Логаритам

Графици логаритамских функција, са три најчешће коришћене основе. Посебне тачке Шаблон:Math су означене испрекиданим линијама, а све криве се секу у Шаблон:Math.

У математици, логаритам броја је експонент којим се друга фиксна вредност, основа, мора степеновати да би се добио тај број. На пример, логаритам броја Шаблон:Math за основу Шаблон:Math је Шаблон:Math, јер је Шаблон:Math једнако Шаблон:Math на Шаблон:Math. степен: Шаблон:Math. Уопштено, ако је Шаблон:Math, онда је Шаблон:Mvar логаритам броја Шаблон:Mvar за основу Шаблон:Mvar, што се пише као Шаблон:Math, тако да је Шаблон:Math. Као функција једне променљиве, логаритам за основу Шаблон:Mvar је инверзна функција степеновања са основом Шаблон:Mvar.

Логаритам за основу Шаблон:Math се назива децимални или декадни логаритам и често се користи у науци и инжењерству. Природни логаритам има број [[e (математичка константа)|Шаблон:Math]] као своју основу; његова употреба је широко распрострањена у математици и физици због његовог веома једноставног извода. Бинарни логаритам користи основу Шаблон:Math и широко се користи у рачунарству, теорији информација, теорији музике и фотографији. Када је основа недвосмислена из контекста или ирелевантна, често се изоставља, а логаритам се пише само као Шаблон:Math.

Логаритме је увео Џон Непер 1614. године као средство за поједностављење прорачуна. Брзо су их усвојили навигатори, научници, инжењери, геодети и други како би лакше обављали прорачуне високе тачности. Коришћењем логаритамских таблица, мучни кораци множења са више цифара могу се заменити претраживањем таблица и једноставнијим сабирањем. То је могуће јер је логаритам производа једнак збиру логаритама фактора:

$${\log }_b(xy)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y,$$

под условом да су Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar позитивни и Шаблон:Math. Шибер, који се такође заснива на логаритмима, омогућава брзе прорачуне без таблица, али са мањом прецизношћу. Данашњи појам логаритама потиче од Леонарда Ојлера, који их је повезао са експоненцијалном функцијом у 18. веку, и који је такође увео слово Шаблон:Mvar као основу природних логаритама.

Логаритамске скале своде величине широког распона на мање опсеге. На пример, децибел (dB) је мерна јединица која се користи за изражавање односа као логаритма, углавном за снагу и амплитуду сигнала (од чега је звучни притисак чест пример). У хемији, pH вредност је логаритамска мера за киселост воденог раствора. Логаритми су уобичајени у научним формулама, као и у мерењима сложености алгоритама и геометријских објеката који се називају фрактали. Они помажу у описивању односа фреквенција музичких интервала, појављују се у формулама које пребројавају просте бројеве или апроксимирају факторијеле, информишу неке моделе у психофизици и могу помоћи у форензичком рачуноводству.

Концепт логаритма као инверзне операције степеновања протеже се и на друге математичке структуре. Међутим, у општим поставкама, логаритам тежи да буде вишезначна функција. На пример, комплексни логаритам је вишезначна инверзна функција комплексне експоненцијалне функције. Слично томе, дискретни логаритам је вишезначна инверзна функција експоненцијалне функције у коначним групама; има примену у криптографији јавног кључа.

Мотивација

График логаритма за основу 2 сече x-осу у Шаблон:Math и пролази кроз тачке Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap, приказујући нпр. Шаблон:Math и Шаблон:Math. График се произвољно приближава Шаблон:Mvar-оси, али је не додирује (асимптота).

Сабирање, множење и степеновање су три најосновније аритметичке операције. Инверзна операција сабирања је одузимање, а инверзна операција множења је дељење. Слично томе, логаритам је инверзна операција степеновања. Степеновање је када се број Шаблон:Mvar, основа, подигне на одређени степен Шаблон:Mvar, експонент, да би се добила вредност Шаблон:Mvar; ово се означава као

$$b^y=x.$$

На пример, подизање броја Шаблон:Math на степен Шаблон:Math даје Шаблон:Math: $2^3=8.$

Логаритам за основу Шаблон:Mvar је инверзна операција која даје излаз Шаблон:Mvar за улаз Шаблон:Mvar. То јест, $y={\log }_{b}x$ је еквивалентно са $x=b^y$ ако је Шаблон:Mvar позитиван реалан број. (Ако Шаблон:Mvar није позитиван реалан број, и степеновање и логаритам се могу дефинисати, али могу имати више вредности, што дефиниције чини много сложенијим.)

Једна од главних историјских мотивација за увођење логаритама је формула

$${\log }_b(xy)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y,$$

помоћу које логаритамске таблице омогућавају да се множење и дељење сведу на сабирање и одузимање, што је била велика помоћ при рачунању пре проналаска рачунара.

Дефиниција

Нека је дат позитиван реалан број Шаблон:Mvar такав да је Шаблон:Math, логаритам позитивног реалног броја Шаблон:Mvar за основу Шаблон:MvarШаблон:Refn јесте експонент којим се основа Шаблон:Mvar мора степеновати да би се добило Шаблон:Mvar. Другим речима, логаритам броја Шаблон:Mvar за основу Шаблон:Mvar је јединствени реалан број Шаблон:Mvar такав да је $b^y=x$.

Логаритам се означава са „Шаблон:Math” (чита се као „логаритам броја Шаблон:Mvar за основу Шаблон:Mvar” или најчешће „лог са основом Шаблон:Mvar од Шаблон:Mvar”).

