Повезан простор

У топологији и сродним гранама математике, повезан простор је топошки простор који се не може представити као унија два или више дисјунктна непразна отворена подскупа. Повезаност је једно од основних тополошких својстава која разликују тополошке просторе.

Подскуп тополошког простора $X$ је Шаблон:Visible anchor ако је он повезан простор када се посматра као потпростор од $X$.

Неки сродни, али јачи услови су повезаност путевима, проста повезаност и $n$-повезаност. Још један сродни појам је локална повезаност, која нити имплицира нити следи из повезаности.

Дефиниција

За тополошки простор $X$ се каже да је Шаблон:Visible anchor ако је унија два дисјунктна непразна отворена скупа. У супротном, за $X$ се каже да је повезан. Подскуп тополошког простора је повезан ако је повезан под својом индукованом топологијом. Неки аутори искључују празан скуп (са његовом јединственом топологијом) из дефиниције повезаног простора, али овај чланак не следи ту праксу.

Историјски, ова модерна формулација појма повезаности (у смислу непостојања партиције $X$ на два раздвојена скупа) први пут се појавила (независно) код Н. Ј. Ленеса, Фриђеша Риса и Феликса Хаусдорфа почетком 20. века. Видети Шаблон:Harv за детаље.

Повезаност дефинише релацију еквиваленције у следећем смислу: дате су две тачке $x,y$ у тополошком простору $X$, пишемо $x\sim y$ ако $x,y$ припадају истом повезаном подскупу. Тада је ова релација $\sim$ релација еквиваленције.

Компоненте повезаности

За дату тачку $x$ у тополошком простору $X,$ унија било које колекције повезаних подскупова који садрже $x$ поново ће бити повезан подскуп. Компонента повезаности тачке $x$ у $X$ је унија свих повезаних подскупова од $X$ који садрже $x;$ то је јединствени највећи (у односу на $\subseteq$) повезан подскуп од $X$ који садржи $x.$ Максимални повезани подскупови (уређени инклузијом $\subseteq$) непразног тополошког простора називају се компоненте повезаности тог простора. Компоненте тополошког простора $X$ чине партицију скупа $X$: оне су дисјунктне, непразне и њихова унија је цео простор. Заправо, компонента повезаности је исто што и класа еквиваленције када су две тачке еквивалентне ако припадају истом повезаном подскупу.

Свака компонента је затворен подскуп оригиналног простора. Следи да, у случају када је њихов број коначан, свака компонента је такође отворен подскуп. Међутим, ако је њихов број бесконачан, то не мора бити случај; на пример, компоненте повезаности скупа рационалних бројева су једночлани скупови (синглтон), који нису отворени. Доказ: Било која два различита рационална броја $q_1<q_2$ су у различитим компонентама. Узмимо ирационалан број $q_1<r<q_2,$ и поставимо $A=\{q\in \mathbb{Q}:q<r\}$ и $B=\{q\in \mathbb{Q}:q>r\}.$ Тада је $(A,B)$ раздвајање скупа $\mathbb{Q},$ и $q_1\in A,q_2\in B$. Дакле, свака компонента је скуп са једном тачком.

Нека је ${\mathrm{\Gamma }}_x$ компонента повезаности тачке $x$ у тополошком простору $X,$ и ${{\mathrm{\Gamma }}_x}^{\prime }$ пресек свих отворено-затворених скупова који садрже $x$ (звана квази-компонента тачке $x$). Тада ${\mathrm{\Gamma }}_x\subset \mathrm{\Gamma }{\text{'}}_x$ где једнакост важи ако је $X$ компактан Хаусдорфов простор или локално повезан.

Неповезани простори

Простор у којем су све компоненте једночлани скупови назива се [[Потпуно неповезан простор|Шаблон:Visible anchor]]. Сродно овом својству, простор $X$ се назива Шаблон:Visible anchor ако, за било која два различита елемента $x$ и $y$ из $X$, постоје дисјунктни отворени скупови $U$ који садржи $x$ и $V$ који садржи $y$ тако да је $X$ унија $U$ и $V$. Јасно је да је сваки потпуно раздвојен простор и потпуно неповезан, али обрнуто не важи. На пример, узмимо две копије рационалних бројева $\mathbb{Q}$, и идентификујмо их у свакој тачки осим нулe. Резултујући простор, са количничком топологијом, је потпуно неповезан. Међутим, разматрањем две копије нуле, види се да простор није потпуно раздвојен. Заправо, он није чак ни Хаусдорфов простор, а услов потпуне раздвојености је строго јачи од Хаусдорфовог услова.

