Комплетан тополошки векторски простор

У функционалној анализи и сродним областима математике, комплетан тополошки векторски простор је тополошки векторски простор (ТВП) са особином да кад год тачке постају прогресивно ближе једна другој, тада постоји нека тачка $x$ којој се све оне заједно приближавају. Појам „тачака које постају прогресивно ближе” је строго дефинисан помоћу Кошијевих мрежа или Кошијевих филтера, који су генерализације Кошијевих низова, док „тачка $x$ којој се све оне приближавају” значи да ова Кошијева мрежа или филтер конвергира ка $x.$ Појам употпуњености за ТВП-ове користи теорију униформних простора као оквир за генерализацију појма употпуњености за метричке просторе. Али, за разлику од метричке употпуњености, ТВП-употпуњеност не зависи ни од какве метрике и дефинисана је за све ТВП-ове, укључујући и оне који нису метризабилни или Хаусдорфови.

Употпуњеност је изузетно важна особина коју тополошки векторски простор може да поседује. Појмови употпуњености за нормиране просторе и метризабилне ТВП-ове, који су обично дефинисани у смислу употпуњености одређене норме или метрике, могу се оба свести на овај појам ТВП-употпуњености – појам који је независан од било које одређене норме или метрике. Метризабилан тополошки векторски простор $X$ са транслаторно инваријантном метриком $d$ је комплетан као ТВП ако и само ако је $(X,d)$ комплетан метрички простор, што по дефиницији значи да сваки $d$-Кошијев низ конвергира ка некој тачки у $X.$ Истакнути примери комплетних ТВП-ова који су такође метризабилни укључују све Ф-просторе, а самим тим и све Фрешеове просторе, Банахове просторе и Хилбертове просторе. Истакнути примери комплетних ТВП-ова који (обично) нису метризабилни укључују строге ЛФ-просторе као што је простор тест функција $C_c^{\mathrm{\infty }}(U)$ са његовом канонском ЛФ-топологијом, јаки дуални простор било ког Фрешеовог простора који није нормиран, као и многе друге поларне топологије на непрекидном дуалном простору или друге топологије на просторима линеарних пресликавања.

Експлицитно, тополошки векторски простор (ТВП) је комплетан ако свака мрежа, или еквивалентно, сваки филтер, који је Кошијев у односу на канонску униформност простора обавезно конвергира ка некој тачки. Другачије речено, ТВП је комплетан ако је његова канонска униформност комплетна униформност. Канонска униформност на ТВП-у $(X,\tau )$ је јединствена транслаторно инваријантна униформност која на $X$ индукује топологију $\tau .$ Овај појам „ТВП-употпуњености” зависи само од векторског одузимања и топологије ТВП-а; последично, може се применити на све ТВП-ове, укључујући и оне чије топологије не могу бити дефинисане помоћу метрика или псеудометрика. Првопребројив ТВП је комплетан ако и само ако сваки Кошијев низ (или еквивалентно, сваки елементарни Кошијев филтер) конвергира ка некој тачки.

Сваки тополошки векторски простор $X,$ чак и ако није метризабилан или није Хаусдорфов, има употпуњење, које је по дефиницији комплетан ТВП $C$ у који се $X$ може ТВП-утопити као густ векторски потпростор. Штавише, сваки Хаусдорфов ТВП има Хаусдорфово употпуњење, које је нужно јединствено до на ТВП-изоморфизам. Међутим, као што је испод објашњено, сви ТВП-ови имају бесконачно много не-Хаусдорфових употпуњења која нису ТВП-изоморфна једна другом.

Дефиниције

Овај одељак резимира дефиницију комплетног тополошког векторског простора (ТВП) у смислу мрежа и предфилтера. Информације о конвергенцији мрежа и филтера, као што су дефиниције и особине, могу се пронаћи у чланку о филтерима у топологији.

Сваки тополошки векторски простор (ТВП) је комутативна тополошка група са идентитетом у односу на сабирање, а канонска униформност ТВП-а је дефинисана у потпуности у смислу одузимања (и тиме сабирања); множење скаларом није укључено и није потребна додатна структура.

Канонска униформност

Шаблон:Em простора $X$ је скупШаблон:Sfn $${\mathrm{\Delta }}_X\stackrel{\text{def}}{=}\{(x,x):x\in X\}$$ а за свако $N\subseteq X,$ Шаблон:Em / Шаблон:Em је скуп $$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Delta }}_X(N)& \stackrel{\text{def}}{=}\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}\\ & =\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]\\ & ={\mathrm{\Delta }}_X+(N\times \{0\})\end{array}$$ где ако $0\in N$ онда ${\mathrm{\Delta }}_X(N)$ садржи дијагоналу ${\mathrm{\Delta }}_X(\{0\})={\mathrm{\Delta }}_X.$

Ако је $N$ симетричан скуп (односно, ако је $-N=N$), тада је ${\mathrm{\Delta }}_X(N)$ Шаблон:Em, што по дефиницији значи да важи ${\mathrm{\Delta }}_X(N)={({\mathrm{\Delta }}_X(N))}^{\mathrm{op}}$, где је ${({\mathrm{\Delta }}_X(N))}^{\mathrm{op}}\stackrel{\text{def}}{=}\{(y,x):(x,y)\in {\mathrm{\Delta }}_X(N)\},$ и додатно, композиција овог симетричног скупа са самим собом је: $$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Delta }}_X(N)\circ {\mathrm{\Delta }}_X(N)& \stackrel{\text{def}}{=}\{(x,z)\in X\times X:\text{ постоји }y\in X\text{ такво да }x,z\in y+N\}\\ & =\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]\\ & ={\mathrm{\Delta }}_X+(N\times N).\end{array}$$

Ако је $ℒ$ било која база околина у координатном почетку у $(X,\tau )$ тада је фамилија подскупова из $X\times X:$ ${ℬ}_{ℒ}\stackrel{\text{def}}{=}\{{\mathrm{\Delta }}_X(N):N\in ℒ\}$ предфилтер на $X\times X.$ Ако је ${𝒩}_{\tau }(0)$ филтер околина у координатном почетку у $(X,\tau )$ тада ${ℬ}_{{𝒩}_{\tau }(0)}$ чини базу околина за униформну структуру на $X$ која се сматра канонском.Шаблон:Sfn Експлицитно, по дефиницији, Шаблон:Visible anchor на $X$ индукована са $(X,\tau )$Шаблон:Sfn је филтер ${𝒰}_{\tau }$ на $X\times X$ генерисан горњим предфилтером: $${𝒰}_{\tau }\stackrel{\text{def}}{=}{ℬ}_{{𝒩}_{\tau }(0)}^{\uparrow }\stackrel{\text{def}}{=}\{S\subseteq X\times X:\text{постоји }N\in {𝒩}_{\tau }(0)\text{ тако да је }{\mathrm{\Delta }}_X(N)\subseteq S\}$$ где ${ℬ}_{{𝒩}_{\tau }(0)}^{\uparrow }$ означава затворење нагоре од ${ℬ}_{{𝒩}_{\tau }(0)}$ у $X\times X.$ Иста канонска униформност би се добила коришћењем базе околина у координатном почетку, а не филтера свих околина у координатном почетку. Ако је $ℒ$ било која база околина у координатном почетку у $(X,\tau )$ тада је филтер на $X\times X$ генерисан предфилтером ${ℬ}_{ℒ}$ једнак канонској униформности ${𝒰}_{\tau }$ индукованој са $(X,\tau ).$

Кошијева мрежа

Општа теорија униформних простора има сопствену дефиницију „Кошијевог предфилтера” и „Кошијеве мреже”. За канонску униформност на $X,$ ове дефиниције се своде на оне дате у наставку.

Нека је $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ мрежа у $X$ и $y_{\bullet }={\left(y_j\right)}_{j\in J}$ мрежа у $Y.$ Производ $I\times J$ постаје усмерен скуп дефинисањем $(i,j)\le (i_2,j_2)$ ако и само ако је $i\le i_2$ и $j\le j_2.$ Тада $$x_{\bullet }\times y_{\bullet }\stackrel{\text{def}}{=}{(x_i,y_j)}_{(i,j)\in I\times J}$$ означава (Декартову) Шаблон:Visible anchor, где је посебно $x_{\bullet }\times x_{\bullet }\stackrel{\text{def}}{=}{(x_i,x_j)}_{(i,j)\in I\times I}.$ Ако је $X=Y$ онда слика ове мреже при пресликавању векторског сабирања $X\times X\to X$ представља Шаблон:Visible anchor ове две мреже:Шаблон:Sfn $$x_{\bullet }+y_{\bullet }\stackrel{\text{def}}{=}{(x_i+y_j)}_{(i,j)\in I\times J}$$ а слично је и њихова Шаблон:Visible anchor дефинисана као слика производне мреже при пресликавању векторског одузимања $(x,y)\mapsto x-y$: $$x_{\bullet }-y_{\bullet }\stackrel{\text{def}}{=}{(x_i-y_j)}_{(i,j)\in I\times J}.$$ Посебно, ознака $x_{\bullet }-x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}-{\left(x_i\right)}_{i\in I}$ означава мрежу индексирану са $I^2$ ${(x_i-x_j)}_{(i,j)\in I\times I},$ а не мрежу индексирану са $I$ ${(x_i-x_i)}_{i\in I}=(0{)}_{i\in I}$ јер би коришћење ове друге као дефиниције учинило ознаку бескорисном.

