Планкова константа

Планкова константа, означена са $h$, представља фундаменталну физичку константу од основног значаја у квантној механици: енергија фотона једнака је његовој фреквенцији помноженој са Планковом константом, а импулс честице једнак је таласном броју придруженог таласа материје (реципрочна вредност његове таласне дужине) помноженом са Планковом константом.

Ову константу је постулирао Макс Планк 1900. године као константу пропорционалности неопходну за објашњење експерименталног зрачења црног тела. Планк је касније ову константу назвао „квантом дејства”. Године 1905, Алберт Ајнштајн је повезао „квант” или минимални елемент енергије са самим електромагнетним таласом. Макс Планк је добио Нобелову награду за физику 1918. године „у знак признања за услуге које је пружио унапређењу физике својим открићем енергетских кваната”.

У метрологији, Планкова константа се користи, заједно са другим константама, за дефинисање килограма, СИ јединице за масу. СИ јединице су дефинисане тако да Планкова константа има тачну вредност Шаблон:Nowrap када је изражена у СИ јединицама.

Уско повезана редукована Планкова константа, означена са $\hslash$ (h-прецртано), која је једнака Планковој константи подељеној са [[Пи|Шаблон:Math]]: $\hslash =\frac{h}{2\pi }$, често се користи у једначинама квантне физике. Она повезује енергију фотона са његовом угаоном фреквенцијом, а линеарни импулс честице са угаоним таласним бројем њеног придруженог таласа материје. Како $h$ има тачно дефинисану вредност, вредност $\hslash$ се може израчунати са произвољном прецизношћу: Шаблон:Nowrap Као константа пропорционалности у односима који укључују угаоне величине, јединица за $\hslash$ може се изразити као J·s/rad, са истом нумеричком вредношћу, будући да је радијан природна бездимензионална јединица за угао.

Историја

Порекло константе

Спомен-плоча на Хумболтовом универзитету у Берлину: „У овој згради је од 1889. до 1928. предавао Макс Планк, проналазач елементарног кванта дејства h.”

Интензитет светлости коју емитује црно тело. Свака крива представља понашање при различитим температурама тела. Планкова константа h се користи за објашњење облика ових кривих.

Планкова константа је формулисана као део успешног настојања Макса Планка да изведе математички израз који би тачно предвидео посматрану спектралну расподелу зрачења црног тела. Овај израз је познат као Планков закон.

У последњим годинама 19. века, Макс Планк је истраживао проблем зрачења црног тела који је поставио Кирхоф око 40 година раније. Свако физичко тело спонтано и континуирано емитује електромагнетно зрачење. Није постојао израз нити објашњење за укупан облик посматраног емисионог спектра. У то време, Винов закон се слагао са подацима за кратке таласне дужине и високе температуре, али није функционисао за дуге таласне дужине.Шаблон:Rp Такође, отприлике у то време, али без Планковог знања, Лорд Рејли је теоријски извео формулу, касније познату као Рејли-Џинсов закон, која је могла разумно предвидети дуге таласне дужине, али је драматично заказивала при кратким таласним дужинама.

Приступајући овом проблему, Планк је поставио хипотезу да једначине кретања за светлост описују скуп хармонијских осцилатора, по један за сваку могућу фреквенцију. Испитао је како се ентропија осцилатора мења са температуром тела, покушавајући да усклади резултате са Виновим законом, и успео је да изведе приближну математичку функцију за спектар црног тела, која је дала једноставну емпиријску формулу за дуге таласне дужине.

Планк је покушао да пронађе математички израз који би могао да репродукује Винов закон (за кратке таласне дужине) и емпиријску формулу (за дуге таласне дужине). Овај израз је укључивао константу, $h$, за коју се сматра да потиче од немачке речи Шаблон:Lang (помоћна величина), и која је касније постала позната као Планкова константа. Израз који је Планк формулисао показао је да је спектрална радијанција по јединици фреквенције тела за фреквенцију Шаблон:Math на апсолутној температури Шаблон:Math дата као $$B_{\nu }(\nu ,T)d\nu =\frac{2h{\nu }^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h\nu }{k_{\mathrm{B}}T}}-1}d\nu ,$$ где је $k_{\text{B}}$ Болцманова константа, $h$ је Планкова константа, а $c$ је брзина светлости у средини, било материјалној или вакууму.