Примери

• Затворени интервал $[0,2)$ у стандардној топологији потпростора је повезан; иако се може, на пример, записати као унија $[0,1)$ и $[1,2),$ други скуп није отворен у изабраној топологији на $[0,2).$
• Унија $[0,1)$ и $(1,2]$ је неповезана; оба интервала су отворена у стандардном тополошком простору $[0,1)\cup (1,2].$
• $(0,1)\cup \{3\}$ је неповезан.
• Простор $X=\{a,b\}$ са индискретном топологијом је повезан, јер су његови једини отворени скупови $\varnothing$ и $X$.
• Потпростор $Y=[-1,0)\cup (0,1]\subset ℝ$ није повезан. Заиста, скупови $[-1,0)$ и $(0,1]$ су непразни, дисјунктни и отворени у топологији потпростора на $Y$, и заједно чине раздвајање скупа $Y$.
• Конвексан подскуп простора ${ℝ}^n$ је повезан; заправо је просто повезан.
• Еуклидска раван без координатног почетка, $(0,0),$ је повезана, али није просто повезана. Тродимензионални еуклидски простор без координатног почетка је повезан, и чак просто повезан. Насупрот томе, једнодимензионални еуклидски простор без почетка није повезан.
• Еуклидска раван са уклоњеном правом линијом није повезана јер се састоји од две полуравни.
• $ℝ$, простор реалних бројева са уобичајеном топологијом, је повезан.
• Соргенфрејева права је неповезана.
• Ако се чак и једна тачка уклони из $ℝ$, остатак је неповезан. Међутим, ако се чак и пребројиво бесконачно много тачака уклони из ${ℝ}^n$, где је $n\ge 2,$ остатак је повезан. Ако је $n\ge 3$, тада ${ℝ}^n$ остаје просто повезан након уклањања пребројиво много тачака.
• Сваки тополошки векторски простор, нпр. сваки Хилбертов простор или Банахов простор, над повезаним пољем (као што су $ℝ$ или $ℂ$), је просто повезан.
• Сваки дискретни простор са најмање два елемента је неповезан, заправо такав простор је потпуно неповезан. Најједноставнији пример је дискретни простор са две тачке.
• С друге стране, коначан скуп може бити повезан. На пример, спектар прстена дискретне валуације састоји се од две тачке и повезан је. То је пример простора Сјерпињског.
• Канторов скуп је потпуно неповезан; пошто скуп садржи непребројиво много тачака, он има непребројиво много компоненти.
• Ако је простор $X$ хомотопски еквивалентан повезаном простору, онда је и $X$ повезан.
• Тополошка синусоида је пример скупа који је повезан, али није ни путевима повезан ни локално повезан.
• Општа линеарна група $\mathrm{GL}(n,ℝ)$ (то јест, група реалних, инвертибилних матрица димензија $n\times n$) састоји се од две компоненте повезаности: једне са матрицама позитивне детерминанте и друге са негативном детерминантом. Конкретно, није повезана. Насупрот томе, $\mathrm{GL}(n,ℂ)$ је повезана. Уопштеније, скуп инвертибилних ограничених оператора на комплексном Хилбертовом простору је повезан.
• Спектри комутативних локалних прстенова и интегралних домена су повезани. Уопштеније, следеће је еквивалентно:
  1. Спектар комутативног прстена $R$ је повезан.
  2. Сваки коначно генерисан пројективни модул над $R$ има константан ранг.
  3. $R$ нема идемпотент $\ne 0,1$ (тј. $R$ није производ два прстена на нетривијалан начин).

Пример простора који није повезан је раван са уклоњеном бесконачном правом. Други примери неповезаних простора укључују раван са уклоњеним прстеном, као и унију два дисјунктна затворена диска, где сви примери из овог пасуса носе топологију потпростора индуковану дводимензионалним еуклидским простором.

Повезаност путевима

Овај потпростор простора R² је путевима повезан, јер се између било које две тачке у простору може повући пут.

Шаблон:Visible anchor је јачи појам повезаности, који захтева структуру пута. Пут од тачке $x$ до тачке $y$ у тополошком простору $X$ је непрекидна функција $f$ са јединичног интервала $[0,1]$ у $X$ таква да је $f(0)=x$ и $f(1)=y$. Шаблон:Visible anchor простора $X$ је класа еквиваленције од $X$ у односу на релацију еквиваленције која чини $x$ еквивалентним са $y$ ако и само ако постоји пут од $x$ до $y$. За простор $X$ се каже да је путевима повезан (или линијски повезан или $\mathrm{𝟎}$-повезан) ако постоји тачно једна компонента повезаности путевима.

Еквивалентно, компонента повезаности путевима простора $X$ је максималан путевима повезан подскуп од $X$ (да би се видела еквиваленција, приметимо да је компонента повезаности путевима у претходном смислу путевима повезана).

Сваки путевима повезан простор је повезан. Обрнуто није увек тачно: примери повезаних простора који нису путевима повезани укључују проширену дугу праву $L^{\ast }$ и тополошку синусоиду.