Мрежа $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ у ТВП-у $X$ назива се Кошијевом мрежомШаблон:Sfn ако $$x_{\bullet }-x_{\bullet }\stackrel{\text{def}}{=}{(x_i-x_j)}_{(i,j)\in I\times I}\to 0\text{ у }X.$$ Експлицитно, ово значи да за сваку околину $N$ нуле у $X,$ постоји неки индекс $i_0\in I$ такав да је $x_i-x_j\in N$ за све индексе $i,j\in I$ који задовољавају $i\ge i_0$ и $j\ge i_0.$ Довољно је проверити било који од ових дефинишућих услова за било коју дату базу околина нуле у $X.$ Кошијев низ је низ који је уједно и Кошијева мрежа.

Ако $x_{\bullet }\to x$ тада $x_{\bullet }\times x_{\bullet }\to (x,x)$ у $X\times X$ па непрекидност пресликавања векторског одузимања $S:X\times X\to X,$ које је дефинисано са $S(x,y)\stackrel{\text{def}}{=}x-y,$ гарантује да $S(x_{\bullet }\times x_{\bullet })\to S(x,x)$ у $X,$ где је $S(x_{\bullet }\times x_{\bullet })={(x_i-x_j)}_{(i,j)\in I\times I}=x_{\bullet }-x_{\bullet }$ и $S(x,x)=x-x=0.$ Ово доказује да је свака конвергентна мрежа уједно и Кошијева мрежа. По дефиницији, простор се назива комплетан ако је и обрнуто увек тачно. То јест, $X$ је комплетан ако и само ако важи следеће:

кад год је $x_{\bullet }$ мрежа у $X,$ тада $x_{\bullet }$ конвергира (ка некој тачки) у $X$ ако и само ако $x_{\bullet }-x_{\bullet }\to 0$ у $X.$

Слична карактеризација употпуњености важи ако се користе филтери и предфилтери уместо мрежа.

Ред $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i$ назива се Шаблон:Visible anchor (односно, Шаблон:Visible anchor) ако је низ парцијалних сума ${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ Кошијев низ (односно, конвергентан низ).Шаблон:Sfn Сваки конвергентан ред је нужно Кошијев ред. У комплетном ТВП-у, сваки Кошијев ред је нужно конвергентан ред.

Кошијев филтер и Кошијев предфилтер

Предфилтер $ℬ$ на тополошком векторском простору $X$ назива се Кошијев предфилтерШаблон:Sfn ако задовољава било који од следећих еквивалентних услова:

1. $ℬ-ℬ\to 0$ у $X.$
   • Фамилија $ℬ-ℬ\stackrel{\text{def}}{=}\{B-C:B,C\in ℬ\}$ је предфилтер.
   • Експлицитно, $ℬ-ℬ\to 0$ значи да за сваку околину $N$ координатног почетка у $X,$ постоје $B,C\in ℬ$ такви да је $B-C\subseteq N.$
2. $\{B-B:B\in ℬ\}\to 0$ у $X.$
   • Фамилија $\{B-B:B\in ℬ\}$ је предфилтер еквивалентан са $ℬ-ℬ$ (еквиваленција значи да ови предфилтери генеришу исти филтер на $X$).
   • Експлицитно, $\{B-B:B\in ℬ\}\to 0$ значи да за сваку околину $N$ координатног почетка у $X,$ постоји неко $B\in ℬ$ такво да је $B-B\subseteq N.$
3. За сваку околину $N$ координатног почетка у $X,$ $ℬ$ садржи неки $N$-мали скуп (то јест, постоји неко $B\in ℬ$ такво да је $B-B\subseteq N$).Шаблон:Sfn
   • Подскуп $B\subseteq X$ се назива $N$-мали или Шаблон:Visible anchor $N$Шаблон:Sfn ако је $B-B\subseteq N.$
4. За сваку околину $N$ координатног почетка у $X,$ постоји неко $x\in X$ и неко $B\in ℬ$ тако да је $B\subseteq x+N.$Шаблон:Sfn
   • Ова тврдња остаје тачна ако се "$B\subseteq x+N$" замени са "$x+B\subseteq N.$"
5. Свака околина координатног почетка у $X$ садржи неки подскуп облика $x+B$ где је $x\in X$ и $B\in ℬ.$

Довољно је проверити било који од горњих услова за било коју дату базу околина нуле у $X.$ Кошијев филтер је Кошијев предфилтер који је уједно и филтер на $X.$

Ако је $ℬ$ предфилтер на тополошком векторском простору $X$ и ако је $x\in X,$ тада $ℬ\to x$ у $X$ ако и само ако $x\in \mathrm{cl}ℬ$ и $ℬ$ је Кошијев.Шаблон:Sfn

Комплетан подскуп

За било које $S\subseteq X,$ предфилтер $𝒞$ Шаблон:Em је нужно подскуп од $\mathrm{\wp }(S)$; то јест, $𝒞\subseteq \mathrm{\wp }(S).$

Подскуп $S$ ТВП-а $(X,\tau )$ се назива Шаблон:Visible anchor ако задовољава било који од следећих еквивалентних услова:

1. Сваки Кошијев предфилтер $𝒞\subseteq \mathrm{\wp }(S)$ на $S$ конвергира ка барем једној тачки из $S.$
   • Ако је $X$ Хаусдорфов онда ће сваки предфилтер на $S$ конвергирати ка највише једној тачки из $X.$ Али ако $X$ није Хаусдорфов онда предфилтер може конвергирати ка више тачака у $X.$ Исто важи и за мреже.
2. Свака Кошијева мрежа у $S$ конвергира ка барем једној тачки из $S.$
3. $S$ је комплетан униформни простор (према општој тополошкој дефиницији „комплетног униформног простора”) када се $S$ опреми униформношћу коју на њему индукује канонска униформност од $X.$

Подскуп $S$ се назива Шаблон:Visible anchor ако сваки Кошијев низ у $S$ (или еквивалентно, сваки елементарни Кошијев филтер/предфилтер на $S$) конвергира ка барем једној тачки из $S.$

Важно је напоменути да конвергенција ка тачкама изван $S$ не спречава скуп да буде комплетан: Ако $X$ није Хаусдорфов и ако сваки Кошијев предфилтер на $S$ конвергира ка некој тачки из $S,$ тада ће $S$ бити комплетан чак и ако неки или сви Кошијеви предфилтери на $S$ такође конвергирају ка тачки (или тачкама) у $X\setminus S.$ Укратко, не постоји захтев да ови Кошијеви предфилтери на $S$ конвергирају само ка тачкама у $S.$ Исто се може рећи и за конвергенцију Кошијевих мрежа у $S.$

Као последица тога, ако ТВП $X$ није Хаусдорфов онда је сваки подскуп затворења од $\{0\}$ у $X$ комплетан јер је компактан, а сваки компактан скуп је нужно комплетан. Посебно, ако је $\varnothing \ne S\subseteq {\mathrm{cl}}_X\{0\}$ прави подскуп, као на пример $S=\{0\},$ тада би $S$ био комплетан иако свака Кошијева мрежа у $S$ (и такође сваки Кошијев предфилтер на $S$) конвергира ка свакој тачки у ${\mathrm{cl}}_X\{0\},$ укључујући и оне тачке у ${\mathrm{cl}}_X\{0\}$ које не припадају $S.$ Овај пример такође показује да комплетни подскупови (и заиста, чак и компактни подскупови) не-Хаусдорфовог ТВП-а могу да не буду затворени. На пример, ако је $\varnothing \ne S\subseteq {\mathrm{cl}}_X\{0\}$ онда је $S={\mathrm{cl}}_X\{0\}$ ако и само ако је $S$ затворен у $X.$

Комплетан тополошки векторски простор

Тополошки векторски простор $X$ се назива Шаблон:Visible anchor ако је задовољен било који од следећих еквивалентних услова:

1. $X$ је комплетан униформни простор када је опремљен својом канонском униформношћу.
   • У општој теорији униформних простора, униформни простор се назива комплетан униформни простор ако сваки Кошијев филтер на $X$ конвергира ка некој тачки из $X$ у топологији индукованој униформношћу. Када је $X$ ТВП, топологија индукована канонском униформношћу је једнака задатој топологији од $X$ (тако да је конвергенција у овој индукованој топологији заправо уобичајена конвергенција у $X$).
2. $X$ је комплетан подскуп самог себе.
3. Постоји околина координатног почетка у $X$ која је такође комплетан подскуп од $X.$Шаблон:Sfn
   • Ово имплицира да је сваки локално компактан ТВП комплетан (чак и ако ТВП није Хаусдорфов).
4. Сваки Кошијев предфилтер $𝒞\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ на $X$ конвергира у $X$ ка барем једној тачки из $X.$
   • Ако је $X$ Хаусдорфов онда ће сваки предфилтер на $X$ конвергирати ка највише једној тачки из $X.$ Али ако $X$ није Хаусдорфов онда предфилтер може конвергирати ка више тачака у $X.$ Исто важи и за мреже.
5. Сваки Кошијев филтер на $X$ конвергира у $X$ ка барем једној тачки из $X.$
6. Свака Кошијева мрежа у $X$ конвергира у $X$ ка барем једној тачки из $X.$

где ако је додатно $X$ псеудометризабилан или метризабилан (на пример, нормиран простор) тада се ова листа може проширити да укључи:

7. $X$ је секвенцијално комплетан.