Еквивалентна и сажетија дефиниција јесте да је функција Шаблон:Math инверзна функција функцији $x\mapsto b^x$.

Примери

• Шаблон:Math, јер је Шаблон:Math.
• Логаритми могу бити и негативни: ${\log }_2\frac{1}{2}=-1$ јер је $2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}.$
• Шаблон:Math је приближно 2,176, што лежи између 2 и 3, баш као што 150 лежи између Шаблон:Math и Шаблон:Math.
• За било коју основу Шаблон:Mvar, Шаблон:Math и Шаблон:Math, јер је Шаблон:Math и Шаблон:Math.

Логаритамски идентитети

Неколико важних формула, које се понекад називају логаритамски идентитети или логаритамски закони, повезују логаритме једне са другима.

Производ, количник, степен и корен

Логаритам производа је збир логаритама бројева који се множе; логаритам количника два броја је разлика њихових логаритама. Логаритам Шаблон:Mvar-тог степена неког броја је Шаблон:Mvar пута логаритам самог тог броја; логаритам Шаблон:Mvar-тог корена је логаритам тог броја подељен са Шаблон:Mvar. Следећа табела наводи ове идентитете са примерима. Сваки од идентитета може се извести након замене дефиниција логаритма $x=b^{{\log }_{b}x}$ или $y=b^{{\log }_{b}y}$ на левој страни. У следећим формулама, Шаблон:Tmath и Шаблон:Tmath су позитивни реални бројеви, а Шаблон:Tmath је цео број већи од 1.

Идентитети логаритма за производ, количник, степен и корен

Идентитет	Формула	Пример
Производ	${\log }_b(xy)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y$	${\log }_{3}243={\log }_3(9\cdot 27)={\log }_{3}9+{\log }_{3}27=2+3=5$
Количник	${\log }_b\frac{x}{y}={\log }_{b}x-{\log }_{b}y$	${\log }_{2}16={\log }_2\frac{64}{4}={\log }_{2}64-{\log }_{2}4=6-2=4$
Степен	${\log }_b\left(x^p\right)=p{\log }_{b}x$	${\log }_{2}64={\log }_2\left(2^6\right)=6{\log }_{2}2=6$
Корен	${\log }_b\sqrt[p]{x}=\frac{{\log }_{b}x}{p}$	${\log }_{10}\sqrt{1000}=\frac{1}{2}{\log }_{10}1000=\frac{3}{2}=1.5$

Промена основе

Логаритам Шаблон:Math се може израчунати из логаритама бројева Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar у односу на произвољну основу Шаблон:Mvar помоћу следеће формуле:Шаблон:Refn

$${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{k}x}{{\log }_{k}b}.$$

Типични научни калкулатори рачунају логаритме за основе 10 и Шаблон:Mvar. Логаритми у односу на било коју основу Шаблон:Mvar могу се одредити коришћењем било ког од ова два логаритма помоћу претходне формуле:

$${\log }_{b}x=\frac{{\log }_{10}x}{{\log }_{10}b}=\frac{{\log }_{e}x}{{\log }_{e}b}.$$

За дати број Шаблон:Mvar и његов логаритам Шаблон:Math за непознату основу Шаблон:Mvar, основа се добија помоћу:

$$b=x^{\frac{1}{y}},$$

што се може видети степеновањем дефиниционе једначине $x=b^{{\log }_{b}x}=b^y$ на степен $\frac{1}{y}.$

Посебне основе

Преклопљени графици логаритма за основе 1/2, 2 и e

Међу свим могућим изборима за основу, три се посебно истичу. То су Шаблон:Math, Шаблон:Math (ирационална математичка константа Шаблон:Nobr и Шаблон:Math (бинарни логаритам). У математичкој анализи, логаритам за основу Шаблон:Mvar је широко распрострањен због аналитичких својстава објашњених у наставку. Са друге стране, логаритми за основу 10 (декадни логаритам) лаки су за коришћење при ручним прорачунима у децималном бројевном систему:

$${\log }_{10}(10x)={\log }_{10}10+{\log }_{10}x=1+{\log }_{10}x.$$

Стога је Шаблон:Math повезан са бројем децималних цифара позитивног целог броја Шаблон:Mvar: број цифара је најмањи цео број који је строго већи од Шаблон:Nobr На пример, Шаблон:Math је приближно 3,78. Следећи цео број изнад њега је 4, што је и број цифара броја 5986. И природни логаритам и бинарни логаритам се користе у теорији информација, што одговара употреби нејтова (nat) или битова (бит) као основних јединица информације, респективно. Бинарни логаритми се такође користе у рачунарству, где је бинарни систем свеприсутан; у теорији музике, где је однос висина тонова од два (октава) свеприсутан, а број центи (цент) између било која два тона је скалирана верзија бинарног логаритма, или log 2 пута 1200, односа висина (тј. 100 центи по полустепену у конвенционалном једнаком темперовању); и у фотографији, где се скалирани логаритми за основу 2 користе за мерење вредности експозиције, нивоа осветљења, времена експозиције, отвора бленде и брзине филма у „стоповима”.

Скраћеница Шаблон:Math се често користи када се намеравана основа може закључити на основу контекста или дисциплине, или када је основа неодређена или небитна. Декадни логаритми (основа 10), историјски коришћени у логаритамским таблицама и шиберима, основно су средство за мерење и рачунање у многим областима науке и инжењерства; у овим контекстима Шаблон:Math често значи логаритам за основу десет. У математици Шаблон:Math обично означава природни логаритам (основа Шаблон:Mvar). У рачунарству и теорији информација, Шаблон:Math се често односи на бинарне логаритме (основа 2). Следећа табела наводи уобичајене нотације за логаритме за ове основе. Колона „ISO нотација” наводи ознаке које предлаже Међународна организација за стандардизацију.

