(K;V)\text{ и самим тим }\\ I(C_{\text{c}}^k(U))& \subseteq C_{\text{c}}^k(V)\end{array}$$ Ако је Шаблон:Mvar рестриковано на $C^k(K;U)$ онда је следеће индуковано линеарно пресликавање хомеоморфизам (и самим тим ТВП-изоморфизам): $$\begin{array}{cccccc}& C^k(K;U)& & \to & & C^k(K;V)\\ & f& & \mapsto & & I(f)\end{array}$$ и самим тим су следећа два пресликавања (која су, као и претходно пресликавање, дефинисана са $f\mapsto I(f)$) тополошка утапања: $$C^k(K;U)\to C^k(V),\text{ и }{C}^k(K;U)\to C_{\text{c}}^k(V),$$ (топологија на $C_{\text{c}}^k(V)$ је каноничка ЛФ топологија, која се дефинише касније). Користећи инјекцију $$I:C_{\text{c}}^k(U)\to C^k(V)$$ векторски простор $C_{\text{c}}^k(U)$ се канонички идентификује са својом сликом у $C_{\text{c}}^k(V)\subseteq C^k(V)$ (међутим, ако је $U\ne V$ онда $I:C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(V)$ Шаблон:Em тополошко утапање када су ови простори снабдевени својим каноничким ЛФ топологијама, иако је непрекидно).Шаблон:Sfn Пошто је Шаблон:Tmath, кроз ову идентификацију, $C^k(K;U)$ се такође може сматрати подскупом од $C^k(V).$ Важно је да је топологија потпростора коју $C^k(K;U)$ наслеђује од $C^k(U)$ (када се посматра као подскуп од $C^k(U)$) идентична топологији потпростора коју наслеђује од $C^k(V)$ (када се $C^k(K;U)$ уместо тога посматра као подскуп од $C^k(V)$ преко идентификације). Дакле, топологија на $C^k(K;U)$ је независна од отвореног подскупа Шаблон:Mvar од ${ℝ}^n$ који садржи Шаблон:Mvar.Шаблон:Sfn Ово оправдава праксу писања $C^k(K)$ уместо Шаблон:Tmath.

Каноничка ЛФ топологија

Шаблон:See also Подсетимо се да $C_{\text{c}}^k(U)$ означава све оне функције у $C^k(U)$ које имају компактан носач у $U,$ при чему приметимо да је $C_{\text{c}}^k(U)$ унија свих $C^k(K)$ када Шаблон:Mvar пролази кроз $𝕂.$ Штавише, за свако Шаблон:Mvar, $C_{\text{c}}^k(U)$ је густ подскуп од $C^k(U).$ Специјални случај када је $k=\mathrm{\infty }$ даје нам простор тест функција.

Овај одељак дефинише каноничку ЛФ топологију као директни лимес. Такође је могуће дефинисати ову топологију преко њених околина координатног почетка, што је описано касније.

Топологија дефинисана директним лимесима

За било која два скупа Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, проглашавамо да је $K\le L$ ако и само ако Шаблон:Tmath, што конкретно чини колекцију $𝕂$ компактних подскупова од Шаблон:Mvar усмереним скупом (кажемо да је таква колекција Шаблон:Em). За све компактне $K,L\subseteq U$ који задовољавају $K\subseteq L,$ постоје инклузиона пресликавања $${\mathrm{In}}_K^L:C^k(K)\to C^k(L)\text{и}{\mathrm{In}}_K^U:C^k(K)\to C_{\text{c}}^k(U).$$

Подсетимо се одозго да је пресликавање ${\mathrm{In}}_K^L:C^k(K)\to C^k(L)$ тополошко утапање. Колекција пресликавања $$\{{\mathrm{In}}_K^L:K,L\in 𝕂\text{ и }K\subseteq L\}$$ формира директни систем у категорији локално конвексних тополошких векторских простора који је усмерен помоћу $𝕂$ (путем инклузије подскупова). Директни лимес овог система (у категорији локално конвексних ТВП-ова) је пар $(C_{\text{c}}^k(U),{\mathrm{In}}_{\bullet }^U)$ где су ${\mathrm{In}}_{\bullet }^U:={\left({\mathrm{In}}_K^U\right)}_{K\in 𝕂}$ природне инклузије и где је $C_{\text{c}}^k(U)$ сада снабдевен (јединственом) најјачом локално конвексном топологијом која чини сва инклузиона пресликавања ${\mathrm{In}}_{\bullet }^U=({\mathrm{In}}_K^U{)}_{K\in 𝕂}$ непрекидним.

Топологија дефинисана околинама координатног почетка

Ако је $𝒰$ конвексан подскуп од Шаблон:Tmath, онда је $𝒰$ околина координатног почетка у каноничкој ЛФ топологији ако и само ако задовољава следећи услов:

Приметимо да је сваки конвексан скуп који задовољава овај услов нужно апсорбујући у Шаблон:Tmath. Пошто је топологија сваког тополошког векторског простора транслационо-инваријантна, свака ТВП-топологија је потпуно одређена скупом околина координатног почетка. Ово значи да бисмо заправо могли Шаблон:Em каноничку ЛФ топологију проглашавајући да је конвексан балансиран подскуп Шаблон:Mvar околина координатног почетка ако и само ако задовољава услов Шаблон:EquationNote.

Топологија дефинисана путем диференцијалних оператора

Шаблон:Em је сума $$P:=\sum _{\alpha \in {\mathbb{N}}^n}{c}_{\alpha }{\partial }^{\alpha }$$ где $c_{\alpha }\in C^{\mathrm{\infty }}(U)$ и сви осим коначно много $c_{\alpha }$ су идентички Шаблон:Math. Цео број $sup\{|\alpha |:c_{\alpha }\ne 0\}$ назива се Шаблон:Em диференцијалног оператора $P.$ Ако је $P$ линеарни диференцијални оператор реда Шаблон:Mvar онда он индукује каноничко линеарно пресликавање $C^k(U)\to C^0(U)$ дефинисано са $\varphi \mapsto P\varphi ,$ при чему ћемо поново користити нотацију и ово пресликавање означавати са $P.$Шаблон:Sfn

За свако $1\le k\le \mathrm{\infty },$ каноничка ЛФ топологија на $C_{\text{c}}^k(U)$ је најслабија локално конвексна ТВП топологија која чини све линеарне диференцијалне операторе у $U$ реда $<k+1$ непрекидним пресликавањима из $C_{\text{c}}^k(U)$ у Шаблон:Tmath.Шаблон:Sfn

Особине каноничке ЛФ топологије

Независност каноничке ЛФ топологије од Шаблон:Math

Једна предност дефинисања каноничке ЛФ топологије као директног лимеса директног система је та што можемо одмах користити универзално својство директних лимеса. Друга предност је та што можемо користити добро познате резултате из теорије категорија да закључимо да је каноничка ЛФ топологија заправо независна од конкретног избора усмерене колекције $𝕂$ компактних скупова. А разматрањем различитих колекција $𝕂$ (конкретно, оних $𝕂$ поменутих на почетку овог чланка), можемо извести различите особине ове топологије. Конкретно, можемо закључити да каноничка ЛФ топологија чини $C_{\text{c}}^k(U)$ Хаусдорфовим локално конвексним строгим ЛФ-простором (и такође строгим ЛБ-простором ако је $k\ne \mathrm{\infty }$), што је наравно разлог зашто се ова топологија назива „каноничком ЛФ топологијом” (видети ову фусноту за више детаља).

