Функција грешке

График функције грешке

У математици, функција грешке (такође позната и као Гаусова функција грешке) је неелементарна функција која се јавља у вероватноћи, статистици, и парцијалним диференцијалним једначинама.

Дефинише се као:

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}\mathrm{d}t.$

Комплементарна функција грешке, која се означава као -{erfc}-, је дефинисана преко функције грешке:

$\text{erfc}(x)=1-\text{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_x^{\mathrm{\infty }}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t.$

Комплексна функција грешке, означена као w(x), (позната и као Фадеева функција) је такође дефинисана преко функције грешке:

$w(x)=e^{-x^2}\text{erfc}(-ix).$

Својства

Функција грешке је непарна функција:

$\mathrm{erf}(-x)=-\mathrm{erf}(x).$

За сваки комплексан број x важи

$\mathrm{erf}(\bar{x})=\overline{\mathrm{erf}(x)}$

где је $\bar{x}$ конјуговано комплексна вредност $x$.

Интеграл се не може израчунати у затвореној форми елементарних функција, али развојем подинтегралног дела у Тејлоров ред, добија се Тејлоров ред функције грешке као:

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{10}-\frac{x^7}{42}+\frac{x^9}{216}-\cdots )$

који важи за сваки реалан број $x$, и такође за целу комплексну раван. (Ово произилази из развоја Тејлоровог реда $e^{-x^2}$, што је $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{n!}$, који потом интегралимо члан по члан.)

За итеративно израчунавање горњег реда, следећа алтернативна формулација може бити од користи:

$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left(x\prod _{i=1}^n\frac{-(2i-1)x^2}{i(2i+1)}\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{2n+1}\prod _{i=1}^n\frac{-x^2}{i}$

јер $\frac{-(2i-1)x^2}{i(2i+1)}$ претвара чинилац из $i$-тог члана у $(i+1)$. члан (под претпоставком да први члан означавамо као $x$).

Функција грешке у бесконачности има вредност 1 (погледати Гаусов интеграл).

Извод функције грешке следи директно из њене дефиниције:

$\frac{d}{dx}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}.$

Инверзна функција грешке има ред

${\mathrm{erf}}^{-1}(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{c_k}{2k+1}{\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}x\right)}^{2k+1},$

где је -{c₀ = 1}-, а

$c_k=\sum _{m=0}^{k-1}\frac{c_m{c}_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}=\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\dots \}.$

Тако добијамо развој реда (приметити да су поништени заједнички чиниоци из имениоца и бројиоца):

${\mathrm{erf}}^{-1}(x)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }(x+\frac{\pi x^3}{12}+\frac{7{\pi }^2{x}^5}{480}+\frac{127{\pi }^3{x}^7}{40320}+\frac{4369{\pi }^4{x}^9}{5806080}+\frac{34807{\pi }^5{x}^{11}}{182476800}+\cdots ).$

Вредност функције грешке у $\pm \mathrm{\infty }$ је једнака $\pm 1$.

Примене

Када се резултати више мерења опишу нормалном расподелом са стандардном девијацијом $\sigma$ и очекиваном вредношћу 0, онда је $\mathrm{erf}\left(\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}\right)$ вероватноћа да грешка једног мерења лежи између $-a$ и $+a$.

У дигиталним оптичким телекомуникацијама, однос бит-грешка се изражава као:

$\mathrm{B}\mathrm{E}\mathrm{R}=0.5\mathrm{erf}\left(\frac{{\mu }_1-{\mu }_2}{\sqrt{2}({\sigma }_1+{\sigma }_2)}\right).$

Асимптототски развој

Корисни асимптотски развој комплементарне функције грешке (а самим тим и функције грешке) за велико x је

$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}(x)=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi }}[1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^2{)}^n}]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n)!}{n!(2x{)}^{2n}}.$

Овај ред дивергира за свако коначно x. Практично, само првих пар чланова овог развоја је потребно да се израчуна добра апроксимација -{erfc(x)}-, док Тејлоров ред дат изнад конвергира јако споро.

Још једна апроксимација је дата са

$(\mathrm{erf}(x){)}^2\approx 1-\exp (-x^2\frac{4/\pi +a{x}^2}{1+a{x}^2})$

где је

$a=\frac{-8}{3\pi }\frac{\pi -3}{\pi -4}.$

Сродне функције

Функција грешке је суштински идентична стандардној нормалној кумулативној функцији расподеле, означеној као Φ, јер се оне разликују само по скалирању и транслацији:

$\mathrm{\Phi }(x)=\frac{1}{2}[1+\text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)].$

Генерализована функција грешке

График генерализоване функције грешке $E_1(x)$:
сива крива: $E_1(x)=(1-e^{-x})/\sqrt{\pi }$
црвена крива: $E_2(x)=\mathrm{erf}(x)$
зелена крива: $E_3(x)$
плава крива: $E_4(x)$
златна крива: $E_5(x)$.

Неки аутори расправљају о општијој функцији

$E_n(x)=\frac{n!}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^n}\mathrm{d}t=\frac{n!}{\sqrt{\pi }}\sum _{p=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}.$

Случајеви вредни помена су:

• E₀(x) је права линија дефинисана као: $E_0(x)=\frac{x}{e\sqrt{\pi }}$
• E₂(x) је функција грешке, -{erf(x)}-.

После дељења са -{n}-!, све -{E_n}- за непарно -{n}- изгледају слично (али не и идентично) једна другој. Слично томе, -{E_n}- за парно -{n}- изгледају слично (али не и идентично) једна другој после простог дељења са -{n}-!. Све генерализоване функције грешке за -{n>0}- изгледају слично за позитивне вредности -{x}- на графику.

Ове генерализоване функције се за x>0 могу еквивалентно представити користећи Гама функцију:

$E_n(x)=\frac{x{\left(x^n\right)}^{-1/n}\mathrm{\Gamma }(n)(\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{n}\right)-\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{n},x^n))}{\sqrt{\pi }},x>0$

Према овоме, можемо дефинисати функцију грешке преко Гама функције:

$\mathrm{erf}(x)=1-\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2},x^2)}{\sqrt{\pi }}$

Итеративни интеграли комплементарне функције грешке

Итеративни интеграли комплементарне функције грешке су дефинисани преко:

${\mathrm{i}}^n\mathrm{erfc}(z)={\int }_z^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{i}}^{n-1}\mathrm{erfc}(\zeta )\mathrm{d}\zeta .$

Оне имају степени ред:

${\mathrm{i}}^n\mathrm{erfc}(z)=\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-z{)}^j}{2^{n-j}j!\mathrm{\Gamma }(1+\frac{n-j}{2})},$

из кога следе својства симетричности

${\mathrm{i}}^{2m}\mathrm{erfc}(-z)=-{\mathrm{i}}^{2m}\mathrm{erfc}(z)+\sum _{q=0}^m\frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}$

и

${\mathrm{i}}^{2m+1}\mathrm{erfc}(-z)={\mathrm{i}}^{2m+1}\mathrm{erfc}(z)+\sum _{q=0}^m\frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}.$

Имплементација

-{C/C++}-: Имплементирана је као функција -{double erf(double x)}- и -{double erfc(double x)}- у заглављу -{math.h}- или -{cmath}- у ГНУ верзији. Ово није део стандарда и зависи од имплементационе библиотеке. Парови функција -{{erff(),erfcf()}}- и -{{erfl(),erfcl()}}- узимају и враћају типове -{float}- и -{long double}-.

Види још

• Гаусова функција

Спољашње везе

• -{MathWorld - Erf}-