Основа Шаблон:Mvar	Назив за logb x	ISO нотација	Остале нотације
2	бинарни логаритам	Шаблон:Math	Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math
Шаблон:Mvar	природни логаритам	Шаблон:Math Шаблон:Refn	Шаблон:Math, Шаблон:Math
10	декадни логаритам	Шаблон:Math	Шаблон:Math, Шаблон:Math
Шаблон:Mvar	логаритам за основу Шаблон:Mvar	Шаблон:Math

Историја

Шаблон:Главни чланак Историја логаритама у Европи седамнаестог века обележена је открићем нове функције која је проширила домен анализе изван оквира алгебарских метода. Методу логаритама јавно је изложио Џон Непер 1614. године у књизи под насловом Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Опис чудесног канона логаритама). Пре Неперовог изума, постојале су и друге технике сличних опсега, као што је простафереза или употреба таблица прогресија, које је екстензивно развио Јост Бирги око 1600. године. Непер је сковао термин логаритам у средњовековном латинском језику, Шаблон:Lang, што дословно значи број односа, изведено од грчких речи Шаблон:Transliteration (пропорција, однос, реч) + Шаблон:Transliteration (број).

Декадни логаритам неког броја је индекс оног степена броја десет који је једнак том броју. Говорити о томе да је за неки број потребно толико цифара груба је алузија на декадни логаритам, што је Архимед називао „редом броја”. Први прави логаритми били су хеуристичке методе за претварање множења у сабирање, чиме се олакшавало брзо рачунање. Неке од ових метода користиле су таблице изведене из тригонометријских идентитета. Такве методе се називају простафереза.

Изум функције која је данас позната као природни логаритам почео је као покушај да се изврши квадратура правоугаоне хиперболе од стране Грегоара де Сен-Венсана, белгијског језуите који је живео у Прагу. Архимед је написао дело Квадратура параболе у трећем веку пре нове ере, али је квадратура хиперболе измицала свим напорима све док Сен-Венсан није објавио своје резултате 1647. године. Однос који логаритам пружа између геометријске прогресије у свом аргументу и аритметичке прогресије вредности, навео је А. А. де Сарасу да повеже Сен-Венсанову квадратуру са традицијом логаритама у простаферези, што је довело до термина „хиперболични логаритам”, синонима за природни логаритам. Убрзо су нову функцију почели да цене Кристијан Хајгенс и Џејмс Грегори. Нотацију Шаблон:Math усвојио је Готфрид Вилхелм Лајбниц 1675. године, а следеће године ју је повезао са интегралом $\int \frac{dy}{y}.$

Пре него што је Ојлер развио своју модерну концепцију комплексних природних логаритама, Роџер Коутс је дошао до готово еквивалентног резултата када је 1714. показао да је

$$\log (\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta .$$

Логаритамске таблице, шибери и историјске примене

Објашњење логаритама у Енциклопедији Британики из 1797. године

Поједностављивањем тешких прорачуна пре него што су калкулатори и рачунари постали доступни, логаритми су допринели напретку науке, посебно астрономије. Били су кључни за напредак у геодезији, целестијалној навигацији и другим доменима. Пјер Симон Лаплас је логаритме назвао

... изванредним открићем које, скраћујући на неколико дана труд многих месеци, удвостручује живот астронома и штеди га грешака и гађења неодвојивих од дугих прорачуна.

Пошто је функција Шаблон:Math инверзна функција од Шаблон:Math, она се назива антилогаритам. Данас се ова функција чешће назива експоненцијална функција.

Логаритамске таблице

Кључни алат који је омогућио практичну употребу логаритама била је таблица логаритама. Прву такву таблицу саставио је Хенри Бригс 1617. године, одмах након Неперовог изума, али са иновацијом коришћења броја 10 као основе. Бригсова прваблица садржала је декадне логаритме свих целих бројева у распону од 1 до 1000, са прецизношћу од 14 цифара. Касније су писане таблице са све већим опсегом. Ове таблице су наводиле вредности Шаблон:Math за сваки број Шаблон:Mvar у одређеном распону, са одређеном прецизношћу. Логаритми са основом 10 су се универзално користили за рачунање, отуда и назив декадни (или обични) логаритам, јер бројеви који се разликују за факторе од 10 имају логаритме који се разликују за целе бројеве. Декадни логаритам броја Шаблон:Mvar може се раздвојити на цео део и разломљени део, познате као карактеристика и мантиса. Таблице логаритама морале су да садрже само мантису, јер се карактеристика могла лако одредити бројањем цифара од децималног зареза. Карактеристика броја Шаблон:Math је један плус карактеристика од Шаблон:Mvar, а њихове мантисе су исте. Тако се, користећи троцифрену логаритамску таблицу, логаритам броја 3542 апроксимира као:

$$\begin{array}{cc}{\log }_{10}3542& ={\log }_{10}(1000\cdot 3.542)\\ & =3+{\log }_{10}3.542\\ & \approx 3+{\log }_{10}3.54\end{array}$$

Већа тачност се може добити помоћу интерполације:

$${\log }_{10}3542\approx 3+{\log }_{10}3.54+0.2({\log }_{10}3.55-{\log }_{10}3.54)$$

Вредност Шаблон:Math се може одредити обрнутом претрагом у истој таблици, пошто је логаритам монотона функција.

