Очекивана вредност

У теорији вероватноће, очекивана вредност (или математичко очекивање) дискретне случајне променљиве је збир вероватноћа за сваки исход помножен вредношћу тог исхода. Очекивана вредност представља просечну вредност која се очекује ако се случајни експеримент понови велики број пута. Треба имати у виду да сама очекивана вредност не мора бити међу вредностима које узима случајна променљива. Добијање очекиване вредности у појединачном експерименту може бити врло ретко, или чак немогуће.

На пример, при бацању шестостране нумерисане коцке, очекивана вредност је 3,5, што се добија као

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}(X)& =1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \frac{1}{6}\\ & =\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5,\end{array}$

а то наравно није један од могућих исхода.

Историја

Идеја о очекиваној вредности настала је средином 17. века из проучавања такозваног проблема поена, који настоји да на правичан начин подели улог између два играча, који морају да окончају своју игру пре него што она ваљано завршена. idea of the expected value originated in the middle of the 17th century from the study of the so-called [[]], which seeks to divide the stakes in a fair way between two players, who have to end their game before it is properly finished. О овом проблему се расправљало вековима. Многи супротстављени предлози и решења су сугерисани током година од када је проблем Блезу Паскалу изнео француски писац и математичар аматер Шевалије де Мере 1654. Мере је тврдио да се овај проблем не може решити и да је то показивало колико је математика погрешна када дође до њене примене у стварном свету. Паскал, као математичар, био је испровоциран и одлучан да реши проблем једном заувек.

Почео је да расправља о проблему у чувеној серији писама Пјер де Ферму. Убрзо, обоје су независно дошли до решења. Задатак су решавали на различите рачунске начине, али су њихови резултати били идентични јер су њихова израчунавања била заснована на истом фундаменталном принципу. Принцип је да вредност будуће добити треба да буде директно пропорционална шанси да се она добије. Чинило се да је овај принцип дошао природно за обојицу. Били су веома задовољни чињеницом да су нашли суштински исто решење, а то их је заузврат учинило апсолутно увереним да су проблем решили на коначан начин; међутим, своје налазе нису објавили. О томе су обавестили само уски круг заједничких научних пријатеља у Паризу.

У књизи холандског математичара Кристијана Хајгенса, он је разматрао проблем тачака и представио решење засновано на истом принципу као и решења Паскала и Ферма. Хајгенс је 1657. објавио своју расправу (види Хајгенс (1657)) „De ratiociniis in ludo aleæ“ о теорији вероватноће непосредно након посете Паризу. Књига је проширила концепт очекивања додавањем правила за израчунавање очекивања у компликованијим ситуацијама од првобитног проблема (нпр. за три или више играча), и може се посматрати као први успешан покушај постављања темеља теорије вероватноће.

У предговору своје расправе, Хајгенс је написао: Шаблон:Quote

Током своје посете Француској 1655. године, Хајгенс је сазнао за де Мереов проблем. Из његове преписке са Каркавином годину дана касније (1656), схватио је да је његов метод у суштини исти као и Паскалов. Стога је знао за Паскалов приоритет у овој теми пре него што је његова књига изашла у штампу 1657. године.

Средином деветнаестог века, Пафнутиј Чебишев је постао прва особа која је систематски размишљала у смислу очекивања случајних варијабли.

Етимологија

Паскал и Хајгенс нису користили термин „очекивање“ у његовом модерном смислу. Хајгенс специфично пише:

Више од сто година касније, 1814. године, Пјер-Симон Лаплас је објавио свој трактат „Аналитичка теорија вероватноће“, где је концепт очекиване вредности експлицитно дефинисан:

Notations

Употреба слова Шаблон:Math за означавање очекиване вредности датира још од В. А. Витворта 1901. године. Симбол је од тада постао популаран за енглеске писце. На немачком, Шаблон:Math гласи „Erwartungswert“, на шпанском „Esperanza matemática“, а на француском „Espérance mathématique“.

Када се „Е“ користи за означавање очекиване вредности, аутори користе различите стилизације: оператор очекивања може бити стилизован као Шаблон:Math (усправно), Шаблон:Mvar (курзив) или $𝔼$ (подебљано на табли), док се користе разне ознаке заграда (као што су Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math).

Још једна популарна нотација је Шаблон:Math, док се Шаблон:Math, Шаблон:Math и $\bar{X}$ обично користе у физици,Шаблон:Sfnm и Шаблон:Math у литератури на руском језику.