Универзално својство

Из универзалног својства директних лимеса, знамо да ако је $u:C_{\text{c}}^k(U)\to Y$ линеарно пресликавање у локално конвексан простор Шаблон:Mvar (не нужно Хаусдорфов), онда је Шаблон:Mvar непрекидно ако и само ако је Шаблон:Mvar ограничено ако и само ако за свако Шаблон:Tmath, рестрикција од Шаблон:Mvar на $C^k(K)$ је непрекидна (или ограничена).Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Зависност каноничке ЛФ топологије од Шаблон:Mvar

Претпоставимо да је Шаблон:Mvar отворен подскуп од ${ℝ}^n$ који садржи $U.$ Нека $I:C_{\text{c}}^k(U)\to C_{\text{c}}^k(V)$ означава пресликавање које шаље функцију у $C_{\text{c}}^k(U)$ у њено тривијално проширење на Шаблон:Mvar (које је дефинисано горе). Ово пресликавање је непрекидно линеарно пресликавање.Шаблон:Sfn Ако (и само ако) $U\ne V$ онда $I(C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U))$ Шаблон:Em густ подскуп од $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(V)$ и $I:C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(V)$ Шаблон:Em тополошко утапање.Шаблон:Sfn Сходно томе, ако $U\ne V$ онда транспонат од $I:C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(V)$ није ни један-на-један ни на.Шаблон:Sfn

Ограничени подскупови

Подскуп $B\subseteq C_{\text{c}}^k(U)$ је ограничен у $C_{\text{c}}^k(U)$ ако и само ако постоји неко $K\in 𝕂$ такво да $B\subseteq C^k(K)$ и $B$ је ограничен подскуп од $C^k(K).$Шаблон:Sfn Штавише, ако је $K\subseteq U$ компактно и $S\subseteq C^k(K)$ онда је $S$ ограничено у $C^k(K)$ ако и само ако је ограничено у $C^k(U).$ За свако $0\le k\le \mathrm{\infty },$ сваки ограничен подскуп од $C_{\text{c}}^{k+1}(U)$ (респ. $C^{k+1}(U)$) је релативно компактан подскуп од $C_{\text{c}}^k(U)$ (респ. Шаблон:Tmath), где је Шаблон:Tmath.Шаблон:Sfn

Неметризабилност

За све компактне Шаблон:Tmath, унутрашњост од $C^k(K)$ у $C_{\text{c}}^k(U)$ је празна тако да је $C_{\text{c}}^k(U)$ прве категорије у самом себи. Из Берове теореме следи да $C_{\text{c}}^k(U)$ Шаблон:Em метризабилан и самим тим такође Шаблон:Em нормибилан (видети ову фусноту за објашњење како неметризабилан простор $C_{\text{c}}^k(U)$ може бити комплетан иако не допушта метрику). Чињеница да је $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ нуклеарни Монтелов простор надокнађује неметризабилност од $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ (видети ову фусноту за детаљније објашњење).

Односи између простора

Користећи универзално својство директних лимеса и чињеницу да су природне инклузије ${\mathrm{In}}_K^L:C^k(K)\to C^k(L)$ сва тополошка утапања, може се показати да су сва пресликавања ${\mathrm{In}}_K^U:C^k(K)\to C_{\text{c}}^k(U)$ такође тополошка утапања. Другачије речено, топологија на $C^k(K)$ је идентична топологији потпростора коју наслеђује од Шаблон:Tmath, при чему се подсетимо да је топологија од Шаблон:Tmath била Шаблон:Em као топологија потпростора индукована на њега од стране Шаблон:Tmath. Конкретно, и $C_{\text{c}}^k(U)$ и $C^k(U)$ индукују исту топологију потпростора на Шаблон:Tmath. Међутим, ово Шаблон:Em имплицира да је каноничка ЛФ топологија на $C_{\text{c}}^k(U)$ једнака топологији потпростора индукованој на $C_{\text{c}}^k(U)$ од стране Шаблон:Tmath; ове две топологије на $C_{\text{c}}^k(U)$ у ствари Шаблон:Em нису једнаке једна другој пошто каноничка ЛФ топологија Шаблон:Em није метризабилна, док је топологија потпростора индукована на њега од стране $C^k(U)$ метризабилна (пошто се подсетимо да је $C^k(U)$ метризабилан). Каноничка ЛФ топологија на $C_{\text{c}}^k(U)$ је заправо Шаблон:Em од топологије потпростора коју наслеђује од $C^k(U)$ (дакле, природна инклузија $C_{\text{c}}^k(U)\to C^k(U)$ је непрекидна, али Шаблон:Em тополошко утапање).Шаблон:Sfn

Заиста, каноничка ЛФ топологија је толико фина да ако $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to X$ означава неко линеарно пресликавање које је „природна инклузија” (као што је Шаблон:Tmath, или Шаблон:Tmath, или друга пресликавања о којима се расправља у наставку) онда ће ово пресликавање типично бити непрекидно, што (као што је објашњено у наставку) је на крају разлог зашто локално интеграбилне функције, Радонове мере, итд. све индукују дистрибуције (путем транспоната такве „природне инклузије”). Другачије речено, разлог зашто постоји толико много различитих начина за дефинисање дистрибуција из других простора на крају произилази из тога колико је фина каноничка ЛФ топологија. Штавише, пошто су дистрибуције само непрекидни линеарни функционали на Шаблон:Tmath, фина природа каноничке ЛФ топологије значи да више линеарних функционала на $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ на крају буде непрекидно („више” значи у поређењу са грубљом топологијом коју бисмо могли поставити на $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ као што је, на пример, топологија потпростора индукована неким Шаблон:Tmath, која би, иако би учинила $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ метризабилним, такође резултирала тиме да мање линеарних функционала на $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ буде непрекидно, а самим тим би било и мање дистрибуција; штавише, ова конкретна грубља топологија такође има недостатак што не чини $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ комплетним тополошким векторским просторомШаблон:Sfn).

Остале особине

• Пресликавање диференцирања $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ је непрекидан линеарни оператор.Шаблон:Sfn
• Билинеарно пресликавање множења $C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^m)\times C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)\to C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^{m+n})$ дато са $(f,g)\mapsto fg$ Шаблон:Em непрекидно; међутим, оно је хипонепрекидно.Шаблон:Sfn

Дистрибуције

Као што је раније речено, непрекидни линеарни функционали на $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ су познати као дистрибуције на Шаблон:Mvar. Дакле, скуп свих дистрибуција на Шаблон:Mvar је непрекидни дуални простор од Шаблон:Tmath, који, када је снабдевен јаком дуалном топологијом, означава се са Шаблон:Tmath.

Имамо каноничко дуално спаривање између дистрибуције Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar и тест функције Шаблон:Tmath, које се означава коришћењем угластих заграда са $$\{\begin{array}{c}{𝒟}^{\prime }(U)\times C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to ℝ\\ (T,f)\mapsto ⟨T,f⟩:=T(f)\end{array}$$

Ова нотација се интерпретира као дистрибуција Шаблон:Mvar која делује на тест функцију $f$ да би дала скалар, или симетрично као тест функција $f$ која делује на дистрибуцију Шаблон:Mvar.

Карактеризације дистрибуција

Став. Ако је Шаблон:Mvar линеарни функционал на $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ онда су следеће тврдње еквивалентне:

1. Шаблон:Mvar је дистрибуција;
2. Шаблон:Em : Шаблон:Mvar је непрекидна функција.
3. Шаблон:Mvar је непрекидан у координатном почетку.
4. Шаблон:Mvar је униформно непрекидан.
5. Шаблон:Mvar је ограничен оператор.
6. Шаблон:Mvar је секвенцијално непрекидан.
   • експлицитно, за сваки низ ${\left(f_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ у $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ који конвергира у $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ ка неком $f\in C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U),$ $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}T\left(f_i\right)=T(f);$
7. Шаблон:Mvar је секвенцијално непрекидан у координатном почетку; другим речима, Шаблон:Mvar пресликава нула-низове у нула-низове.
   • експлицитно, за сваки низ ${\left(f_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ у $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ који конвергира у $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ ка координатном почетку (такав низ се назива Шаблон:Em), $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}T\left(f_i\right)=0.$
   • Шаблон:Em је по дефиницији низ који конвергира ка координатном почетку.
8. Шаблон:Mvar пресликава нула-низове у ограничене подскупове.
   • експлицитно, за сваки низ ${\left(f_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ у $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ који конвергира у $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ ка координатном почетку, низ ${\left(T\left(f_i\right)\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ је ограничен.
9. Шаблон:Mvar пресликава Макејеве конвергентне нула-низове у ограничене подскупове;
   • експлицитно, за сваки Макејев конвергентни нула-низ ${\left(f_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ у Шаблон:Tmath, низ ${\left(T\left(f_i\right)\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ је ограничен.
   • за низ $f_{\bullet }={\left(f_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ се каже да је Шаблон:Em ако постоји дивергентан низ $r_{\bullet }={\left(r_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}\to \mathrm{\infty }$ позитивних реалних бројева такав да је низ ${\left(r_i{f}_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ ограничен; сваки низ који је Макејевски конвергентан ка Шаблон:Math нужно конвергира ка координатном почетку (у уобичајеном смислу).
10. Језгро од Шаблон:Mvar је затворен потпростор од Шаблон:Tmath.
11. График од Шаблон:Mvar је затворен.
12. Постоји непрекидна полунорма $g$ на $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ таква да $|T|\le g.$
13. Постоји константа $C>0,$ колекција непрекидних полунорми, $𝒫,$ која дефинише каноничку ЛФ топологију од $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U),$ и коначан подскуп $\{g_1,\dots ,g_m\}\subseteq 𝒫$ такав да $|T|\le C(g_1+\cdots g_m);$
14. За сваки компактни подскуп $K\subseteq U$ постоје константе $C>0$ и $N\in \mathbb{N}$ такве да за све $f\in C^{\mathrm{\infty }}(K),$Шаблон:Sfn $$|T(f)|\le Csup\{|{\partial }^{p}f(x)|:x\in U,|\alpha |\le N\}.$$
15. За сваки компактни подскуп $K\subseteq U$ постоје константе $C_K>0$ и $N_K\in \mathbb{N}$ такве да за све $f\in C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ са носачем садржаним у $K,$ $$|T(f)|\le C_{K}sup\{|{\partial }^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\le N_K\}.$$
16. За сваки компактни подскуп $K\subseteq U$ и сваки низ $\{f_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ у $C^{\mathrm{\infty }}(K),$ ако $\{{\partial }^p{f}_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ конвергира униформно ка нули за све мулти-индексе $p,$ онда $T(f_i)\to 0.$
17. Било која од Шаблон:Em тврдње непосредно изнад (то јест, тврдње 14, 15 и 16) али са додатним захтевом да компактни скуп $K$ припада $𝕂.$

Топологија на простору дистрибуција

Топологија униформне конвергенције на ограниченим подскуповима такође се назива Шаблон:Em. Ова топологија је изабрана зато што управо са овом топологијом ${𝒟}^{\prime }(U)$ постаје нуклеарни Монтелов простор и са овом топологијом важи Шварцова теорема о језгру. Без обзира која је дуална топологија постављена на ${𝒟}^{\prime }(U),$ Шаблон:Em дистрибуција конвергира у овој топологији ако и само ако конвергира по тачкама (иако ово не мора да важи за мрежу). Без обзира која је топологија изабрана, ${𝒟}^{\prime }(U)$ ће бити не-метризабилан, локално конвексан тополошки векторски простор. Простор ${𝒟}^{\prime }(U)$ је сепарабилан и има јако Питкејево својство али није ни k-простор ни секвенцијални простор, што конкретно имплицира да није метризабилан и такође да се његова топологија Шаблон:Em дефинисати коришћењем само низова.

Тополошке особине

Категорије тополошких векторских простора

Каноничка ЛФ топологија чини $C_{\text{c}}^k(U)$ комплетним дистингвираним строгим ЛФ-простором (и строгим ЛБ-простором ако и само ако $k\ne \mathrm{\infty }$Шаблон:Sfn), што имплицира да је $C_{\text{c}}^k(U)$ скуп прве категорије у самом себи.Шаблон:Sfn Штавише, Шаблон:Tmath, као и његов јаки дуални простор, је комплетан Хаусдорфов локално конвексан барелован борнолошки Макејев простор. Јаки дуални простор од $C_{\text{c}}^k(U)$ је Фрешеов простор ако и само ако $k\ne \mathrm{\infty }$ па тако конкретно, јаки дуал од Шаблон:Tmath, који је простор ${𝒟}^{\prime }(U)$ дистрибуција на Шаблон:Mvar, Шаблон:Em метризабилан (приметимо да слаба* топологија на ${𝒟}^{\prime }(U)$ такође није метризабилна и штавише, додатно јој недостају скоро све лепе особине које јака дуална топологија даје Шаблон:Tmath).

Три простора Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath, и Шварцов простор Шаблон:Tmath, као и јаки дуали сваког од ова три простора, су комплетни нуклеарниШаблон:Sfn МонтеловиШаблон:Sfn борнолошки простори, што имплицира да су свих ових шест локално конвексних простора такође паракомпактни рефлексивни бареловани Макејеви простори. Простори $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ и $𝒮({ℝ}^n)$ су оба дистингвирани Фрешеови простори. Штавише, и $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ и $𝒮({ℝ}^n)$ су Шварцови ТВП-ови.

Конвергентни низови

Конвергентни низови и њихова недовољност за описивање топологија

Јаки дуални простори од $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ и $𝒮({ℝ}^n)$ су секвенцијални простори, али не и Фреше-Урисонови простори. Штавише, ни простор тест функција $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ ни његов јаки дуал ${𝒟}^{\prime }(U)$ нису секвенцијални простори (чак ни Асколијев простор), што конкретно имплицира да се њихове топологије Шаблон:Em у потпуности дефинисати помоћу конвергентних низова.

Низ ${\left(f_i\right)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ у $C_{\text{c}}^k(U)$ конвергира у $C_{\text{c}}^k(U)$ ако и само ако постоји неко $K\in 𝕂$ такво да $C^k(K)$ садржи овај низ и овај низ конвергира у $C^k(K)$; еквивалентно, конвергира ако и само ако су испуњена следећа два услова:

1. Постоји компактан скуп $K\subseteq U$ који садржи носаче свих $f_i.$
2. За сваки мулти-индекс $\alpha ,$ низ парцијалних извода ${\partial }^{\alpha }{f}_i$ тежи униформно ка ${\partial }^{\alpha }f.$

Ни простор $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ ни његов јаки дуал ${𝒟}^{\prime }(U)$ нису секвенцијални простори, и сходно томе, њихове топологије се Шаблон:Em у потпуности дефинисати помоћу конвергентних низова. Из тог разлога, горња карактеризација када низ конвергира Шаблон:Em довољна за дефинисање каноничке ЛФ топологије на Шаблон:Tmath. Исто се може рећи и за јаку дуалну топологију на Шаблон:Tmath.

Шта низови ипак карактеришу

Без обзира на то, низови карактеришу многа важна својства, као што сада расправљамо. Познато је да у непрекидном дуалном простору било ког Монтеловог простора, низ конвергира у јакој дуалној топологији ако и само ако конвергира у слабој* топологији,Шаблон:Sfn што је конкретно разлог зашто низ дистрибуција конвергира (у јакој дуалној топологији) ако и само ако конвергира по тачкама (ово наводи многе ауторе да користе конвергенцију по тачкама да заправо Шаблон:Em конвергенцију низа дистрибуција; ово је у реду за низове али се Шаблон:Em проширује на конвергенцију мрежа дистрибуција јер мрежа може конвергирати по тачкама, али не успети да конвергира у јакој дуалној топологији).

Низови карактеришу непрекидност линеарних пресликавања са вредностима у локално конвексном простору. Претпоставимо да је Шаблон:Mvar локално конвексан борнолошки простор (као што је било који од шест раније поменутих ТВП-ова). Онда је линеарно пресликавање $F:X\to Y$ у локално конвексан простор Шаблон:Mvar непрекидно ако и само ако пресликава нула-низове у Шаблон:Mvar у ограничене подскупове од Шаблон:Mvar. Општије, такво линеарно пресликавање $F:X\to Y$ је непрекидно ако и само ако пресликава Макејеве конвергентне нула-низове у ограничене подскупове од $Y.$ Дакле, конкретно, ако је линеарно пресликавање $F:X\to Y$ у локално конвексан простор секвенцијално непрекидно у координатном почетку, онда је оно непрекидно.Шаблон:Sfn Међутим, ово се Шаблон:Em проширује нужно на нелинеарна пресликавања и/или на пресликавања са вредностима у тополошким просторима који нису локално конвексни ТВП-ови.