Тополошки векторски простор $X$ је Шаблон:Visible anchor ако је задовољен било који од следећих еквивалентних услова:

1. $X$ је секвенцијално комплетан подскуп самог себе.
2. Сваки Кошијев низ у $X$ конвергира у $X$ ка барем једној тачки из $X.$
3. Сваки елементарни Кошијев предфилтер на $X$ конвергира у $X$ ка барем једној тачки из $X.$
4. Сваки елементарни Кошијев филтер на $X$ конвергира у $X$ ка барем једној тачки из $X.$

Јединственост канонске униформности

Постојање канонске униформности је демонстрирано горе њеним дефинисањем. Теорема испод утврђује да је канонска униформност било ког ТВП-а $(X,\tau )$ једина униформност на $X$ која је истовремено (1) транслаторно инваријантна, и (2) генерише на $X$ топологију $\tau .$

Овај одељак је посвећен објашњењу прецизног значења термина укључених у ову тврдњу о јединствености.

Униформни простори и транслаторно инваријантне униформности

За било које подскупове $\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }\subseteq X\times X,$ нека јеШаблон:Sfn $${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{op}}\stackrel{\text{def}}{=}\{(y,x):(x,y)\in \mathrm{\Phi }\}$$ и нека је $$\begin{array}{cc}\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }& \stackrel{\text{def}}{=}\{(x,z):\text{ постоји }y\in X\text{ тако да }(x,y)\in \mathrm{\Psi }\text{ и }(y,z)\in \mathrm{\Phi }\}\\ & =\bigcup _{y\in X}\{(x,z):(x,y)\in \mathrm{\Psi }\text{ и }(y,z)\in \mathrm{\Phi }\}\end{array}$$ Непразна фамилија $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X\times X)$ назива се Шаблон:Visible anchor или Шаблон:Visible anchor ако је $ℬ$ предфилтер на $X\times X$ који задовољава све следеће услове:

1. Сваки скуп у $ℬ$ садржи дијагоналу од $X$ као подскуп; то јест, ${\mathrm{\Delta }}_X\stackrel{\text{def}}{=}\{(x,x):x\in X\}\subseteq \mathrm{\Phi }$ за свако $\mathrm{\Phi }\in ℬ.$ Другачије речено, предфилтер $ℬ$ је фиксиран на ${\mathrm{\Delta }}_X.$
2. За свако $\mathrm{\Omega }\in ℬ$ постоји неко $\mathrm{\Phi }\in ℬ$ такво да је $\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Phi }\subseteq \mathrm{\Omega }.$
3. За свако $\mathrm{\Omega }\in ℬ$ постоји неко $\mathrm{\Phi }\in ℬ$ такво да је $\mathrm{\Phi }\subseteq {\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{op}}\stackrel{\text{def}}{=}\{(y,x):(x,y)\in \mathrm{\Omega }\}.$

Шаблон:Visible anchor или Шаблон:Visible anchor на $X$ је филтер $𝒰$ на $X\times X$ који је генерисан неком базом околина $ℬ,$ у ком случају кажемо да је $ℬ$ база околина за $𝒰.$

За комутативну адитивну групу $X,$ Шаблон:Visible anchorШаблон:Sfn је фундаментални систем околина $ℬ$ такав да за свако $\mathrm{\Phi }\in ℬ,$ важи $(x,y)\in \mathrm{\Phi }$ ако и само ако $(x+z,y+z)\in \mathrm{\Phi }$ за све $x,y,z\in X.$ Униформност $ℬ$ се назива Шаблон:Visible anchorШаблон:Sfn ако има базу околина која је транслаторно инваријантна. Канонска униформност на било ком ТВП-у је транслаторно инваријантна.Шаблон:Sfn

Бинарни оператор $\circ$ задовољава све следеће:

• $(\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }{)}^{\mathrm{op}}={\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{op}}\circ {\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{op}}.$
• Ако је $\mathrm{\Phi }\subseteq {\mathrm{\Phi }}_2$ и $\mathrm{\Psi }\subseteq {\mathrm{\Psi }}_2$ онда је $\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi }\subseteq {\mathrm{\Phi }}_2\circ {\mathrm{\Psi }}_2.$
• Асоцијативност: $\mathrm{\Phi }\circ (\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Omega })=(\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi })\circ \mathrm{\Omega }.$
• Идентитет: $\mathrm{\Phi }\circ {\mathrm{\Delta }}_X=\mathrm{\Phi }={\mathrm{\Delta }}_X\circ \mathrm{\Phi }.$
• Нула: $\mathrm{\Phi }\circ \varnothing =\varnothing =\varnothing \circ \mathrm{\Phi }$

Симетричне околине

Назовимо подскуп $\mathrm{\Phi }\subseteq X\times X$ симетричним ако је $\mathrm{\Phi }={\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{op}},$ што је еквивалентно са ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{op}}\subseteq \mathrm{\Phi }.$ Ова еквиваленција следи из идентитета ${\left({\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{op}}\right)}^{\mathrm{op}}=\mathrm{\Phi }$ и чињенице да ако је $\mathrm{\Psi }\subseteq X\times X,$ тада је $\mathrm{\Phi }\subseteq \mathrm{\Psi }$ ако и само ако ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{op}}\subseteq {\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{op}}.$ На пример, скуп ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{op}}\cap \mathrm{\Phi }$ је увек симетричан за свако $\mathrm{\Phi }\subseteq X\times X.$ И пошто је $(\mathrm{\Phi }\cap \mathrm{\Psi }{)}^{\mathrm{op}}={\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{op}}\cap {\mathrm{\Psi }}^{\mathrm{op}},$ ако су $\mathrm{\Phi }$ и $\mathrm{\Psi }$ симетрични онда је симетричан и $\mathrm{\Phi }\cap \mathrm{\Psi }.$

Топологија генерисана униформношћу

Релативи

Нека је $\mathrm{\Phi }\subseteq X\times X$ произвољан и нека су ${\mathrm{Pr}}_1,{\mathrm{Pr}}_2:X\times X\to X$ канонске пројекције на прву, односно другу координату.

За било које $S\subseteq X,$ дефинишимо $$S\cdot \mathrm{\Phi }\stackrel{\text{def}}{=}\{y\in X:\mathrm{\Phi }\cap (S\times \{x\})\ne \varnothing \}={\mathrm{Pr}}_2(\mathrm{\Phi }\cap (S\times X))$$ $$\mathrm{\Phi }\cdot S\stackrel{\text{def}}{=}\{x\in X:\mathrm{\Phi }\cap (\{x\}\times S)\ne \varnothing \}={\mathrm{Pr}}_1(\mathrm{\Phi }\cap (X\times S))=S\cdot \left({\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{op}}\right)$$ где се $\mathrm{\Phi }\cdot S$ (односно, $S\cdot \mathrm{\Phi }$) назива скуп левих (односно, десних) $\mathrm{\Phi }$-релатива од (тачака у) $S.$ Означимо специјалан случај где је $S=\{p\}$ једночлани скуп за неко $p\in X$ са: $$p\cdot \mathrm{\Phi }\stackrel{\text{def}}{=}\{p\}\cdot \mathrm{\Phi }=\{y\in X:(p,y)\in \mathrm{\Phi }\}$$ $$\mathrm{\Phi }\cdot p\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{\Phi }\cdot \{p\}=\{x\in X:(x,p)\in \mathrm{\Phi }\}=p\cdot \left({\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{op}}\right)$$ Ако су $\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }\subseteq X\times X$ тада $(\mathrm{\Phi }\circ \mathrm{\Psi })\cdot S=\mathrm{\Phi }\cdot (\mathrm{\Psi }\cdot S).$ Штавише, $\cdot$ се десно дистрибуира преко унија и пресека, што значи да ако су $R,S\subseteq X$ тада $(R\cup S)\cdot \mathrm{\Phi }=(R\cdot \mathrm{\Phi })\cup (S\cdot \mathrm{\Phi })$ и $(R\cap S)\cdot \mathrm{\Phi }\subseteq (R\cdot \mathrm{\Phi })\cap (S\cdot \mathrm{\Phi }).$

