Инјективно пресликавање

Инјективно пресликавање

Још једно инјективно пресликавање

Пресликавање које није инјективно

У математици, инјективно пресликавање или инјективна функција је функција која различите аргументе пресликава у различите вредности. Прецизније речено, за функцију -{f}- се каже да је инјективна ако пресликава свако различито -{x}- из свог домена у различито -{y}- из свог кодомена, тако да -{f(x) = y}-.

Другим речима, -{f}- је инјективна ако -{f(a) = f(b)}- имплицира -{a = b}- (или -{a}- ≠ -{b}- имплицира -{f(a) ≠ f(b))}-, за свако -{a}-, -{b}- унутар домена.

Инјективна функција се назива инјекцијом (неправилно ињекцијом, инекцијом), или 1-1 (један-један) функцијом, и каже се да она чува информације

Примери и контрапримери

• За сваки скуп -{X}-, функција идентитета на -{X}- је инјекција.
• Функција -{f : R → R}- дефинисана као -{f(x) = 2x + 1}- је инјекција.
• Функција -{g : R → R}- дефинисана као -{g(x) = x²}- није инјективна, јер (на пример) -{g(1) = 1 = g(−1)}-. Међутим, ако се -{g}- редефинише тако да њен домен буде скуп ненегативних реалних бројева [0,+∞), тада је -{g}- инјекција.
• Експоненцијална функција $\exp :𝐑\to {𝐑}^{+}:x\mapsto {\mathrm{e}}^x$ је инјекција.
• Природни логаритам $\ln :(0,+\mathrm{\infty })\to 𝐑:x\mapsto \ln x$ је инјективна функција.
• Функција -{g : R → R}- дефинисана као $g(x)=x^3-x$ није инјективна, јер на пример, -{g(0) = g(1)}-.

Општије речено, када су -{X}- и -{Y}- скупови реалних бројева, -{R}-, тада је инјективна она функција -{f : R → R}- чији график ниједна хоризонтална права не пресеца више од једанпут.

Инјекције су инвертибилне

Још једна дефиниција инјективне функције је да је то функција чији ефекат може да се поништи. Прецизније, -{f : X → Y}- је инјективна ако постоји функција -{g : Y → X}-, таква да -{g(f(x)) = x}- за свако -{x}- из ´ -{X}-; то јест, -{g o f }- је једнако функцији идентитета на -{X}-.

Треба имати у виду да -{g}- не мора бити комплетни инверз од -{f}-, јер композиција у другом редоследу, -{f o g}-, не мора бити функција идентитета на -{Y}-.

Да би се инјективна функција -{f : X → Y}- претворила у бијективну (и стога инвертибилну) функцију, довољно је да се њен кодомен -{Y}- замени њеним опсегом -{J = f(X)}-. То јест, нека је -{g : X → J}- такво да -{g(x) = f(x)}- за свако -{x}- из -{X}-; тада је -{g}- бијекција. Заиста, -{f}- може вити факторисана као -{incl_J,Yog}-, где је -{incl_J,Y}- инклузиона функција из -{J}- у -{Y}-.

Остала својства

• Ако су -{f}- и -{g}- инјективне, тада је и -{f o g}- инјекција.

Инјективна композиција

• Ако је -{g o f}- инјекција, тада је и -{f}- инјекција (али -{g}- не мора да буде).
• -{f : X → Y}- је инјекција ако и само ако за било које функције -{g}-, -{h : W → X}-, кад год је -{f o g = f o h}-, тада -{g = h}-.
• Ако је -{f : X → Y}- инјекција, и -{A}- је подскуп од -{X}-, тада је -{f ⁻¹(f(A)) = A}-. Стога -{A}- може да се добије назад из своје слике -{f(A)}-.
• Ако је -{f : X → Y}- инјекција, и -{A}- и -{B}- су подскупови -{X}-, тада је -{f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)}-.
• Свака функција -{h : W → Y}- може да се декомпонује у -{h = f o g}- за одговарајућу инјекцију -{f}- и сурјекцију -{g}-. Ова декомпозиција је јединствена до на изоморфизам, и -{f}- се може посматрати као инклузиона функција опсега -{h(W)}- од -{h}- као подскупа кодомена -{Y}- од -{h}-.
• Ако је -{f : X → Y}- инјективна функција, тада -{Y}- има најмање онолико елемената колико има -{X}-, у смислу кардиналности.
• Ако су -{X}- и -{Y}- коначни скупови са истим бројем елемената, тада је -{f : X → Y}- инјекција ако и само ако је -{f}- сурјекција.

Види још

• бијекција
• мономорфизам
• сурјекција