Lp простор

У математици, Шаблон:Math простори су функционални простори дефинисани коришћењем природног уопштења [[Норма (математика)#p-норма|Шаблон:Math-норме]] за коначнодимензионалне векторске просторе. Понекад се називају и Лебеговим просторима, названим по Анрију Лебегу Шаблон:Harv, иако су према групи Бурбаки Шаблон:Harv први пут уведени од стране Фриђеша Риса Шаблон:Harv.

Шаблон:Math простори чине важну класу Банахових простора у функционалној анализи и тополошких векторских простора. Због њихове кључне улоге у математичкој анализи простора мере и вероватноће, Лебегови простори се такође користе у теоријској дискусији проблема у физици, статистици, економији, финансијама, инжењерству и другим дисциплинама.

Уводне напомене

Шаблон:Math-норма у коначним димензијама

Илустрације јединичних кругова (види и суперелипсу) у ${ℝ}^2$ на основу различитих $p$-норми (сваки вектор од координатног почетка до јединичног круга има дужину један, при чему се дужина рачуна формулом за дужину одговарајућег $p$).

Еуклидска дужина вектора $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ у $n$-димензионалном реалном векторском простору ${ℝ}^n$ дата је еуклидском нормом: $$\Vert x{\Vert }_2={({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots +{x_n}^2)}^{1/2}.$$

Еуклидско растојање између две тачке $x$ и $y$ је дужина $\Vert x-y{\Vert }_2$ праве линије између те две тачке. У многим ситуацијама, еуклидско растојање је одговарајуће за обухватање стварних растојања у датом простору. Насупрот томе, размотримо таксисте у мрежном плану улица који не би требало да мере растојање у смислу дужине праве линије до свог одредишта, већ у смислу праволинијског растојања, које узима у обзир да су улице међусобно ортогоналне или паралелне. Класа $p$-норми уопштава ова два примера и има обиље примена у многим областима математике, физике и рачунарства.

За реалан број $p\ge 1,$ $p$-норма или $L^p$-норма од $x$ се дефинише као $$\Vert x{\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p)}^{1/p}.$$ Апсолутне вредности могу да се изоставе када је $p$ паран цео број, а $x$ се узима из скупа реалних бројева или једног од његових подскупова.

Горе поменута еуклидска норма спада у ову класу и представља $2$-норму, док је $1$-норма она која одговара праволинијском растојању.

$L^{\mathrm{\infty }}$-норма или норма максимума (или униформна норма) јесте гранична вредност $L^p$-норми за $p\to \mathrm{\infty }$, и дата је са: $$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=max\{|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|\}$$

За све $p\ge 1,$ $p$-норме и норма максимума задовољавају својства „функције дужине” (или норме), што значи:

• само нулти вектор има нулту дужину,
• дужина вектора је позитивно хомогена у односу на множење скаларом (позитивна хомогеност), и
• дужина збира два вектора није већа од збира дужина тих вектора (неједнакост троугла).

Апстрактно говорећи, ово значи да је ${ℝ}^n$ заједно са $p$-нормом нормиран векторски простор. Штавише, испоставља се да је овај простор комплетан, што га чини Банаховим простором.

Односи између Шаблон:Math-норми

Растојање мреже или праволинијско растојање (понекад названо „Манхетн растојање”) између две тачке никада није краће од дужине дужи између њих (еуклидско растојање или растојање „ваздушном линијом”). Формално, ово значи да је еуклидска норма било ког вектора ограничена његовом 1-нормом: $$\Vert x{\Vert }_2\le \Vert x{\Vert }_1.$$

Ова чињеница се уопштава на $p$-норме у смислу да $p$-норма $\Vert x{\Vert }_p$ било ког датог вектора $x$ не расте са $p$: Шаблон:Block indent

У супротном смеру, познат је следећи однос између $1$-норме и $2$-норме: $$\Vert x{\Vert }_1\le \sqrt{n}\Vert x{\Vert }_2.$$

Ова неједнакост зависи од димензије $n$ основног векторског простора и следи директно из Коши-Шварцове неједнакости.

Генерално, за векторе у ${ℂ}^n$ где је $0<r<p:$ $$\Vert x{\Vert }_p\le \Vert x{\Vert }_r\le n^{\frac{1}{r}-\frac{1}{p}}\Vert x{\Vert }_p.$$

Ово је последица Хелдерове неједнакости.

Када је Шаблон:Math

Астроида, јединични круг у $p=\frac{2}{3}$ метрици

У ${ℝ}^n$ за $n>1,$ формула $$\Vert x{\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p)}^{1/p}$$ дефинише апсолутно хомогену функцију за $0<p<1;$ међутим, резултујућа функција не дефинише норму јер није субадитивна. С друге стране, формула $$|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p$$ дефинише субадитивну функцију по цену губитка апсолутне хомогености. Ипак, она дефинише F-норму, која је хомогена степена $p.$

Стога, функција $$d_p(x,y)=\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p$$ дефинише метрику. Метрички простор $({ℝ}^n,d_p)$ означава се са ${\ell }_n^p.$

Иако је $p$-јединична лопта $B_n^p$ око координатног почетка у овој метрици „конкавна”, топологија дефинисана на ${ℝ}^n$ метриком $B_p$ представља уобичајену топологију векторског простора ${ℝ}^n,$ па је ${\ell }_n^p$ локално конвексан тополошки векторски простор. Осим ове квалитативне изјаве, квантитативни начин да се измери недостатак конвексности ${\ell }_n^p$ јесте да се са $C_p(n)$ означи најмања константа $C$ таква да скаларни умножак $C{B}_n^p$ $p$-јединичне лопте садржи конвексни омотач од $B_n^p,$ који је једнак $B_n^1.$ Чињеница да за фиксно $p<1$ имамо $$C_p(n)=n^{\frac{1}{p}-1}\to \mathrm{\infty },\text{када }n\to \mathrm{\infty }$$ показује да бесконачнодимензионални простор низова ${\ell }^p$ дефинисан испод, више није локално конвексан.Шаблон:Sfn

Када је Шаблон:Math

У случају када је $p=0$, не постоји права норма, а замена је F-норма која није локално конвексна. F-норма може бити дата са $$(x_n)\mapsto \Vert x\Vert :=d(0,x)=\sum _n\frac{|x_n|}{1+|x_n|}.$$

Понекад се дефинише другачија „норма”, али топологија коју она дефинише није она уобичајена: $$\Vert x\Vert =|\{i|x_i\ne 0\}|.$$ Ово је гранична вредност $p$-„норми” када $p\to 0^{+}$. Ово даје Хамингово растојање на скупу.

Анимирани gif јединичних кругова у p-нормама од 0.1 до 2 са кораком од 0.05.

Шаблон:Math простори и простори низова

Шаблон:Детаљније $p$-норма се може проширити на векторе који имају бесконачан број компоненти (низове), што даје простор ${\ell }^p.$ Он као посебне случајеве садржи:

• ${\ell }^1,$ простор низова чији су редови апсолутно конвергентни,
• ${\ell }^2,$ простор квадратно сумабилних низова, који представља Хилбертов простор, и
• ${\ell }^{\mathrm{\infty }},$ простор ограничених низова.

