Гама-функција

Гама-функција на интервалу реалне осе.

У математици, гама-функција је функција дефинисана несвојственим интегралом:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^{z-1}dt.$

Из парцијалне интеграције и израчунавања интеграла за $z=1$, добија се израз

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=n!$

који проширује појам факторијелa на комплексне бројеве.

Дефиниција

Гама-функција $\mathrm{\Gamma }(z)$ дефинисана је несвојственим интегралом за комплексне бројеве $z$ за које је $\mathrm{\Re }(z)>0$ на следећи начин:

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^{z-1}dt.$

Другим речима, гама-функција је Мелинова трансформација функције $e^{-t}$. Парцијалним интеграљењем се показује следеће њено основно својство:

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z).$

Како је $\mathrm{\Gamma }(1)=1$, комбиновањем ове и претходне релације добија се:

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)=n(n-1)\mathrm{\Gamma }(n-1)=\cdots =n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot 1\cdot \mathrm{\Gamma }(1)=n!,$

за све природне бројеве -{n}-.

Са друге стране, формулисана у облику

$\mathrm{\Gamma }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)/z$,

она даје аналитичко продужење почетно дефинисаној $\mathrm{\Gamma }$-функцији до полуравни $\mathrm{\Re }(z)>-1$, са полом у $z=0$, затим до полуравни $\mathrm{\Re }(z)>-2$, са још једним полом у $z=-1$, итд. Тако се $\mathrm{\Gamma }$-функција продужује до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве $z$ осим полова у непозитивним целим бројевима $z=0,-1,-2,\dots$ Под $\mathrm{\Gamma }$-функцијом се, по правилу, подразумева овако дефинисано продужење.

Основна својства

Гама-функција није елементарна функција, али су њена својства веома добро истражена због њене повезаности са факторијелом и примене у теорији бројева. Међу најважнијима особинама Гама-функције су функционална једначина

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(1-z)=\frac{\pi }{\sin \pi z}$

и Лежандрова дупликациона формула

$\mathrm{\Gamma }(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi }}\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2}).$

Гама-функција нема нула. У тачкама $z=-n$, где је $n$ ненегативан цео број, гама-функција има пол реда 1 са остатком $(-1{)}^n/n!$; њено понашање у околини полова одређено је функционалном једначином.

За велике $|z|$, вредности $\mathrm{\Gamma }(z)$ даје са великом прецизношћу Стирлингова апроксимациона формула:

$\mathrm{\Gamma }(z)=z^{z-1/2}{e}^{-z}\sqrt{2\pi }(1+\frac{1}{12z}+\frac{1}{288z^2}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{z^3}\right))$

За све -{z}- где је гама-функција дефинисана, важи и следећи бесконачан производ

Модул гама-функције комплексног аргумента

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{e}^{z/n},$

где је γ Ојлерова константа, који се добија као Вајерштрасов производ функције $1/\mathrm{\Gamma }(z)$, која је цела јер гама-функција нема нула, и реда 1 према Стрилинговој формули. Некад се заправо за дефиницију гама-функције узима овај производ, или неки од еквивалентних облика

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{z}\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(1+\frac{1}{k})}^z}{1+\frac{z}{k}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{z}n!}{z(z+1)\cdots (z+n)}.$

Ваљда најпознатија вредност гама-функције за нецелобројне вредности аргумента је $\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$, што се може видети нпр. коришћењем дупликационе формуле. Овај резултат даје и вредност такозваног интеграла вероватноће

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi },$

који је од изузетне важности у вероватноћи и статистици. Тако једноставне формуле нису познате већ нпр. за $\mathrm{\Gamma }(1/n)$ ($n>2$). За $\mathrm{\Gamma }(1/3)$ и $\mathrm{\Gamma }(1/4)$ је познато да су трансцендентни, као и $\mathrm{\Gamma }(1/2)$. Такође, ${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(1)=-\gamma$.

Веома ретко користе се и алтернативне ознаке $\mathrm{\Pi }(z)=\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$ и $\pi (z)=1/\mathrm{\Pi }(z)$. Тако је $\mathrm{\Pi }(n)=n!$, док је функција π цела.

