Ојлерова формула

Овај чланак објашњава Ојлерову формулу у области комплексне анализе. За Ојлерову формулу у теорији графова и полиедарској комбинаторици видети чланак Ојлерова карактеристика.

Ојлерова формула, која је добила име по швајцарском математичару Леонарду Ојлеру повезује тригонометријске функције са комплексним експонентима, а тврди да за било који реални број -{x}- важи,

$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$

где је -{e}- основа природног логаритма, -{i}- имагинарна јединица, а -{cos}- и -{sin}- тригонометријске функције (овде се подразумева да се при израчунавању синуса и косинуса угао -{x}- изражава у радијанима, а не у степенима). Формула важи и ако је -{x}- комплексан број, па, због тога, неки аутори под Ојлеровом формулом подразумевају њену уопштену комплексну варијанту.

Ојлерова формула је свеприсутна у математици, физици и инжењерству. Ричард Фајнман је назвао Ојлерову формулу „нашим драгуљем“ и „најзначајнијом формулом у математици“.

Када је Шаблон:Math, Ојлерова формула постаје Шаблон:Math, што је познато као Ојлеров идентитет.

Историја

Бернули је око 1702. године записао

$\frac{dx}{1+x^2}=\frac{1}{2}(\frac{dx}{1-ix}+\frac{dx}{1+ix})$.

и

$\int \frac{dx}{1+x}=\ln (1+x),$

Наведене једнакости дају увид у појам комплексних логаритмима. Бернули, међутим, није оценио целину. Његово дописивање с Ојлером (који је такође познавао једнакост) показује да није наслутио дубину математичке позадине.

Ојлерову формулу је први доказао енглески математичар Роџер Коутс 1714. године. Он је изнео је геометријски аргумент који се може тумачити (након корекције погрешно постављеног фактора $\sqrt{-1}$) као:

$\ln (\cos (x)+i\sin (x))=ix$

где је -{ln}- природни логаритам, односно логаритам са основом -{e}-.

Ојлер је први објавио једнакост у њеном данашњем облику 1748. године, заснивајући свој доказ на чињеници да су бесконачни редови на које се могу разложити обе стране једнакости међусобно једнаки. Међутим, ниједан од њих није видео геометријско тумачење формуле: представљање комплексних бројева као тачака у комплексној равни ће се појавити у математици тек 50 година касније, захваљујући Каспару Веселу. Ојлер је сматрао природним увођење комплексних бројева много раније у математичком образовању него што се то данас чини. У свом елементарном уџбенику алгебре, он их уводи на почетку и затим их користи на природан начин кроз целу књигу.

Дефиниције комплексних експонирања

Експоненцијална функција Шаблон:Math за реалне вредности од Шаблон:Math може бити дефинисана на неколико различитих еквивалентних начина (погледајте карактеризацију експоненцијалне функције). Неколико ових метода може се директно проширити тако да дају дефиниције од Шаблон:Math за комплексне вредности од Шаблон:Math једноставним заменом Шаблон:Math уместо Шаблон:Math и коришћењем комплексних алгебарских операција. Конкретно може се користити било која од три следеће дефиниције, које су еквивалентне. Из напредније перспективе, свака од ових дефиниција може се протумачити као давање јединствене аналитичке континуације од Шаблон:Math на комплексној равни.

Дефиниција диференцијалне једначине

Експоненцијална функција $z\mapsto e^z$ је једиствена диференцијабилна функција комплексне променљиве за коју важи

$\frac{d{e}^z}{dz}=e^z$

и

$e^0=1.$

Дефиниција степеног реда

За комплексни број Шаблон:Math

$e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n!}.$

Користећи Д'Аламберов тест, може се показати да овај степени ред има бесконачан радијус конвергенције и стога дефинише Шаблон:Math за свако комплексно Шаблон:Math.

Дефиниција лимита

За комплексни број Шаблон:Math

$e^z=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{z}{n})}^n.$

Овде је -{n}- ограничено на позитивне целе бројеве, тако да није упитно шта означава -{n}- степен експонента.

Докази

Анимација доказа употребом Тејлорове серије.

Могући су различити докази формуле.

Кориштење диференцијације

Овај доказ показује да је количник тригонометријских и експоненцијалних израза константна функција, те они морају бити једнаки (експоненцијална функција никада није нула, тако да је ово дозвољено).