Подскупови реалне праве $ℝ$ су повезани ако и само ако су путевима повезани; ови подскупови су интервали и полуправе од $ℝ$. Такође, отворени подскупови од ${ℝ}^n$ или ${ℂ}^n$ су повезани ако и само ако су путевима повезани. Додатно, повезаност и повезаност путевима су исто за коначне тополошке просторе.

Лучна повезаност

За простор $X$ се каже да је лучно повезан ако се било које две тополошки разликоване тачке могу спојити луком, који је улагање $f:[0,1]\to X$.Шаблон:Чињеница Лучна компонента простора $X$ је максималан лучно повезан подскуп од $X$; или еквивалентно класа еквиваленције релације да ли се две тачке могу спојити луком или путем чије су тачке тополошки неразликоване.

Сваки Хаусдорфов простор који је путевима повезан је такође и лучно повезан; општије ово важи за $\mathrm{\Delta }$-Хаусдорфов простор, што је простор где је свака слика пута затворена. Пример простора који је путевима повезан али није лучно повезан је права са два исходишта; њене две копије $0$ се могу повезати путем али не и луком.

Интуиција за путевима повезане просторе се не преноси лако на лучно повезане просторе. Нека је $X$ права са два исходишта. Следеће су чињенице чији аналогони важе за путевима повезане просторе, али не важе за лучно повезане просторе:

• Непрекидна слика лучно повезаног простора не мора бити лучно повезана: на пример, количничко пресликавање из лучно повезаног простора у његов количнички простор са пребројиво много (најмање 2) тополошки разликоване тачке не може бити лучно повезано због премале кардиналности.
• Лучне компоненте не морају бити дисјунктне. На пример, $X$ има две лучне компоненте које се преклапају.
• Лучно повезан простор производа не мора бити производ лучно повезаних простора. На пример, $X\times ℝ$ је лучно повезан, али $X$ није.
• Лучне компоненте простора производа не морају бити производи лучних компоненти маргиналних простора. На пример, $X\times ℝ$ има једну лучну компоненту, али $X$ има две лучне компоненте.
• Ако лучно повезани подскупови имају непразан пресек, њихова унија не мора бити лучно повезана. На пример, лучне компоненте од $X$ се секу, али њихова унија није лучно повезана.

Локална повезаност

За тополошки простор се каже да је локално повезан у тачки $x$ ако свака околина тачке $x$ садржи повезану отворену околину. Он је локално повезан ако има базу сачињену од повезаних скупова. Може се показати да је простор $X$ локално повезан ако и само ако је свака компонента сваког отвореног скупа у $X$ отворена.

Слично томе, за тополошки простор се каже да је Шаблон:Visible anchor ако има базу сачињену од путевима повезаних скупова. Отворен подскуп локално путевима повезаног простора је повезан ако и само ако је путевима повезан. Ово генерализује ранију тврдњу о ${ℝ}^n$ и ${ℂ}^n$, од којих је сваки локално путевима повезан. Уопштеније, свака тополошка многострукост је локално путевима повезана.

Тополошка синусоида је повезана, али није локално повезана

Локална повезаност не повлачи повезаност, нити локална повезаност путевима повлачи повезаност путевима. Једноставан пример локално повезаног (и локално путевима повезаног) простора који није повезан (или путевима повезан) је унија два раздвојена интервала у $ℝ$, као што је $(0,1)\cup (2,3)$.

Класичан пример повезаног простора који није локално повезан је тополошка синусоида, дефинисана као $T=\{(0,0)\}\cup \{(x,\sin \left(\frac{1}{x}\right)):x\in (0,1]\}$, са еуклидском топологијом индукованом инклузијом у ${ℝ}^2$.

Операције са скуповима

Примери унија и пресека повезаних скупова

Пресек повезаних скупова није нужно повезан.

Унија повезаних скупова није нужно повезана, што се може видети разматрањем $X=(0,1)\cup (1,2)$.

Свака елипса је повезан скуп, али унија није повезана, јер се може партиционисати на два дисјунктна отворена скупа $U$ и $V$.