Према Бор-Молеруповој теореми, гама-функција је једина логаритамски конвексна функција која проширује факторијел на све позитивне бројеве.

Дупликациона формула је специјални случај следеће Гаусове теореме о производу:

$\mathrm{\Gamma }(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{(2\pi {)}^{\frac{n-1}{2}}}\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{n})\cdots \mathrm{\Gamma }(z+\frac{n-1}{n}).$

Гама-функција је од изузетног значаја у математичкој анализи, вероватноћи и статистици, теорији бројева, комбинаторици и другим областима математике, те у физици, техници и другим областима.

Историјат

Гама-функцију први је посматрао и изучавао Леонард Ојлер, који је доказао и функционалну једначину. Неки је називају и Ојлеровим интегралом друге врсте. Ознаку $\mathrm{\Gamma }(z)$ је увео Адријан-Мари Лежандр, коме дугујемо дупликациону формулу.

Индијски математичар Рамануџан доказао је низ фасцинантних идентитета са гама-функцијом.

Уопштења и везе са другим функцијама

У интегралу којим се дефинише $\mathrm{\Gamma }$-функција, границе интеграције су фиксиране. Често је пожељно посматрати такав интеграл у којем је доња или горња граница променљива (често у зависности од -{z}-), тако се добија непотпуна гама-функција. Логаритамски извод понекад се назива и дигама-функцијом. У статистици и другде је од значаја вишедимензиона гама-функција.

Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише гама-функција представља конволуцију мултипликативног карактера поља реалних бројева $ℝ$ са једним фиксираним адитивним карактером тог поља. На тај начин своју гама-функцију има, на пример, свако алгебарско бројно поље, нормирано локално поље, итд. У теорији бројева, такве гама-функције део су функционалних једначина Л-функција. Види још Риманова зета-функција.

Апроксимације

Упоређивање гама функције (плава линија) са факторијелом (плаве тачке) и Стирлинговом апроксимацијом (црвена линија)

Комплексне вредности гама функције могу се израчунати нумерички са произвољном прецизношћу користећи Стирлингову апроксимацију или Ланцошову апроксимацију.

Гама функција се може израчунати са фиксном прецизношћу за $\mathrm{Re}(z)\in [1,2]$ применом парцијалне интеграције у Ојлеровом интегралу. За било који позитивни број Шаблон:Math може се написати гама функција

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t}{t}^z\frac{dt}{t}+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^z\frac{dt}{t}\\ & =x^z{e}^{-x}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{z(z+1)\cdots (z+n)}+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^z\frac{dt}{t}.\end{array}$

Кад је Шаблон:Math и $x\ge 1$, апсолутна вредност задњег интеграла је мања од $(x+1)e^{-x}$. Одабиром довољно великог $x$, овај последњи израз може се учинити мањим од $2^{-N}$ за било коју жељену вредност $N$. Тако се гама функција може проценити на $N$ бита прецизности са горенаведеном серијом.

Е.А. Каратсуба је конструисао брз алгоритам за израчунавање Ојлерове гама функције за било који алгебарски аргумент (укључујући и рационални).

За аргументе који су целобројни умношци од Шаблон:Math, гама функција се такође може брзо проценити коришћењем аритметичко-геометријских средњих вредности итерација (погледајте посебне вредности гама функције и Шаблон:Harvtxt).

Апликације

Један аутор описује гама функцију као „Аргументирано, најчешћу специјалну функцију, или најмање 'посебну' од њих. Друге трансценденталне функције […] називају се 'посебне', јер бисте неке од њих могли избећи држањем подаље од многих специјализованих математичких тема. Са друге стране, гама функцију Шаблон:Math је најтеже избећи.”

Види још

• бета-функција
• хипергеометријска функција.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Dlmf
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• NIST Digital Library of Mathematical Functions:Gamma function
• Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats.
• C++ reference for std::tgamma
• Examples of problems involving the gamma function can be found at Exampleproblems.com.
• Шаблон:Springer
• Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision)
• Шаблон:WolframFunctionsSite
• Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages