Пи

noframe

Одмотавање обима точка пречника 1 траје дужином пута Шаблон:Mvar

Пи или Шаблон:Mvar је математичка константа, данас широко примењивана у математици и физици. Њена приближна вредност је 3,14159, а дефинише се као однос обима и пречника круга или као однос површина круга и квадрата над његовим полупречником. Шаблон:Mvar је такође познато и као Архимедова константа (не треба га мешати са Архимедовим бројем) или Лудолфов број. У пракси се бележи малим грчким словом [[Пи (слово)|Шаблон:Mvar]] а у српском језику је правилно писати и пи. Ознака за број Шаблон:Mvar потиче од грчке речи периметар (περίμετρος). У математику ју је увео Вилијам Џоунс 1707. године, а популаризовао ју је Леонард Ојлер 1737.

Број Шаблон:Mvar заокружена на 64 децимална места је:

Шаблон:Mvar ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

Број Шаблон:Mvar има бесконачно много децимала.

Шаблон:Mvar је ирационалан број, што значи да се његова вредност не може изразити преко разломака. Због тога његов децимални запис нема краја и није периодичан. Шаблон:Mvar је такође трансцендентан број, што значи да га није могуће изразити коришћењем коначног броја целих бројева уз четири основне рачунске операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) и кореновања. Током историје математике вршено је много покушаја да се што прецизније израчуна вредност броја Шаблон:Mvar и разуме његова природа.

Особине

Дефиниција

Шаблон:Mvar је однос обима и пречника круга

Шаблон:Mvar је однос површина круга и квадрата над његовим полупречником

У Еуклидској геометрији, број Шаблон:Mvar се дефинише као однос обима и пречника круга:

$\pi =\frac{O}{d}=\frac{2r\pi }{2r}=\pi$

Шаблон:Mvar је увек исти, без обзира на величину круга.

Шаблон:Mvar се може још дефинисати и као површина круга полупречника 1, обим круга чији је пречник 1 или односом површине круга (-{P}-) и квадрата над његовим полупречником:

$\pi =\frac{P}{r^2}$

Ове дефиниције зависе од последица Еуклидске геометрије, као што је чињеница да су сви кругови слични. Ово може бити проблем у областима математике које не укључују геометрију. Због овог разлога математичари често радије дефинишу Шаблон:Mvar без референци на геометрију, бирајући уместо тога једну од аналитичких особина као дефиницију. Чест избор је да се Шаблон:Mvar дефинише као најмањи позитиван број чији је синус једнак нули или двострука вредност најмањег позитивног броја чији је косинус једнак нули.Шаблон:Sfn

Ирационалност, трансцендентност и последице

Шаблон:Mvar је ирационалан број. то јест, не може се представити као однос два цела броја. То значи да се број Шаблон:Mvar представља бесконачним низом цифара, и то тако да нема периодичности. Ову његову особину је доказао Јохан Хајнрих Ламберт 1761. године Више од тога, Шаблон:Mvar је и трансцендентан број, што је доказао Фердинанд фон Линдеман 1882. године Ово значи да не постоји полином са рационалним коефицијентима чији би корен био број Шаблон:Mvar.

Важна последица трансцендентности овог броја је чињеница да га није могуће изразити коришћењем коначног броја целих бројева уз четири основне рачунске операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) и кореновања тј. број није конструктибилан. Ово је такође доказ да није могуће извршити квадратуру круга тј. немогуће је лењиром и шестаром конструисати квадрат чија би површина била једнака површини датог круга. Разлог је тај да су, полазећи од јединичног круга и тачке (1,0) на њему, координате свих тачака које се могу конструисати коришћењем лењира и шестара конструктибилни бројеви.

Нумеричка вредност

Нумеричка вредност Шаблон:Mvar заокругљена на 64 децимална места је:

Шаблон:Mvar ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

Иако је вредност броја Шаблон:Mvar израчуната до више од билион децимала, основне примене, као што је рачунање обима круга, ретко захтевају више од неколико децимала. На пример, вредност заокружена на 11 децимала ће приближно тачно израчунати обим круга величине Земље милиметарском прецизношћу, а вредност заокружена на 39 децималних места је довољна да се израчуна обим било ког круга који се може наћи у видљивом свемиру са прецизношћу једнакој величини атома водоника.Шаблон:Sfn

У старој Грчкој је било познато да је Шаблон:Mvar приближно једнако двадесет две седмине (Шаблон:Mvar ≈22/7).