Простор низова има природну структуру векторског простора применом скаларног сабирања и множења. Експлицитно, векторски збир и скаларно множење за бесконачне низове реалних (или комплексних) бројева дати су са: $$\begin{array}{cc}& (x_1,x_2,\dots ,x_n,x_{n+1},\dots )+(y_1,y_2,\dots ,y_n,y_{n+1},\dots )\\ =& (x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n,x_{n+1}+y_{n+1},\dots ),\\ & \lambda \cdot (x_1,x_2,\dots ,x_n,x_{n+1},\dots )\\ =& (\lambda x_1,\lambda x_2,\dots ,\lambda x_n,\lambda x_{n+1},\dots ).\end{array}$$

Дефинишемо $p$-норму: $$\Vert x{\Vert }_p={(|x_1{|}^p+|x_2{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p+|x_{n+1}{|}^p+\cdots )}^{1/p}$$

Овде се јавља компликација, наиме то да ред на десној страни није увек конвергентан, па ће на пример низ који се састоји само од јединица, $(1,1,1,\dots ),$ имати бесконачну $p$-норму за $1\le p<\mathrm{\infty }.$ Простор ${\ell }^p$ се тада дефинише као скуп свих бесконачних низова реалних (или комплексних) бројева таквих да им је $p$-норма коначна.

Може се проверити да како $p$ расте, скуп ${\ell }^p$ постаје већи. На пример, низ $$(1,\frac{1}{2},\dots ,\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\dots )$$ није у ${\ell }^1,$ али јесте у ${\ell }^p$ за $p>1,$ јер ред $$1^p+\frac{1}{2^p}+\cdots +\frac{1}{n^p}+\frac{1}{(n+1{)}^p}+\cdots ,$$ дивергира за $p=1$ (хармонијски ред), али је конвергентан за $p>1.$

Такође се дефинише и $\mathrm{\infty }$-норма користећи супремум: $$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=sup(|x_1|,|x_2|,\dots ,|x_n|,|x_{n+1}|,\dots )$$ и одговарајући простор ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ свих ограничених низова. Испоставља се да је $$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert x{\Vert }_p$$ уколико је десна страна коначна или је лева страна бесконачна. Дакле, разматраћемо ${\ell }^p$ просторе за $1\le p\le \mathrm{\infty }.$

Овако дефинисана $p$-норма на ${\ell }^p$ заиста представља норму, и ${\ell }^p$ заједно са овом нормом је Банахов простор.

Општи ℓ^p-простор

У потпуној аналогији са претходном дефиницијом, може се дефинисати простор ${\ell }^p(I)$ над општим индексним скупом $I$ (и $1\le p<\mathrm{\infty }$) као $${\ell }^p(I)=\{(x_i{)}_{i\in I}\in {𝕂}^I:\sum _{i\in I}|x_i{|}^p<+\mathrm{\infty }\},$$ при чему конвергенција на десној страни захтева да само пребројиво много сабирака буде различито од нуле. Са нормом $$\Vert x{\Vert }_p={(\sum _{i\in I}|x_i{|}^p)}^{1/p}$$ простор ${\ell }^p(I)$ постаје Банахов простор. У случају када је $I$ коначан скуп са $n$ елемената, ова конструкција даје ${ℝ}^n$ са горе дефинисаном $p$-нормом. Ако је $I$ пребројиво бесконачан, ово је тачно простор низова ${\ell }^p$ дефинисан горе. За непребројиве скупове $I$ ово је несепарабилни Банахов простор који се може посматрати као локално конвексни директни лимес ${\ell }^p$-простора низова.

За $p=2,$ $\Vert \cdot {\Vert }_2$-норма је чак индукована канонским унутрашњим производом $⟨\cdot ,\cdot ⟩,$ који се зове Шаблон:Сидро, што значи да важи $\Vert 𝐱{\Vert }_2=\sqrt{⟨𝐱,𝐱⟩}$ за све векторе $𝐱.$ Овај унутрашњи производ може да се изрази преко норме коришћењем идентитета поларизације. На ${\ell }^2,$ он се може дефинисати као $$⟨{\left(x_i\right)}_i,{\left(y_n\right)}_i{⟩}_{{\ell }^2}=\sum _i{x}_i\overline{y_i}.$$ Сада размотримо случај $p=\mathrm{\infty }.$ ДефинишемоШаблон:Refn $${\ell }^{\mathrm{\infty }}(I)=\{x\in {𝕂}^I:sup\mathrm{range}|x|<+\mathrm{\infty }\},$$ где за свако $x$Шаблон:Refn $$\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\equiv inf\{C\in {ℝ}_{\ge 0}:|x_i|\le C\text{ за све }i\in I\}=\{\begin{array}{cc}sup\mathrm{range}|x|& \text{ако је }X\ne \varnothing ,\\ 0& \text{ако је }X=\varnothing .\end{array}$$

Индексни скуп $I$ може да се претвори у простор мере тако што му се додели дискретна σ-алгебра и мера пребројавања. Тада је простор ${\ell }^p(I)$ само посебан случај општијег $L^p$-простора (дефинисаног испод).

L^p простори и Лебегови интеграли

$L^p$ простор се може дефинисати као простор мерљивих функција за које је $p$-ти степен апсолутне вредности интеграбилан по Лебегу, при чему се функције које се слажу скоро свуда поистовећују. Општије, нека је $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$ простор мере и $1\le p\le \mathrm{\infty }.$ Када $p\ne \mathrm{\infty }$, размотримо скуп ${ℒ}^p(S,\mu )$ свих мерљивих функција $f$ из $S$ у $ℂ$ или $ℝ$ чија апсолутна вредност степенована на $p$-ти степен има коначан интеграл, или симболички:Шаблон:Sfn $$\Vert f{\Vert }_p\stackrel{\text{def}}{=}{({\int }_S|f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}<\mathrm{\infty }.$$

Да бисмо дефинисали скуп за $p=\mathrm{\infty },$ подсетимо се да се за две функције $f$ и $g$ дефинисане на $S$ каже да су једнаке скоро свуда, што се записује као $f=g$ с.с., ако је скуп $\{s\in S:f(s)\ne g(s)\}$ мерљив и има меру нула. Слично томе, мерљива функција $f$ (и њена апсолутна вредност) је ограничена (или доминирана) скоро свуда реалним бројем $C,$ што се записује као $|f|\le C$ с.с., ако (нужно) мерљив скуп $\{s\in S:|f(s)|>C\}$ има меру нула. Простор ${ℒ}^{\mathrm{\infty }}(S,\mu )$ је скуп свих мерљивих функција $f$ које су ограничене скоро свуда (неким реалним бројем $C$), а $\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ се дефинише као инфимум тих ограничења: $$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\stackrel{\text{def}}{=}inf\{C\in {ℝ}_{\ge 0}:|f(s)|\le C\text{ за скоро свако }s\}.$$ Када је $\mu (S)\ne 0$ онда је ово исто што и есенцијални супремум апсолутне вредности од $f$:Шаблон:Refn $$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\{\begin{array}{cc}\mathrm{esssup}|f|& \text{ако је }\mu (S)>0,\\ 0& \text{ако је }\mu (S)=0.\end{array}$$

