Декартов производ

У математици, Декартов (Картезијански) производ је директни производ скупова. Име је добио по француском математичару Декарту, захваљујући чијем заснивању аналитичке геометрије је постављен темељ за овај концепт.

Декартов производ -{A×B}- скупова -{A={x,y,z}}- и -{B={1,2,3}}-

Посебно, Декартов производ два скупа -{X}- (нпр. скуп тачака на -{x}--оси) и -{Y}- (нпр. скуп тачака на -{y}--оси), у ознаци -{X × Y}-, је скуп свих могућих уређених парова код којих је прва компонента елемент скупа -{X}- а друга компонента елемент скупа -{Y}- (у примеру би то била цела раван -{x0y}-):

$A\times B=\{(x,y)|x\in A\wedge y\in B\}.$

Декартов производ два коначна скупа може се представити табелом, тако да су елементи једног скупа распоређени у редове, а другог у колоне. Тада се уређени парови могу схватити као ћелије у табели, где је свака одређена својим редом и колоном.

Примери

Производ непразних скупова

Нека су дати скупови $A=\{1,2,3\}$ и $B=\{1,2\}$.

$A\times B=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}$

$B\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}$

У питању су различити скупови, тј. $A\times B\ne B\times A$.

Шпил карата

Шпил од 52 карте

На шпилу од 52 карте се може илустровати Декартов производ. Шпил има 13 врста карата {-{A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2}-} и свака врста се појављује у четири боје {♠, ♥, ♦, ♣}. Декартов производ ових скупова се састоји од 52 уређена пара свих могућих карата.

Врста × боја даје следећи скуп {-{(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦,), (A, ♣), (K, ♠), ..., (3, ♣), (2, ♠), (2, ♥), (2, ♦), (2, ♣)}-}.

Боја × врста даје следећи скуп {-{(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), ..., (♣, 6), (♣, 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}-}.

У питању су различити дисјунктни скупови.

Дводимензионални координатни систем

Картезијанске координате тачака

Главни историјски пример је картезијанскa раван у аналитичкој геометрији. У циљу представљања геометријских облика на нумерички начин и добијања нумеричких информација од оваквих репрезентација облика, Рене Декарт је свакој тачки у равни доделио пар реалних бројева, названих координатама. Обично се такав пар првих и других компонената назива -{x}- и -{y}- координата. Скуп свих таквих парова, односно картезијански производ ℝ × ℝ где су ℝ реални бројеви, представља скуп свих тачака у равни.

Имплементација у теорији скупова

Формална дефиниција Декартовог производа са аспекта теорије скупова следи из дефиниције уређеног пара. Најчешћа дефиниција уређеног пара је $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$, коју је дао Куратовски. Из дефиниције следи да је $X\times Y\subseteq 𝒫(𝒫(X\cup Y))$, где је $𝒫$ партитивни скуп. Дакле, постојање Декартовог производа било која два скупа у Цермело-Френкел теорији скупова је последица аксиоме пара, аксиоме уније, аксиоме партитивног скупа, и схеме сепарације. Пошто се функције најчешће дефинишу као специјалан случај релација, а релације се дефинишу као подскуп Декартовог производа, следи да је Декартов производ суштински неопходан за већину других дефиниција.

Некомутативност и неасоцијативност

Нека су -{A}-, -{B}-, -{C}- и -{D}- скупови.

Декартов производ није комутативан,

$A\times B\ne B\times A$,

јер су координате уређених парова пермутоване, осим ако је испуњен један од следећих услова:

• -{A}- је једнако -{B}-,
• бар један од скупова -{A}- и -{B}- је празан.

Примери:

• Скупови -{A}- и -{B}- су различити. На пример: -{A = {1,2}; B = {3,4}}-

-{A × B}- = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

-{B × A}- = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

• Скупови -{A}- и -{B}- су једнаки. На пример: -{A = B}- = {1,2}

-{ A × B = B × A}- = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

• Један од скупова -{A}- или -{B}- је празан. На пример: -{A = {1,2}; B = ∅}-

-{A × B}- = {1,2} × ∅ = ∅

-{B × A}- = ∅ × {1,2} = ∅

У општем случају, Декартов производ није асоцијативан (осим ако је један од скупова празан).

$(A\times B)\times C\ne A\times (B\times C)$

На пример, ако је -{A}- = {1}, онда је -{(A × A) × A = {((1,1),1)} ≠ { (1,(1,1)) } = A × (A × A)}-.

Декартов производ у односу на пресек, унију, подскуп

Скуповна једнакост -{(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)}- илустрована на примеру скупова -{A={x∈ℝ:2≤x≤5}, B={x∈ℝ:3≤x≤7}, C={y∈ℝ:1≤y≤3}}-, и -{D={y∈ℝ:2≤y≤4}}-.

-{(A∪B)×(C∪D)≠(A×C)∪(B×D)}- графички приказ

Скуповне једнакости -{A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C), A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)}- и -{A×(B\C)=(A×B)\(A×C)}- илустроване скуповима -{A={y∈ℝ:1≤y≤4}, B={x∈ℝ:2≤x≤5}}- и -{C={x∈ℝ:4≤x≤7}}-.

Декартов производ се лепо понаша у односу на пресек скупова.