Пошто је Шаблон:Mvar ирационалан број, његов децимални запис је бесконачан и непериодичан. Овај бесконачни низ цифара је опчињавао и математичаре и лаике, а током последњих неколико векова уложено је много труда у рачунању што више децимала и испитивању особина броја.

Формуле са пи

Геометрија

Шаблон:Mvar се појављује у формулама које се тичу геометријских слика и тела које садрже облик круга или елипсе. У њих спадају ваљак, купа и лопта.

Геометријски облик	Формула
Обим круга полупречника -{r}- односно пречника -{d}-	$O=\pi d=2\pi r$
Површина круга полупречника -{r}-	$P=\pi r^2$
Површина елипсе са полуосама -{a}- и -{b}-	$P=\pi ab$
Запремина лопте полупречника -{r}-	$V=\frac{4}{3}\pi r^3$
Површина лопте полупречника -{r}-	$P=4\pi r^2$
Запремина ваљка висине -{H}- и полупречника -{r}-	$V=\pi r^{2}H$
Површина ваљка висине -{H}- и полупречника -{r}-	$P=2(\pi r^2)+(2\pi r)H=2\pi r(r+H)$
Запремина купе висине -{H}- и полупречника -{r}-	$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}H$
Површина купе висине -{H}- и полупречника -{r}-	$P=\pi r\sqrt{r^2+H^2}+\pi r^2=\pi r(r+\sqrt{r^2+H^2})$

Такође, угао од 180 степени износи Шаблон:Mvar радијана.

Анализа

У математичкој анализи се број Шаблон:Mvar изражава и користи на доста различитих начина. Од облика бесконачних редова и производа до интеграла и специјалних функција.

• Франсоа Вијет, 1593:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\dots$

• Лајбницова формула:Шаблон:Sfn

$\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}$

Овај често навођени бесконачни ред најчешће се пише у горњем облику, док је технички исправан запис:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\left(\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{\pi }{4}$

• Валисов производ:

$\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdots =\frac{\pi }{2}$

• Интеграл вероватноће, познат из математичке анализе (види такође: функција грешке и нормална расподела):

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$

• Базелски проблем, који је први решио Ојлер (види такође и Риманова зета-функција):

$\zeta (2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}$

$\zeta (4)=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots =\frac{{\pi }^4}{90}$

и, уопште, $\zeta (2n)$ је рационални умножак броја ${\pi }^{2n}$ за свако природно -{n}-.

• Вредност Гама-функције у тачки 1/2:

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

• Стирлингова апроксимациона формула:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

• Ојлеров идентитет (којег је Ричард Фајнман назвао „најбољом формулом у математици“):

$e^{i\pi }+1=0$

• Особина Ојлерове φ-функције:

$\sum _{k=0}^n\varphi (k)\sim 3n^2/{\pi }^2$

• Површина једне четвртине јединичног круга:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{4}$

Комплексна анализа

• Специјалан случај Ојлерове формуле за $e^{ix}$:

$e^{i\pi }+1=0$

• Основни случај Теореме о остацима:

$\oint \frac{dz}{z}=2\pi i$

Верижни разломак

Шаблон:Mvar има пуно представљања у облику верижних разломака, као што је на пример:

$\frac{4}{\pi }=1+\frac{1}{3+\frac{4}{5+\frac{9}{7+\frac{16}{9+\frac{25}{11+\frac{36}{13+...}}}}}}$

Теорија бројева

Шаблон:Главни чланак Неки резултати из теорије бројева:

• Вероватноћа да су два случајно изабрана цела броја узајамно проста је 6/Шаблон:Mvar².
• Вероватноћа да је случајно изабран цео број бесквадратан је 6/Шаблон:Mvar².
• У просеку, број начина да се дати природан број напише као збир два савршена квадрата (редослед сабирака је битан) је Шаблон:Mvar/4.