Планк је убрзо схватио да његово решење није јединствено. Постојало је неколико различитих решења, од којих је свако давало другачију вредност за ентропију осцилатора. Да би спасао своју теорију, Планк је прибегао коришћењу тада контроверзне теорије статистичке механике, што је описао као „чин очаја”. Један од његових нових граничних услова био је

Шаблон:Blockquote Са овим новим условом, Планк је наметнуо квантизацију енергије осцилатора, по његовим сопственим речима, „чисто формална претпоставка... заправо нисам много размишљао о томе”, али она која ће револуционисати физику. Примена овог новог приступа на Винов закон померања показала је да „енергетски елемент” мора бити пропорционалан фреквенцији осцилатора, што је прва верзија онога што се понекад назива Планк-Ајнштајновом релацијом: $$E=hf.$$

Планк је успео да израчуна вредност $h$ из експерименталних података о зрачењу црног тела: његов резултат, Шаблон:Val, унутар је 1,2% од тренутно дефинисане вредности. Он је такође извршио прво одређивање Болцманове константе $k_{\text{B}}$ из истих података и теорије.

Посматране Планкове криве на различитим температурама и одступање теоријске Рејли-Џинсове (црне) криве од посматране Планкове криве на 5000 K.

Развој и примена

Проблем црног тела поново је разматран 1905. године, када су Лорд Рејли и Џејмс Џинс (заједно), као и Алберт Ајнштајн, независно доказали да класични електромагнетизам никада не би могао да објасни посматрани спектар. Ови докази су општепознати као „ултраљубичаста катастрофа”, назив који је сковао Паул Еренфест 1911. године. Они су у великој мери допринели (заједно са Ајнштајновим радом на фотоелектричном ефекту) убеђивању физичара да је Планков постулат о квантизованим нивоима енергије више од пуког математичког формализма. Прва Солвејева конференција 1911. године била је посвећена „теорији зрачења и кваната”.

Фотоелектрични ефекат

Шаблон:Главни чланак Фотоелектрични ефекат је емисија електрона (названих „фотоелектрони”) са површине када се она обасја светлошћу. Први пут га је приметио Александар Едмон Бекерел 1839. године, иако се заслуге обично приписују Хајнриху Херцу, који је објавио прво темељно истраживање 1887. године. Још једно посебно темељно истраживање објавио је Филип Ленард 1902. године. Ајнштајнов рад из 1905. године који је дискутовао о овом ефекту у смислу квантова светлости донеће му Нобелову награду 1921. године, након што су његова предвиђања потврђена експерименталним радом Роберта Миликана. Нобелов комитет му је доделио награду за рад на фотоелектричном ефекту, а не на теорији релативности, делимично због предрасуда према чисто теоријској физици која није била утемељена на открићима или експериментима, као и због неслагања међу члановима око стварног доказа да је релативност стварна.

Пре Ајнштајновог рада, сматрало се да се електромагнетно зрачење попут видљиве светлости понаша као талас: отуда и употреба термина „фреквенција” и „таласна дужина” за карактеризацију различитих врста зрачења. Енергија коју талас преноси у датом времену назива се његовим интензитетом. Светлост из позоришног рефлектора је интензивнија од светлости из обичне кућне сијалице; односно, рефлектор емитује више енергије по јединици времена и по јединици простора (и самим тим троши више струје) од обичне сијалице, иако боја светлости може бити веома слична. Други таласи, попут звука или таласа који ударају у обалу, такође имају свој интензитет. Међутим, енергетски биланс фотоелектричног ефекта изгледа да се није слагао са таласним описом светлости.