Нека је Шаблон:Math функција

$f(\theta )=e^{-i\theta }(\cos \theta +i\sin \theta )$

за реално Шаблон:Math. Диференцирајући, добија се применом правила производа

$f^{\prime }(\theta )=e^{-i\theta }(i\cos \theta -\sin \theta )-i{e}^{-i\theta }(\cos \theta +i\sin \theta )=0$

Стога је Шаблон:Math константа. Како је Шаблон:Math, онда је Шаблон:Math за свако реално Шаблон:Math, и следи

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$

Кориштење степених редова

Ово је доказ за Еулерову формулу која користи проширења степеног низа, као и основне чињенице о степенима од Шаблон:Mvar:

$\begin{array}{cccccccc}{i}^0& =1,& i^1& =i,& i^2& =-1,& i^3& =-i,\\ i^4& =1,& i^5& =i,& i^6& =-1,& i^7& =-i\\ & ⋮& & ⋮& & ⋮& & ⋮\end{array}$

Користећи сада горе поменуту дефиницију степене серије, види се да је за реалне вредности од Шаблон:Mvar

$\begin{array}{cc}{e}^{ix}& =1+ix+\frac{(ix{)}^2}{2!}+\frac{(ix{)}^3}{3!}+\frac{(ix{)}^4}{4!}+\frac{(ix{)}^5}{5!}+\frac{(ix{)}^6}{6!}+\frac{(ix{)}^7}{7!}+\frac{(ix{)}^8}{8!}+\cdots \\ & =1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{i{x}^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{i{x}^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{i{x}^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots \\ & =(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots )+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots )\\ & =\cos x+i\sin x,\end{array}$

при чему се у задњем кораку препознају два члана која су Маклоренови редови за Шаблон:Math и Шаблон:Math. Преуређивање чланова је оправдано, јер је свака серија апсолутно конвергентна.

Кориштење поларних координата

Још један доказ је базиран на чињеници да се сви комплексни бројеви могу изразити у поларним координатама. Стога, за неко Шаблон:Math и Шаблон:Math зависно од Шаблон:Math, важи

$e^{ix}=r(\cos \theta +i\sin \theta ).$

Не праве се претпоставке о Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar; они се утврђују у току доказивања. Из било које дефиниције експоненцијалне функције може се показати да је дериват од Шаблон:Math једнак Шаблон:Math. Стога, диференцијација обе стране даје

$i{e}^{ix}=(\cos \theta +i\sin \theta )\frac{dr}{dx}+r(-\sin \theta +i\cos \theta )\frac{d\theta }{dx}.$

Одузимајући Шаблон:Math за Шаблон:Math и изједначавајући реалне и имагинарне делове у овој формули даје Шаблон:Math и Шаблон:Math. След да је Шаблон:Mvar константа, а Шаблон:Mvar је Шаблон:Math за исту константу Шаблон:Mvar. Иницијалне вредности Шаблон:Math и Шаблон:Math долазе од Шаблон:Math, дајући Шаблон:Math и Шаблон:Math. Тиме се доказује формула

$e^{ix}=1(\cos x+i\sin x)=\cos x+i\sin x.$

Апликације

Примене у теорији комплексних бројева

Ојлерова формула

Тродимензионална визуелизација Ојлерове формуле. Такође погледајте циркуларну поларизацију.

Интерпретација формуле

Ова формула се може протумачити као да је функција Шаблон:Mvar јединични комплексни број, тј. она прати јединични круг у комплексној равни како се Шаблон:Mvar креће кроз реалне бројеве. Овде је Шаблон:Mvar угао који линија која повезује координатни почетак са тачком на јединичној кружници прави са позитивном реалном осом, мерено у смеру супротном од кретања казаљке на сату и у радијанима.

Оригинални доказ је заснован на проширењима Тејлорове серије експоненцијалне функције Шаблон:Mvar (где је Шаблон:Mvar комплексни број) и Шаблон:Math, а Шаблон:Math за реалне бројеве Шаблон:Mvar (погледајте испод). Заправо, исти доказ показује да Ојлерова формула важи чак и за све комплексне бројеве Шаблон:Mvar.

Тачка у комплексној равни може се представити комплексним бројем записаним у картезијанским координатама. Ојлерова формула пружа средство за конверзију између картезијанских координата и поларних координата. Поларни облик поједностављује математику када се користи за множење или степеновање комплексних бројева. Било који комплексни број Шаблон:Math, и његов комплексно конјуговани број Шаблон:Math, могу се записати као

$\begin{array}{cc}z& =x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=r{e}^{i\phi },\\ \overline{z}& =x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=r{e}^{-i\phi },\end{array}$

где је

Шаблон:Math реални део,

Шаблон:Math имагинарни део,

Шаблон:Math је магнитуда од Шаблон:Mvar и

Шаблон:Math.