Овде, „вероватноћа“, „просек“ и „насумичан“ су узети у смислу граничне вредности; тј. посматра се вероватноћа одговарајућег догађаја у скупу бројева $\{1,2,...N\}$, а затим узима гранична вредност те вероватноће када $N\to \mathrm{\infty }$ (-{N}- је „јако велико“ или „тежи бесконачности“).

Динамички системи/Ергодичка теорија

У теорији динамичких система (види такође ергодичка теорија), за скоро свако реално -{x₀}- у интервалу [0,1],

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\sqrt{x_i}=\frac{2}{\pi },$

где су -{x_i}- итериране вредности логистичког пресликавања за -{r = 4}-.

Физика

У физици, појава броја π у формулама је најчешће ствар договора и нормализације. На пример, коришћењем упрошћене Планкове константе $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ може се избећи писање броја π експлицитно у великом броју формула у квантној механици. Заправо, упрошћена варијанта је и базичнија, а присуство фактора 1/2Шаблон:Mvar у формулама које користе -{h}- може се сматрати напросто условљеном уобичајеном дефиницијом Планкове константе.

• Хајзенбергов принцип неодређености:Шаблон:Чињеница

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{h}{4\pi }$

• Ајнштајнова једначина поља опште теорије релативности:

$R_{ik}-\frac{g_{ik}R}{2}+\mathrm{\Lambda }{g}_{ik}=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{ik}$

• Кулонов закон за електричну силу:

$F=\frac{\left|q_1{q}_2\right|}{4\pi {ϵ}_0{r}^2}$

• Магнетна пермеабилност слободног простора:

${\mu }_0=4\pi \times 10^{-7}\mathrm{H}/\mathrm{m}$

У физици се најчешће заокругљује на две децимале (3,14).

Вероватноћа и статистика

У вероватноћи и статистици постоји пуно расподела, чији аналитички изрази садрже π, укључујући:

• Густина расподеле вероватноће за нормалну расподелу са математичким очекивањем μ и стандардном девијацијом σ:

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(x-\mu {)}^2/(2{\sigma }^2)}$

• Густина расподеле вероватноће за (стандардну) Кошијеву расподелу:

$f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$

Треба приметити да се, како је $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=1$ за сваку функцију густине расподеле вероватноће -{f(x)}-, помоћу горњих формула може добити још интегралних формула за Шаблон:Mvar.

Занимљива емпиријска апроксимација броја Шаблон:Mvar заснована је на проблему Буфонове игле. Посматрајмо експеримент у којем се игла дужине -{L}- баца на раван на којој су означене две паралелне праве на међусобном растојању -{S}- (где је -{S}->-{L}-). Ако се игла на случајан начин баци велики број -{(n)}- пута, од којих се -{x}- пута заустави тако да сече једну од правих, онда приближну вредност броја Шаблон:Mvar можемо добити коришћењем формуле

$\pi \approx \frac{2nL}{xS}$

Историја

Симбол „Шаблон:Mvar“ за Архимедову константу је први пут увео 1706. године математичар Вилијам Џоунс када је објавио „Нови увод у математику“ (Шаблон:Јез-енг), мада је исти симбол још раније коришћен да назначи обим круга.

Ова ознака постала је стандардна након што ју је усвојио Леонард Ојлер. У оба случаја, Шаблон:Mvar је прво слово речи περιμετρος (периметрос), што значи „мерити около“ на грчком језику.

Ево кратке хронологије броја Шаблон:Mvar:

Време	Особа	Вредност π (светски рекорди су подебљани)
20. век п. н. е.	Вавилонци	25/8 = 3,125
20. век п. н. е.	Египатски математички папирус (Рајндов папирус)	(16/9)² = 3,160493...
12. век п. н. е.	Кинези	3
средина 6. века п. н. е.	1 Цар. 7:23	3
434. п. н. е.	Анаксагора је покушао да квадрира круг лењиром и шестаром
3. век п. н. е.	Архимед	223/71 < Шаблон:Mvar < 22/7 (3,140845... < Шаблон:Mvar < 3,142857...)
20. п. н. е.	Витрувије	25/8 = 3,125
130.	Чанг Хонг	√10 = 3,162277...
150.	Птолемеј	377/120 = 3,141666...
250.	Ванг Фау	142/45 = 3,155555...
263.	Лиу Хуи	3,14159
480.	Зу Чонгжи	3,1415926 < π < 3,1415927
499.	Арјабхата	62832/20000 = 3,1416
598.	Брамагупта	√10 = 3,162277...
800.	Мухамед Ал Хорезми	3,1416
12. век	Баскара	3,14156
1220.	Фибоначи	3,141818
1400.	Мадава	3,14159265359
Сви подаци од 1424. су дати у бројевима тачних децималних места (дм).
1424.	Џамшид Масуд Ал Каши	16 дм
1573.	Валентус Ото	6 дм
1593.	Франсоа Вијет	9 дм
1593.	Адријен ван Ромен	15 дм
1596.	Лудолф ван Цојлен	20 дм
1615.	Лудолф ван Цојлен	32 дм
1621.	Вилеброрд Снел (Снелије), Лудолфов ученик	35 дм
1665.	Исак Њутн	16 дм
1699.	Абрахам Шарп	71 дм
1700.	Секи Кова	10 дм
1706.	Џон Мејчин	100 дм
1706.	Вилијам Џоунс увео грчко слово '[[Пи (слово)|Шаблон:Mvar]]'
1730.	Камата	25 дм
1719.	Де Лањи израчунао 127 децималних места, али нису сва била тачна	112 дм
1723.	Такебе	41 дм
1734.	Леонард Ојлер усвојио грчко слово 'Шаблон:Mvar' и обезбедио његову популарност
1739.	Мацунага	50 дм
1761.	Јохан Хајнрих Ламберт доказао да је Шаблон:Mvar ирационалан број
1775.	Ојлер указао на могућност да би Шаблон:Mvar могао бити трансцендентан
1789.	Јуриј Вега израчунао 140 децималних места, али нису сва била тачна	137 дм
1794.	Адријан-Мари Лежандр показао да је и π² (па самим тим и Шаблон:Mvar) ирационалан, и спомиње могућност да је Шаблон:Mvar могуће трансцендентан.
1841.	Радерфорд израчунао 208 децималних места, али нису сва била тачна	152 дм
1844.	Захарија Дазе и Штрасницки	200 дм
1847.	Томас Клаузен	248 дм
1853.	Леман	261 дм
1853.	Радерфорд	440 дм
1853.	Вилијам Шенкс	527 дм
1855.	Рихтер	500 дм
1874.	Вилијам Шенкс је посветио 15 година израчунавању 707 децималних места, али нису сва била тачна (грешку је открио Д. Ф. Фергусон 1946. године)	527 дм
1882.	Линдеман доказао да је π трансцендентан (Линдеман-Вајерштрасова теорема, коју неки зову и „најлепшом теоремом целе математике“)
1946.	Д. Ф. Фергусон користећи стони калкулатор	620 дм
1947.		710 дм
1947.		808 дм
Сви рекорди од 1949. надаље израчунати су помоћу електронских рачунара.
1949.	Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит били су први који су користили електронски рачунар (Енијак) да израчунају π	2.037 дм
1953.	Малер показао да pi; није Лиувилов број
1955.	Џ. В. Вренч, јр. и Л. Р. Смит	3.089 дм
1961.		100.000 дм
1966.		250.000 дм
1967.		500.000 дм
1974.		1.000.000 дм
1992.		2.180.000.000 дм
1995.	Јасумаса Канада	> 6.000.000.000 дм
1997.	Канада и Такахаши	> 51.500.000.000 дм
1999.	Канада и Такахаши	> 206.000.000.000 дм
2002.	Канада и тим	> 1.240.000.000.000 дм
2003.	Канада и тим	> 1.241.100.000.000 дм
Април 2004.	Канада и тим	1.3511 билион цифара укупно
Октобар 2011.	Шигеру Кондо, Александер Ји	10 билиона цифара

Нумеричке апроксимације броја π

Због трансцендентне природе броја Шаблон:Mvar, не постоје прикладни затворени изрази за Шаблон:Mvar. Стога, нумеричка израчунавања морају користити приближне вредности (апроксимације) броја. За пуно потреба, 3,14 или 22/7 је довољно близу, иако инжењери често користе 3,1416 или 3,14159 (5, односно 6 значајних цифара) ради веће прецизности. Апроксимације 22/7 и 355/113, са 3 и 7 значајних цифара, се добијају из једноставног развоја Шаблон:Mvar у верижни разломак.