На пример, ако је $f$ мерљива функција која је једнака $0$ скоро свуда онда је $\Vert f{\Vert }_p=0$ за свако $p$ па стога важи $f\in {ℒ}^p(S,\mu )$ за све $p.$

За свако позитивно $p,$ вредност под $\Vert \cdot {\Vert }_p$ мерљиве функције $f$ и њене апсолутне вредности $|f|:S\to [0,\mathrm{\infty }]$ увек су исте (односно, $\Vert f{\Vert }_p=\Vert |f|{\Vert }_p$ за све $p$) и тако мерљива функција припада ${ℒ}^p(S,\mu )$ ако и само ако јој ту припада и апсолутна вредност. Због тога се многе формуле које укључују $p$-норме наводе само за ненегативне реалне функције. Размотримо на пример идентитет $\Vert f{\Vert }_p^r=\Vert f^r{\Vert }_{p/r},$ који важи кад год је $f\ge 0$ мерљива, $r>0$ реалан број, и $0<p\le \mathrm{\infty }$ (овде је $\mathrm{\infty }/r\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{\infty }$ када $p=\mathrm{\infty }$). Захтев о ненегативности $f\ge 0$ може да се уклони заменом $|f|$ уместо $f,$ што даје $\Vert |f|{\Vert }_p^r=\Vert |f{|}^r{\Vert }_{p/r}.$ Посебно треба приметити да када је $p=r$ коначан број, онда формула $\Vert f{\Vert }_p^p=\Vert |f{|}^p{\Vert }_1$ повезује $p$-норму са $1$-нормом.

Семинормиран простор функција интеграбилних на $p$-ти степен

Сваки скуп функција ${ℒ}^p(S,\mu )$ чини векторски простор када су сабирање и множење скаларом дефинисани потачкасто. То да је збир две функције $f$ и $g$ које су интеграбилне на $p$-ти степен поново интеграбилан на $p$-ти степен следи из $\Vert f+g{\Vert }_p^p\le 2^{p-1}(\Vert f{\Vert }_p^p+\Vert g{\Vert }_p^p),$ иако је то такође последица неједнакости Минковског $$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$$ која утврђује да $\Vert \cdot {\Vert }_p$ задовољава неједнакост троугла за $1\le p\le \mathrm{\infty }$ (неједнакост троугла не важи за $0<p<1$). То да је ${ℒ}^p(S,\mu )$ затворено у односу на скаларно множење дугује се чињеници да је $\Vert \cdot {\Vert }_p$ апсолутно хомогена, што значи да је $\Vert sf{\Vert }_p=|s|\Vert f{\Vert }_p$ за сваки скалар $s$ и сваку функцију $f.$

Апсолутна хомогеност, неједнакост троугла и ненегативност су дефинишућа својства семинорме. Тако је $\Vert \cdot {\Vert }_p$ семинорма, и скуп ${ℒ}^p(S,\mu )$ функција интеграбилних на $p$-ти степен заједно са функцијом $\Vert \cdot {\Vert }_p$ дефинише семинормиран векторски простор. Уопштено, семинорма $\Vert \cdot {\Vert }_p$ није норма јер могу постојати мерљиве функције $f$ које задовољавају $\Vert f{\Vert }_p=0$ али нису идентички једнаке $0$ ($\Vert \cdot {\Vert }_p$ је норма ако и само ако такво $f$ не постоји).

Нулти скупови $p$-семинорми

Шаблон:Сидро Ако је $f$ мерљива и једнака $0$ с.с., онда је $\Vert f{\Vert }_p=0$ за све позитивне $p\le \mathrm{\infty }.$ Са друге стране, ако је $f$ мерљива функција за коју постоји неко $0<p\le \mathrm{\infty }$ такво да је $\Vert f{\Vert }_p=0$, онда је $f=0$ скоро свуда. Када је $p$ коначно, онда ово следи из случаја $p=1$ и горепоменуте формуле $\Vert f{\Vert }_p^p=\Vert |f{|}^p{\Vert }_1$.

Дакле, ако је $p\le \mathrm{\infty }$ позитивно и $f$ било која мерљива функција, онда је $\Vert f{\Vert }_p=0$ ако и само ако је $f=0$ скоро свуда. Пошто се десна страна ($f=0$ с.с.) не позива на $p,$ следи да све $\Vert \cdot {\Vert }_p$ имају исти нулти скуп (он не зависи од $p$). Зато означимо овај заједнички скуп са $$𝒩\stackrel{\text{def}}{=}\{f:f=0\mu \text{-скоро свуда}\}=\{f\in {ℒ}^p(S,\mu ):\Vert f{\Vert }_p=0\}\mathrm{\forall }p.$$ Овај скуп је векторски потпростор од ${ℒ}^p(S,\mu )$ за свако позитивно $p\le \mathrm{\infty }.$

Количнички векторски простор

Као и свака семинорма, семинорма $\Vert \cdot {\Vert }_p$ индукује норму (дефинисану убрзо) на канонском количничком векторском простору простора ${ℒ}^p(S,\mu )$ у односу на његов векторски потпростор $𝒩=\{f\in {ℒ}^p(S,\mu ):\Vert f{\Vert }_p=0\}.$ Овај нормирани количнички простор назива се Лебегов простор и он је предмет овог чланка. Почињемо са дефинисањем количничког векторског простора.

За дато $f\in {ℒ}^p(S,\mu ),$ класа еквиваленције $f+𝒩\stackrel{\text{def}}{=}\{f+h:h\in 𝒩\}$ се састоји од свих мерљивих функција $g$ које су једнаке $f$ скоро свуда. Скуп свих класа еквиваленције, обично означен са $${ℒ}^p(S,\mu )/𝒩\stackrel{\text{def}}{=}\{f+𝒩:f\in {ℒ}^p(S,\mu )\},$$ чини векторски простор са координатним почетком $0+𝒩=𝒩$ када су сабирање вектора и множење скаларом дефинисани са $(f+𝒩)+(g+𝒩)\stackrel{\text{def}}{=}(f+g)+𝒩$ и $s(f+𝒩)\stackrel{\text{def}}{=}(sf)+𝒩.$ Овај конкретни количнички векторски простор биће означен са $$L^p(S,\mu )\stackrel{\text{def}}{=}{ℒ}^p(S,\mu )/𝒩.$$ Две класе еквиваленције су једнаке $f+𝒩=g+𝒩$ ако и само ако важи $g\in f+𝒩$ (или еквивалентно, $f-g\in 𝒩$), што се дешава ако и само ако је $f=g$ скоро свуда; ако је то случај онда су $f$ и $g$ поистовећени у количничком простору. Отуда се стриктно говорећи $L^p(S,\mu )$ састоји од класа еквиваленција функција.Шаблон:Sfn