Прорачуни

Производ и количник два позитивна броја Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar рутински су израчунавани као збир и разлика њихових логаритама. Производ Шаблон:Math или количник Шаблон:Math добијали су се тражењем антилогаритма збира или разлике у истој таблици:

$$cd=10^{{\log }_{10}c}10^{{\log }_{10}d}=10^{{\log }_{10}c+{\log }_{10}d}$$

и

$$\frac{c}{d}=c{d}^{-1}=10^{{\log }_{10}c-{\log }_{10}d}.$$

За ручне прорачуне који захтевају значајну прецизност, тражење два логаритма, рачунање њиховог збира или разлике и тражење антилогаритма је много брже од обављања множења помоћу ранијих метода као што је простафереза, која се ослања на тригонометријске идентитете.

Рачунање степена и корена своди се на множења или дељења и претраживања помоћу:

$$c^d={\left(10^{{\log }_{10}c}\right)}^d=10^{d{\log }_{10}c}$$

и

$$\sqrt[d]{c}=c^{\frac{1}{d}}=10^{\frac{1}{d}{\log }_{10}c}.$$

Тригонометријске прорачуне су олакшавале таблице које су садржале декадне логаритме тригонометријских функција.

Шибери

Шаблон:Главни чланак Још једна критична примена био је шибер, пар логаритамски подељених скала које се користе за рачунање. Неклизећа логаритамска скала, Гантерово правило, изумљена је убрзо након Неперовог изума. Вилијам Отред ју је унапредио и створио шибер — пар логаритамских скала које су покретне једна у односу на другу. Бројеви су смештени на клизним скалама на растојањима пропорционалним разликама између њихових логаритама. Одговарајуће померање горње скале механички је еквивалентно сабирању логаритама, као што је илустровано овде:

Шематски приказ шибера. Почевши од 2 на доњој скали, додајте удаљеност до 3 на горњој скали да бисте дошли до производа 6. Шибер ради јер је означен тако да је удаљеност од 1 до Шаблон:Mvar пропорционална логаритму од Шаблон:Mvar.

На пример, додавање удаљености од 1 до 2 на доњој скали удаљености од 1 до 3 на горњој скали даје производ од 6, што се очитава на доњем делу. Шибер је био суштинска алатка за инжењере и научнике све до 1970-их, јер је омогућавао, на уштрб прецизности, много брже рачунање од техника заснованих на таблицама.

Аналитичка својства

За дубље проучавање логаритама потребан је концепт функције. Функција је правило које, када му се да један број, производи други број. Пример је функција која даје $x$-ти степен од $b$ за било који реалан број $x$, где је основа $b$ фиксан број. Ова функција се пише као $f(x)=b^x$. Када је $b$ позитиван и различит од $1$, показаћемо у наставку да је $f$ инвертибилна када се посматра као функција са реалних бројева на позитивне реалне бројеве.

Постојање

Нека је Шаблон:Mvar позитиван реалан број различит од $1$ и нека је $f(x)=b^x$.

У реалној анализи је стандардни резултат да је свака непрекидна строго монотона функција бијекција између њеног домена и кодомена. Ова чињеница следи из теореме о међувредности. Сада, $f$ је строго растућа (за $b>1$), или строго опадајућа (за $0<b<1$), непрекидна је, има домен $ℝ$ и има кодомен ${ℝ}_{>0}$. Стога је $f$ бијекција са $ℝ$ на ${ℝ}_{>0}$. Другим речима, за сваки позитиван реалан број $y$, постоји тачно један реалан број $x$ такав да је $b^x=y$.

Са ${\log }_b:{ℝ}_{>0}\to ℝ$ означавамо инверзну функцију од $f$. То јест, ${\log }_{b}y$ је јединствени реалан број $x$ такав да је $b^x=y$. Ова функција се назива логаритамска функција за основу $b$ (или само логаритам).

Карактеризација формулом производа

Функција Шаблон:Math такође се може суштински карактерисати формулом производа

$${\log }_b(xy)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y.$$

Прецизније, логаритам за било коју основу Шаблон:Math је једина растућа функција f са позитивних реалних бројева на реалне бројеве која задовољава услов Шаблон:Math и

$$f(xy)=f(x)+f(y).$$

График логаритамске функције

График логаритамске функције Шаблон:Math (плава боја) добија се рефлексијом графика функције Шаблон:Math (црвена боја) у односу на дијагоналну линију (Шаблон:Math).

Као што је горе размотрено, функција Шаблон:Math је инверзна експненцијалној функцији $x\mapsto b^x$. Стога, њихови графици одговарају један другом након замене Шаблон:Mvar- и Шаблон:Mvar-координата (или након рефлексије у односу на дијагоналну линију Шаблон:Math), као што је приказано са десне стране: тачка Шаблон:Math на графику од Шаблон:Mvar даје тачку Шаблон:Math на графику логаритма и обрнуто. Као последица, Шаблон:Math дивергира у бесконачност (постаје већи од било ког датог броја) ако Шаблон:Mvar расте у бесконачност, под условом да је Шаблон:Mvar веће од један. У том случају, Шаблон:Math је растућа функција. За Шаблон:Math, Шаблон:Math тежи ка минус бесконачности уместо тога. Када се Шаблон:Mvar приближава нули, Шаблон:Math иде у минус бесконачност за Шаблон:Math (односно плус бесконачност за Шаблон:Math).