Околине и отворени скупови

Две тачке $x$ и $y$ су $\mathrm{\Phi }$-блиске ако $(x,y)\in \mathrm{\Phi }$, а подскуп $S\subseteq X$ се назива $\mathrm{\Phi }$-мали ако $S\times S\subseteq \mathrm{\Phi }.$

Нека је $ℬ\subseteq \mathrm{\wp }(X\times X)$ база околина на $X.$ Шаблон:Visible anchor у тачки $p\in X$ и, редом, на подскупу $S\subseteq X$ су фамилије скупова: $$ℬ\cdot p\stackrel{\text{def}}{=}ℬ\cdot \{p\}=\{\mathrm{\Phi }\cdot p:\mathrm{\Phi }\in ℬ\}\text{ и }ℬ\cdot S\stackrel{\text{def}}{=}\{\mathrm{\Phi }\cdot S:\mathrm{\Phi }\in ℬ\}$$ и филтери на $X$ које сваки од њих генерише називају се Шаблон:Visible anchor од $p$ (редом, од $S$). Доделимо сваком $x\in X$ предфилтер околина $$ℬ\cdot x\stackrel{\text{def}}{=}\{\mathrm{\Phi }\cdot x:\mathrm{\Phi }\in ℬ\}$$ и користимо дефиницију околине отвореног скупа да бисмо добили топологију на $X$ која се назива топологија индукована са $ℬ$ или Шаблон:Visible anchor. Експлицитно, подскуп $U\subseteq X$ је отворен у овој топологији ако и само ако за свако $u\in U$ постоји неко $N\in ℬ\cdot u$ такво да је $N\subseteq U;$ то јест, $U$ је отворен ако и само ако за свако $u\in U$ постоји неко $\mathrm{\Phi }\in ℬ$ такво да је $\mathrm{\Phi }\cdot u\stackrel{\text{def}}{=}\{x\in X:(x,u)\in \mathrm{\Phi }\}\subseteq U.$

Затворење подскупа $S\subseteq X$ у овој топологији је: $${\mathrm{cl}}_{X}S=\bigcap _{\mathrm{\Phi }\in ℬ}(\mathrm{\Phi }\cdot S)=\bigcap _{\mathrm{\Phi }\in ℬ}(S\cdot \mathrm{\Phi }).$$

Кошијеви предфилтери и комплетне униформности

Предфилтер $ℱ\subseteq \mathrm{\wp }(X)$ на униформном простору $X$ са униформношћу $𝒰$ се назива Кошијев предфилтер ако за сваку околину $N\in 𝒰,$ постоји неки $F\in ℱ$ такав да је $F\times F\subseteq N.$

Униформни простор $(X,𝒰)$ се назива Шаблон:Visible anchor (односно, Шаблон:Visible anchor) ако сваки Кошијев предфилтер (односно, сваки елементарни Кошијев предфилтер) на $X$ конвергира ка барем једној тачки из $X$ када је $X$ опремљен топологијом индукованом са $𝒰.$

Случај тополошког векторског простора

Ако је $(X,\tau )$ тополошки векторски простор, онда за било које $S\subseteq X$ и $x\in X,$ $${\mathrm{\Delta }}_X(N)\cdot S=S+N\text{ и }{\mathrm{\Delta }}_X(N)\cdot x=x+N,$$ а топологија индукована на $X$ канонском униформношћу је иста као топологија са којом је $X$ почео (то јест, $\tau$).

Униформна непрекидност

Нека су $X$ и $Y$ ТВП-ови, $D\subseteq X,$ и $f:D\to Y$ пресликавање. Тада је $f:D\to Y$ Шаблон:Em ако за сваку околину $U$ координатног почетка у $X,$ постоји околина $V$ координатног почетка у $Y$ таква да за све $x,y\in D,$ ако $y-x\in U$ онда $f(y)-f(x)\in V.$

Претпоставимо да је $f:D\to Y$ униформно непрекидно. Ако је $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ Кошијева мрежа у $D$ онда је $f\circ x_{\bullet }={\left(f\left(x_i\right)\right)}_{i\in I}$ Кошијева мрежа у $Y.$ Ако је $ℬ$ Кошијев предфилтер у $D$ (што значи да је $ℬ$ фамилија подскупова од $D$ која је Кошијева у $X$) онда је $f\left(ℬ\right)$ Кошијев предфилтер у $Y.$ Међутим, ако је $ℬ$ Кошијев филтер на $D$ онда иако ће $f\left(ℬ\right)$ бити Кошијев предфилтер, он ће бити Кошијев филтер у $Y$ ако и само ако је $f:D\to Y$ сурјективно.

ТВП-употпуњеност наспрам употпуњености (псеудо)метрика

Прелиминарије: Комплетни псеудометрички простори

Понављамо основне појмове у вези са општом теоријом комплетних псеудометричких простора. Подсетимо се да је свака метрика псеудометрика и да је псеудометрика $p$ метрика ако и само ако $p(x,y)=0$ имплицира $x=y.$ Стога је сваки метрички простор псеудометрички простор и псеудометрички простор $(X,p)$ је метрички простор ако и само ако је $p$ метрика.

Ако је $S$ подскуп псеудометричког простора $(X,d)$ онда је пречник од $S$ дефинисан као $$\mathrm{diam}(S)\stackrel{\text{def}}{=}\underset{}{sup}\{d(s,t):s,t\in S\}.$$

Предфилтер $ℬ$ на псеудометричком простору $(X,d)$ се назива $d$-Кошијев предфилтер или једноставно Кошијев предфилтер ако за сваки реалан број $r>0,$ постоји неки $B\in ℬ$ такав да је пречник од $B$ мањи од $r.$

Претпоставимо да је $(X,d)$ псеудометрички простор. Мрежа $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ у $X$ се назива $d$-Кошијева мрежа или једноставно Кошијева мрежа ако је $\mathrm{Tails}\left(x_{\bullet }\right)$ Кошијев предфилтер, што се дешава ако и само ако:

за свако $r>0$ постоји неки $i\in I$ такав да ако су $j,k\in I$ са $j\ge i$ и $k\ge i$ онда важи $d(x_j,x_k)<r$

или еквивалентно, ако и само ако ${\left(d(x_j,x_k)\right)}_{(i,j)\in I\times I}\to 0$ у $ℝ.$ Ово је аналогно следећој карактеризацији конвергенције $x_{\bullet }$ ка тачки: ако је $x\in X,$ тада $x_{\bullet }\to x$ у $(X,d)$ ако и само ако ${(x_i,x)}_{i\in I}\to 0$ у $ℝ.$

Кошијев низ је низ који је уједно и Кошијева мрежа.

Свака псеудометрика $p$ на скупу $X$ индукује уобичајену канонску топологију на $X,$ коју ћемо означити са ${\tau }_p$; она такође индукује канонску униформност на $X,$ коју ћемо означити са ${𝒰}_p.$ Топологија на $X$ индукована униформношћу ${𝒰}_p$ једнака је ${\tau }_p.$ Мрежа $x_{\bullet }={\left(x_i\right)}_{i\in I}$ у $X$ је Кошијева у односу на $p$ ако и само ако је Кошијева у односу на униформност ${𝒰}_p.$ Псеудометрички простор $(X,p)$ је комплетан (редом, секвенцијално комплетан) псеудометрички простор ако и само ако је $(X,{𝒰}_p)$ комплетан (редом, секвенцијално комплетан) униформни простор. Штавише, псеудометрички простор $(X,p)$ (редом, униформни простор $(X,{𝒰}_p)$) је комплетан ако и само ако је секвенцијално комплетан.

Псеудометрички простор $(X,d)$ (на пример, метрички простор) назива се комплетан а $d$ се назива комплетна псеудометрика ако важи било који од следећих еквивалентних услова:

1. Сваки Кошијев предфилтер на $X$ конвергира ка барем једној тачки из $X.$
2. Горња тврдња, али са речју "предфилтер" замењеном са "филтер."
3. Свака Кошијева мрежа у $X$ конвергира ка барем једној тачки из $X.$
   • Ако је $d$ метрика на $X$ онда је свака гранична тачка нужно јединствена, а исто важи и за границе Кошијевих предфилтера на $X.$
4. Сваки Кошијев низ у $X$ конвергира ка барем једној тачки из $X.$
   • Тако да би се доказало да је $(X,d)$ комплетан, довољно је разматрати само Кошијеве низове у $X$ (и није неопходно разматрати општије Кошијеве мреже).
5. Канонска униформност на $X$ индукована псеудометриком $d$ је комплетна униформност.