Математичка дефиниција

Као што је објашњено у наставку, постоји неколико контекстно зависних начина дефинисања очекиване вредности. Најједноставнија и оригинална дефиниција бави се случајем коначног броја могућих исхода, као што је бацање новчића. Са теоријом бесконачних серија, ово се може проширити на случај небројено много могућих исхода. Такође је веома уобичајено да се разматра посебан случај случајних променљивих које диктирају (комадно) непрекидне функције густине вероватноће, јер оне настају у многим природним контекстима. Све ове специфичне дефиниције могу се посматрати као посебни случајеви опште дефиниције засноване на математичким алатима теорије мере и Лебегове интеграције, који овим различитим контекстима дају аксиоматску основу и заједнички језик.

Свака дефиниција очекиване вредности може се проширити да дефинише очекивану вредност вишедимензионалне случајне променљиве, тј. случајног вектора Шаблон:Mvar. Дефинисан је компонента по компонента, као Шаблон:Math. Слично, може се дефинисати очекивана вредност случајне матрице Шаблон:Mvar са компонентама Шаблон:Math са Шаблон:Math.

Уопштено, ако је $X$ случајна променљива дефинисана простором вероватноће $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$, тада је очекивана вредност за $X$ (у ознаци $\mathrm{E}(X)$) дефинисана као:$\mathrm{E}(X)=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }X\mathrm{d}P$, где се користи Лебегов интеграл. Немају све случајне променљиве очекиване вредности, јер интеграл не мора да постоји (на пример, Кошијева расподела).

Случајне променљиве са коначно много исхода

Размотримо случајну променљиву Шаблон:Mvar са коначном листом Шаблон:Math могућих исхода, од којих сваки (респективно) има вероватноћу Шаблон:Math да се догоди. Очекивање Шаблон:Mvar је дефинисано каоШаблон:Sfnm

$\mathrm{E}[X]=x_1{p}_1+x_2{p}_2+\cdots +x_k{p}_k.$

Пошто вероватноће морају да задовоље Шаблон:Math, природно је тумачити Шаблон:Math као пондерисани просек вредности Шаблон:Math, са тежинама датим њиховим вероватноћама Шаблон:Math.

У посебном случају да су сви могући исходи једнако вероватни (тј. Шаблон:Math), пондерисани просек је дат стандардном аритметичком средином. У општем случају, очекивана вредност узима у обзир чињеницу да су неки исходи вероватнији од других.

Очекиване вредности уобичајених дистрибуција

Следећа табела даје очекиване вредности неких уобичајених дистрибуција вероватноће. Трећа колона даје очекиване вредности како у облику који је непосредно дат дефиницијом, тако и у поједностављеном облику добијеном израчунавањем из ње. Детаљи ових прорачуна, који нису увек једноставни, могу се наћи у наведеним референцама.

Расподела	Нотација	Средња вредност E(X)
БернулијеваШаблон:Sfnm	$X\sim b(1,p)$	$0\cdot (1-p)+1\cdot p=p$
БиномнаШаблон:Sfnm	$X\sim B(n,p)$	$\sum _{i=0}^{n}i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})p^i(1-p{)}^{n-i}=np$
ПоасоноваШаблон:Sfnm	$X\sim \mathrm{P}\mathrm{o}(\lambda )$	$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i{e}^{-\lambda }{\lambda }^i}{i!}=\lambda$
ГеометријскаШаблон:Sfnm	$X\sim \mathrm{G}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}(p)$	$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}ip(1-p{)}^{i-1}=\frac{1}{p}$
УниформнаШаблон:Sfnm	$X\sim U(a,b)$	$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{x}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}$
ЕкспоненцијалнеШаблон:Sfnm	$X\sim \exp (\lambda )$	$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\lambda x{e}^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }$
НормалнаШаблон:Sfnm	$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-(x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2}dx=\mu$
Стандардна нормалнаШаблон:Sfnm	$X\sim N(0,1)$	$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{e}^{-x^2/2}dx=0$
ПаретоШаблон:Sfnm	$X\sim \mathrm{P}\mathrm{a}\mathrm{r}(\alpha ,k)$	$\underset{k}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\alpha k^{\alpha }{x}^{-\alpha }dx=\{\begin{array}{cc}\frac{\alpha k}{\alpha -1}& \alpha >1\\ \mathrm{\infty }& 0\le \alpha \le 1.\end{array}$
КошијеваШаблон:Sfnm	$X\sim \mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}(x_0,\gamma )$	$\frac{1}{\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\gamma x}{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}dx$ не недефинисано

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book Шаблон:Erratum
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Шаблон:Cite web

Шаблон:Нормативна контрола