За свако $k\in \{0,1,\dots ,\mathrm{\infty }\},C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ је секвенцијално густ у Шаблон:Tmath.Шаблон:Sfn Штавише, $\{D_{\varphi }:\varphi \in C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\}$ је секвенцијално густ подскуп од ${𝒟}^{\prime }(U)$ (са његовом јаком дуалном топологијом)Шаблон:Sfn и такође секвенцијално густ подскуп јаког дуалног простора од $C^{\mathrm{\infty }}(U).$Шаблон:Sfn

Низови дистрибуција

Низ дистрибуција $(T_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ конвергира у односу на слабу* топологију на ${𝒟}^{\prime }(U)$ ка дистрибуцији Шаблон:Mvar ако и само ако $$⟨T_i,f⟩\to ⟨T,f⟩$$ за сваку тест функцију $f\in 𝒟(U).$ На пример, ако је $f_m:ℝ\to ℝ$ функција $$f_m(x)=\{\begin{array}{cc}m& \text{ ако }x\in [0,\frac{1}{m}]\\ 0& \text{ иначе }\end{array}$$ и $T_m$ је дистрибуција која одговара $f_m,$ онда $$⟨T_m,f⟩=m{\int }_0^{\frac{1}{m}}f(x)dx\to f(0)=⟨\delta ,f⟩$$ када $m\to \mathrm{\infty },$ тако да $T_m\to \delta$ у ${𝒟}^{\prime }(ℝ).$ Дакле, за велико $m,$ функција $f_m$ се може сматрати апроксимацијом Диракове делта дистрибуције.

Остале особине

• Јаки дуални простор од ${𝒟}^{\prime }(U)$ је ТВП изоморфан са $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ преко каноничког ТВП-изоморфизма $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to ({𝒟}^{\prime }(U)){\text{'}}_b$ дефинисаног слањем $f\in C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ у Шаблон:Em (то јест, у линеарни функционал на ${𝒟}^{\prime }(U)$ дефинисан слањем $d\in {𝒟}^{\prime }(U)$ у Шаблон:Tmath);
• На било ком ограниченом подскупу од ${𝒟}^{\prime }(U),$ слаба и јака топологија потпростора се поклапају; исто важи и за Шаблон:Tmath;
• Сваки слабо конвергентан низ у ${𝒟}^{\prime }(U)$ је јако конвергентан (иако се ово не проширује на мреже).

Локализација дистрибуција

Увод: Транспонат линеарног оператора

Операције над дистрибуцијама и просторима дистрибуција се често дефинишу помоћу транспоната линеарног оператора. Ово је зато што транспонат омогућава јединствену презентацију многих дефиниција у теорији дистрибуција и такође зато што су његове особине добро познате у функционалној анализи. На пример, добро познати Ермитски адјунговани оператор линеарног оператора између Хилбертових простора је само транспонат оператора (али са Рисовом теоремом репрезентације која се користи за идентификацију сваког Хилбертовог простора са његовим јаким дуалним простором). Генерално, транспонат непрекидног линеарног пресликавања $A:X\to Y$ је линеарно пресликавање $${}^{\text{t}}A:Y^{\prime }\to X^{\prime }\text{ дефинисано са }{}^{\text{t}}A(y^{\prime }):=y^{\prime }\circ A,$$ или еквивалентно, то је јединствено пресликавање које задовољава $⟨y^{\prime },A(x)⟩=⟨{}^{\text{t}}A(y^{\prime }),x⟩$ за све $x\in X$ и све $y^{\prime }\in Y^{\prime }$ (ознака прим у $y^{\prime }$ не означава извод било које врсте; она само указује да је $y^{\prime }$ елемент непрекидног дуалног простора $Y^{\prime }$). Пошто је $A$ непрекидно, транспонат ${}^{\text{t}}A:Y^{\prime }\to X^{\prime }$ је такође непрекидан када су оба дуала снабдевена својим одговарајућим јаким дуалним топологијама; такође је непрекидан када су оба дуала снабдевена својим одговарајућим слабим* топологијама (видети чланке поларна топологија и дуални систем за више детаља).

У контексту дистрибуција, карактеризација транспоната се може мало прецизирати. Нека је $A:𝒟(U)\to 𝒟(U)$ непрекидно линеарно пресликавање. Онда је по дефиницији, транспонат од $A$ јединствени линеарни оператор $A^t:{𝒟}^{\prime }(U)\to {𝒟}^{\prime }(U)$ који задовољава: $$⟨{}^{\text{t}}A(T),\varphi ⟩=⟨T,A(\varphi )⟩\text{ за све }\varphi \in 𝒟(U)\text{ и све }T\in {𝒟}^{\prime }(U).$$

Пошто је $𝒟(U)$ густ у ${𝒟}^{\prime }(U)$ (овде, $𝒟(U)$ се заправо односи на скуп дистрибуција $\{D_{\psi }:\psi \in 𝒟(U)\}$) довољно је да дефинишућа једнакост важи за све дистрибуције облика $T=D_{\psi }$ где $\psi \in 𝒟(U).$ Експлицитно, ово значи да је непрекидно линеарно пресликавање $B:{𝒟}^{\prime }(U)\to {𝒟}^{\prime }(U)$ једнако ${}^{\text{t}}A$ ако и само ако важи следећи услов: $$⟨B(D_{\psi }),\varphi ⟩=⟨{}^{\text{t}}A(D_{\psi }),\varphi ⟩\text{ за све }\varphi ,\psi \in 𝒟(U)$$ где је десна страна једнака $⟨{}^{\text{t}}A(D_{\psi }),\varphi ⟩=⟨D_{\psi },A(\varphi )⟩=⟨\psi ,A(\varphi )⟩={\int }_U\psi \cdot A(\varphi )dx.$

Проширења и рестрикције на отворени подскуп

Нека су $V\subseteq U$ отворени подскупови од Шаблон:Tmath. Свака функција $f\in 𝒟(V)$ може бити Шаблон:Em са свог домена $V$ на функцију на $U$ тако што се постави да је једнака $0$ на комплементу $U\setminus V.$ Ово проширење је глатка функција са компактним носачем која се назива Шаблон:Em и означаваће се са Шаблон:Tmath. Ово придруживање $f\mapsto E_{VU}(f)$ дефинише Шаблон:Em $E_{VU}:𝒟(V)\to 𝒟(U),$ који је непрекидно инјективно линеарно пресликавање. Користи се за каноничку идентификацију $𝒟(V)$ као векторског потпростора од $𝒟(U)$ (иако Шаблон:Em као тополошког потпростора). Његов транспонат (објашњен овде) $${\rho }_{VU}:={}^{\text{t}}{E}_{VU}:{𝒟}^{\prime }(U)\to {𝒟}^{\prime }(V),$$ назива се Шаблон:EmШаблон:Sfn и као што име сугерише, слика ${\rho }_{VU}(T)$ дистрибуције $T\in {𝒟}^{\prime }(U)$ под овим пресликавањем је дистрибуција на $V$ која се назива рестрикција од $T$ на $V.$ Дефинишући услов рестрикције ${\rho }_{VU}(T)$ је: $$⟨{\rho }_{VU}T,\varphi ⟩=⟨T,E_{VU}\varphi ⟩\text{ за све }\varphi \in 𝒟(V).$$ Ако $V\ne U$ онда (непрекидно инјективно линеарно) пресликавање тривијалног проширења $E_{VU}:𝒟(V)\to 𝒟(U)$ Шаблон:Em тополошко утапање (другим речима, ако би се ова линеарна инјекција користила за идентификацију $𝒟(V)$ као подскупа од $𝒟(U)$ онда би топологија од $𝒟(V)$ била строго финија од топологије потпростора коју $𝒟(U)$ индукује на њему; важно, то Шаблон:Em био тополошки потпростор пошто то захтева једнакост топологија) и његов опсег такође Шаблон:Em густ у свом кодомену $𝒟(U).$Шаблон:Sfn Сходно томе, ако $V\ne U$ онда пресликавање рестрикције није нити инјективно нити сурјективно.Шаблон:Sfn За дистрибуцију $S\in {𝒟}^{\prime }(V)$ се каже да је Шаблон:Em ако припада опсегу транспоната од $E_{VU}$ и назива се Шаблон:Em ако је проширива на ${ℝ}^n.$Шаблон:Sfn

Осим ако је Шаблон:Tmath, рестрикција на $V$ није нити инјективна нити сурјективна.