„Фотоелектрони” емитовани као резултат фотоелектричног ефекта имају одређену кинетичку енергију, која се може измерити. Ова кинетичка енергија (за сваки фотоелектрон) је независна од интензитета светлости, али линеарно зависи од фреквенције; и ако је фреквенција превише ниска (што одговара енергији фотона која је мања од излазног рада материјала), фотоелектрони се уопште не емитују, осим ако више фотона, чији је енергетски збир већи од енергије фотоелектрона, не делује готово истовремено (вишефотонски ефекат). Под претпоставком да је фреквенција довољно висока да изазове фотоелектрични ефекат, повећање интензитета извора светлости доводи до емисије више фотоелектрона са истом кинетичком енергијом, а не до емисије истог броја фотоелектрона са већом кинетичком енергијом.

Ајнштајново објашњење за ова запажања било је да је сама светлост квантизована; да се енергија светлости не преноси континуирано као код класичног таласа, већ само у малим „пакетима” или квантима. Величина ових „пакета” енергије, који ће касније бити названи фотонима, требало је да буде иста као и Планков „енергетски елемент”, што даје модерну верзију Планк-Ајнштајнове релације: $$E=hf.$$

Ајнштајнов постулат је касније експериментално доказан: показано је да је константа пропорционалности између фреквенције упадне светлости $f$ и кинетичке енергије фотоелектрона $E$ једнака Планковој константи $h$.

Структура атома

Шематски приказ Боровог модела атома водоника. Приказани прелаз са нивоа Шаблон:Nowrap на ниво Шаблон:Nowrap ствара видљиву светлост таласне дужине 656 nm (црвена боја), као што модел предвиђа.

Године 1912. Џон Вилијам Николсон је развио атомски модел и открио да су угаони импулси електрона у моделу повезани са h/2Шаблон:Pi. Николсонов нуклеарни квантни атомски модел утицао је на развој атомског модела Нилса Бора и Бор га је цитирао у свом раду из 1913. године о Боровом моделу атома. Боров модел је отишао даље од Планковог апстрактног концепта хармонијског осцилатора: електрон у Боровом атому могао је имати само одређене дефинисане енергије $E_n$, дефинисане као $$E_n=-\frac{hc{R}_{\mathrm{\infty }}}{n^2},$$ где је $c$ брзина светлости у вакууму, $R_{\mathrm{\infty }}$ је експериментално утврђена константа (Ридбергова константа) и $n\in \{1,2,3,\mathrm{...}\}$. Овај приступ је такође омогућио Бору да објасни Ридбергову формулу, емпиријски опис атомског спектра водоника, и да објасни вредност Ридбергове константе $R_{\mathrm{\infty }}$ преко других фундаменталних константи. У расправи о угаоном импулсу електрона у свом моделу, Бор је увео величину $\frac{h}{2\pi }$, познату као редукована Планкова константа као квант угаоног импулса.

Хајзенбергов принцип неодређености

Шаблон:Главни чланак Планкова константа се такође појављује у формулацијама принципа неодређености Вернера Хајзенберга. За велики број честица припремљених у истом стању, неодређеност њихове позиције, $\mathrm{\Delta }x$, и неодређеност њиховог импулса, $\mathrm{\Delta }{p}_x$, повинују се правилу: $$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }{p}_x\ge \frac{\hslash }{2},$$ где је неодређеност дата као стандардна девијација измерене вредности од њене очекиване вредности. Постоји неколико других таквих парова физички мерљивих коњугованих променљивих које се повинују сличном правилу. Један пример је време насупрот енергије. Инверзни однос између неодређености две коњуговане променљиве приморава на компромис у квантним експериментима, јер прецизније мерење једне величине доводи до тога да друга величина постане непрецизна.

Поред неких претпоставки које леже у основи тумачења одређених вредности у квантно-механичкој формулацији, један од основних камена темељаца целокупне теорије лежи у комутационој релацији између оператора позиције $\hat{x}$ и оператора импулса $\hat{p}$: $$[{\hat{p}}_i,{\hat{x}}_j]=-i\hslash {\delta }_{ij},$$ где је ${\delta }_{ij}$ Кронекерова делта.

Енергија фотона

Планкова релација повезује одређену енергију фотона Шаблон:Math са његовом придруженом фреквенцијом таласа Шаблон:Math: $$E=hf.$$ Ова енергија је изузетно мала у контексту уобичајено перципираних свакодневних објеката.