Поред тога, следећа нумеричка формула даје апроксимацију Шаблон:Mvar са 9 исправних цифара:

$(63/25)((17+15\sqrt{5})/(7+15\sqrt{5}))$

Египатски писар по имену Ахмес је извор најстаријег познатог текста који даје приближну вредност броја Шаблон:Mvar. Рајндов папирус датира из египатског другог средњег периода–мада Ахмес тврди да је преписивао папирус из Средњег краљевства–и описује вредност тако да је добијени резултат заправо 256 подељено са 81, тј. 3,160.

Кинески математичар Лиу Хуи је израчунао Шаблон:Mvar до 3,141014 (тачно до 3 децимална места) 263. године и предложио да је 3,14 добра апроксимација.

Индијски математичар и астроном Арјабхата дао је прецизну апроксимацију за Шаблон:Mvar. Он је написао: „Додај четири на сто, помножи са осам, а онда додај шездесет и две хиљаде. Резултат је приближно једнак обиму круга пречника двадесет хиљада. Овим правилом дат је однос између обима и пречника.“ Другим речима, (4+100)×8 + 62.000 је обим круга пречника 20.000. Ово даје вредност Шаблон:Mvar = 62.832/20.000 = 3,1416, тачну када се заокругли на 4 децимална места.

Кинески математичар и астроном Зу Чонгжи је израчунао Шаблон:Mvar до 3,1415926-3,1415927, и дао две апроксимације: 355/113 и 22/7 (у 5. веку).

Ирански математичар и астроном Гијат ад-дин Џамшид Кашани (1350—1439) је израчунао Шаблон:Mvar до 9 цифара у бројном систему са основом 60, што је еквивалентно са 16 децималних места као:

2Шаблон:Mvar = 6,2831853071795865, тј. Шаблон:Mvar = 3,141592653589793116

Немачки математичар Лудолф ван Цојлен (око 1600) је израчунао првих 35 децимала. Био је тако поносан на своје достигнуће да их је дао урезати у свој надгробни споменик.

Словеначки математичар Јуриј Вега је 1789. израчунао првих 140 децимала и држао је светски рекорд 52 године–све до 1841–када је Вилијам Радерфорд израчунао 208 децималних места, од којих су прва 152 била тачна. Вега је побољшао формулу Џона Мејчина из 1706; његов метод се спомиње и данас.

Ниједна од горе датих формула не може да послужи као ефикасни начин налажења приближних вредности броја Шаблон:Mvar. За брза израчунавања, могу се користити формуле попут Мејчинове:

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$

заједно са Тејлоровим развојем функције $\arctan x$. Ова формула се најлакше проверава коришћењем поларних координата комплексних бројева, кренувши од:

$(5+i{)}^4\cdot (-239+i)=-114244-114244i.$

Формуле ове врсте су познате као формуле сличне Мејчиновој.

Екстремно дугачки децимални развоји броја Шаблон:Mvar се по правилу рачунају Гаус-Лежандровим алгоритмом и Борвајновим алгоритмом; Саламен-Брентов алгоритам који потиче из 1976. године је такође коришћен у прошлости.

Првих милион цифара бројева Шаблон:Mvar и 1/Шаблон:Mvar су доступни на Пројекту Гутенберг (види спољашње везе доле). Тренутни рекорд (децембар 2002) има 1.241.100.000.000 цифара, које су израчунате у септембру исте године на 64-чворном Хитачи суперрачунару са једним терабајтом радне меморије, који врши 2 билиона операција у секунди, скоро дупло више од рачунара коришћеног за претходни рекорд (206 милијарди цифара). Коришћене су следеће формуле сличне Мејчиновој:

$\frac{\pi }{4}=12\arctan \frac{1}{49}+32\arctan \frac{1}{57}-5\arctan \frac{1}{239}+12\arctan \frac{1}{110443}$ -К. Такано (1982).

$\frac{\pi }{4}=44\arctan \frac{1}{57}+7\arctan \frac{1}{239}-12\arctan \frac{1}{682}+24\arctan \frac{1}{12943}$ -Ф. Ц. В. Штермер (1896).