Простори дистрибуција

За све $0<k<\mathrm{\infty }$ и све Шаблон:Tmath, све следеће каноничке инјекције су непрекидне и имају слику/опсег који је густ подскуп њиховог кодомена:Шаблон:SfnШаблон:Sfn $$\begin{array}{ccccccccccccc}{C}_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)& \to & C_{\text{c}}^k(U)& \to & C_{\text{c}}^0(U)& \to & L_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)& \to & L_{\text{c}}^{p+1}(U)& \to & L_{\text{c}}^p(U)& \to & L_{\text{c}}^1(U)\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & & & & & & & & & \\ C^{\mathrm{\infty }}(U)& \to & C^k(U)& \to & C^0(U)& & & & & & & & & & \end{array}$$ где су топологије на LB-просторима $L_{\text{c}}^p(U)$ каноничке ЛФ топологије као што је дефинисано у наставку (тако да посебно, то нису уобичајене топологије норме). Опсег сваког од горњих пресликавања (и било које композиције горњих пресликавања) је густ у кодомену. Заиста, $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ је чак секвенцијално густ у сваком Шаблон:Tmath.Шаблон:Sfn За свако $1\le p\le \mathrm{\infty },$ каноничка инклузија $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to L^p(U)$ у нормирани простор $L^p(U)$ (овде $L^p(U)$ има своју уобичајену топологију норме) је непрекидна линеарна инјекција и опсег ове инјекције је густ у свом кодомену ако и само ако Шаблон:Tmath.Шаблон:Sfn

Претпоставимо да је $X$ један од ЛФ-простора $C_{\text{c}}^k(U)$ (за $k\in \{0,1,\dots ,\mathrm{\infty }\}$) или ЛБ-простора $L_{\text{c}}^p(U)$ (за $1\le p\le \mathrm{\infty }$) или нормираних простора $L^p(U)$ (за Шаблон:Tmath).Шаблон:Sfn Пошто је каноничка инјекција ${\mathrm{In}}_X:C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to X$ непрекидна инјекција чија је слика густа у кодомену, транспонат овог пресликавања ${}^{\text{t}}{\mathrm{In}}_X:X{\text{'}}_b\to {𝒟}^{\prime }(U)=(C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)){\text{'}}_b$ је непрекидна инјекција. Ово инјективно транспоновано пресликавање дакле омогућава да се непрекидни дуални простор $X^{\prime }$ од $X$ идентификује са одређеним векторским потпростором простора ${𝒟}^{\prime }(U)$ свих дистрибуција (конкретно, идентификује се са сликом овог транспонованог пресликавања). Ово непрекидно транспоновано пресликавање није нужно ТВП-утапање, тако да је топологија коју ово пресликавање преноси са свог домена на слику $\mathrm{Im}\left({}^{\text{t}}{\mathrm{In}}_X\right)$ финија од топологије потпростора коју овај простор наслеђује од Шаблон:Tmath. Линеарни потпростор од ${𝒟}^{\prime }(U)$ који носи локално конвексну топологију која је финија од топологије потпростора индуковане са ${𝒟}^{\prime }(U)={{(C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U))}_b}^{\prime }$ назива се Шаблон:Em.Шаблон:Sfn Скоро сви простори дистрибуција поменути у овом чланку настају на овај начин (нпр. умерене дистрибуције, рестрикције, дистрибуције реда $\le$ неког целог броја, дистрибуције индуковане позитивном Радоновом мером, дистрибуције индуковане $L^p$-функцијом, итд.) и свака теорема репрезентације о дуалном простору од Шаблон:Mvar може се, преко транспоната Шаблон:Tmath, директно пренети на елементе простора Шаблон:Tmath.

Компактно ношени -{L^p}- простори

За дато Шаблон:Tmath, векторски простор $L_{\text{c}}^p(U)$ Шаблон:Visible anchor на $U$ и његова топологија дефинисани су као директни лимеси простора $L_{\text{c}}^p(K)$ на начин аналоган оном како су дефинисане каноничке ЛФ-топологије на $C_{\text{c}}^k(U)$. За сваки компактан Шаблон:Tmath, нека $L^p(K)$ означава скуп свих елемената у $L^p(U)$ (који су, подсетимо се, класе еквиваленције Лебег мерљивих $L^p$ функција на $U$) који имају представника $f$ чији је носач (што је, подсетимо се, затворење од $\{u\in U:f(x)\ne 0\}$ у $U$) подскуп од $K$ (такво $f$ је дефинисано скоро свуда у Шаблон:Tmath). Скуп $L^p(K)$ је затворен векторски потпростор од $L^p(U)$ и самим тим је Банахов простор, а када је $p=2,$ чак и Хилбертов простор.Шаблон:Sfn Нека је $L_{\text{c}}^p(U)$ унија свих $L^p(K)$ када $K\subseteq U$ пролази кроз све компактне подскупове од $U.$ Скуп $L_{\text{c}}^p(U)$ је векторски потпростор од $L^p(U)$ чији су елементи (класе еквиваленције) компактно ношених $L^p$ функција дефинисаних на $U$ (или скоро свуда на Шаблон:Tmath). Снабдејмо $L_{\text{c}}^p(U)$ финалном топологијом (топологијом директног лимеса) индукованом инклузионим пресликавањима $L^p(K)\to L_{\text{c}}^p(U)$ када $K\subseteq U$ пролази кроз све компактне подскупове од Шаблон:Tmath. Ова топологија се назива Шаблон:Em и једнака је финалној топологији индукованој било којим пребројивим скупом инклузионих пресликавања $L^p(K_n)\to L_{\text{c}}^p(U)$ ($n=1,2,\dots$) где су $K_1\subseteq K_2\subseteq \cdots$ било који компактни скупови чија је унија једнака $U.$Шаблон:Sfn Ова топологија чини $L_{\text{c}}^p(U)$ LB-простором (а самим тим и LF-простором) са топологијом која је строго финија од топологије норме (потпростора) коју $L^p(U)$ индукује на њему.

Радонове мере

Инклузионо пресликавање $\mathrm{In}:C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to C_{\text{c}}^0(U)$ је непрекидна инјекција чија је слика густа у свом кодомену, па је транспонат ${}^{\text{t}}\mathrm{In}:{{(C_{\text{c}}^0(U))}_b}^{\prime }\to {𝒟}^{\prime }(U)={{(C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U))}_b}^{\prime }$ такође непрекидна инјекција.

Приметимо да се непрекидни дуални простор ${{(C_{\text{c}}^0(U))}_b}^{\prime }$ може идентификовати као простор Радонових мера, где постоји једно-на-један кореспонденција између непрекидних линеарних функционала $T\in {{(C_{\text{c}}^0(U))}_b}^{\prime }$ и интеграла у односу на Радонову меру; то јест,

• ако $T\in {{(C_{\text{c}}^0(U))}_b}^{\prime }$ онда постоји Радонова мера $\mu$ на Шаблон:Mvar таква да за све $f\in C_{\text{c}}^0(U),T(f)={\int }_{U}fd\mu ,$ и
• ако је $\mu$ Радонова мера на Шаблон:Mvar онда је линеарни функционал на $C_{\text{c}}^0(U)$ дефинисан са $C_{\text{c}}^0(U)\ni f\mapsto {\int }_{U}fd\mu$ непрекидан.

Преко инјекције ${}^{\text{t}}\mathrm{In}:{{(C_{\text{c}}^0(U))}_b}^{\prime }\to {𝒟}^{\prime }(U),$ свака Радонова мера постаје дистрибуција на Шаблон:Mvar. Ако је $f$ локално интеграбилна функција на Шаблон:Mvar онда је дистрибуција $\varphi \mapsto {\int }_{U}f(x)\varphi (x)dx$ Радонова мера; тако да Радонове мере чине велики и важан простор дистрибуција.