Пошто су фреквенција Шаблон:Math, таласна дужина Шаблон:Math и брзина светлости Шаблон:Math повезане релационим односом $f=\frac{c}{\lambda }$, релација се такође може изразити као $$E=\frac{hc}{\lambda }.$$

Де Брољева таласна дужина

Године 1923, Луј де Број је генерализовао Планк-Ајнштајнову релацију постулирајући да Планкова константа представља пропорционалност између импулса и квантне таласне дужине не само фотона, већ квантне таласне дужине било које честице. Ово је убрзо након тога потврђено експериментима. Ово важи у целој квантној теорији, укључујући електродинамику. Де Брољева таласна дужина Шаблон:Math честице дата је као $$\lambda =\frac{h}{p},$$ где Шаблон:Math означава линеарни импулс честице, као што је фотон, или било која друга елементарна честица.

Енергија фотона са угаоном фреквенцијом Шаблон:Math дата је као $$E=\hslash \omega ,$$ док се његов линеарни импулс односи на $$p=\hslash k,$$ где је Шаблон:Math угаони таласни број.

Ове две релације су временски и просторни делови специјално-релативистичког израза коришћењем 4-вектора. $$P^{\mu }=(\frac{E}{c},\overrightarrow{p})=\hslash K^{\mu }=\hslash (\frac{\omega }{c},\overrightarrow{k}).$$

Статистичка механика

Класична статистичка механика захтева постојање Шаблон:Math (али не дефинише његову вредност). На крају, након Планковог открића, почело је да се спекулише да физичко дејство не може имати произвољну вредност, већ је уместо тога ограничено на целобројне умношке веома мале количине, „[елементарног] кванта дејства”, названог Планковом константом. Ово је био значајан концепт „старе квантне теорије” коју су развили физичари укључујући Бора, Зомерфелда и Ишивару, у којој путање честица постоје али су скривене, док их квантни закони ограничавају на основу њиховог дејства. Ово гледиште је замењено модерном квантном теоријом, у којој фиксне путање кретања чак ни не постоје; уместо тога, честица је представљена таласном функцијом раширеном у простору и времену.Шаблон:Rp Са овим је повезан концепт квантизације енергије који је постојао у старој квантној теорији и такође постоји у измењеном облику у модерној квантној физици. Класична физика не може да објасни квантизацију енергије.

Димензија и вредност

Планкова константа има исте димензије као дејство и као угаони импулс (оба са јединицом J·s = kg·m²·s⁻¹). Планкова константа је фиксирана на Шаблон:Nowrap као део дефиниције СИ јединица. Алтернативно, ако би се радијан сматрао базном јединицом, онда би $h$ имало димензију дејства (јединица J·s), док би $\hslash$ уместо тога имало димензију угаоног импулса (јединица J·s·rad⁻¹).

Ова вредност се користи за дефинисање СИ јединице за масу, килограма: „килограм [...] је дефинисан узимањем фиксне нумеричке вредности Шаблон:Math да буде Шаблон:Val када је изражена у јединици J⋅s, што је једнако kg⋅m²⋅s⁻¹, где су метар и секунда дефинисани у смислу брзине светлости Шаблон:Math и трајања хиперфиног прелаза основног стања непоремећеног атома цезијума-133 Шаблон:Math.” Технологије масене метрологије као што је Киблова вага мере килограм фиксирањем Планкове константе.

Како $h$ има тачно дефинисану вредност, вредност редуковане Планкове константе $\hslash$ може се израчунати са произвољном прецизношћу без икакве ограничавајуће мерне несигурности:

$\hslash =\frac{h}{2\pi }=\frac{6.62607015}{2\pi }\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{\cdot }\mathrm{s}=1.054571\mathrm{817...}\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{\cdot }\mathrm{s}$

У нуклеарној физици и физици честица често се користи величина $\hslash c$ (где је $c=299792458\mathrm{m}/\mathrm{s}$ брзина светлости) која има димензију енергије помножене дужином. Пошто и $\hslash$ и $c$ имају тачно дефинисане вредности, ова величина је такође тачно дефинисана и дата је, у мега-електронволтима (MeV) помноженим фемтометрима (fm) као

$\hslash c=197.3269804\dots \mathrm{M}\mathrm{e}\mathrm{V}\cdot \mathrm{f}\mathrm{m}$.

