Ортонормирана база

Ортонормирана база је база -{e}- неког векторског простора -{V}- чији су вектори -{(e₁, e₂, ..., e_n)}- међусобно нормални и јединични.

$\begin{array}{cc}e=(e_1,e_2,\dots ,e_n),& |e_i|=1,e_j{e}_k=0\\ & i,j,k=1,\dots ,n,j\ne k\end{array}$

Пример ортонормиране базе је тзв. канонска база.

Ортонормирање базе

Свака база -{v = (v₁, v₂, ..., v_n)}- неког векторског простора -{V}- се може ортогонормирати на базу -{e = (e₁, e₂, ..., e_n)}-. Поступак се дели на два дела:

• Ортогонализација вектора базе -{v}- тј. формирање нове базе -{w}- чији су вектори добијени линеарним комбиновањем вектора из -{v}- али су и међусобно нормални.
• Нормирање вектора из -{w}- што даје веткоре ортонормиране базе -{e}-.

Ортогонализација

Прво се узме произвољан вектор из -{v}-, рецимо -{v₁}-. Први вектор из -{w}- му може бити једнак, јер нема других вектора на које треба да буде нормалан:

$w_1=v_1$

У следећем кораку се узима један од још неупотребљених вектора из -{v}-, рецимо -{v₂}-:

$w_2=v_2-\frac{v_2{w}_1}{w_1{w}_1}{w}_1$

Следећи вектор узима у обзир још један неупотребљен вектор из -{v}-, али треба бити и нормалан на претходна два:

$w_3=v_3-\frac{v_3{w}_1}{w_1{w}_1}{w}_1-\frac{v_3{w}_2}{w_2{w}_2}{w}_2$

Поступак се понавља док се не употребе сви вектори из -{v}-.

$w_i=v_i-\sum _{j=1}^{i-1}\frac{v_j{w}_j}{w_j{w}_j}{w}_j$

Нормирање

Сви вектори из -{w}- се деле са својим интензитетима. Тако се добијају вектори ортонормиране базе -{e}-:

$e_i=\frac{w_i}{|w_i|},i=1,\dots ,n$