$p$-норма на количничком векторском простору

За дато $f\in {ℒ}^p(S,\mu ),$ вредност семинорме $\Vert \cdot {\Vert }_p$ на класи еквиваленције $f+𝒩=\{f+h:h\in 𝒩\}$ је константна и износи $\Vert f{\Vert }_p;$ означавамо ову јединствену вредност са $\Vert f+𝒩{\Vert }_p,$ тако да је: $$\Vert f+𝒩{\Vert }_p\stackrel{\text{def}}{=}\Vert f{\Vert }_p.$$ Ово придруживање $f+𝒩\mapsto \Vert f+𝒩{\Vert }_p$ дефинише пресликавање, које ће такође бити означено са $\Vert \cdot {\Vert }_p,$ на количничком векторском простору $$L^p(S,\mu )\stackrel{\text{def}}{=}{ℒ}^p(S,\mu )/𝒩=\{f+𝒩:f\in {ℒ}^p(S,\mu )\}.$$ Ово пресликавање је норма на $L^p(S,\mu )$ која се зове Шаблон:Сидро. Вредност $\Vert f+𝒩{\Vert }_p$ класе еквиваленције $f+𝒩$ независна је од конкретне функције $f$ која је одабрана да представља ту класу, што значи да ако је $𝒞\in L^p(S,\mu )$ било која класа онда је $\Vert 𝒞{\Vert }_p=\Vert f{\Vert }_p$ за свако $f\in 𝒞$ (пошто је $𝒞=f+𝒩$ за свако $f\in 𝒞$).

Лебегов $L^p$ простор

Нормиран векторски простор $(L^p(S,\mu ),\Vert \cdot {\Vert }_p)$ се зове $L^p$ простор или Лебегов простор функција интеграбилних на $p$-ти степен и он представља Банахов простор за свако $1\le p\le \mathrm{\infty }$ (што значи да је комплетан метрички простор, резултат који се понекад назива Рис-Фишерова теорема). Када је подразумевани простор мере $S$ јасан, онда се $L^p(S,\mu )$ често скраћује на $L^p(\mu ),$ или чак само $L^p.$ У зависности од аутора, нотација са индексом испод $L_p$ може означавати или $L^p(S,\mu )$ или $L^{1/p}(S,\mu ).$

Ако се деси да је семинорма $\Vert \cdot {\Vert }_p$ на ${ℒ}^p(S,\mu )$ заправо норма (што се дешава ако и само ако је $𝒩=\{0\}$) онда ће нормирани простор $({ℒ}^p(S,\mu ),\Vert \cdot {\Vert }_p)$ бити линеарно изометријски изоморфан са нормираним количничким простором $(L^p(S,\mu ),\Vert \cdot {\Vert }_p)$ преко канонског пресликавања $g\in {ℒ}^p(S,\mu )\mapsto \{g\}$ (јер је $g+𝒩=\{g\}$); другим речима, они ће бити, до на линеарну изометрију, исти нормирани простор па се оба могу звати "$L^p$ простор".

Горе наведене дефиниције уопштавају се на Бохнерове просторе.

Генерално, овај процес се не може преокренути: не постоји конзистентан начин да се дефинише „канонски” представник сваке класе еквиваленције од $𝒩$ у $L^p.$ Међутим, за $L^{\mathrm{\infty }},$ постоји теорија лифтова која омогућава такав опоравак.

Посебни случајеви

За $1\le p\le \mathrm{\infty }$ простори ${\ell }^p$ су посебан случај $L^p$ простора; када је $S$ скуп природних бројева $\mathbb{N}$ а $\mu$ је мера пребројавања. Општије, ако се посматра било који скуп $S$ са мером пребројавања, резултујући $L^p$ простор се означава са ${\ell }^p(S).$ На пример, ${\ell }^p(\mathbb{Z})$ је простор свих низова индексираних целим бројевима, а при дефинисању $p$-норме на таквом простору, сабирање се врши преко свих целих бројева. Простор ${\ell }^p(n),$ где је $n$ скуп са $n$ елемената, јесте ${ℝ}^n$ са својом $p$-нормом дефинисаном горе.

Слично ${\ell }^2$ просторима, $L^2$ је једини Хилбертов простор међу $L^p$ просторима. У комплексном случају, унутрашњи производ на $L^2$ се дефинише са $$⟨f,g⟩={\int }_{S}f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d}\mu (x).$$ Функције у $L^2$ се понекад називају квадратно интеграбилним функцијама или квадратно сумабилним функцијама, али се понекад ови термини резервишу за функције које су квадратно интеграбилне у неком другом смислу, на пример у смислу Римановог интеграла Шаблон:Harv.

Као и сваки Хилбертов простор, сваки простор $L^2$ је линеарно изометричан са одговарајућим ${\ell }^2(I),$ где је кардиналност скупа $I$ кардиналност произвољне базе за тај одређени $L^2.$

Ако користимо комплексне функције, простор $L^{\mathrm{\infty }}$ је комутативна C*-алгебра са потачкастим множењем и конјуговањем. За многе просторе мере, укључујући све сигма-коначне, он је заправо комутативна Фон Нојманова алгебра. Елемент из $L^{\mathrm{\infty }}$ дефинише ограничен оператор на било ком $L^p$ простору путем множења.

Када је Шаблон:Math

Ако је $0<p<1,$ онда се $L^p(\mu )$ може дефинисати као горе, односно: $$N_p(f)={\int }_S|f{|}^{p}d\mu <\mathrm{\infty }.$$ У овом случају, међутим, $p$-норма $\Vert f{\Vert }_p=N_p(f{)}^{1/p}$ не задовољава неједнакост троугла и дефинише само квазинорму. Неједнакост $(a+b{)}^p\le a^p+b^p,$ која важи за $a,b\ge 0,$ имплицира да је $$N_p(f+g)\le N_p(f)+N_p(g)$$ и тако је функција $$d_p(f,g)=N_p(f-g)=\Vert f-g{\Vert }_p^p$$ метрика на $L^p(\mu ).$ Резултујући метрички простор је комплетан, али није локално конвексан.Шаблон:Sfn

У овом окружењу $L^p$ задовољава обрнуту неједнакост Минковског, односно за $u,v\in L^p$ важи $$\Vert |u|+|v|{\Vert }_p\ge \Vert u{\Vert }_p+\Vert v{\Vert }_p$$

Овај резултат може да се користи за доказивање Кларксонових неједнакости, које се затим користе за утврђивање униформне конвексности простора $L^p$ за $1<p<\mathrm{\infty }$ Шаблон:Harv.

Простор $L^p$ за $0<p<1$ јесте F-простор: он допушта комплетну транслаторно инваријантну метрику у односу на коју су операције векторског простора непрекидне. Он представља прототипски пример F-простора који, за већину разумних простора мере, није локално конвексан: у ${\ell }^p$ или $L^p([0,1]),$ сваки отворен конвексан скуп који садржи функцију $0$ неограничен је за $p$-квазинорму; стога, $0$ вектор не поседује фундаментални систем конвексних околина. Конкретно, ово је тачно ако простор мере $S$ садржи бесконачну фамилију дисјунктних мерљивих скупова коначне позитивне мере.

Једини непразан конвексан отворен скуп у $L^p([0,1])$ је цео тај простор. Последично, не постоје ненулти непрекидни линеарни функционали на $L^p([0,1]);$ непрекидни дуални простор је нулти простор. У случају мере пребројавања на природним бројевима (тј. $L^p(\mu )={\ell }^p$), ограничени линеарни функционали на ${\ell }^p$ су тачно они који су ограничени на ${\ell }^1$, тј. они дати низовима у ${\ell }^{\mathrm{\infty }}.$ Иако ${\ell }^p$ садржи нетривијалне конвексне отворене скупове, он их нема довољно да би пружио базу за топологију.

Имати простор без линеарних функционала врло је непожељно за сврхе извођења анализе. У случају Лебегове мере на ${ℝ}^n,$ уместо рада са $L^p$ за $0<p<1,$ уобичајено је радити са Хардијевим простором Шаблон:Math кад год је то могуће, пошто он има доста линеарних функционала: довољно да међусобно разликују тачке. Међутим, Хан-Банахова теорема и даље не важи у Шаблон:Math за $p<1$ Шаблон:Harv.

Када је Шаблон:Math

За коначан простор мере $(X,\mu )$, $L^0(\mu )$ се дефинише као простор свих $\mu$-мерљивих функција, при чему се функције поистовећују ако су једнаке скоро свуда. F-норма се дефинише са $$\Vert f{\Vert }_0={\int }_X\frac{|f(x)|}{1+|f(x)|}d\mu (x).$$ Ово није права норма. Као и код $0<p<1$, топологија коју дефинише није локално конвексна.

Простор ${\ell }_0$ понекад означава простор свих низова, са F-нормом $$\Vert f{\Vert }_0=\sum _n{2}^{-n}\frac{|f_n|}{1+|f_n|}.$$ Ово је посебан случај $L^0$ са тежинском мером на позитивним целим бројевима.

Својства

Хелдерова неједнакост

Претпоставимо да $p,q,r\in [1,\mathrm{\infty }]$ задовољавају $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$. Ако $f\in L^p(S,\mu )$ и $g\in L^q(S,\mu )$ онда је $fg\in L^r(S,\mu )$ иШаблон:Sfn $$\Vert fg{\Vert }_r\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q.$$

Ова неједнакост, названа Хелдерова неједнакост, на неки начин је оптимална јер ако је $r=1$ и $f$ мерљива функција таква да је $$\underset{\Vert g{\Vert }_q\le 1}{sup}{\int }_S|fg|\mathrm{d}\mu <\mathrm{\infty }$$ где се супремум узима преко затворене јединичне лопте простора $L^q(S,\mu ),$ онда је $f\in L^p(S,\mu )$ и $$\Vert f{\Vert }_p=\underset{\Vert g{\Vert }_q\le 1}{sup}{\int }_{S}fg\mathrm{d}\mu .$$

Уопштена неједнакост Минковског

Неједнакост Минковског, која наводи да $\Vert \cdot {\Vert }_p$ задовољава неједнакост троугла, може да се уопшти: Ако је мерљива функција $F:M\times N\to ℝ$ ненегативна (где су $(M,\mu )$ и $(N,\nu )$ простори мере) онда за све $1\le p\le q\le \mathrm{\infty },$Шаблон:Sfn $${\Vert {\Vert F(\cdot ,n)\Vert }_{L^p(M,\mu )}\Vert }_{L^q(N,\nu )}\le {\Vert {\Vert F(m,\cdot )\Vert }_{L^q(N,\nu )}\Vert }_{L^p(M,\mu )}.$$

Атомска декомпозиција

Ако је $1\le p<\mathrm{\infty }$ онда свако ненегативно $f\in L^p(\mu )$ има атомску декомпозицију,Шаблон:Sfn што значи да постоје низ $(r_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ ненегативних реалних бројева и низ ненегативних функција $(f_n{)}_{n\in \mathbb{Z}},$ које се зову атоми, чији су носачи ${(\mathrm{supp}{f}_n)}_{n\in \mathbb{Z}}$ паровно дисјунктни скупови мере $\mu (\mathrm{supp}{f}_n)\le 2^{n+1},$ такви да важи $$f=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{r}_n{f}_n,$$ и за сваки цео број $n\in \mathbb{Z},$ $$\Vert f_n{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le 2^{-\frac{n}{p}},$$ и $$\frac{1}{2}\Vert f{\Vert }_p^p\le \sum _{n\in \mathbb{Z}}{r}_n^p\le 2\Vert f{\Vert }_p^p,$$ при чему додатно, низ функција $(r_n{f}_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ зависи искључиво од $f$ (независан је од $p$).Шаблон:Sfn Ове неједнакости гарантују да је $\Vert f_n{\Vert }_p^p\le 2$ за све целе бројеве $n$ док то што су носачи од $(f_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ паровно дисјунктни имплицира да важиШаблон:Sfn $$\Vert f{\Vert }_p^p=\sum _{n\in \mathbb{Z}}{r}_n^p\Vert f_n{\Vert }_p^p.$$

Атомска декомпозиција се може експлицитно дати тако што се прво за сваки цео број $n\in \mathbb{Z}$ дефинишеШаблон:Sfn $$t_n=inf\{t\in ℝ:\mu (f>t)<2^n\}$$ и потом постави $$r_n=2^{n/p}{t}_n\text{ и }{f}_n=\frac{f}{r_n}{\mathrm{𝟏}}_{(t_{n+1}<f\le t_n)}$$ где $\mu (f>t)=\mu (\{s:f(s)>t\})$ означава меру скупа $(f>t):=\{s\in S:f(s)>t\}$ а ${\mathrm{𝟏}}_{(t_{n+1}<f\le t_n)}$ означава функцију индикатор скупа $(t_{n+1}<f\le t_n):=\{s\in S:t_{n+1}<f(s)\le t_n\}.$ Низ $(t_n{)}_{n\in \mathbb{Z}}$ је опадајући и конвергира ка $0$ када $n\to \mathrm{\infty }.$Шаблон:Sfn Последично, ако је $t_n=0$ онда је $t_{n+1}=0$ и $(t_{n+1}<f\le t_n)=\varnothing$ тако да је $f_n=\frac{1}{r_n}f{\mathrm{𝟏}}_{(t_{n+1}<f\le t_n)}$ идентички једнака $0$ (нарочито, дељење $\frac{1}{r_n}$ са $r_n=0$ не изазива проблеме).

Комплементарна кумулативна функција расподеле $t\in ℝ\mapsto \mu (|f|>t)$ од $|f|=f$ која је коришћена да се дефинишу $t_n$ такође се појављује у дефиницији слабе $L^p$-норме (дате испод) и може да се искористи за изражавање $p$-норме $\Vert \cdot {\Vert }_p$ (за $1\le p<\mathrm{\infty }$) функције $f\in L^p(S,\mu )$ као интегралаШаблон:Sfn $$\Vert f{\Vert }_p^p=p{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{p-1}\mu (|f|>t)\mathrm{d}t,$$ при чему се интеграција врши у односу на уобичајену Лебегову меру на $(0,\mathrm{\infty }).$

Дуални простори

Дуални простор простора $L^p(\mu )$ за $1<p<\mathrm{\infty }$ има природни изоморфизам са $L^q(\mu ),$ где је $q$ такво да важи $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Овај изоморфизам придружује $g\in L^q(\mu )$ функционалу ${\kappa }_p(g)\in L^p(\mu {)}^{\ast }$ који је дефинисан са $$f\mapsto {\kappa }_p(g)(f)=\int fg\mathrm{d}\mu$$ за свако $f\in L^p(\mu ).$

${\kappa }_p:L^q(\mu )\to L^p(\mu {)}^{\ast }$ је добро дефинисано непрекидно линеарно пресликавање које представља изометрију на основу екстремног случаја Хелдерове неједнакости. Ако је $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$ $\sigma$-коначни простор мере, може да се искористи Радон-Никодимова теорема да се покаже да било које $G\in L^p(\mu {)}^{\ast }$ може да се изрази на овај начин, тј. да је ${\kappa }_p$ изометријски изоморфизам Банахових простора.Шаблон:Sfn Стога је уобичајено да се једноставно каже да је $L^q(\mu )$ непрекидни дуални простор од $L^p(\mu ).$

За $1<p<\mathrm{\infty },$ простор $L^p(\mu )$ је рефлексиван. Нека је ${\kappa }_p$ као горе и нека је ${\kappa }_q:L^p(\mu )\to L^q(\mu {)}^{\ast }$ одговарајућа линеарна изометрија. Посматрајмо пресликавање из $L^p(\mu )$ у $L^p(\mu {)}^{\ast \ast },$ добијено композицијом ${\kappa }_q$ са транпоновањем (или адјунговањем) инверза од ${\kappa }_p:$

$$j_p:L^p(\mu )\stackrel{{\kappa }_q}{⟶}{L}^q(\mu {)}^{\ast }\stackrel{{\left({\kappa }_p^{-1}\right)}^{\ast }}{⟶}{L}^p(\mu {)}^{\ast \ast }$$

Ово пресликавање се поклапа са канонским улагањем $J$ простора $L^p(\mu )$ у његов бидуал. Штавише, пресликавање $j_p$ је пресликавање „на”, као композиција две изометрије које су „на”, што доказује рефлексивност.

Ако је мера $\mu$ на $S$ сигма-коначна, онда је дуал од $L^1(\mu )$ изометријски изоморфан са $L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$ (тачније, пресликавање ${\kappa }_1$ које одговара $p=1$ јесте изометрија из $L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$ на $L^1(\mu {)}^{\ast }$).

Дуал од $L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$ је суптилнији. Елементи од $L^{\mathrm{\infty }}(\mu {)}^{\ast }$ се могу поистоветити са ограниченим означеним коначно адитивним мерама на $S$ које су апсолутно непрекидне у односу на $\mu .$ Ако претпоставимо аксиому избора, овај простор је знатно већи од $L^1(\mu )$ осим у неким тривијалним случајевима. Међутим, Сахарон Шелах је доказао да постоје релативно конзистентна проширења Цермело-Френкелове теорије скупова (ZF + DC + "Сваки подскуп реалних бројева има Берово својство") у којима је дуал од ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ простор ${\ell }^1.$

Улагања

Колоквијално речено, ако је $1\le p<q\le \mathrm{\infty },$ онда $L^p(S,\mu )$ садржи функције које су више локално сингуларне, док елементи од $L^q(S,\mu )$ могу бити више распршени. Размотримо Лебегову меру на полуправој $(0,\mathrm{\infty }).$ Непрекидна функција у $L^1$ може експлодирати близу $0$ али мора да опада довољно брзо према бесконачности. Са друге стране, непрекидне функције у $L^{\mathrm{\infty }}$ не морају уопште да опадају, али није дозвољена експлозија ка бесконачности. Формалније:

1. Ако је $0<p<q<\mathrm{\infty }$: $L^q(S,\mu )\subseteq L^p(S,\mu )$ ако и само ако $S$ не садржи скупове коначне али произвољно велике мере (нпр. било која коначна мера).
2. Ако је $0<p<q\le \mathrm{\infty }$: $L^p(S,\mu )\subseteq L^q(S,\mu )$ ако и само ако $S$ не садржи скупове ненулте али произвољно мале мере (нпр. мера пребројавања).

Ниједан од ових услова не важи за Лебегову меру на реалној правој, док оба услова важе за меру пребројавања на било ком коначном скупу. Као последица теореме о затвореном графу, улагање је непрекидно, тј. оператор идентитета је ограничено линеарно пресликавање из $L^q$ у $L^p$ у првом случају, и из $L^p$ у $L^q$ у другом. Заиста, ако домен $S$ има коначну меру, може се извршити следећи експлицитни прорачун коришћењем Хелдерове неједнакости $$\Vert \mathrm{𝟏}{f}^p{\Vert }_1\le \Vert \mathrm{𝟏}{\Vert }_{q/(q-p)}\Vert f^p{\Vert }_{q/p}$$ што доводи до $$\Vert f{\Vert }_p\le \mu (S{)}^{1/p-1/q}\Vert f{\Vert }_q.$$

Константа која се појављује у горњој неједнакости је оптимална, у смислу да је норма оператора идентитета $I:L^q(S,\mu )\to L^p(S,\mu )$ тачно $$\Vert I{\Vert }_{q,p}=\mu (S{)}^{1/p-1/q}$$ при чему се случај једнакости постиже тачно онда када је $f=1$ $\mu$-скоро-свуда.

Густи потпростори

Нека је $1\le p<\mathrm{\infty }$ и нека је $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$ простор мере, и размотримо интеграбилну просту функцију $f$ на $S$ дату са $$f=\sum _{j=1}^n{a}_j{\mathrm{𝟏}}_{A_j},$$ где су $a_j$ скалари, $A_j\in \mathrm{\Sigma }$ има коначну меру а ${\mathrm{𝟏}}_{A_j}$ је функција индикатор скупа $A_j,$ за $j=1,\dots ,n.$ По самој конструкцији интеграла, векторски простор интеграбилних простих функција је густ у $L^p(S,\mathrm{\Sigma },\mu ).$

Више тога се може рећи када је $S$ нормалан тополошки простор а $\mathrm{\Sigma }$ његова Борелова сигма-алгебра.

Претпоставимо да је $V\subseteq S$ отворен скуп са $\mu (V)<\mathrm{\infty }.$ Онда за сваки Борелов скуп $A\in \mathrm{\Sigma }$ садржан у $V$ постоје затворен скуп $F$ и отворен скуп $U$ такви да важи $$F\subseteq A\subseteq U\subseteq V\text{и}\mu (U\setminus F)=\mu (U)-\mu (F)<\epsilon ,$$ за свако $\epsilon >0$. Следствено томе, постоји Урисохнова функција $0\le \phi \le 1$ на $S$ која је $1$ на $F$ и $0$ на $S\setminus U,$ уз $${\int }_S|{\mathrm{𝟏}}_A-\phi |\mathrm{d}\mu <\epsilon .$$

Ако $S$ може да се прекрије растућим низом $(V_n)$ отворених скупова који имају коначну меру, онда је простор $p$-интеграбилних непрекидних функција густ у $L^p(S,\mathrm{\Sigma },\mu ).$ Тачније, могу се користити ограничене непрекидне функције које нестају ван једног од отворених скупова $V_n.$

Ово се посебно примењује када је $S={ℝ}^d$ и када је $\mu$ Лебегова мера. На пример, простор непрекидних функција са компактним носачем, као и простор интеграбилних степенастих функција, густи су у $L^p({ℝ}^d)$.

Затворени потпростори

Ако је $0<p<\mathrm{\infty }$ било који позитиван реалан број, $\mu$ мера вероватноће на мерљивом простору $(S,\mathrm{\Sigma })$ (тако да је $L^{\mathrm{\infty }}(\mu )\subseteq L^p(\mu )$), и $V\subseteq L^{\mathrm{\infty }}(\mu )$ је векторски потпростор, онда је $V$ затворен потпростор од $L^p(\mu )$ ако и само ако је $V$ коначнодимензионаланШаблон:Sfn ($V$ је изабрано независно од $p$). У овој теореми, која припада Александеру Гротендику,Шаблон:Sfn кључно је да векторски простор $V$ буде подскуп од $L^{\mathrm{\infty }}$ будући да је могуће конструисати бесконачнодимензионалан затворен векторски потпростор од $L^1(S^1,\frac{1}{2\pi }\lambda )$ (који је чак подскуп од $L^4$), где је $\lambda$ Лебегова мера на јединичном кругу $S^1$ а $\frac{1}{2\pi }\lambda$ је мера вероватноће која произлази из дељења са његовом масом $\lambda (S^1)=2\pi .$Шаблон:Sfn

Примене

Статистика

У статистици, мере централне тенденције и статистичке дисперзије, као што су средња вредност, медијана и стандардна девијација, могу се дефинисати у терминима $L^p$ метрика, а мере централне тенденције се могу окарактерисати као решења варијационих проблема.

У пенализованој регресији, „L1 казна” и „L2 казна” односе се на пенализовање или $L^1$ норме вектора вредности параметара решења (тј. збира његових апсолутних вредности), или његове квадриране $L^2$ норме (његове еуклидске дужине). Технике које користе L1 казну, попут ЛАССО-а, подстичу ретка решења (где су многи параметри нула). Регуларизација еластичне мреже користи казнени члан који је комбинација $L^1$ норме и квадриране $L^2$ норме вектора параметара.

Хаусдорф-Јангова неједнакост

Фуријеова трансформација за реалну праву (или, за периодичне функције, види Фуријеов ред), пресликава $L^p(ℝ)$ у $L^q(ℝ)$ (или $L^p(𝐓)$ у ${\ell }^q$) респективно, где је $1\le p\le 2$ и $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$ Ово је последица Рис-Торинове теореме интерполације, и прецизира се кроз Хаусдорф-Јангову неједнакост.

Супротно томе, ако је $p>2,$ Фуријеова трансформација се не пресликава у $L^q.$

Хилбертови простори

Хилбертови простори су централни у многим применама, од квантне механике до стохастичког рачуна. Простори $L^2$ и ${\ell }^2$ су оба Хилбертови простори. Заправо, бирањем Хилбертове базе $E,$ тј. максималног ортонормалног подскупа од $L^2$ или било ког Хилбертовог простора, уочава се да је сваки Хилбертов простор изометријски изоморфан са ${\ell }^2(E)$ (са истим $E$ као горе), тј. Хилбертовим простором типа ${\ell }^2.$

Уопштења и проширења

Слаби Шаблон:Math

Нека је $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$ простор мере, а $f$ мерљива функција са реалним или комплексним вредностима на $S.$ Функција расподеле од $f$ се дефинише за $t\ge 0$ са $${\lambda }_f(t)=\mu \{x\in S:|f(x)|>t\}.$$

Ако је $f$ у $L^p(S,\mu )$ за неко $p$ уз $1\le p<\mathrm{\infty },$ онда према Марковљевој неједнакости, $${\lambda }_f(t)\le \frac{\Vert f{\Vert }_p^p}{t^p}$$

За функцију $f$ се каже да је у простору слаби $L^p(S,\mu )$, или $L^{p,w}(S,\mu ),$ ако постоји константа $C>0$ таква да, за све $t>0,$ $${\lambda }_f(t)\le \frac{C^p}{t^p}$$

Најбоља константа $C$ за ову неједнакост јесте $L^{p,w}$-норма од $f,$ и означава се са $$\Vert f{\Vert }_{p,w}=\underset{t>0}{sup}t{\lambda }_f^{1/p}(t).$$

Слаби $L^p$ се поклапају са Лоренцовим просторима $L^{p,\mathrm{\infty }},$ па се ова нотација такође користи за њихово означавање.

$L^{p,w}$-норма није права норма, пошто неједнакост троугла не важи. Ипак, за $f$ у $L^p(S,\mu ),$ $$\Vert f{\Vert }_{p,w}\le \Vert f{\Vert }_p$$ и нарочито $L^p(S,\mu )\subset L^{p,w}(S,\mu ).$

Заправо, има се $$\Vert f{\Vert }_{L^p}^p=\int |f(x){|}^{p}d\mu (x)\ge {\int }_{\{|f(x)|>t\}}{t}^p+{\int }_{\{|f(x)|\le t\}}|f{|}^p\ge t^p\mu (\{|f|>t\}),$$ а степеновањем на $1/p$ и узимањем супремума по $t$ има се $$\Vert f{\Vert }_{L^p}\ge \underset{t>0}{sup}t\mu (\{|f|>t\}{)}^{1/p}=\Vert f{\Vert }_{L^{p,w}}.$$

Под конвенцијом да су две функције једнаке ако су једнаке $\mu$ скоро свуда, онда су простори $L^{p,w}$ комплетни Шаблон:Harv.

За било које $0<r<p$ израз $$\Vert |f|{\Vert }_{L^{p,\mathrm{\infty }}}=\underset{0<\mu (E)<\mathrm{\infty }}{sup}\mu (E{)}^{-1/r+1/p}{({\int }_E|f{|}^{r}d\mu )}^{1/r}$$ упоредив је са $L^{p,w}$-нормом. Даље у случају $p>1,$ овај израз дефинише норму ако је $r=1.$ Отуда су за $p>1$ слаби $L^p$ простори Банахови простори Шаблон:Harv.

Један од главних резултата који користи $L^{p,w}$-просторе је Марчинкијевичева теорема интерполације, која има широке примене у хармонијској анализи и проучавању сингуларних интеграла.