Као константа пропорционалности у односима који укључују угаоне величине, јединица за $\hslash$ може бити изражена као J·s/rad, са истом нумеричком вредношћу, пошто је радијан природна бездимензионална јединица за угао. Ово је аналогно употреби херца (Hz) за обичну фреквенцију и радијана у секунди (rad/s) за угаону фреквенцију, при чему су обе димензионо једнаке s⁻¹.

Значај вредности

Планкова константа једна је од најмањих константи које се користе у физици. То одражава чињеницу да је на размери прилагођеној људима, где су енергије типично реда величине килоџула, а времена типично реда величине секунди или минута, Планкова константа веома мала. Када се производ енергије и времена за физички догађај приближи Планковој константи, почињу да доминирају квантни ефекти.

Еквивалентно, ред величине Планкове константе одражава чињеницу да су свакодневни објекти и системи састављени од великог броја микроскопских честица. На пример, у зеленој светлости (са таласном дужином од 555 нанометара или фреквенцијом од Шаблон:Val) сваки фотон има енергију Шаблон:Nowrap. Ово је веома мала количина енергије у смислу свакодневног искуства, али свакодневно искуство се не бави појединачним фотонима ништа више него појединачним атомима или молекулима. Количина светлости типичнија за свакодневно искуство (иако много већа од најмање количине коју може да примети људско око) је енергија једног мола фотона, која се може израчунати множењем енергије фотона са Авогадровим бројем, Шаблон:Physconst са резултатом од Шаблон:Val, што је отприлике једнако енергетској вредности хране у једној малој свежој јабуци.

Редукована Планкова константа

Многе једначине у квантној физици се уобичајено пишу коришћењем редуковане Планкове константе,Шаблон:Rp познате и као Диракова константа, која је једнака $\frac{h}{2\pi }$ и означава се са $\hslash$ (изговара се h-прецртаноШаблон:Rp).

Историја

Комбинација $\frac{h}{2\pi }$ појавила се у раду Нилса Бора из 1913. године,Шаблон:Rp где је означена са Шаблон:NowrapШаблон:RpШаблон:Напомена Током наредних 15 година, ова комбинација је наставила да се појављује у литератури, али обично без засебног симбола.Шаблон:RpШаблон:Напомена Затим су 1926. године, у својим епохалним радовима, Ервин Шредингер и Пол Дирак поново увели посебне симболе за њу: $K$ у случају Шредингера, и $h$ у случају Дирака. Дирак је наставио да користи $h$ на овај начин све до 1930. године,Шаблон:Rp када је увео симбол $\hslash$ у својој књизи Принципи квантне механике.Шаблон:Rp

У Уникоду

У електронском тексту, Планкова константа $h$ се вероватно најчешће представља обичним словом Шаблон:Unichar2, које је обично стилизовано околним системом за форматирање. Међутим, у блоку Симболи налик словима (енгл. Шаблон:Lang), Уникод такође пружа наменски знак Шаблон:Unichar2.Шаблон:R Ситуација је слична и у вези са $\hslash$: специфични знак Шаблон:Unichar2 налази се у Уникоду,Шаблон:R као и уобичајено слово Шаблон:Unichar2.

Види још

• Комитет за податке Међународног научног савета
• Међународни систем јединица
• Увод у квантну механику
• Списак научника чија се имена користе у називима физичких константи
• Планкове јединице
• Таласно-честични дуализам

Литература

• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• „Улога Планкове константе у физици” – презентација на 26. састанку Генералне конференције за тегове и мере (CGPM) у Версају, Француска, новембра 2018. када је одржано гласање.
• „Планкова константа и њене јединице” – презентација на 35. Симпозијуму о хемијској физици на Универзитету у Вотерлуу, Онтарио, Канада, 3. новембра 2019.