Ове приближне вредности имају толико пуно цифара да више немају никаквог практичног значаја, изузев за тестирање нових суперрачунара и (очигледно) за установљавање нових рекорда у израчунавању броја Шаблон:Mvar.

Године 1996. Дејвид Х. Бејли је, заједно са Питером Борвајном и Сајмоном Плуфеом, открио нову формулу за Шаблон:Mvar у облику збира бесконачног реда:

$\pi =\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{16^k}(\frac{4}{8k+1}-\frac{2}{8k+4}-\frac{1}{8k+5}-\frac{1}{8k+6})$

Ова формула омогућава да се лако израчуна -{k}--та бинарна или хексадецимална цифра броја Шаблон:Mvar без потребе за рачунањем претходних -{k}- − 1 цифара. Бејлијева веб-страна садржи извођење ове формуле, као и њену имплементацију у разним програмским језицима. Пројекат „ПиХекс“ је израчунао билијардити бит броја Шаблон:Mvar (који је, узгред, 0).

Остале формуле које су до сада коришћене за израчунавање приближних вредности Шаблон:Mvar укључују:

$\frac{\pi }{2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k!}{(2k+1)!!}=1+\frac{1}{3}(1+\frac{2}{5}(1+\frac{3}{7}(1+\frac{4}{9}(1+...))))$ (Њутн)

$\frac{1}{\pi }=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!{)}^{4}396^{4k}}$ (Рамануџан)

$\frac{1}{\pi }=12\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!{)}^{3}640320^{3k+3/2}}$ (Давид Чудновски и Григориј Чудновски)

$\pi =20\arctan \frac{1}{7}+8\arctan \frac{3}{79}$ (Ојлер)

На рачунарима са оперативним системом Windows, програм ПиФаст може се користити за брзо израчунавање великог броја цифара. Највећи број цифара броја Шаблон:Mvar израчунат на кућном рачунару је 25.000.000.000, за које је ПиФаст-у требало 17 дана.

Отворена питања

Отворено питање о овом броју које највише притиска јесте да ли је Шаблон:Mvar нормалан број – да ли се ма који блок цифара јавља у његовом децималном развоју управо онолико често колико би се статистички могло очекивати ако би се цифре производиле потпуно „насумично“. Ово мора да буде тачно у било којој основи, а не само у декадном систему (основи 10). Тренутно знање у овом смеру је веома оскудно; на пример, не зна се чак ни које се од цифара (0-9) појављују бесконачно често у децималном развоју овог броја.

Бејли и Крендал су показали 2000. године да постојање горепоменуте формуле Бејли-Борвајн-Плуфе и сличних формула повлачи да се тврђење о нормалности броја Шаблон:Mvar и разних других константи у основи 2 може свести на извесну разумну претпоставку у Теорији хаоса.Шаблон:Чињеница

Такође није познато да ли су Шаблон:Mvar и [[број е|Шаблон:Mvar]] алгебарски независни, тј. да ли постоји нетривијална полиномска релација између ова два броја са рационалним коефицијентима.

Џон Харисон (1693—1776) је створио музички систем изведен из Шаблон:Mvar. Овај Луси тјунинг систем, (због јединствених математичких особина броја Шаблон:Mvar) може да ослика све музичке интервале, хармоније и хармонике. Ово сугерише да би се коришћењем Шаблон:Mvar могао добити прецизнији модел за анализу како музичких, тако и других хармоника у вибрирајућим системима.

Природа броја Шаблон:Mvar

У хиперболичкој геометрији, збир углова троугла може да буде мањи или већи од Шаблон:Mvar радијана, а однос обима круга и његовог пречника може се такође разликовати од Шаблон:Mvar. Ово не мења његову дефиницију, али утиче на многе формуле где се Шаблон:Mvar појављује. Па тако, посебно, облик универзума не утиче на Шаблон:Mvar; Шаблон:Mvar није физичка него математичка константа, дефинисана независно од ма каквих физичких мерења. Разлог зашто се Шаблон:Mvar појављује тако често у физици је једноставно зато што је подесан у многим физичким моделима.

Посматрајмо, као пример, Кулонов закон:

$F=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}\frac{\left|q_1{q}_2\right|}{r^2}$.