Ово значи да, ако је унија $X$ неповезана, онда се колекција $\{X_i\}$ може поделити у две потколекције, тако да су уније потколекција дисјунктне и отворене у $X$ (видети слику). Ово имплицира да је у неколико случајева унија повезаних скупова Шаблон:Em повезана. Конкретно:

1. Ако заједнички пресек свих скупова није празан ($\bigcap X_i\ne \mathrm{\varnothing }$), онда се они очигледно не могу поделити у колекције са дисјунктним унијама. Дакле, унија повезаних скупова са непразним пресеком је повезана.
2. Ако пресек сваког пара скупова није празан ($\mathrm{\forall }i,j:X_i\cap X_j\ne \mathrm{\varnothing }$) онда се опет не могу поделити у колекције са дисјунктним унијама, па њихова унија мора бити повезана.
3. Ако се скупови могу уредити као „ланчано повезани”, тј. индексирани целобројним индексима и $\mathrm{\forall }i:X_i\cap X_{i+1}\ne \mathrm{\varnothing }$, онда опет њихова унија мора бити повезана.
4. Ако су скупови по паровима дисјунктни и количнички простор $X/\{X_i\}$ је повезан, онда Шаблон:Mvar мора бити повезан. У супротном, ако је $U\cup V$ сепарација од Шаблон:Mvar онда је $q(U)\cup q(V)$ сепарација количничког простора (јер су $q(U),q(V)$ дисјунктни и отворени у количничком простору).

Разлика повезаних скупова није нужно повезана. Међутим, ако $X\supseteq Y$ и њихова разлика $X\setminus Y$ је неповезана (и стога се може записати као унија два отворена скупа $X_1$ и $X_2$), онда је унија $Y$ са сваком таквом компонентом повезана (тј. $Y\cup X_i$ је повезано за све $i$).

Два повезана скупа чија разлика није повезана

Теореме

• Главна теорема повезаности: Нека су $X$ и $Y$ тополошки простори и нека је $f:X\to Y$ непрекидна функција. Ако је $X$ (путевима) повезан, онда је слика $f(X)$ (путевима) повезана. Овај резултат се може сматрати генерализацијом теореме о међувредности.
• Сваки путевима повезан простор је повезан.
• У локално путевима повезаном простору, сваки отворен повезан скуп је путевима повезан.
• Сваки локално путевима повезан простор је локално повезан.
• Локално путевима повезан простор је путевима повезан ако и само ако је повезан.
• Затворење повезаног подскупа је повезано. Штавише, сваки подскуп између повезаног подскупа и његовог затворења је повезан.
• Компоненте повезаности су увек затворене (али генерално нису отворене).
• Компоненте повезаности локално повезаног простора су такође отворене.
• Компоненте повезаности простора су дисјунктне уније компоненти повезаности путевима (које генерално нису ни отворене ни затворене).
• Сваки количник повезаног (одн. локално повезаног, путевима повезаног, локално путевима повезаног) простора је повезан (одн. локално повезан, путевима повезан, локално путевима повезан).
• Сваки производ фамилије повезаних (одн. путевима повезаних) простора је повезан (одн. путевима повезан).
• Сваки отворен подскуп локално повезаног (одн. локално путевима повезаног) простора је локално повезан (одн. локално путевима повезан).
• Свака многострукост је локално путевима повезана.
• Лучно повезан простор је путевима повезан, али путевима повезан простор не мора бити лучно повезан.
• Непрекидна слика лучно повезаног скупа је лучно повезана.

Графови

Графови имају путевима повезане подскупове, наиме оне подскупове код којих сваки пар тачака има пут ивица које их спајају. Међутим, није увек могуће пронаћи топологију на скупу тачака која индукује исте повезане скупове. Граф 5-циклус (и сваки $n$-циклус са $n>3$ непарним) је један такав пример.

Као последица тога, појам повезаности се може формулисати независно од топологије на простору. Наиме, постоји категорија конективних простора који се састоје од скупова са колекцијама повезаних подскупова који задовољавају аксиоме повезаности; њихови морфизми су оне функције које пресликавају повезане скупове у повезане скупове Шаблон:Harv. Тополошки простори и графови су специјални случајеви конективних простора; заиста, коначни конективни простори су управо коначни графови.

Међутим, сваки граф се може канонски претворити у тополошки простор, третирањем чворова као тачака и ивица као копија јединичног интервала (видети тополошка теорија графова#Графови као тополошки простори). Тада се може показати да је граф повезан (у граф-теоријском смислу) ако и само ако је повезан као тополошки простор.

Јаче форме повезаности

Постоје јаче форме повезаности за тополошке просторе, на пример:

• Ако не постоје два дисјунктна непразна отворена скупа у тополошком простору $X$, $X$ мора бити повезан, па су стога хиперповезани простори такође повезани.
• Пошто се за просто повезан простор по дефиницији такође захтева да буде путевима повезан, сваки просто повезан простор је такође повезан. Ако се услов „повезаности путевима” изостави из дефиниције просте повезаности, просто повезан простор не мора бити повезан.
• Још јаче верзије повезаности укључују појам контрактибилног простора. Сваки контрактибилан простор је путевима повезан, па самим тим и повезан.

Уопштено, сваки путевима повезан простор мора бити повезан, али постоје повезани простори који нису путевима повезани. Избрисани простор чешља даје такав пример, као и горе поменута тополошка синусоида.

Види још

• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link
• Шаблон:Annotated link

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Шаблон:MathWorld