Купа (геометрија)

Права (лево) и коса кружна купа (десно)

Купа (или конус) је геометријско тело. Може се дефинисати као геометријско место тачака које чини све дужи између елипсе, која се налази у једној равни, и тачке, која се налази изван те равни. Ова елипса се још назива база купе, а тачка њено теме.

Права која пролази кроз теме и центар базе купе се назива њеном осом. Уколико је ова права и нормална на базу купе, купа се назива правом. У супротном се ради о косој купи.

Растојање између темена купе, и његове пројекције на раван базе купе се назива висином купе.

Свака дуж која спаја теме и неку од ивичних тачака базе се назива изводницом купе. Код праве купе све изводнице имају једнаку дужину док код косе купе постоје највише две изводнице са истом дужином.

Пример:

Одредити полупречник праве купе, ако висина купе износи 8 cm, а изводница 10 cm.

Решење:

Према Питагориној теореми за праву купу важи:

$s^2=r^2+h^2$

$r^2=s^2-h^2$

$r^2=10^{2}c{m}^2-8^{2}c{m}^2$

$r^2=100c{m}^2-64c{m}^2=36c{m}^2$

$r=6cm$

Површина купе

Површина купе се увек рачуна као збир површина њеног омотача и њене базе. Омотач купе је скуп свих дужи које спајају теме купе са ивицом основице купе. У случају да је база круг, његова ивица би била кружница.

Површина праве кружне купе

Размотавањем омотача праве купе се може установити да се ради о одсечку круга, који за полупречник има дужину -{s}- изводнице купе. Покривени угао се према пуном кругу (тј. 2π) односи као обим базе купе према обиму круга са полупречником -{s}-, што би дало следећи израз:

$P_o=s^2\pi \cdot \frac{2\pi r}{2\pi s}=s^2\pi \cdot \frac{r}{s}=rs\pi$

кружни исјечак

Исти резултат можемо добити и на сљедећи начин.

Размотавањем омотача праве купе добија се исјечак круга полупречника s са централним углом θ. Када је централни угао у радијанима, површина и дужина лука кружног исјечка су

$I=\frac{1}{2}\theta s^2,l=\theta s.$

Смотан у купу, лук исјечка постаје кружница обима 2rπ, па имамо

$\theta s=2r\pi \Rightarrow \theta =\frac{2r\pi }{s},$

што уврштавањем у израз за површину кружног исјечка даје

$I=\frac{1}{2}\cdot \frac{2r\pi }{s}\cdot s^2=rs\pi =P_o.$

Површина базе је површина круга полупречника -{r}-, што износи -{P_b}- = -{r}-²π. Збир ове две вредности даје површину купе:

$P=P_o+P_b=rs\pi +r^2\pi =r\pi (s+r)$

Примјер 1. Одредити површину праве купе ако је површина њеног омотача $M=10\pi c{m}^2$ , а дужина полупречника 3 cm.

Рјешење: Површина праве купе је једнака збиру површине базе и површине омотача:

$P=B+M=r^2\pi +M=3^{2}c{m}^2+10\pi c{m}^2=19\pi c{m}^2$

Примјер 2. Висина праве купе је h. Наћи површину купе, ако је њен омотач у развијеном облику кружни исјечак са централним углом θ = 120°.

Рјешење: Дати централни угао изражен у радијанима је

$\theta =120^{\circ }\cdot \frac{\pi }{180^{\circ }}=\frac{2\pi }{3}.$

Дужина лука исјечка и обим базе купе су једнаки, тј.

$\theta s=2r\pi \Rightarrow r=\frac{s}{3}.$

Питагорина теорема даље даје

$h^2=s^2-r^2$

$=s^2-{\left(\frac{s}{3}\right)}^2$

$=\frac{8}{9}{s}^2,$

те је

$s^2=\frac{9}{8}{h}^2,r^2=\frac{1}{8}{h}^2.$

Иначе, површина кружног исјечка полупречника s, овдје омотача (P_o) купе, и површина базе (P_b) купе су

$P_o=\frac{1}{2}\theta s^2,P_b=r^2\pi ,$

Па је површина купе у овом примеру:

$P=P_o+P_b$

$=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi }{3}\cdot \frac{9}{8}{h}^2+\frac{1}{8}{h}^2\pi$

$=\frac{\pi }{2}{h}^2.$

Запремина купе

Запремина купе се увек може представити као трећина производа површине њене базе са растојањем темена од равни у коме се налази база. Ово растојање се још зове и висина купе.

$V=\frac{1}{3}{P}_{b}h$

Пример може бити кружна купа код које је -{P_b = r}-²π. Из претходног израза следи да је запремина ове купе:

$V=\frac{1}{3}{P}_{b}h=\frac{1}{3}{r}^2\pi h$

Запремина косе и праве елиптичне купе се разликује само у бази:

$V=\frac{1}{3}{P}_{b}h=\frac{1}{3}ab\pi h$

Примјер. Површина праве купе је P. Изводница је нагнута према равни основе под углом φ. Израчунати запремину купе.

Рјешење: Полупречник базе купе и висина купе изражени помоћу изводнице и угла нагиба су

$r=s\cos \phi ,h=s\sin \phi .$

Површина и запремина купе, изражене на исти начин су

$P=r(s+r)\pi =s^2\pi \cos \phi (1+\cos \phi ),$

$V=\frac{1}{3}{r}^2\pi h=\frac{1}{3}{s}^3\pi {\cos }^2\phi \sin \phi .$

Из прве једнакости изразимо s и уврстимо у другу

$V=\frac{1}{3}\cdot \frac{P\sqrt{P}}{\sqrt{\cos \phi (1+\cos \phi )}}\cdot \frac{\cos \phi \sin \phi }{1+\cos \phi }.$

Спољашње везе

• Обртна тијела
• СтереометријаШаблон:Мртва веза