Ако је уз то $d$ метрика онда можемо додати овој листи:

6. Сваки опадајући низ затворених кугли чији се пречници смањују на $0$ има непразан пресек.Шаблон:Sfn

Комплетне псеудометрике и комплетни ТВП-ови

Сваки Ф-простор, а тиме и сваки Фрешеов простор, Банахов простор и Хилбертов простор је комплетан ТВП. Приметимо да је сваки Ф-простор уједно и Беров простор али постоје нормирани простори који су Берови, али нису Банахови.Шаблон:Sfn

Псеудометрика $d$ на векторском простору $X$ назива се Шаблон:Visible anchor ако је $d(x,y)=d(x+z,y+z)$ за све векторе $x,y,z\in X.$

Претпоставимо да је $(X,\tau )$ псеудометризабилан ТВП (на пример, метризабилан ТВП) и да је $p$ било која псеудометрика на $X$ таква да је топологија на $X$ индукована са $p$ једнака $\tau .$ Ако је $p$ транслаторно инваријантна, тада је $(X,\tau )$ комплетан ТВП ако и само ако је $(X,p)$ комплетан псеудометрички простор.Шаблон:Sfn Ако $p$ није транслаторно инваријантна, тада је могуће да $(X,\tau )$ буде комплетан ТВП али да $(X,p)$ не буде комплетан псеудометрички просторШаблон:Sfn (погледајте ову напомену за пример).Шаблон:Sfn

Комплетне норме и еквивалентне норме

Две норме на векторском простору називају се еквивалентним ако и само ако индукују исту топологију. Ако су $p$ и $q$ две еквивалентне норме на векторском простору $X$ онда је нормиран простор $(X,p)$ Банахов простор ако и само ако је $(X,q)$ Банахов простор. Погледајте ову напомену за пример непрекидне норме на Банаховом простору која није еквивалентна задатој норми тог Банаховог простора. Све норме на коначнодимензионалном векторском простору су еквивалентне и сваки коначнодимензионални нормиран простор је Банахов простор. Сваки Банахов простор је комплетан ТВП. Нормиран простор је Банахов простор (то јест, његова канонска метрика индукована нормом је комплетна) ако и само ако је комплетан као тополошки векторски простор.

Употпуњења

УпотпуњењеШаблон:Sfn ТВП-а $X$ је комплетан ТВП који садржи густ векторски потпростор који је ТВП-изоморфан са $X.$ Другим речима, то је комплетан ТВП $C$ у који се $X$ може ТВП-утопити као густ векторски потпростор. Свако ТВП-утапање је униформно утапање.

Сваки тополошки векторски простор има употпуњење. Штавише, сваки Хаусдорфов ТВП има Хаусдорфово употпуњење, које је нужно јединствено до на ТВП-изоморфизам. Међутим, сви ТВП-ови, чак и они који су Хаусдорфови, (већ) комплетни, и/или метризабилни имају бесконачно много не-Хаусдорфових употпуњења која нису ТВП-изоморфна једна другом.

Примери употпуњења

На пример, векторски простор који се састоји од скаларних простих функција $f$ за које је $|f{|}_p<\mathrm{\infty }$ (где је ова семинорма дефинисана на уобичајен начин у смислу Лебегове интеграције) постаје семинормиран простор када се опреми овом семинормом, која га заузврат чини и псеудометричким простором и не-Хаусдорфовим некомплетним ТВП-ом; свако употпуњење овог простора је не-Хаусдорфов комплетан семинормиран простор који када се количникује затворењем координатног почетка (како би се добио Хаусдорфов ТВП) резултира (простором који је линеарно изометријски-изоморфан са) уобичајеним комплетним Хаусдорфовим $L^p$-простором (опремљеним уобичајеном комплетном $\Vert \cdot {\Vert }_p$ нормом).

Као још један пример који демонстрира корисност употпуњења, употпуњења тополошких тензорских производа, као што су пројективни тензорски производи или инјективни тензорски производи, Банаховог простора ${\ell }^1(S)$ са комплетним Хаусдорфовим локално конвексним ТВП-ом $Y$ резултира комплетним ТВП-ом који је ТВП-изоморфан „уопштеном” ${\ell }^1(S;Y)$-простору који се састоји од функција на $S$ са вредностима у $Y$ (где је овај „уопштени” ТВП дефинисан аналогно оригиналном простору ${\ell }^1(S)$ скаларних функција на $S$). Слично, употпуњење инјективног тензорског производа простора скаларних $C^k$-тест функција са таквим ТВП-ом $Y$ је ТВП-изоморфно са аналогно дефинисаним ТВП-ом од $C^k$ тест функција са вредностима у $Y$.

Нејединственост свих употпуњења

Као што пример испод показује, без обзира да ли је простор Хаусдорфов или већ комплетан, сваки тополошки векторски простор (ТВП) има бесконачно много не-изоморфних употпуњења.Шаблон:Sfn

Међутим, сваки Хаусдорфов ТВП има Хаусдорфово употпуњење које је јединствено до на ТВП-изоморфизам.Шаблон:Sfn Али ипак, сваки Хаусдорфов ТВП и даље има бесконачно много не-изоморфних не-Хаусдорфових употпуњења.

Пример (Нејединственост употпуњења):Шаблон:Sfn Нека $C$ означава било који комплетан ТВП и нека $I$ означава било који ТВП опремљен антидискретном топологијом, која подсетимо чини $I$ комплетним ТВП-ом. Пошто су и $I$ и $C$ комплетни ТВП-ови, такав је и њихов производ $I\times C.$ Ако су $U$ и $V$ непразни отворени подскупови од $I$ и $C,$ респективно, тада је $U=I$ и $(U\times V)\cap (\{0\}\times C)=\{0\}\times V\ne \varnothing ,$ што показује да је $\{0\}\times C$ густ потпростор од $I\times C.$ Тако да по дефиницији „употпуњења”, $I\times C$ је употпуњење од $\{0\}\times C$ (није важно што је $\{0\}\times C$ већ комплетан). Па поистовећивањем $\{0\}\times C$ са $C,$ ако је $X\subseteq C$ густ векторски потпростор од $C,$ тада $X$ има и $C$ и $I\times C$ као употпуњења.

Хаусдорфова употпуњења

Сваки Хаусдорфов ТВП има Хаусдорфово употпуњење које је јединствено до на ТВП-изоморфизам.Шаблон:Sfn Али ипак, као што је горе показано, сваки Хаусдорфов ТВП и даље има бесконачно много не-изоморфних не-Хаусдорфових употпуњења.

Егзистенција Хаусдорфових употпуњења

Кошијев филтер $ℬ$ на ТВП-у $X$ назива се Шаблон:Visible anchorШаблон:Sfn ако не постоји Кошијев филтер на $X$ који је строго грубљи од $ℬ$ (односно, „строго грубљи од $ℬ$” значи садржан као прави подскуп од $ℬ$).

Ако је $ℬ$ Кошијев филтер на $X$ тада је филтер генерисан следећим предфилтером: $$\{B+N:B\in ℬ\text{ и }N\text{ је околина нуле у }X\}$$ јединствени минимални Кошијев филтер на $X$ који је садржан као подскуп у $ℬ.$Шаблон:Sfn Посебно, за свако $x\in X,$ филтер околина у $x$ је минимални Кошијев филтер.

Нека је $𝕄$ скуп свих минималних Кошијевих филтера на $X$ и нека је $E:X\to 𝕄$ пресликавање дефинисано тако што слика $x\in X$ у филтер околина тачке $x$ у $X.$ Опремимо $𝕄$ следећом структуром векторског простора: За дате $ℬ,𝒞\in 𝕄$ и скалар $s,$ нека $ℬ+𝒞$ (редом, $sℬ$) означава јединствени минимални Кошијев филтер садржан у филтеру генерисаном са $\{B+C:B\in ℬ,C\in 𝒞\}$ (редом, $\{sB:B\in ℬ\}$).

За сваку уравнотежену околину $N$ координатног почетка у $X,$ нека је $$𝕌(N)\stackrel{\text{def}}{=}\{ℬ\in 𝕄:\text{ постоје }B\in ℬ\text{ и околина }V\text{ координатног почетка у }X\text{ тако да је }B+V\subseteq N\}$$

Ако је $X$ Хаусдорфов онда колекција свих скупова $𝕌(N),$ како $N$ пролази кроз све уравнотежене околине координатног почетка у $X,$ формира векторску топологију на $𝕄$ која чини $𝕄$ комплетним Хаусдорфовим ТВП-ом. Штавише, пресликавање $E:X\to 𝕄$ је ТВП-утапање на густ векторски потпростор од $𝕄.$Шаблон:Sfn

Ако је $X$ метризабилан ТВП онда се Хаусдорфово употпуњење простора $X$ може конструисати помоћу класа еквиваленције Кошијевих низова уместо минималних Кошијевих филтера.

Не-Хаусдорфова употпуњења

Овај пододељак детаљно описује како се сваки не-Хаусдорфов ТВП $X$ може ТВП-утопити на густ векторски потпростор комплетног ТВП-а. Доказ да сваки Хаусдорфов ТВП има Хаусдорфово употпуњење је широко доступан па ће ова чињеница бити коришћена (без доказа) да би се показало да сваки не-Хаусдорфов ТВП такође има употпуњење. Ови детаљи су понекад корисни за проширење резултата са Хаусдорфових ТВП-ова на не-Хаусдорфове ТВП-ове.