Извод и примитивна функција

График природног логаритма (зелена боја) и његова тангента у тачки Шаблон:Math (црна боја)

Аналитичка својства функција преносе се на њихове инверзне функције. Тако, пошто је Шаблон:Math непрекидна и диференцијабилна функција, то исто важи и за Шаблон:Math. Грубо речено, непрекидна функција је диференцијабилна ако њен график нема оштрих „углова”. Штавише, пошто се извод од Шаблон:Math процењује као Шаблон:Math према својствима експоненцијалне функције, правило ланца имплицира да је извод од Шаблон:Math дат са:

$$\frac{d}{dx}{\log }_{b}x=\frac{1}{x\ln b}.$$

Односно, нагиб тангенте која додирује график логаритма за основу Шаблон:Mvar у тачки Шаблон:Math једнак је Шаблон:Math.

Извод од Шаблон:Math је Шаблон:Math; ово имплицира да је Шаблон:Math јединствена примитивна функција од Шаблон:Math која има вредност 0 за Шаблон:Math. Управо је ова веома једноставна формула мотивисала да се природни логаритам назове „природним”; ово је уједно и један од главних разлога за важност [[E (математичка константа)|константе Шаблон:Mvar]].

Извод са уопштеним функционалним аргументом Шаблон:Math је

$$\frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}.$$

Количник на десној страни се назива логаритамски извод функције Шаблон:Mvar. Рачунање Шаблон:Math помоћу извода од Шаблон:Math познато је као логаритамско диференцирање. Примитивна функција природног логаритма Шаблон:Math је:

$$\int \ln (x)dx=x\ln (x)-x+C.$$

Сродне формуле, као што су примитивне функције логаритама за друге основе, могу се извести из ове једначине користећи промену основе.

Интегрална репрезентација природног логаритма

Природни логаритам од Шаблон:Mvar је осенчена површина испод графика функције Шаблон:Math.

Природни логаритам од Шаблон:Mvar може се дефинисати као одређени интеграл:

$$\ln t={\int }_1^t\frac{1}{x}dx.$$

Ова дефиниција има предност у томе што се не ослања на експоненцијалну функцију нити на било које тригонометријске функције; дефиниција је дата преко интеграла једноставне реципрочне вредности. Као интеграл, Шаблон:Math је једнак површини између Шаблон:Mvar-осе и графика функције Шаблон:Math, у опсегу од Шаблон:Math до Шаблон:Math. Ово је последица основне теореме анализе и чињенице да је извод од Шаблон:Math једнак Шаблон:Math. Формуле за логаритам производа и степена могу се извести из ове дефиниције. На пример, формула производа Шаблон:Math се изводи на следећи начин:

$$\begin{array}{cc}\ln (tu)& ={\int }_1^{tu}\frac{1}{x}dx\\ & \stackrel{(1)}{=}{\int }_1^t\frac{1}{x}dx+{\int }_t^{tu}\frac{1}{x}dx\\ & \stackrel{(2)}{=}\ln (t)+{\int }_1^u\frac{1}{w}dw\\ & =\ln (t)+\ln (u).\end{array}$$

Једнакост (1) дели интеграл на два дела, док је једнакост (2) смена променљиве (Шаблон:Math). На илустрацији испод, подела одговара дељењу површине на жути и плави део. Скалирањем леве плаве површине вертикално за фактор Шаблон:Mvar и њеним скупљањем за исти фактор хоризонтално не мења се њена величина. Одговарајућим померањем, површина се поново уклапа у график функције Шаблон:Math. Због тога је лева плава површина, која представља интеграл од Шаблон:Math од Шаблон:Mvar до Шаблон:Mvar, иста као интеграл од 1 до Шаблон:Mvar. Ово оправдава једнакост (2) уз више геометријски доказ.

Визуелни доказ формуле производа за природни логаритам

Формула за степен Шаблон:Math може се извести на сличан начин:

$$\begin{array}{cc}\ln (t^r)& ={\int }_1^{t^r}\frac{1}{x}dx\\ & ={\int }_1^t\frac{1}{w^r}\left(r{w}^{r-1}dw\right)\\ & =r{\int }_1^t\frac{1}{w}dw\\ & =r\ln (t).\end{array}$$

Друга једнакост користи смену променљивих (интеграција сменом), Шаблон:Math.

Збир реципрочних вредности природних бројева,

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k},$$

назива се хармонијски ред. Уско је повезан са природним логаритмом: како Шаблон:Mvar тежи ка бесконачности, разлика,

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln (n),$$

конвергира (тј. произвољно се приближава) броју познатом као Ојлер-Маскеронијева константа Шаблон:Math. Овај однос помаже у анализи перформанси алгоритама као што је квиксорт (Quicksort).

Трансцендентност логаритма

Реални бројеви који нису алгебарски називају се трансцендентни; на пример, [[Пи|Шаблон:Pi]] и e су такви бројеви, док $\sqrt{2-\sqrt{3}}$ није. Готово сви реални бројеви су трансцендентни. Логаритам је пример трансцендентне функције. Гелфонд-Шнајдерова теорема тврди да логаритми обично узимају трансцендентне, тј. „тешке” вредности.