Овде, $4\pi r^2$ је напросто површина лопте полупречника -{r}-. У овој форми, ово је погодан начин описивања инверзне квадратне везе између силе и растојања -{r}- од тачкастог извора. Наравно, било би могуће да се овај закон опише на друге, али мање згодне или, ређе, згодније начине. Ако користимо Планково наелектрисање, Кулонов се закон може описати као $F=\frac{q_1{q}_2}{r^2}$ чиме се уклања потреба за π.

Спомињања у фикцији

• Контакт — научно-фантастично дело Карла Сагана, а касније филмска адаптација Џоди Фостер. Саган разматра могућност потписа, који су у децимални развој броја Шаблон:Mvar уградили ствараоци универзума.
• [[Пи (филм)|Шаблон:Mvar (филм)]] — о вези између бројева и природе: откривање такве везе а да нисте нумеролог.
• -{Time's Eye}- („око времена“) — научна фантастика Артура Ч. Кларка и Стивена Бакстера. У свету који су престројиле ванземаљске силе, примећује се сферична направа чији је однос обима и пречника по свим равнима — тачан цео број 3.

Шаблон:Mvar култура

Постоји цело поље шаљивог, али и озбиљног изучавања које укључује коришћење мнемоника за лакше памћење цифара Шаблон:Mvar и зове се пифилологија (PiPhilology). Погледајте [[Пи#Мнемоници|Шаблон:Mvar мнемонике]] за примере на енглеском језику.

Дан 14. март (3/14 према стандарду који важи у САД) је „Дан броја пи“ (Шаблон:Јез-енгл) којег прославља велики број љубитеља овог броја. Дан апроксимације броја пи прославља се 22. јула (22/7 је популарна апроксимација).

Штавише, многи људи говоре и о „Шаблон:Mvar сатима“ (3:14:15 је мало мање од једног Шаблон:Mvar сата; 3:08:30 би било најближе броју Шаблон:Mvar сата после поднева или поноћи у целим секундама).

Још један пример математичке игре је следећа апроксимација Шаблон:Mvar: Узмите број 1234, замените места првим двема и последњим двама цифрама, тако да број постаје 2143. Поделите тај број са „два–два“ (22, па је 2143/22 = 97,40909...). Извадите 2×2-ти корен (четврти корен) овог броја. Коначан резултат је изузетно близу Шаблон:Mvar: 3,14159265.

Види још

• [[Пи (слово)|Грчко слово Шаблон:Mvar]]
• Калкулус
• Геометрија
• Тригонометријске функције
• Пи кроз експеримент
• [[Линдеман-Вајерштрасова теорема|Доказ да је Шаблон:Mvar трансцендентно]]
• [[Једноставан доказ да је 22/7 веће од пи|Једноставан доказ да је 22/7 веће од Шаблон:Mvar]]
• Пи (филм)
• Пи дан
• Луси тјунинг

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

Цифре

• Е-текст на Пројекту Гутенберг који садржи милион цифара Шаблон:Mvar Шаблон:Wayback
• Search Шаблон:Mvar–претражи и одштампај Шаблон:Mvar до 200 милиона места
• Статистике о првих 1,2 билиона цифара Шаблон:Mvar

Прорачуни

• Израчунавање Шаблон:Mvar: пројекат отвореног кода за израчунавање Шаблон:Mvar
• ПиФаст: брз програм за рачунање Шаблон:Mvar са великим бројем цифара
• Супер Шаблон:Mvar: још један програм за израчунавање Шаблон:Mvar до 33,55 милионите цифре

Општи

• Историја Шаблон:Mvar
• Колекција формула сличних Мејчиновој за Шаблон:Mvar
• Доказ да је Шаблон:Mvar ирационалан
• ПиФактс -пробијени рекорд
• О књизи -{The Joy of Pi}-
• доста формула за Шаблон:Mvar на страницама Волфрам Рисерч
• Јаху група Шаблон:Mvar хакера Шаблон:Wayback
• Налажење вредности Шаблон:Mvar
• Клуб пријатеља броја Шаблон:Mvar (енглески и немачки)
• одређивање Шаблон:Mvar
• LucyTuning–музичко штимање изведено из Шаблон:Mvar