Нека $I=\mathrm{cl}\{0\}$ означава затворење координатног почетка у $X,$ где је $I$ опремљен својом потпросторном топологијом индукованом из $X$ (тако да $I$ има антидискретну топологију). Пошто $I$ има тривијалну топологију, лако се показује да је сваки векторски потпростор од $X$ који је алгебарски комплемент од $I$ у $X$ нужно тополошки комплемент од $I$ у $X.$Шаблон:SfnШаблон:Sfn Нека $H$ означава било који тополошки комплемент од $I$ у $X,$ који је нужно Хаусдорфов ТВП (пошто је ТВП-изоморфан са количничким ТВП-ом $X/I$). Пошто је $X$ тополошка директна сума од $I$ и $H$ (што значи да је $X=I\oplus H$ у категорији ТВП-ова), канонско пресликавање $$I\times H\to I\oplus H=X\text{ дато са }(x,y)\mapsto x+y$$ је ТВП-изоморфизам.Шаблон:Sfn Нека $A:X=I\oplus H\to I\times H$ означава инверз овог канонског пресликавања. (Као успутна напомена, следи да сваки отворен и сваки затворен подскуп $U$ од $X$ задовољава $U=I+U.$)

Хаусдорфов ТВП $H$ може се ТВП-утопити, рецимо преко пресликавања ${\mathrm{In}}_H:H\to C,$ на густ векторски потпростор свог употпуњења $C.$ Пошто су $I$ и $C$ комплетни, комплетан је и њихов производ $I\times C.$ Нека ${\mathrm{Id}}_I:I\to I$ означава идентитечко пресликавање и приметимо да је производно пресликавање ${\mathrm{Id}}_I\times {\mathrm{In}}_H:I\times H\to I\times C$ ТВП-утапање чија је слика густа у $I\times C.$ Дефинишимо пресликавање $$B:X=I\oplus H\to I\times C\text{ са }B\stackrel{\text{def}}{=}({\mathrm{Id}}_I\times {\mathrm{In}}_H)\circ A$$ које је ТВП-утапање од $X=I\oplus H$ на густ векторски потпростор комплетног ТВП-а $I\times C.$ Штавише, приметимо да је затворење нуле у $I\times C$ једнако $I\times \{0\},$ и да су $I\times \{0\}$ и $\{0\}\times C$ тополошки комплементи у $I\times C.$

Укратко,Шаблон:Sfn за дати алгебарски (а самим тим и тополошки) комплемент $H$ од $I\stackrel{\text{def}}{=}\mathrm{cl}\{0\}$ у $X$ и за било које употпуњење $C$ Хаусдорфовог ТВП-а $H$ такво да је $H\subseteq C,$ природна инклузија $${\mathrm{In}}_H:X=I\oplus H\to I\oplus C$$ је добро дефинисано ТВП-утапање простора $X$ на густ векторски потпростор комплетног ТВП-а $I\oplus C$ где додатно, $$X=I\oplus H\subseteq I\oplus C\cong I\times C.$$

Топологија употпуњења

Другачије речено, ако је $C$ употпуњење ТВП-а $X$ при чему је $X\subseteq C$ и ако је $𝒩$ база околина нуле у $X,$ тада је фамилија скупова $$\{{\mathrm{cl}}_{C}N:N\in 𝒩\}$$ база околина у координатном почетку у $C.$Шаблон:Sfn

Гротендикова теорема о употпуњењу

Нека $ℰ$ означава Шаблон:Visible anchor на непрекидном дуалном простору $X^{\prime },$ која се по дефиницији састоји од свих еквиконтинуалних слабо-* затворених и слабо-* ограничених апсолутно конвексних подскупова од $X^{\prime }$Шаблон:Sfn (који су нужно слабо-* компактни подскупови од $X^{\prime }$). Претпоставимо да је сваки $E^{\prime }\in ℰ$ опремљен слабом-* топологијом. За филтер $ℬ$ на $X^{\prime }$ се каже да Шаблон:Visible anchor ка $x^{\prime }\in X^{\prime }$ ако постоји неки $E^{\prime }\in ℰ\cap ℬ$ који садржи $x^{\prime }$ (то јест, $x^{\prime }\in E^{\prime }$) такав да траг филтера $ℬ$ на $E^{\prime },$ који представља фамилију $ℬ{|}_{E^{\prime }}\stackrel{\text{def}}{=}\{B\cap E^{\prime }:B\in ℬ\},$ конвергира ка $x^{\prime }$ у $E^{\prime }$ (то јест, ако $ℬ{|}_{E^{\prime }}\to x^{\prime }$ у задатој слабој-* топологији).Шаблон:Sfn Филтер $ℬ$ непрекидно конвергира ка $x^{\prime }$ ако и само ако $ℬ-x^{\prime }$ непрекидно конвергира ка координатном почетку, што се дешава ако и само ако за свако $x\in X,$ филтер $⟨ℬ,x+𝒩⟩\to ⟨x^{\prime },x⟩$ у пољу скалара (које је $ℝ$ или $ℂ$) где $𝒩$ означава било коју базу околина координатног почетка у $X,$ $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ означава дуално упаривање, а $⟨ℬ,x+𝒩⟩$ означава филтер генерисан са $\{⟨B,x+N⟩:B\in ℬ,N\in 𝒩\}.$Шаблон:Sfn Пресликавање $f:X^{\prime }\to T$ у тополошки простор (као што је $ℝ$ или $ℂ$) се назива Шаблон:Visible anchor ако кад год филтер $ℬ$ на $X^{\prime }$ непрекидно конвергира ка $x^{\prime }\in X^{\prime },$ тада $f(ℬ)\to f\left(x^{\prime }\right).$Шаблон:Sfn

Особине очуване употпуњењима

Ако ТВП $X$ има било коју од следећих особина, онда је има и његово употпуњење:

• Хаусдорфов
• Локално конвексан
• ПсеудометризабиланШаблон:Sfn
• МетризабиланШаблон:Sfn
• Семинормабилан
• Нормабилан
  • Штавише, ако је $(X,p)$ нормиран простор, тада се употпуњење може изабрати тако да буде Банахов простор $(B,q)$ такав да је ТВП-утапање простора $(X,p)$ у $(B,q)$ изометрија.
• Хаусдорфов пред-Хилбертов. То јест, ТВП индукован скаларним производом.Шаблон:Sfn
• НуклеаранШаблон:Sfn
• БачвастШаблон:Sfn
• МакијевШаблон:Sfn
• ДФ-просторШаблон:Sfn

Употпуњења Хилбертових простора

Сваки простор са скаларним производом $(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ има употпуњење $(\bar{H},⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\bar{H}})$ које је Хилбертов простор, где је скаларни производ $⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\bar{H}}$ јединствено непрекидно проширење на $\bar{H}$ оригиналног скаларног производа $⟨\cdot ,\cdot ⟩.$ Норма индукована са $(\bar{H},⟨\cdot ,\cdot {⟩}_{\bar{H}})$ је такође јединствено непрекидно проширење на $\bar{H}$ норме индуковане са $⟨\cdot ,\cdot ⟩.$Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Остале очуване особине

Ако је $X$ Хаусдорфов ТВП, тада је непрекидни дуални простор од $X$ идентичан непрекидном дуалном простору употпуњења простора $X.$Шаблон:Sfn Употпуњење локално конвексног борнолошког простора је бачваст простор.Шаблон:Sfn Ако су $X$ и $Y$ ДФ-простори онда је пројективни тензорски производ, као и његово употпуњење, ових простора такође ДФ-простор.Шаблон:Sfn

Употпуњење пројективног тензорског производа два нуклеарна простора је нуклеарно.Шаблон:Sfn Употпуњење нуклеарног простора је ТВП-изоморфно са пројективним лимесом Хилбертових простора.Шаблон:Sfn

Ако $X=Y\oplus Z$ (што значи да је пресликавање сабирања $Y\times Z\to X$ ТВП-изоморфизам) има Хаусдорфово употпуњење $C$ тада је $\left({\mathrm{cl}}_{C}Y\right)+\left({\mathrm{cl}}_{C}Z\right)=C.$ Ако је додатно $X$ простор са скаларним производом а $Y$ и $Z$ су ортогонални комплементи један другог у $X$ (то јест, $⟨Y,Z⟩=\{0\}$), тада су ${\mathrm{cl}}_{C}Y$ и ${\mathrm{cl}}_{C}Z$ ортогонални комплементи у Хилбертовом простору $C.$

Особине пресликавања очуване проширењима на употпуњење

Ако је $f:X\to Y$ нуклеарни линеарни оператор између два локално конвексна простора и ако је $C$ употпуњење од $X$ онда $f$ има јединствено непрекидно линеарно проширење на нуклеарни линеарни оператор $F:C\to Y.$Шаблон:Sfn