Рачунање

Тастери за логаритам (LOG за основу 10 и LN за основу Шаблон:Mvar) на графичком калкулатору TI-83 Plus

Логаритме је лако израчунати у неким случајевима, као што је Шаблон:Math. Уопштено, логаритми се могу израчунати коришћењем степених редова или аритметичко-геометријске средине, или се могу преузети из унапред израчунатих логаритамских таблица које пружају фиксну прецизност. Њутнов метод, итеративна метода за приближно решавање једначина, такође се може користити за израчунавање логаритма, јер се његова инверзна функција, експоненцијална функција, може ефикасно израчунати. Коришћењем претраживачких табела, методе сличне CORDIC-у могу се користити за израчунавање логаритама користећи само операције сабирања и померања битова (бит шифтовање). Штавише, алгоритам за бинарни логаритам израчунава Шаблон:Math рекурзивно, на основу поновљених квадрирања од Шаблон:Mvar, користећи предност релације

$${\log }_2\left(x^2\right)=2{\log }_2|x|.$$

Степени редови

Тејлоров ред

Тејлоров ред функције Шаблон:Math центриран у Шаблон:Math. Анимација приказује првих 10 апроксимација заједно са 99. и 100. Апроксимације не конвергирају изван удаљености 1 од центра.

За сваки реалан број Шаблон:Mvar који задовољава услов Шаблон:Math, важи следећа формула:Шаблон:Refn

$$\begin{array}{cc}\ln (z)& =\frac{(z-1{)}^1}{1}-\frac{(z-1{)}^2}{2}+\frac{(z-1{)}^3}{3}-\frac{(z-1{)}^4}{4}+\cdots \\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k+1}\frac{(z-1{)}^k}{k}.\end{array}$$

Изједначавање функције Шаблон:Math са овом бесконачном сумом (редом) је скраћени начин да се каже да се функција може апроксимирати све прецизнијом вредношћу путем следећих израза (познатих као парцијалне суме):

$$(z-1),(z-1)-\frac{(z-1{)}^2}{2},(z-1)-\frac{(z-1{)}^2}{2}+\frac{(z-1{)}^3}{3},\dots$$

На пример, са Шаблон:Math трећа апроксимација даје Шаблон:Math, што је за око Шаблон:Math веће од Шаблон:Math, а девета апроксимација даје Шаблон:Math, што је само око Шаблон:Math веће. Шаблон:Mvar-та парцијална сума може апроксимирати Шаблон:Math са произвољном прецизношћу, под условом да је број сабирака Шаблон:Mvar довољно велики.

У елементарном математичком анализи, каже се да ред конвергира ка функцији Шаблон:Math, а функција је гранична вредност тог реда. Ово је Тејлоров ред функције природног логаритма у тачки Шаблон:Math. Тејлоров ред за Шаблон:Math пружа посебно корисну апроксимацију за Шаблон:Math када је Шаблон:Mvar мало, Шаблон:Math, пошто је тада $$\ln (1+z)=z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\cdots \approx z.$$

На пример, за Шаблон:Math апроксимација првог реда даје Шаблон:Math, што је мање од Шаблон:Math одступања од тачне вредности Шаблон:Math.

Инверзни хиперболични тангенс

Још један ред се заснива на функцији инверзни хиперболични тангенс:

$$\ln (z)=2\cdot \mathrm{artanh}\frac{z-1}{z+1}=2(\frac{z-1}{z+1}+\frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3+\frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5+\cdots ),$$

за сваки реалан број Шаблон:Math.Шаблон:Refn Користећи сигма нотацију, ово се такође пише као

$$\ln (z)=2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k+1}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^{2k+1}.$$

Овај ред се може извести из горенаведеног Тејлоровог реда. Он конвергира брже од Тејлоровог реда, посебно ако је Шаблон:Mvar близу 1. На пример, за Шаблон:Math, прва три члана другог реда апроксимирају Шаблон:Math са грешком од око Шаблон:Val. Брза конвергенција за Шаблон:Mvar близу 1 може се искористити на следећи начин: ако је дата апроксимација мале тачности Шаблон:Math и ставимо

$$A=\frac{z}{\exp (y)},$$

логаритам од Шаблон:Mvar је:

$$\ln (z)=y+\ln (A).$$

Што је почетна апроксимација Шаблон:Mvar боља, то је Шаблон:Mvar ближе 1, па се његов логаритам може ефикасно израчунати. Шаблон:Mvar се може израчунати коришћењем експоненцијалног реда, који брзо конвергира под условом да Шаблон:Mvar није превише велико. Рачунање логаритма већих Шаблон:Mvar може се свести на мање вредности од Шаблон:Mvar писањем Шаблон:Math, тако да је Шаблон:Math.

Уско повезана метода може се користити за израчунавање логаритма целих бројева. Стављајући $z=\frac{n+1}{n}$ у горњи ред, следи да је:

$$\ln (n+1)=\ln (n)+2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2k+1}{\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^{2k+1}.$$

Ако је познат логаритам великог целог броја Шаблон:Mvar, онда овај ред даје брзо конвергирајући ред за Шаблон:Math, са брзином конвергенције од ${\left(\frac{1}{2n+1}\right)}^2$.

Апроксимација аритметичко-геометријске средине

Аритметичко-геометријска средина даје високопрецизне апроксимације природног логаритма. Сасаки и Канада су 1982. године показали да је посебно брза за прецизности између 400 и 1000 децималних места, док су методе засноване на Тејлоровом реду биле обично брже када је била потребна мања прецизност. У њиховом раду Шаблон:Math се апроксимира до прецизности од Шаблон:Math (или Шаблон:Mvar прецизних битова) следећом формулом (чији је аутор Карл Фридрих Гаус):

$$\ln (x)\approx \frac{\pi }{2\mathrm{M}(1,2^{2-m}/x)}-m\ln (2).$$

Овде Шаблон:Math означава аритметичко-геометријску средину бројева Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. Добија се узастопним израчунавањем просека Шаблон:Math (аритметичка средина) и $\sqrt{xy}$ (геометријска средина) бројева Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, а затим те две вредности постају следеће Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. Ова два броја брзо конвергирају ка заједничкој граничној вредности која представља вредност Шаблон:Math. Шаблон:Mvar се бира тако да важи

$$x{2}^m>2^{p/2}.$$

како би се осигурала потребна прецизност. Веће Шаблон:Mvar захтева више корака у израчунавању Шаблон:Math (почетни Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar су удаљенији па је потребно више корака да се конвергира), али даје већу прецизност. Константе Шаблон:Math и Шаблон:Math могу се израчунати помоћу редова који брзо конвергирају.