Следи теорема о структури дистрибуција Радонових мера, која показује да се свака Радонова мера може написати као сума извода локално $L^{\mathrm{\infty }}$ функција у Шаблон:Mvar:

Позитивне Радонове мере

Линеарна функција Шаблон:Mvar на простору функција назива се Шаблон:Em ако кад год је функција $f$ која припада домену од Шаблон:Mvar ненегативна (што значи да је $f$ реално-вредносна и Шаблон:Tmath) онда Шаблон:Tmath. Може се показати да је сваки позитиван линеарни функционал на $C_{\text{c}}^0(U)$ нужно непрекидан (то јест, нужно је Радонова мера).Шаблон:Sfn Лебегова мера је пример позитивне Радонове мере.

Локално интеграбилне функције као дистрибуције

Једна посебно важна класа Радонових мера су оне индуковане локално интеграбилним функцијама. Функција $f:U\to ℝ$ се назива Шаблон:Em ако је Лебег интеграбилна над сваким компактним подскупом Шаблон:Mvar од Шаблон:Mvar. Ово је велика класа функција која укључује све непрекидне функције и све Lp простор $L^p$ функције. Топологија на $𝒟(U)$ је дефинисана на такав начин да свака локално интеграбилна функција $f$ даје непрекидни линеарни функционал на $𝒟(U)$ – то јест, елемент од ${𝒟}^{\prime }(U)$ – овде означен са $T_f$, чија је вредност на тест функцији $\varphi$ дата Лебеговим интегралом: $$⟨T_f,\varphi ⟩={\int }_{U}f\varphi dx.$$

Конвенционално, злоупотребљава се нотација идентификовањем $T_f$ са Шаблон:Tmath, под условом да не може доћи до забуне, и стога се спаривање између $T_f$ и $\varphi$ често пише $$⟨f,\varphi ⟩=⟨T_f,\varphi ⟩.$$

Ако су $f$ и Шаблон:Mvar две локално интеграбилне функције, онда су придружене дистрибуције $T_f$ и Шаблон:Mvar једнаке истом елементу од ${𝒟}^{\prime }(U)$ ако и само ако су $f$ и Шаблон:Mvar једнаке скоро свуда (видети, на пример, Шаблон:Harvtxt). На сличан начин, свака Радонова мера $\mu$ на Шаблон:Mvar дефинише елемент од ${𝒟}^{\prime }(U)$ чија је вредност на тест функцији $\varphi$ $\int \varphi d\mu .$ Као и горе, конвенционално је злоупотребити нотацију и писати спаривање између Радонове мере $\mu$ и тест функције $\varphi$ као $⟨\mu ,\varphi ⟩.$ Обрнуто, као што је показано у теореми од Шварца (слично Рисовој теореми репрезентације), свака дистрибуција која је ненегативна на ненегативним функцијама је овог облика за неку (позитивну) Радонову меру.

Тест функције као дистрибуције

Тест функције су и саме локално интеграбилне, и стога дефинишу дистрибуције. Простор тест функција $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ је секвенцијално густ у ${𝒟}^{\prime }(U)$ у односу на јаку топологију на ${𝒟}^{\prime }(U).$Шаблон:Sfn Ово значи да за свако $T\in {𝒟}^{\prime }(U),$ постоји низ тест функција, $({\varphi }_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }},$ који конвергира ка $T\in {𝒟}^{\prime }(U)$ (у његовој јакој дуалној топологији) када се посматра као низ дистрибуција. Или еквивалентно, $$⟨{\varphi }_i,\psi ⟩\to ⟨T,\psi ⟩\text{ за све }\psi \in 𝒟(U).$$

Штавише, $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ је такође секвенцијално густ у јаком дуалном простору од Шаблон:Tmath.Шаблон:Sfn

Дистрибуције са компактним носачем

Инклузионо пресликавање $\mathrm{In}:C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to C^{\mathrm{\infty }}(U)$ је непрекидна инјекција чија је слика густа у свом кодомену, па је транспонат ${}^{\text{t}}\mathrm{In}:{{(C^{\mathrm{\infty }}(U))}_b}^{\prime }\to {𝒟}^{\prime }(U)={{(C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U))}_b}^{\prime }$ такође непрекидна инјекција. Дакле, слика транспоната, означена са ${ℰ}^{\prime }(U),$ формира простор дистрибуција када је снабдевена јаком дуалном топологијом од ${{(C^{\mathrm{\infty }}(U))}_b}^{\prime }$ (пренесеном на њега преко транспонованог пресликавања ${}^{\text{t}}\mathrm{In}:{{(C^{\mathrm{\infty }}(U))}_b}^{\prime }\to {ℰ}^{\prime }(U),$ тако да је топологија од ${ℰ}^{\prime }(U)$ финија од топологије потпростора коју овај скуп наслеђује од ${𝒟}^{\prime }(U)$).Шаблон:Sfn

Елементи од ${ℰ}^{\prime }(U)={{(C^{\mathrm{\infty }}(U))}_b}^{\prime }$ могу се идентификовати као простор дистрибуција са компактним носачем.Шаблон:Sfn Експлицитно, ако је Шаблон:Mvar дистрибуција на Шаблон:Mvar онда су следеће тврдње еквивалентне,

• $T\in {ℰ}^{\prime }(U)$;
• носач од Шаблон:Mvar је компактан;
• рестрикција од $T$ на $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U),$ када је тај простор опремљен топологијом потпростора наслеђеном од $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ (грубљом топологијом од каноничке ЛФ топологије), је непрекидна;Шаблон:Sfn
• постоји компактни подскуп Шаблон:Mvar од Шаблон:Mvar такав да за сваку тест функцију $\varphi$ чији је носач потпуно ван Шаблон:Mvar, имамо $T(\varphi )=0.$

Компактно ношене дистрибуције дефинишу непрекидне линеарне функционале на простору $C^{\mathrm{\infty }}(U)$; подсетимо се да је топологија на $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ дефинисана тако да низ тест функција ${\varphi }_k$ конвергира ка 0 ако и само ако сви изводи од ${\varphi }_k$ конвергирају униформно ка 0 на сваком компактном подскупу од Шаблон:Mvar. Обрнуто, може се показати да сваки непрекидни линеарни функционал на овом простору дефинише дистрибуцију са компактним носачем. Дакле, компактно ношене дистрибуције се могу идентификовати са оним дистрибуцијама које се могу проширити са $C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)$ на $C^{\mathrm{\infty }}(U).$

Дистрибуције коначног реда

Нека је $k\in \mathbb{N}.$ Инклузионо пресликавање $\mathrm{In}:C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U)\to C_{\text{c}}^k(U)$ је непрекидна инјекција чија је слика густа у свом кодомену, па је транспонат ${}^{\text{t}}\mathrm{In}:{{(C_{\text{c}}^k(U))}_b}^{\prime }\to {𝒟}^{\prime }(U)={{(C_{\text{c}}^{\mathrm{\infty }}(U))}_b}^{\prime }$ такође непрекидна инјекција. Сходно томе, слика од ${}^{\text{t}}\mathrm{In},$ означена са $𝒟{\text{'}}^k(U),$ формира простор дистрибуција када је снабдевена јаком дуалном топологијом од ${{(C_{\text{c}}^k(U))}_b}^{\prime }$ (пренесеном на њега преко транспонованог пресликавања ${}^{\text{t}}\mathrm{In}:{{(C^{\mathrm{\infty }}(U))}_b}^{\prime }\to 𝒟{\text{'}}^k(U),$ тако да је топологија од $𝒟{\text{'}}^m(U)$ финија од топологије потпростора коју овај скуп наслеђује од ${𝒟}^{\prime }(U)$). Елементи од $𝒟{\text{'}}^k(U)$ су Шаблон:EmШаблон:Sfn Дистрибуције реда Шаблон:Tmath, које се такође називају Шаблон:Em, су управо оне дистрибуције које су Радонове мере (описане горе).

