Цео број

Цели бројеви, поједностављено говорећи, су сви „округли“ бројеви, тј. без децимала, укључујући нулу, позитивне и негативне бројеве. То су дакле бројеви 0, 1, 2, 3, ..., 100, 101, итд, али и бројеви -1, -2, -3, ..., -100, -101, итд.

Скуп свих целих бројева се у математици означава великим латиничним словом $\mathbb{Z}$, и спада у пребројиве скупове. Скуп целих бројева састоји се од нуле (Шаблон:Num), позитивних природних бројева (Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num, ...), који се називају и цели бројеви или редни бројање, и њихових адитивних инверзних вредности (негативни цели бројеви, тј. −1, −2, −3, ...). Скуп целих бројева често се означава подебљаним словима, Шаблон:Math или $(\mathbb{Z})$, слова „-{Z}-”, што потиче од првобитне немачке речи Zahlen („бројеви”).

Симбол

Симбол $\mathbb{Z}$ се може користити да означава различите скупове, са различитим употребама међу различитим ауторима: ${\mathbb{Z}}^{+}$,${\mathbb{Z}}_{+}$ или ${\mathbb{Z}}^{>}$ за целе позитивне бројеве, ${\mathbb{Z}}^{0+}$ или ${\mathbb{Z}}^{\ge }$ за не-негативне целе бројеве и ${\mathbb{Z}}^{\ne }$ за целе бројеве који нису нула. Неки аутори користе ${\mathbb{Z}}^{*}$ за целе бројеве који нису нула, док га други користе за не-негативне целе бројеве или за Шаблон:Math. Поред тога, ${\mathbb{Z}}_p$ се користи за означавање било [[Модуларна аритметика|целог броја по модулу Шаблон:Math]] (тј., скупа класа подударности целих бројева), или скуп [[p-adic integer|Шаблон:Math-адитивних]] целих бројева.

Алгебарска својства

Цели бројеви се могу сматрати дискретним, једнако размакнутим тачкама на бесконачно дугој бројевној правој. У горе наведеном, негативни цели бројеви су приказани плавом бојом, а негативни црвени.

Као и природни бројеви, скуп $\mathbb{Z}$ је затворен за операције сабирања и множења. То значи да је збир и производ било која два цела броја опет цео број. Међутим, за разлику од природних бројева, скуп целих бројева је затворен и за одузимање. Ово не важи и за дељење, јер количник два цела броја не мора да буде цео број (на пример, 1 подељено са 2).

Нека основна својства сабирања и множења било којих целих бројева, -{a}-, -{b}- и -{c}-.

	сабирање	множење
Затвореност:	Шаблон:MathШаблон:Padје цео број	Шаблон:MathШаблон:Padје цео број
Асоцијативност:	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Комутативност:	Шаблон:Math	Шаблон:Math
Постојање елемента идентитета:	Шаблон:Math	Шаблон:Math
scope="row" Постојање инверзних елемената:	Шаблон:Math	Једини инвертабилни цели бројеви (који се називају јединице) су Шаблон:Math и Шаблон:Math.
Дистрибутивност:	Шаблон:MathШаблон:PadandШаблон:PadШаблон:Math
Нема нултог делитеља:		Ако је Шаблон:Math, онда Шаблон:Math или Шаблон:Math (или оба)

Правила за сабирање целих бројева:

• Знак збира је исти као знак сабирка са већом апсолутном вредношћу.
• Апсолутна вредност збира једнака је:
  • збиру апсолутних вредности сабирака, ако су знаци сабирака исти;
  • разлици апсолутних вредности сабирака, ако су знаци сабирака различити.

Теоретска својства реда

$\mathbb{Z}$ је потпуно уређен скуп без горње или доње границе. Редослед $\mathbb{Z}$ је дат са: Шаблон:Math Цео број је позитиван ако је већи од нуле, а негативан ако је мањи од нуле. Нула се дефинише као ни негативна, нити позитивна.

Поредак целих бројева компатибилан је са алгебарским операцијама на следећи начин:

1. ако су Шаблон:Math и Шаблон:Math, онда је Шаблон:Math
2. ако је Шаблон:Math и Шаблон:Math, онда је Шаблон:Math.

Стога следи да је $\mathbb{Z}$ заједно са горенаведеним редоследом уређен прстен.

Цели бројеви су једина нетривијална потпуно уређена абеловска група чији су позитивни елементи добро уређени. Ово је еквивалентно тврдњи да је било који Нотеров прстен вредновања поље - или дискретни прстен вредновања.

Конструкција

Црвене тачке представљају уређене парове природних бројева. Повезане црвене тачке су класе еквиваленције које представљају плаве целе бројеве на крају реда.

У настави основних школа цели бројеви се често интуитивно дефинишу као (позитивни) природни бројеви, нула и негације природних бројева. Међутим, овај стил дефиниције доводи до много различитих случајева (сваку аритметичку операцију треба дефинисати на свакој комбинацији типова целих бројева) и тиме се отежава доказивање да се цели бројеви покоравају различитим законима аритметике. Због тога се у савременој теоретској математици скупова уместо тога често користи апстрактнија конструкција која омогућава дефинисање аритметичких операција без разликовања засебних подсетова. Тако се цели бројеви могу формално конструисати као класе еквиваленције уређених парова природних бројева Шаблон:Math.

Интуитивно разумевање је да Шаблон:Math представља резултат одузимања Шаблон:Math од Шаблон:Math. Да би се потврдило очекивање да Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap означавају исти број, дефинише се однос еквиваленције Шаблон:Math на овим паровима следећим правилом:

$(a,b)\sim (c,d)$

тачно када

$a+d=b+c.$

Сабирање и множење целих бројева може се дефинисати у смислу еквивалентних операција на природним бројевима; коришћењем Шаблон:Math за означавање класе еквиваленције која има Шаблон:Math као члан, добија се:

$[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].$

$[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].$

Негација (или инверзни адитив) целог броја добија се обрнутим редоследом пара:

$-[(a,b)]:=[(b,a)].$

Отуда се одузимање може дефинисати као сабирање инверзије адитива:

$[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].$

Стандардно уређивање целих бројева дато је са:

$[(a,b)]<[(c,d)]$ ако и само ако $a+d<b+c.$

Лако се може проверити да су ове дефиниције независне од избора представника класа еквиваленције.

Свака класа еквиваленције има јединствени члан који има облик Шаблон:Math или Шаблон:Math (или оба одједном). Природни број Шаблон:Math је идентификован са класом Шаблон:Math (i.e.. природни бројеви су део целих бројева папирањем Шаблон:Math у Шаблон:Math), и класа Шаблон:Math је означена као Шаблон:Math (ово покрива све преостале класе и даје класу Шаблон:Math други пут јер је Шаблон:Math

Тако је, Шаблон:Math означено са

$\{\begin{array}{cc}a-b,& \text{ако је }a\ge b\\ -(b-a),& \text{ако је }a<b.\end{array}$

Ако су природни бројеви идентификовани са одговарајућим целим бројевима (користећи горе наведена уграђивања), ова конвенција не ствара нејасноће.

Овај запис опоравља познати приказ целих бројева као Шаблон:Math.

Неки примери су:

$\begin{array}{cccccc}0& =[(0,0)]& =[(1,1)]& =\cdots & & =[(k,k)]\\ 1& =[(1,0)]& =[(2,1)]& =\cdots & & =[(k+1,k)]\\ -1& =[(0,1)]& =[(1,2)]& =\cdots & & =[(k,k+1)]\\ 2& =[(2,0)]& =[(3,1)]& =\cdots & & =[(k+2,k)]\\ -2& =[(0,2)]& =[(1,3)]& =\cdots & & =[(k,k+2)].\end{array}$

У теоријском рачунарству други приступи за конструисање целих бројева користе се помоћу аутоматизованих доказивача теорема и механизама за реформулацију термина. Цели бројеви су представљени као алгебарски појмови изграђени помоћу неколико основних операција (нпр. -{zero, succ, pred}-) и, вероватно, коришћењем природних бројева, за које се претпоставља да су већ конструисани (користећи, рецимо, Пеанов приступ).

Постоји најмање десет таквих конструкција знаковних целих бројева. Ове конструкције се разликују на неколико начина: број основних операција које се користе за конструкцију, број (обично између 0 и 2) и врсте аргумената које ове операције прихватају; присуство или одсуство природних бројева као аргумената неких од ових операција и чињеница да су те операције слободни конструктори или не, тј. да се исти цео број може представити користећи само један или више алгебарских појмова.

Литература

• Bell, E.T., Men of Mathematics. New York: Simon & Schuster, 1986. (Hardcover; Шаблон:Cite book)/(Paperback; Шаблон:Cite book)
• Herstein, I.N., Topics in Algebra, Wiley; 2 edition (June 20, 1975), Шаблон:Cite book.
• Mac Lane, Saunders, and Garrett Birkhoff; Algebra, American Mathematical Society; 3rd edition (1999). Шаблон:Cite book.

Спољашње везе

• Шаблон:Springer
• The Positive Integers – divisor tables and numeral representation tools
• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences cf OEIS
• Шаблон:Mathworld