Фајнманов алгоритам

Док је радио у Националној лабораторији у Лос Аламосу на пројекту Менхетн, Ричард Фајнман је развио алгоритам за обраду битова за израчунавање логаритма који је сличан писменом дељењу и касније је коришћен у машини за повезивање (Connection Machine). Алгоритам се ослања на чињеницу да се сваки реалан број Шаблон:Mvar где је Шаблон:Math може представити као производ различитих фактора облика Шаблон:Math. Алгоритам секвенцијално гради тај производ Шаблон:Mvar, почевши са Шаблон:Math и Шаблон:Math: ако је Шаблон:Math, онда мења Шаблон:Mvar у Шаблон:Math. Затим повећава Шаблон:Mvar за један у сваком случају. Алгоритам се зауставља када је Шаблон:Mvar довољно велико да пружи жељену тачност. Пошто је Шаблон:Math збир чланова облика Шаблон:Math који одговарају оним вредностима Шаблон:Mvar за које је фактор Шаблон:Math укључен у производ Шаблон:Mvar, Шаблон:Math се може израчунати једноставним сабирањем, користећи табелу вредности Шаблон:Math за све Шаблон:Mvar. Било која основа се може користити за логаритамску таблицу.

Примене

Љуштура наутилуса која приказује логаритамску спиралу

Логаритми имају многе примене унутар и изван математике. Неке од ових појава су повезане са појмом инваријантности скале. На пример, свака комора љуштуре наутилуса је приближна копија следеће, скалирана за константан фактор. Ово доводи до настанка логаритамске спирале. Бенфордов закон о дистрибуцији водећих цифара такође се може објаснити инваријантношћу скале. Логаритми су такође повезани са самосличношћу. На пример, логаритми се појављују у анализи алгоритама који решавају проблем тако што га деле на два слична мања проблема и затим спајају њихова решења. Димензије самосличних геометријских облика, односно облика чији делови личе на целокупну слику, такође се заснивају на логаритмима. Логаритамске скале су корисне за квантификовање релативне промене вредности, за разлику од њене апсолутне разлике. Штавише, пошто логаритамска функција Шаблон:Math расте веома споро за велико Шаблон:Mvar, логаритамске скале се користе за компресовање научних података великог обима. Логаритми се такође појављују у бројним научним формулама, као што су Циолковскијева једначина, Фенскеова једначина или Нернстова једначина.

Логаритамска скала

Логаритамски график који приказује вредност једне златне марке изражену у папирмаркама током немачке хиперинфлације 1920-их

Научне величине се често изражавају као логаритми других величина, користећи логаритамску скалу. На пример, децибел је мерна јединица повезана са величинама на логаритамској скали. Заснива се на декадном логаритму односа — 10 пута декадни логаритам односа снаге или 20 пута декадни логаритам односа напона. Користи се за квантификацију слабљења или појачања електричних сигнала, за описивање нивоа снаге звука у акустици, и апсорбанције светлости у областима спектрометрије и оптике. Однос сигнал/шум, који описује количину нежељеног шума у односу на (користан) сигнал, такође се мери у децибелима. У сличном духу, максимални однос сигнал-шум обично се користи за процену квалитета звука и метода за компресију слике помоћу логаритма.

Снага земљотреса мери се узимањем декадног логаритма енергије ослобођене током потреса. Ово се користи у моментној магнитудној скали или Рихтеровој магнитудној скали. На пример, земљотрес магнитуде 5,0 ослобађа 32 пута (Шаблон:Math) већу енергију од оног магнитуде 4,0, а земљотрес магнитуде 6,0 ослобађа 1000 пута (Шаблон:Math) већу енергију. Привидна магнитуда логаритамски мери сјајност звезда. У хемији, негативни декадни логаритам, декадни кологаритам, означава се словом p. На пример, pH вредност је декадни кологаритам активности хидронијум јона (облик који водонични јони Шаблон:H+ попримају у води). Активност хидронијум јона у неутралној води је 10⁻⁷ mol·L⁻¹, па је pH вредност 7. Сирће обично има pH вредност око 3. Разлика од 4 одговара односу активности од 10⁴, односно, активност хидронијум јона у сирћету је око Шаблон:Math.

Семилог (лог-линеарни) графици користе концепт логаритамске скале за визуелизацију: једна оса, обично вертикална, скалирана је логаритамски. На пример, график са десне стране компримује стрми пораст од 1 милиона до 1 билиона у исти простор (на вертикалној оси) као и пораст од 1 до 1 милиона. На таквим графицима, експоненцијалне функције облика Шаблон:Math приказују се као праве линије са нагибом једнаким логаритму од Шаблон:Mvar. Лог-лог графици обе осе скалирају логаритамски, што доводи до тога да се функције облика Шаблон:Math приказују као праве линије са нагибом једнаким експоненту Шаблон:Mvar. Ово се примењује при визуелизацији и анализи степених закона.