За $0\ne k\in \mathbb{N},$ Шаблон:Em је дистрибуција реда $\le k$ која није дистрибуција реда $\le k-1$Шаблон:Sfn

За дистрибуцију се каже да је Шаблон:Em ако постоји неки цео број Шаблон:Mvar такав да је она дистрибуција реда $\le k,$ и скуп дистрибуција коначног реда означава се са $𝒟{\text{'}}^F(U).$ Приметимо да ако је $k\le 1$ онда $𝒟{\text{'}}^k(U)\subseteq 𝒟{\text{'}}^l(U)$ тако да је $𝒟{\text{'}}^F(U)$ векторски потпростор од ${𝒟}^{\prime }(U)$ и штавише, ако и само ако Шаблон:Tmath.Шаблон:Sfn

Структура дистрибуција коначног реда

Свака дистрибуција са компактним носачем у Шаблон:Mvar је дистрибуција коначног реда.Шаблон:Sfn Заиста, свака дистрибуција у Шаблон:Mvar је Шаблон:Em дистрибуција коначног реда, у следећем смислу:Шаблон:Sfn Ако је Шаблон:Mvar отворен и релативно компактан подскуп од Шаблон:Mvar и ако је ${\rho }_{VU}$ пресликавање рестрикције са Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar, онда је слика од ${𝒟}^{\prime }(U)$ под ${\rho }_{VU}$ садржана у Шаблон:Tmath.

Следи теорема о структури дистрибуција коначног реда, која показује да се свака дистрибуција коначног реда може написати као сума извода Радонових мера:

Пример. (Дистрибуције бесконачног реда) Нека је $U:=(0,\mathrm{\infty })$ и за сваку тест функцију $f,$ нека је $$Sf:=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}({\partial }^{m}f)\left(\frac{1}{m}\right).$$

Тада је Шаблон:Mvar дистрибуција бесконачног реда на Шаблон:Mvar. Штавише, Шаблон:Mvar се не може проширити на дистрибуцију на $ℝ$; то јест, не постоји дистрибуција Шаблон:Mvar на $ℝ$ таква да је рестрикција од Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar једнака Шаблон:Mvar.Шаблон:Sfn

Умерене дистрибуције и Фуријеова трансформација

У наставку су дефинисане Шаблон:Em, које формирају потпростор од ${𝒟}^{\prime }({ℝ}^n),$ простора дистрибуција на ${ℝ}^n.$ Ово је прави потпростор: иако је свака умерена дистрибуција дистрибуција и елемент од ${𝒟}^{\prime }({ℝ}^n),$ обрнуто није тачно. Умерене дистрибуције су корисне ако се проучава Фуријеова трансформација пошто све умерене дистрибуције имају Фуријеову трансформацију, што није тачно за произвољну дистрибуцију у ${𝒟}^{\prime }({ℝ}^n).$

Шварцов простор

Шварцов простор, $𝒮({ℝ}^n),$ је простор свих глатких функција које су брзо опадајуће у бесконачности заједно са свим парцијалним изводима. Дакле, $\varphi :{ℝ}^n\to ℝ$ је у Шварцовом простору под условом да било који извод од $\varphi ,$ помножен било којим степеном од $|x|,$ конвергира ка 0 када $|x|\to \mathrm{\infty }.$ Ове функције чине комплетан ТВП са погодно дефинисаном фамилијом полунорми. Прецизније, за било које мулти-индексе $\alpha$ и $\beta$ дефинишимо: $$p_{\alpha ,\beta }(\varphi )=\underset{x\in {ℝ}^n}{sup}|x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\varphi (x)|.$$

Тада је $\varphi$ у Шварцовом простору ако све вредности задовољавају: $$p_{\alpha ,\beta }(\varphi )<\mathrm{\infty }.$$

Фамилија полунорми $p_{\alpha ,\beta }$ дефинише локално конвексну топологију на Шварцовом простору. За $n=1,$ полунорме су, у ствари, норме на Шварцовом простору. Такође се може користити следећа фамилија полунорми за дефинисање топологије:Шаблон:Sfn $$|f{|}_{m,k}=\underset{|p|\le m}{sup}\left(\underset{x\in {ℝ}^n}{sup}\{(1+|x|{)}^k|({\partial }^{\alpha }f)(x)|\}\right),k,m\in \mathbb{N}.$$

Иначе, може се дефинисати норма на $𝒮({ℝ}^n)$ преко $$\Vert \varphi {\Vert }_k=\underset{|\alpha |+|\beta |\le k}{max}\underset{x\in {ℝ}^n}{sup}|x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\varphi (x)|,k\ge 1.$$

Шварцов простор је Фрешеов простор (тј. комплетан метризабилан локално конвексан простор). Пошто Фуријеова трансформација мења ${\partial }^{\alpha }$ у множење са $x^{\alpha }$ и обрнуто, ова симетрија имплицира да је Фуријеова трансформација Шварцове функције такође Шварцова функција.

Низ $\{f_i\}$ у $𝒮({ℝ}^n)$ конвергира ка 0 у $𝒮({ℝ}^n)$ ако и само ако функције $(1+|x|{)}^k({\partial }^p{f}_i)(x)$ конвергирају ка 0 униформно у целој ${ℝ}^n,$ што имплицира да такав низ мора конвергирати ка нули у $C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n).$Шаблон:Sfn

$𝒟({ℝ}^n)$ је густ у $𝒮({ℝ}^n).$ Подскуп свих аналитичких Шварцових функција је такође густ у $𝒮({ℝ}^n)$.Шаблон:Sfn

Шварцов простор је нуклеаран и тензорски производ два пресликавања индукује каноничке сурјективне ТВП-изоморфизме $$𝒮({ℝ}^m)\hat{\otimes }𝒮({ℝ}^n)\to 𝒮({ℝ}^{m+n}),$$ где $\hat{\otimes }$ представља комплетирање инјективног тензорског производа (који је у овом случају идентичан комплетирању пројективног тензорског производа).Шаблон:Sfn

Умерене дистрибуције

Инклузионо пресликавање $\mathrm{In}:𝒟({ℝ}^n)\to 𝒮({ℝ}^n)$ је непрекидна инјекција чија је слика густа у свом кодомену, па је транспонат ${}^{\text{t}}\mathrm{In}:(𝒮({ℝ}^n)){\text{'}}_b\to {𝒟}^{\prime }({ℝ}^n)$ такође непрекидна инјекција. Дакле, слика транспонованог пресликавања, означена са Шаблон:Tmath, формира простор дистрибуција када је снабдевена јаком дуалном топологијом од $(𝒮({ℝ}^n)){\text{'}}_b$ (пренесеном на њега преко транспонованог пресликавања Шаблон:Tmath, тако да је топологија од ${𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)$ финија од топологије потпростора коју овај скуп наслеђује од ${𝒟}^{\prime }({ℝ}^n)$).

Простор ${𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)$ назива се простором Шаблон:Em. То је непрекидни дуал Шварцовог простора. Еквивалентно, дистрибуција Шаблон:Mvar је умерена дистрибуција ако и само ако $$(\text{ за све }\alpha ,\beta \in {\mathbb{N}}^n:\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_{\alpha ,\beta }({\varphi }_m)=0)⟹\underset{m\to \mathrm{\infty }}{lim}T({\varphi }_m)=0.$$

Извод умерене дистрибуције је поново умерена дистрибуција. Умерене дистрибуције генерализују ограничене (или споро растуће) локално интеграбилне функције; све дистрибуције са компактним носачем и све квадратно-интеграбилне функције су умерене дистрибуције. Општије, све функције које су производи полинома са елементима Lp простора $L^p({ℝ}^n)$ за $p\ge 1$ су умерене дистрибуције.

Шаблон:Em се такође могу окарактерисати као Шаблон:Em, што значи да сваки извод од Шаблон:Mvar расте највише брзином неког полинома. Ова карактеризација је дуална Шаблон:Em понашању извода функције у Шварцовом простору, где сваки извод од $\varphi$ опада брже од сваког инверзног степена од $|x|.$ Пример брзо опадајуће функције је $|x{|}^n\exp (-\lambda |x{|}^{\beta })$ за било које позитивно $n,\lambda ,\beta .$

Фуријеова трансформација

Да би се проучавала Фуријеова трансформација, најбоље је разматрати комплексно-вредносне тест функције и комплексно-линеарне дистрибуције. Обична непрекидна Фуријеова трансформација $F:𝒮({ℝ}^n)\to 𝒮({ℝ}^n)$ је ТВП-аутоморфизам Шварцовог простора, а Шаблон:Em је дефинисана као њен транспонат ${}^{\text{t}}F:{𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)\to {𝒮}^{\prime }({ℝ}^n),$ који (злоупотребљавајући нотацију) ће поново бити означен са Шаблон:Mvar. Дакле, Фуријеова трансформација умерене дистрибуције Шаблон:Mvar је дефинисана са $(FT)(\psi )=T(F\psi )$ за сваку Шварцову функцију $\psi .$ $FT$ је дакле поново умерена дистрибуција. Фуријеова трансформација је ТВП изоморфизам са простора умерених дистрибуција на самог себе. Ова операција је компатибилна са диференцирањем у смислу да $$F\frac{dT}{dx}=ixFT$$ и такође са конволуцијом: ако је Шаблон:Mvar умерена дистрибуција и $\psi$ је Шаблон:Em глатка функција на ${ℝ}^n,$ $\psi T$ је поново умерена дистрибуција и $$F(\psi T)=F\psi \ast FT$$ је конволуција од $FT$ и $F\psi$. Конкретно, Фуријеова трансформација константне функције једнаке 1 је $\delta$ дистрибуција.