Шаблон:Mvar је аргумент од Шаблон:Mvar, тј. угао између x осе и вектора -{z}- мереног супротно смеру казаљки на сату у радијанима, који је дефинисан до адиције Шаблон:Math. Многи текстови наводе Шаблон:Math уместо Шаблон:Math, али прву једначину треба прилагодити када је Шаблон:Mvar. То је зато што се за било које реално Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, који нису нула, углови вектора Шаблон:Math и Шаблон:Math разликују за Шаблон:Pi радијана, али имају идентичну вредност за Шаблон:Math.

Употреба формуле за дефинисање логаритма комплексних бројева

Сада, узимајући ову изведену формулу, Ојлерова формула се може користити да се дефинише логаритам комплексног броја. Да би се то урадило, користи се дефиниција логаритма (као инверзни оператор потенцирања):

$a=e^{\ln a},$

као и да је

$e^a{e}^b=e^{a+b},$

Ова два израза су валидна за било који пар комплексних бројева Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. Стога се може написати:

$z=|z|e^{i\phi }=e^{\ln |z|}{e}^{i\phi }=e^{\ln |z|+i\phi }$

за свако Шаблон:Math. Логаритмујући обе стране добија се

$\ln z=\ln |z|+i\phi ,$

и то се може користити као дефиниција за комплексни логаритам. Логаритам комплексног броја је стога мултивредносна функција, јер Шаблон:Mvar има више вредности.

Коначно, важе и друга правила експоненцирања

${\left(e^a\right)}^k=e^{ak},$

за које се може видети да важе за све целе бројеве Шаблон:Mvar, заједно са Ојлеровом формулом. То подразумева неколико тригонометријских идентитета, као и Моаврову формулу.

Однос према тригонометрији

Однос између синуса, косинуса и експоненцијалне функције

Ојлерова формула пружа моћну везу између анализе и тригонометрије, и омогућава интерпретацију синусних и косинусних функција као пондерисаних сума експоненцијалне функције:

$\begin{array}{cc}\cos x& =\mathrm{Re}\left(e^{ix}\right)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\\ \sin x& =\mathrm{Im}\left(e^{ix}\right)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.\end{array}$

Две горње једначине се могу извести додавањем или одузимањем Ојлерових формула:

$\begin{array}{cc}{e}^{ix}& =\cos x+i\sin x,\\ e^{-ix}& =\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x-i\sin x\end{array}$

и решавањем за било косинус или синус.

Ове формуле могу чак послужити као дефиниција тригонометријских функција са комплексним аргументима Шаблон:Mvar. На пример, узимајући Шаблон:Math, добија се:

$\begin{array}{cc}\cos iy& =\frac{e^{-y}+e^y}{2}=\cosh y,\\ \sin iy& =\frac{e^{-y}-e^y}{2i}=\frac{e^y-e^{-y}}{2}i=i\sinh y.\end{array}$

Комплексни експоненцијали могу поједноставити тригонометрију, јер је њима лакше манипулисати него њиховим синусоидним компонентама. Једна од техника је једноставно претварање синусоида у еквивалентне изразе у виду експонената. Након манипулација, поједностављени резултат је и даље реално-вредностан. На пример:

$\begin{array}{cc}\cos x\cos y& =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\cdot \frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}\\ & =\frac{1}{2}(\underset{\cos (x+y)}{\underbrace{\frac{e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}}+\underset{\cos (x-y)}{\underbrace{\frac{e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}}).\end{array}$

Још једна техника је представљање синусоида у виду реалног дела комплексног израза и извођење манипулација на комплексном изразу. На пример:

$\begin{array}{cc}\cos nx& =\mathrm{Re}\left(e^{inx}\right)\\ & =\mathrm{Re}(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix})\\ & =\mathrm{Re}(e^{i(n-1)x}\cdot (\underset{2\cos x}{\underbrace{e^{ix}+e^{-ix}}}-e^{-ix}\left)\right)\\ & =\mathrm{Re}(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x})\\ & =\cos [(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos [(n-2)x].\end{array}$

Ова формула се користи за рекурзивну генерацију Шаблон:Math за целобројне вредности Шаблон:Mvar и арбитрарно Шаблон:Mvar (у радијанима).

Види још

• Леонард Ојлер
• Комплексан број
• Експоненцијална функција
• Тригонометрија

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Џулијус Смит -{III}-, Доказ Ојлерове формуле Шаблон:Ен
• Ојлерова формула и Фермаова последња теорема Шаблон:Ен
• Визуелна репрезентација Ојлерове формуле Шаблон:Ен
• -{Elements of Algebra}-