Нека су $X$ и $Y$ два Хаусдорфова ТВП-а при чему је $Y$ комплетан. Нека је $C$ употпуњење од $X.$ Нека $L(X;Y)$ означава векторски простор непрекидних линеарних оператора и нека $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ означава пресликавање које слика свако $f\in L(X;Y)$ у његово јединствено непрекидно линеарно проширење на $C.$ Тада је $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ (сурјективни) изоморфизам векторских простора. Штавише, $I:L(X;Y)\to L(C;Y)$ пресликава фамилије еквиконтинуалних подскупова једне на друге. Претпоставимо да је $L(X;Y)$ опремљен $𝒢$-топологијом и да $\mathscr{H}$ означава затворења у $C$ скупова из $𝒢.$ Тада је пресликавање $I:L_{𝒢}(X;Y)\to L_{\mathscr{H}}(C;Y)$ такође ТВП-изоморфизам.Шаблон:Sfn

Примери и довољни услови за комплетан ТВП

• Сваки ТВП опремљен тривијалном топологијом је комплетан и сваки његов подскуп је комплетан. Штавише, сваки ТВП са тривијалном топологијом је компактан и стога локално компактан. Дакле, комплетан семинормабилан локално конвексан и локално компактан ТВП не мора бити коначнодимензионалан ако није Хаусдорфов.
• Произвољан производ комплетних (редом, секвенцијално комплетних, квази-комплетних) ТВП-ова има ту исту особину. Ако су сви простори Хаусдорфови, онда важе и обрнуте тврдње.Шаблон:Sfn Производ Хаусдорфових употпуњења фамилије (Хаусдорфових) ТВП-ова је Хаусдорфово употпуњење њиховог производног ТВП-а.Шаблон:Sfn Општије, произвољан производ комплетних подскупова фамилије ТВП-ова је комплетан подскуп производног ТВП-а.Шаблон:Sfn
• Пројективни лимес пројективног система Хаусдорфових комплетних (редом, секвенцијално комплетних, квази-комплетних) ТВП-ова има ту исту особину.Шаблон:Sfn Пројективни лимес Хаусдорфових употпуњења инверзног система (Хаусдорфових) ТВП-ова је Хаусдорфово употпуњење њиховог пројективног лимеса.Шаблон:Sfn
• Ако је $M$ затворен векторски потпростор комплетног псеудометризабилног ТВП-а $X,$ онда је количнички простор $X/M$ комплетан.Шаблон:Sfn
• Претпоставимо да је $M$ комплетан векторски потпростор метризабилног ТВП-а $X.$ Ако је количнички простор $X/M$ комплетан онда је комплетан и $X.$Шаблон:SfnШаблон:Sfn Међутим, постоји комплетан ТВП $X$ који има затворен векторски потпростор $M$ такав да количнички ТВП $X/M$ није комплетан.Шаблон:Sfn
• Сваки Ф-простор, Фрешеов простор, Банахов простор и Хилбертов простор је комплетан ТВП.
• Строги ЛФ-простори и строги ЛБ-простори су комплетни.Шаблон:Sfn
• Претпоставимо да је $D$ густ подскуп ТВП-а $X.$ Ако сваки Кошијев филтер на $D$ конвергира ка некој тачки у $X$ онда је $X$ комплетан.Шаблон:Sfn
• Шварцов простор глатких функција је комплетан.
• Простори дистрибуција и тест функција су комплетни.
• Претпоставимо да су $X$ и $Y$ локално конвексни ТВП-ови и да је простор непрекидних линеарних пресликавања $L_b(X;Y)$ опремљен топологијом униформне конвергенције на ограниченим подскуповима од $X.$ Ако је $X$ борнолошки простор и ако је $Y$ комплетан онда је $L_b(X;Y)$ комплетан ТВП.Шаблон:Sfn Посебно, јаки дуал борнолошког простора је комплетан.Шаблон:Sfn Међутим, не мора нужно бити борнолошки.
• Сваки квази-комплетан ДФ-простор је комплетан.Шаблон:Sfn
• Нека су $\omega$ и $\tau$ Хаусдорфове ТВП топологије на векторском простору $X$ такве да је $\omega \subseteq \tau .$ Ако постоји предфилтер $ℬ$ такав да је $ℬ$ база околина нуле за $(X,\tau )$ и такав да је свако $B\in ℬ$ комплетан подскуп од $(X,\omega ),$ онда је $(X,\tau )$ комплетан ТВП.Шаблон:Sfn

Особине

Комплетни ТВП-ови

Сваки ТВП има употпуњење и сваки Хаусдорфов ТВП има Хаусдорфово употпуњење.Шаблон:Sfn Сваки комплетан ТВП је квази-комплетан простор и секвенцијално комплетан.Шаблон:Sfn Међутим, обрнуте импликације су генерално нетачне.Шаблон:Sfn Постоји секвенцијално комплетан локално конвексан ТВП који није квази-комплетан.Шаблон:Sfn

Ако ТВП има комплетну околину координатног почетка онда је комплетан.Шаблон:Sfn Сваки комплетан псеудометризабилан ТВП је бачваст простор и Беров простор (и стога није оскудан).Шаблон:Sfn Димензија комплетног метризабилног ТВП-а је или коначна или не пребројива.Шаблон:Sfn

Кошијеве мреже и предфилтери

Свака база околина било које тачке у ТВП-у је Кошијев предфилтер.

Свака конвергентна мрежа (редом, предфилтер) у ТВП-у је нужно Кошијева мрежа (редом, Кошијев предфилтер).Шаблон:Sfn Сваки предфилтер који је подређен (то јест, финији од) Кошијевом предфилтеру је нужно такође Кошијев предфилтерШаблон:Sfn и сваки предфилтер финији од Кошијевог предфилтера је такође Кошијев предфилтер. Филтер придружен низу у ТВП-у је Кошијев ако и само ако је низ Кошијев низ. Сваки конвергентан предфилтер је Кошијев предфилтер.

Ако је $X$ ТВП и ако је $x\in X$ тачка нагомилавања Кошијеве мреже (редом, Кошијевог предфилтера), тада та Кошијева мрежа (редом, тај Кошијев предфилтер) конвергира ка $x$ у $X.$Шаблон:Sfn Ако Кошијев филтер у ТВП-у има тачку нагомилавања $x$ онда он конвергира ка $x.$

Униформно непрекидна пресликавања сликају Кошијеве мреже у Кошијеве мреже.Шаблон:Sfn Кошијев низ у Хаусдорфовом ТВП-у $X,$ када се посматра као скуп, не мора нужно бити релативно компактан (то јест, његово затворење у $X$ није нужно компактно) иако јесте прекомпактно (то јест, његово затворење у употпуњењу простора $X$ је компактно).

Сваки Кошијев низ је ограничен подскуп али ово није нужно тачно за Кошијеву мрежу. На пример, нека $\mathbb{N}$ има свој уобичајени поредак, нека $\le$ означава било који претпоредак на не-антидискретном ТВП-у $X$ (то јест, $X$ нема тривијалну топологију; такође се претпоставља да је $X\cap \mathbb{N}=\varnothing$) и проширимо ова два претпоретка на унију $I\stackrel{\text{def}}{=}X\cup \mathbb{N}$ дефинисањем да важи $x\le n$ за свако $x\in X$ и $n\in \mathbb{N}.$ Нека је $f:I\to X$ дефинисано са $f(i)=i$ ако је $i\in X$ и $f(i)=0$ иначе (то јест, ако је $i\in \mathbb{N}$), што је мрежа у $X$ пошто је претпоређени скуп $(I,\le )$ усмерен (овај претпоредак на $I$ је такође парцијално уређење (редом, линеарно уређење) ако је то тачно за $(X,\le )$). Ова мрежа $f$ је Кошијева мрежа у $X$ јер конвергира ка координатном почетку, али скуп $\{f(i):i\in I\}=X$ није ограничен подскуп од $X$ (пошто $X$ нема тривијалну топологију).