Тежински Шаблон:Math простори

Као и раније, посматрајмо простор мере $(S,\mathrm{\Sigma },\mu ).$ Нека је $w:S\to [a,\mathrm{\infty }),a>0$ мерљива функција. $w$-тежински $L^p$ простор дефинише се као $L^p(S,w\mathrm{d}\mu ),$ где $w\mathrm{d}\mu$ значи мера $\nu$ дефинисана са $$\nu (A)\equiv {\int }_{A}w(x)\mathrm{d}\mu (x),A\in \mathrm{\Sigma },$$

или, у терминима Радон-Никодимовог извода, $w=\frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d}\mu }$ норма за $L^p(S,w\mathrm{d}\mu )$ је експлицитно дата са $$\Vert u{\Vert }_{L^p(S,w\mathrm{d}\mu )}\equiv {({\int }_{S}w(x)|u(x){|}^p\mathrm{d}\mu (x))}^{1/p}$$

Као $L^p$-простори, тежински простори немају ништа посебно јер је $L^p(S,w\mathrm{d}\mu )$ једнак $L^p(S,\mathrm{d}\nu ).$ Међутим, они представљају природан оквир за неколико резултата у хармонијској анализи Шаблон:Harv; појављују се на пример у Макенхоптовој теореми: за $1<p<\mathrm{\infty },$ класична Хилбертова трансформација је дефинисана на $L^p(𝐓,\lambda )$ где $𝐓$ означава јединични круг а $\lambda$ Лебегову меру; (нелинеарни) Харди-Литлвудов максимални оператор је ограничен на $L^p({ℝ}^n,\lambda ).$ Макенхоптова теорема описује тежине $w$ такве да Хилбертова трансформација остаје ограничена на $L^p(𝐓,w\mathrm{d}\lambda )$ а максимални оператор на $L^p({ℝ}^n,w\mathrm{d}\lambda ).$

Шаблон:Math простори на многострукостима

Такође се могу дефинисати простори $L^p(M)$ на многострукостима, названи интринзични $L^p$ простори многострукости, користећи густине на многострукости.

Векторско-вредносни Шаблон:Math простори

За дати простор мере $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$ и локално конвексан простор $E$ (овде претпостављен да је комплетан), могуће је дефинисати просторе $p$-интеграбилних функција са вредностима у $E$ на $\mathrm{\Omega }$ на више начина. Један начин је да се дефинишу простори Бохнер интеграбилних и Петис интеграбилних функција, а затим им се доделе локално конвексне топологије које представљају природно уопштење уобичајене $L^p$ топологије. Други начин укључује тополошке тензорске производе простора $L^p(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )$ и $E.$ Елементи векторског простора $L^p(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )\otimes E$ су коначне суме простих тензора $f_1\otimes e_1+\cdots +f_n\otimes e_n,$ где се сваки прости тензор $f\times e$ може поистоветити са функцијом $\mathrm{\Omega }\to E$ која пресликава $x\mapsto ef(x).$ Овај тензорски производ $L^p(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu )\otimes E$ се затим снабдева локално конвексном топологијом која га претвара у тополошки тензорски производ, од којих су најчешћи пројективни тензорски производ, означен са $L^p(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu ){\otimes }_{\pi }E,$ и инјективни тензорски производ, означен са $L^p(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu ){\otimes }_{\epsilon }E.$ Генерално, ниједан од ових простора није комплетан па се конструишу њихова комплетирања, која се респективно означавају са $L^p(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu ){\hat{\otimes }}_{\pi }E$ и $L^p(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },\mu ){\hat{\otimes }}_{\epsilon }E$. Александер Гротендик је показао да када је $E$ нуклеарни простор (концепт који је он увео), онда су ове две конструкције, респективно, канонски изоморфне са просторима Бохнерових и Петисових интегралних функција поменутих раније; укратко, они су неразлучиви.

Шаблон:Math простор мерљивих функција

Векторски простор (класа еквиваленција) мерљивих функција на $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$ означава се са $L^0(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$ Шаблон:Harv. По дефиницији, он садржи све $L^p,$ и опремљен је топологијом конвергенције по мери. Када је $\mu$ мера вероватноће (тј. $\mu (S)=1$), овај вид конвергенције се зове конвергенција по вероватноћи. Простор $L^0$ је увек тополошка абелова група али је тополошки векторски простор само ако је $\mu (S)<\mathrm{\infty }.$ То је зато што је множење скаларом непрекидно ако и само ако је $\mu (S)<\mathrm{\infty }.$ Ако је $(S,\mathrm{\Sigma },\mu )$ $\sigma$-коначна, онда је слабија топологија локалне конвергенције по мери F-простор, тј. комплетно метризабилан тополошки векторски простор. Штавише, ова топологија је изометријска са глобалном конвергенцијом по мери $(S,\mathrm{\Sigma },\nu )$ за одговарајући избор мере вероватноће $\nu .$

Опис је једноставнији када је $\mu$ коначна. Ако је $\mu$ коначна мера на $(S,\mathrm{\Sigma }),$ функција $0$ допушта за конвергенцију по мери следећи фундаментални систем околина $$V_{\epsilon }=\{f:\mu (\{x:|f(x)|>\epsilon \})<\epsilon \},\epsilon >0.$$

Топологија може да се дефинише било којом метриком $d$ облика $$d(f,g)={\int }_S\phi (|f(x)-g(x)|)\mathrm{d}\mu (x)$$ где је $\phi$ ограничена непрекидна конкавна и неопадајућа на $[0,\mathrm{\infty }),$ са $\phi (0)=0$ и $\phi (t)>0$ када је $t>0$ (на пример, $\phi (t)=min(t,1)$). Таква метрика се зове Левијева метрика за $L^0.$ Под овом метриком простор $L^0$ је комплетан. Међутим, као што је већ поменуто, множење скаларом је непрекидно у односу на ову метрику само ако је $\mu (S)<\mathrm{\infty }$. Да би се ово увидело, размотримо Лебег мерљиву функцију $f:ℝ\to ℝ$ дефинисану са $f(x)=x$. Онда очигледно важи $\underset{c\to 0}{lim}d(cf,0)=\mathrm{\infty }$. Простор $L^0$ уопштено није локално ограничен, нити локално конвексан.

За бесконачну Лебегову меру $\lambda$ на ${ℝ}^n,$ дефиниција фундаменталног система околина могла би да се модификује на следећи начин $$W_{\epsilon }=\{f:\lambda \left(\{x:|f(x)|>\epsilon \text{ и }|x|<\frac{1}{\epsilon }\}\right)<\epsilon \}$$

Резултујући простор $L^0({ℝ}^n,\lambda )$, са топологијом локалне конвергенције по мери, изоморфан је са простором $L^0({ℝ}^n,g\lambda ),$ за било коју позитивну $\lambda$-интеграбилну густину $g.$

Види још

• Апсолутно интеграбилна функција
• Бохнеров простор
• Орличев простор
• Хардијев простор
• Рис-Торинова теорема
• Хелдерова средина
• Хелдеров простор
• Квадратна средина
• Метод најмањих апсолутних одступања
• Локално интеграбилна функција $\left(L_{\text{loc}}^1\right)$
• $L^p(G)$ простори над локално компактном групом $G$
• Спектрална анализа најмањих квадрата
• Списак Банахових простора
• Минковскијево растојање
• L-бесконачно
• L^p сума
• Cⁿ простор

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• Доказ да су L^p простори комплетни