$(A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)$

Међутим, скуповна једнакост не важи уколико пресек заменимо са унијом.

$(A\cup B)\times (C\cup D)\ne (A\times C)\cup (B\times D)$

У ствари, важи следећа једнакост: $(A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [(B\setminus A)\times D]$

За разлику скупова важи идентитет:

$(A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]$

Следеће скуповне једнакости илуструју дистрибутивност Декартовог производа и скуповних операција

$A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$,

$A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$,

$A\times (B\setminus C)=(A\times B)\setminus (A\times C)$,

$(A\times B{)}^c=(A^c\times B^c)\cup (A^c\times B)\cup (A\times B^c)$.

За подскупове важи следеће:

Ако је $A\subseteq B$ онда је $A\times C\subseteq B\times C$,

Ако су A,B $\ne \mathrm{\varnothing }$ онда је $A\times B\subseteq C\times D⟺A\subseteq C\wedge B\subseteq D$.

Кардиналност

Кардиналност (кардинал или кардинални број) је број елемената скупа. На пример, нека су дата два скупа: -{A = {a, b}}- и-{ B = {5, 6}}-. Скупови -{A}- и -{B}- имају по два елемента. Њихов Декартов производ, у ознаци -{A × B}-, даје нови скуп који се састоји од следећих елемената:

-{A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}}-.

Сваки елемент скупа -{A}- се упарује са сваким елементом скупа -{B}-. Сваки уређени пар је елемент у резултујућем скупу -{A × B}-. Број различитих елемената у Декартовом производу скупова једнак је производу броја елемената скупова чији се Декартов производ рачуна; у овом случају је 2·2=4. Кардинални број добијеног скупа, једнак је производу кардиналних бројева скупова чији се Декартов производ рачуна. Дакле,

-{||A × B| = |A| · |B|}-.

Слично,

-{||A × B × C| = |A| · |B| · |C|}-

и тако даље.

Скуп -{A × B}- је бесконачан ако је бар један од скупова -{A}- или -{B}- бесконачан а други скуп је непразан.

$n$-арни производ

Декартово степеновање

Декартов квадрат (или бинарни Декартов производ) скупа -{X}- је Декартов производ -{X² = X × X}-. Пример овог производа је дводимензионална раван Шаблон:Nowrap где је -{R}- скуп реалних бројева: -{R}-² је скуп свих тачака Шаблон:Nowrap где су -{x}- и -{y}- реални бројеви (види Декартов координатни систем).

Декартов степен скупа -{X}- може се дефинисати као:

$X^n=\underset{n}{\underbrace{X\times X\times \cdots \times X}}=\{(x_1,\dots ,x_n)|x_i\in X\text{ за све }i=1,\dots ,n\}.$

Одговарајући пример је Шаблон:Nowrap, где је R скуп реалних бројева. Општији пример је Rⁿ.

-{n}--арни Декартов степен скупа -{X}- је изоморфан простору функција које пресликавају скуп од -{n}- елемената у скуп -{X}-. Као специјалан случај, 0-арни Декартов степен од -{X}- може се узети једноелементни скуп и одговарајуће празно пресликавање са кодоменом X.

Коначни n-арни производ

Декартов производ може се уопштити на -{n}--арни Декартов производ са -{n}- скупова -{X}-₁, ..., -{X}-_-{n}-:

$X_1\times \cdots \times X_n=\{(x_1,\dots ,x_n):x_i\in X_i\}.$

Овако дефинисан производ је скуп -{n}--торки. Ако се -{n}--торке дефинишу као угњеждени уређени парови, онда се скуп -{n}--торки може поистоветити са Шаблон:Nowrap.

Бесконачни производи

Могуће је дефинисати Декартов производ за произвољну (бесконачну) индексирану фамилију скупова. Ако је -{I}- произвољан скуп индекса, и $\{X_i{\}}_{i\in I}$ фамилија скупова индексираних са -{I}-, тада се Декартов производ скупова у -{X}- дефинише као

$\prod _{i\in I}{X}_i=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}{X}_i|(\mathrm{\forall }i)(f(i)\in X_i)\},$

што представља скуп свих функција дефинисаних на скупу индекса тако да вредност функције за одређени индекс -{i}- буде елемент скупа -{X}-_-{i}-. Чак и када је сваки од -{X}-_-{i}- непразан, Декартов производ може бити празан ако не претпоставимо да важи аксиома избора (која је еквивалентна тврђењу да је сваки такав производ непразан).

За свако -{j}- из -{I}-, функција

${\pi }_j:\prod _{i\in I}{X}_i\to X_j,$

дефинисана са ${\pi }_j(f)=f(j)$ назива се -{j}--та пројекција.

Важан случај је када је скуп индекса скуп природних бројева $\mathbb{N}$: овај Декартов производ је скуп свих бесконачних секвенци где је -{i}--та координата из одговарајућег скупа -{X}-_-{i}-. На пример, сваки елемент производа

$\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}ℝ=ℝ\times ℝ\times \cdots$

може се представити као вектор са пребројиво много реалних координата. Овај скуп се најчешће означава са ${ℝ}^{\omega }$, или ${ℝ}^{\mathbb{N}}$.

Спољашње везе

• Чланак о Декартовом производу Шаблон:En