Претпоставимо да је $X_{\bullet }={\left(X_i\right)}_{i\in I}$ фамилија ТВП-ова и да $X$ означава производ ових ТВП-ова. Претпоставимо да је за сваки индекс $i,$ ${ℬ}_i$ предфилтер на $X_i.$ Тада је производ ове фамилије предфилтера Кошијев филтер на $X$ ако и само ако је сваки ${ℬ}_i$ Кошијев филтер на $X_i.$Шаблон:Sfn

Пресликавања

Ако је $f:X\to Y$ инјективан тополошки хомоморфизам из комплетног ТВП-а у Хаусдорфов ТВП онда је слика од $f$ (то јест, $f(X)$) затворен потпростор од $Y.$Шаблон:Sfn Ако је $f:X\to Y$ тополошки хомоморфизам из комплетног метризабилног ТВП-а у Хаусдорфов ТВП онда је опсег од $f$ затворен потпростор од $Y.$Шаблон:Sfn Ако је $f:X\to Y$ униформно непрекидно пресликавање између два Хаусдорфова ТВП-а онда је слика при $f$ тотално ограниченог подскупа од $X$ тотално ограничен подскуп од $Y.$Шаблон:Sfn

Униформно непрекидна проширења

Претпоставимо да је $f:D\to Y$ униформно непрекидно пресликавање са густог подскупа $D$ ТВП-а $X$ у комплетан Хаусдорфов ТВП $Y.$ Тада $f$ има јединствено униформно непрекидно проширење на цело $X.$Шаблон:Sfn Ако је додатно $f$ хомоморфизам онда је и његово јединствено униформно непрекидно проширење такође хомоморфизам.Шаблон:Sfn Ово остаје тачно ако се „ТВП” замени са „комутативна тополошка група”.Шаблон:Sfn Не захтева се да пресликавање $f$ буде линеарно пресликавање нити да $D$ буде векторски потпростор од $X.$

Униформно непрекидна линеарна проширења

Претпоставимо да је $f:X\to Y$ непрекидни линеарни оператор између два Хаусдорфова ТВП-а. Ако је $M$ густ векторски потпростор од $X$ и ако је рестрикција $f{|}_M:M\to Y$ на $M$ тополошки хомоморфизам онда је $f:X\to Y$ такође тополошки хомоморфизам.Шаблон:Sfn Дакле, ако су $C$ и $D$ Хаусдорфова употпуњења од $X$ и $Y,$ респективно, и ако је $f:X\to Y$ тополошки хомоморфизам, онда је јединствено непрекидно линеарно проширење $F:C\to D$ пресликавања $f$ тополошки хомоморфизам. (Приметимо да је могуће да $f:X\to Y$ буде сурјективно али да $F:C\to D$ не буде инјективно.)Шаблон:Sfn

Претпоставимо да су $X$ и $Y$ Хаусдорфови ТВП-ови, $M$ је густ векторски потпростор од $X,$ и $N$ је густ векторски потпростор од $Y.$ Ако су $M$ и $N$ тополошки изоморфне адитивне групе преко тополошког хомоморфизма $f$ онда исто важи и за $X$ и $Y$ преко јединственог униформно непрекидног проширења од $f$ (које је такође хомеоморфизам).Шаблон:Sfn

Подскупови

Комплетни подскупови

Сваки комплетан подскуп ТВП-а је секвенцијално комплетан. Комплетан подскуп Хаусдорфовог ТВП-а $X$ је затворен подскуп од $X.$Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Сваки компактан подскуп ТВП-а је комплетан (чак и ако ТВП није Хаусдорфов или комплетан).Шаблон:SfnШаблон:Sfn Затворени подскупови комплетног ТВП-а су комплетни; међутим, ако ТВП $X$ није комплетан онда је $X$ затворен подскуп од $X$ који није комплетан. Празан скуп је комплетан подскуп сваког ТВП-а. Ако је $C$ комплетан подскуп ТВП-а (ТВП не мора нужно бити Хаусдорфов нити комплетан) онда је сваки подскуп од $C$ који је затворен у $C$ комплетан.Шаблон:Sfn

Тополошки комплементи

Ако је $X$ не-нормабилан Фрешеов простор на којем постоји непрекидна норма онда $X$ садржи затворен векторски потпростор који нема тополошки комплемент.Шаблон:Sfn Ако је $X$ комплетан ТВП и $M$ је затворен векторски потпростор од $X$ такав да $X/M$ није комплетан, онда $H$ нема тополошки комплемент у $X.$Шаблон:Sfn

Подскупови употпуњења

Нека је $M$ сепарабилан локално конвексан метризабилан тополошки векторски простор и нека је $C$ његово употпуњење. Ако је $S$ ограничен подскуп од $C$ онда постоји ограничен подскуп $R$ од $X$ такав да је $S\subseteq {\mathrm{cl}}_{C}R.$Шаблон:Sfn

Однос према компактним подскуповима

Подскуп ТВП-а (који се не претпоставља да је Хаусдорфов нити комплетан) је компактан ако и само ако је комплетан и тотално ограничен.Шаблон:Sfn Тако је затворен и тотално ограничен подскуп комплетног ТВП-а компактан.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

У Хаусдорфовом локално конвексном ТВП-у, конвексни омотач прекомпактног скупа је поново прекомпактан.Шаблон:Sfn Последично, у комплетном локално конвексном Хаусдорфовом ТВП-у, затворени конвексни омотач компактног подскупа је поново компактан.Шаблон:Sfn

Конвексни омотач компактног подскупа Хилбертовог простора није нужно затворен и стога није нужно ни компактан. На пример, нека је $H$ сепарабилан Хилбертов простор ${\ell }^2(\mathbb{N})$ квадратно-сумабилних низова са уобичајеном нормом $\Vert \cdot {\Vert }_2$ и нека је $e_n=(0,\dots ,0,1,0,\dots )$ стандардна ортонормална база (то јест $1$ на $n^{\text{-тој}}$ координати). Затворен скуп $S=\{0\}\cup \left\{\frac{1}{n}{e}_n\right\}$ је компактан али његов конвексни омотач $\mathrm{co}S$ није затворен скуп јер $h:=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\frac{1}{n}{e}_n$ припада затворењу скупа $\mathrm{co}S$ у $H$ али $h\in ̸\mathrm{co}S$ (пошто је сваки низ $z\in \mathrm{co}S$ коначна конвексна комбинација елемената из $S$ и самим тим је нужно $0$ на свим осим на коначно много координата, што није тачно за $h$).Шаблон:Sfn Међутим, као и у свим комплетним Хаусдорфовим локално конвексним просторима, затворени конвексни омотач $K:=\overline{\mathrm{co}}S$ овог компактног подскупа је компактан.Шаблон:Sfn Векторски потпростор $X:=\mathrm{span}S$ је пред-Хилбертов простор када се опреми подструктуром коју Хилбертов простор $H$ на њему индукује, али $X$ није комплетан и $h\in ̸K\cap X$ (пошто $h\in ̸X$). Затворени конвексни омотач од $S$ у $X$ (овде, „затворен” значи у односу на $X,$ а не на $H$ као раније) је једнак $K\cap X,$ што није компактно (јер није комплетан подскуп). Ово показује да у Хаусдорфовом локално конвексном простору који није комплетан, затворени конвексни омотач компактног подскупа може да не буде компактан (иако ће бити прекомпактан/тотално ограничен).

Сваки комплетан тотално ограничен скуп је релативно компактан.Шаблон:Sfn Ако је $X$ било који ТВП онда је количничко пресликавање $q:X\to X/{\mathrm{cl}}_X\{0\}$ затворено пресликавањеШаблон:Sfn и стога је $S+{\mathrm{cl}}_X\{0\}\subseteq {\mathrm{cl}}_{X}S.$ Подскуп $S$ ТВП-а $X$ је тотално ограничен ако и само ако је његова слика при канонском количничком пресликавању $q:X\to X/{\mathrm{cl}}_X\{0\}$ тотално ограничена.Шаблон:Sfn Дакле, $S$ је тотално ограничен ако и само ако је $S+{\mathrm{cl}}_X\{0\}$ тотално ограничен. У било ком ТВП-у, затворење тотално ограниченог подскупа је поново тотално ограничено.Шаблон:Sfn У локално конвексном простору, конвексни омотач и апсолутно конвексни омотач тотално ограниченог скупа су тотално ограничени.Шаблон:Sfn Ако је $S$ подскуп ТВП-а $X$ такав да сваки низ у $S$ има тачку нагомилавања у $S$ онда је $S$ тотално ограничен.Шаблон:Sfn Подскуп $S$ Хаусдорфовог ТВП-а $X$ је тотално ограничен ако и само ако је сваки ултрафилтер на $S$ Кошијев, што се дешава ако и само ако је прекомпактан (то јест, његово затворење у употпуњењу простора $X$ је компактно).Шаблон:Sfn

Ако је $S\subseteq X$ компактан, онда је ${\mathrm{cl}}_{X}S=S+{\mathrm{cl}}_X\{0\}$ и овај скуп је компактан. Тако да је затворење компактног скупа компактно (то јест, сви компактни скупови су релативно компактни).Шаблон:Sfn Дакле, затворење компактног скупа је компактно. Сваки релативно компактан подскуп Хаусдорфовог ТВП-а је тотално ограничен.Шаблон:Sfn

У комплетном локално конвексном простору, конвексни омотач и апсолутно конвексни омотач компактног скупа су оба компактна.Шаблон:Sfn Општије, ако је $K$ компактан подскуп локално конвексног простора, тада је конвексни омотач $\mathrm{co}K$ (редом, апсолутно конвексни омотач $\mathrm{cobal}K$) компактан ако и само ако је комплетан.Шаблон:Sfn Сваки подскуп $S$ од ${\mathrm{cl}}_X\{0\}$ је компактан и стога комплетан. Посебно, ако $X$ није Хаусдорфов онда постоје компактни комплетни скупови који нису затворени.Шаблон:Sfn

Види још

• Комплетан метрички простор
• Филтер (математика)
• Филтер (топологија)
• Метризабилан тополошки векторски простор
• Псеудометрички простор
• Квази-комплетан простор
• Секвенцијално комплетан простор
• Тополошка група
• Униформни простор

Напомене

Шаблон:Reflist Докази Шаблон:Reflist

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book