Изражавање умерених дистрибуција као сума извода

Ако је $T\in {𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)$ умерена дистрибуција, онда постоји константа $C>0,$ и позитивни цели бројеви Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar такви да за све Шварцове функције $\varphi \in 𝒮({ℝ}^n)$ $$⟨T,\varphi ⟩\le C\sum _{|\alpha |\le N,|\beta |\le M}\underset{x\in {ℝ}^n}{sup}|x^{\alpha }{\partial }^{\beta }\varphi (x)|=C\sum _{|\alpha |\le N,|\beta |\le M}{p}_{\alpha ,\beta }(\varphi ).$$

Ова процена заједно са неким техникама из функционалне анализе може се користити да се покаже да постоји непрекидна споро растућа функција Шаблон:Mvar и мулти-индекс $\alpha$ такви да $$T={\partial }^{\alpha }F.$$

Рестрикција дистрибуција на компактне скупове

Ако $T\in {𝒟}^{\prime }({ℝ}^n),$ онда за сваки компактан скуп $K\subseteq {ℝ}^n,$ постоји непрекидна функција Шаблон:Mvar са компактним носачем у ${ℝ}^n$ (могуће на већем скупу од самог Шаблон:Mvar) и мулти-индекс $\alpha$ такви да $T={\partial }^{\alpha }F$ на Шаблон:Tmath.

Тензорски производ дистрибуција

Нека су $U\subseteq {ℝ}^m$ и $V\subseteq {ℝ}^n$ отворени скупови. Претпоставимо да су сви векторски простори над пољем $𝔽,$ где $𝔽=ℝ$ или $ℂ.$ За $f\in 𝒟(U\times V)$ дефинишимо за свако $u\in U$ и свако $v\in V$ следеће функције: $$\begin{array}{cccccccccccccccc}{f}_u:& V& & \to & & 𝔽& & \text{ и }& & f^v:& & U& & \to & & 𝔽\\ & y& & \mapsto & & f(u,y)& & & & & & x& & \mapsto & & f(x,v)\end{array}$$

За дато $S\in {𝒟}^{\prime }(U)$ и $T\in {𝒟}^{\prime }(V),$ дефинишимо следеће функције: $$\begin{array}{cccccccccccccccc}⟨S,f^{\bullet }⟩:& V& & \to & & 𝔽& & \text{ и }& & ⟨T,f_{\bullet }⟩:& & U& & \to & & 𝔽\\ & v& & \mapsto & & ⟨S,f^v⟩& & & & & & u& & \mapsto & & ⟨T,f_u⟩\end{array}$$ где $⟨T,f_{\bullet }⟩\in 𝒟(U)$ и $⟨S,f^{\bullet }⟩\in 𝒟(V).$ Ове дефиниције придружују сваком $S\in {𝒟}^{\prime }(U)$ и $T\in {𝒟}^{\prime }(V)$ (одговарајуће) непрекидно линеарно пресликавање: $$\begin{array}{cccccccccccccccc}& 𝒟(U\times V)& & \to & & 𝒟(V)& & \text{ и }& & & & 𝒟(U\times V)& & \to & & 𝒟(U)\\ & f& & \mapsto & & ⟨S,f^{\bullet }⟩& & & & & & f& & \mapsto & & ⟨T,f_{\bullet }⟩\end{array}$$

Штавише, ако било $S$ (респ. $T$) има компактан носач онда оно такође индукује непрекидно линеарно пресликавање из $C^{\mathrm{\infty }}(U\times V)\to C^{\mathrm{\infty }}(V)$ (респ. Шаблон:NowrapШаблон:Sfn

Шаблон:Em означен са $S\otimes T$ или $T\otimes S,$ је дистрибуција у $U\times V$ дефинисана са:Шаблон:Sfn $$(S\otimes T)(f):=⟨S,⟨T,f_{\bullet }⟩⟩=⟨T,⟨S,f^{\bullet }⟩⟩.$$

Шварцова теорема о језгру

Тензорски производ дефинише билинеарно пресликавање $$\begin{array}{cccccc}& {𝒟}^{\prime }(U)\times {𝒟}^{\prime }(V)& & \to & & {𝒟}^{\prime }(U\times V)\\ & (S,T)& & \mapsto & & S\otimes T\end{array}$$ линеарни омотач опсега овог пресликавања је густ потпростор његовог кодомена. Штавише, $\mathrm{supp}(S\otimes T)=\mathrm{supp}(S)\times \mathrm{supp}(T).$Шаблон:Sfn Осим тога $(S,T)\mapsto S\otimes T$ индукује непрекидна билинеарна пресликавања: $$\begin{array}{cccccc}& {ℰ}^{\prime }(U)& & \times {ℰ}^{\prime }(V)& & \to {ℰ}^{\prime }(U\times V)\\ & {𝒮}^{\prime }({ℝ}^m)& & \times {𝒮}^{\prime }({ℝ}^n)& & \to {𝒮}^{\prime }({ℝ}^{m+n})\end{array}$$ где ${ℰ}^{\prime }$ означава простор дистрибуција са компактним носачем, а $𝒮$ је Шварцов простор брзо опадајућих функција.Шаблон:Sfn

Овај резултат не важи за Хилбертове просторе као што је $L^2$ и његов дуални простор.Шаблон:Sfn Зашто такав резултат важи за простор дистрибуција и тест функција, али не и за друге „лепе” просторе као што је Хилбертов простор $L^2$? Ово питање је навело Александра Гротендика да открије нуклеарне просторе, нуклеарна пресликавања и инјективни тензорски производ. Он је на крају показао да управо зато што је $𝒟(U)$ нуклеарни простор Шварцова теорема о језгру важи. Попут Хилбертових простора, нуклеарни простори се могу сматрати генерализацијама коначно-димензионалног еуклидског простора.

Коришћење холоморфних функција као тест функција

Успех теорије довео је до истраживања идеје о хиперфункцији, у којој се простори холоморфних функција користе као тест функције. Развијена је префињена теорија, посебно алгебарска анализа Микија Сатоа, користећи теорију снопова и неколико комплексних променљивих. Ово проширује опсег симболичких метода које се могу претворити у ригорозну математику, на пример Фајнманови интеграли.

Види још

• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Horváth Topological Vector Spaces and Distributions Volume 1 1966
• Шаблон:Kolmogorov Fomin Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis
• Шаблон:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Rudin Walter Functional Analysis
• Шаблон:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite bookШаблон:Мртва веза
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels
• Шаблон:Cite book
• Gabriyelyan, Saak "Topological properties of Strict LF-spaces and strong duals of Montel Strict LF-spaces" (2017)
• Gabriyelyan, S.S. Kakol J., and·Leiderman, A. "The strong Pitkeev property for topological groups and topological vector spaces"
• T. Shirai, Sur les Topologies des Espaces de L. Schwartz, Proc. Japan Acad. 35 (1959), 31-36.

Додатна литература

• Шаблон:Cite book. (захтева веома мало знања анализе; дефинише дистрибуције као лимесе низова функција под интегралима)
• V.S. Vladimirov Шаблон:Cite book. Taylor & Francis.
• Шаблон:Springer.
• Шаблон:Springer.
• Шаблон:Springer.
• Шаблон:Springer.
• Шаблон:Springer.