Психологија

Логаритми се појављују у неколико закона који описују људску перцепцију: Хиков закон предлаже логаритамску везу између времена које је појединцу потребно да одабере алтернативу и броја избора које има. Фицов закон предвиђа да је време потребно да се брзо дође до циљног подручја логаритамска функција односа између удаљености до циља и величине циља. У психофизици, Вебер-Фехнеров закон предлаже логаритамски однос између стимулуса и осећаја, као што је стварна у односу на перципирану тежину предмета који особа носи. (Овај „закон” је, међутим, мање реалистичан од новијих модела, као што је Стивенсов закон степена.)

Психолошке студије су откриле да особе са мало математичког образовања теже да процењују количине логаритамски, односно позиционирају број на неозначеној линији према његовом логаритму, тако да се 10 позиционира једнако близу 100 као што је 100 близу 1000. Повећање образовања помера ово ка линеарној процени (позиционирајући 1000 десет пута даље) у неким околностима, док се логаритми користе када је бројеве које треба приказати тешко приказати линеарно.

Теорија вероватноће и статистика

Три функције густине вероватноће (PDF) случајних променљивих са лог-нормалним расподелама. Параметар локације Шаблон:Math, који је нула за све три приказане PDF криве, представља средњу вредност логаритма случајне променљиве, а не средњу вредност саме променљиве.

Расподела првих цифара (у %, црвене колоне) у становништву 237 држава света. Црне тачке означавају расподелу коју предвиђа Бенфордов закон.

Логаритми се појављују у теорији вероватноће: закон великих бројева налаже да се, за бацање фер новчића, како се број бацања повећава у бесконачност, уочена пропорција писама приближава једној половини. Флуктуације ове пропорције око једне половине описане су законом итерираног логаритма.

Логаритми се такође јављају у лог-нормалним расподелама. Када логаритам неке случајне променљиве има нормалну расподелу, каже се да променљива има лог-нормалну расподелу. Лог-нормалне расподеле сусрећу се у многим областима, где год се променљива формира као производ много независних позитивних случајних променљивих, на пример у проучавању турбуленције.

Логаритми се користе за процену максималне веродостојности параметарских статистичких модела. За такав модел, функција веродостојности зависи од најмање једног параметра који мора бити процењен. Максимум функције веродостојности јавља се на истој вредности параметра као и максимум логаритма веродостојности (лог-веродостојност), јер је логаритам растућа функција. Лог-веродостојност је лакше максимизирати, посебно за помножене веродостојности за независне случајне променљиве.

Бенфордов закон описује појаву цифара у многим скуповима података, као што су висине зграда. Према Бенфордовом закону, вероватноћа да прва децимална цифра неког елемента у узорку података буде Шаблон:Mvar (од 1 до 9) једнака је Шаблон:Math, без обзира на мерну јединицу. Дакле, може се очекивати да око 30% података има 1 као прву цифру, 18% почиње са 2 итд. Ревизори испитују одступања од Бенфордовог закона како би открили лажно рачуноводство.

Трансформација логаритма је врста трансформације података која се користи да се емпиријска расподела приближи претпостављеној.

Рачунарска сложеност

Анализа алгоритама је грана рачунарства која проучава перформансе алгоритама (рачунарских програма који решавају одређени проблем). Логаритми су вредни за описивање алгоритама који деле проблем на мање проблеме, и затим спајају решења подпроблема.

На пример, да би пронашао број у сортираној листи, алгоритам за бинарну претрагу проверава средњи унос и наставља са половином пре или после средњег уноса ако број још увек није пронађен. Овај алгоритам у просеку захтева Шаблон:Math поређења, где је Шаблон:Mvar дужина листе. Слично томе, алгоритам за сортирање спајањем сортира несортирану листу тако што је дели на половине и сортира њих прво пре него што споји резултате. Ови алгоритми обично захтевају време приближно пропорционално са Шаблон:Math. Основа логаритма овде није специфицирана, јер се резултат мења само за константан фактор када се користи друга основа. Константан фактор се обично занемарује у анализи алгоритама према стандардном моделу униформне цене.

За функцију Шаблон:Math каже се да расте логаритамски ако је Шаблон:Math (тачно или приближно) пропорционално логаритму од Шаблон:Mvar. (Биолошки описи раста организама, међутим, користе овај термин за експоненцијалну функцију.) На пример, сваки природан број Шаблон:Mvar може се представити у бинарном облику у не више од Шаблон:Math битова. Другим речима, количина меморије потребна за чување Шаблон:Mvar расте логаритамски са Шаблон:Mvar.

Ентропија и хаос

Билијар на овалном билијарском столу. Две честице, почевши из центра са углом који се разликује за један степен, заузимају путање које хаотично дивергирају због рефлексија на граници.

Ентропија је широко дефинисана као мера нереда неког система. У статистичкој термодинамици, ентропија Шаблон:Mvar неког физичког система дефинише се као

$$S=-k\sum _i{p}_i\ln (p_i).$$

Збир се односи на сва могућа стања Шаблон:Mvar система у питању, као што су позиције честица гаса у посуди. Штавише, Шаблон:Math је вероватноћа да се постигне стање Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar је Болцманова константа. Слично, ентропија у теорији информација мери количину информације. Ако прималац поруке може очекивати било коју од Шаблон:Mvar могућих порука са једнаком вероватноћом, онда се количина информације коју преноси било која таква порука квантификује као Шаблон:Math битова.

Љапуновљеви експоненти користе логаритме за мерење степена хаотичности неког динамичког система. На пример, за честицу која се креће по овалном билијарском столу, чак и мале промене почетних услова резултирају веома различитим путањама честице. Такви системи су хаотични на детерминистички начин, јер мале грешке у мерењу почетног стања предвидљиво доводе до увелико различитих коначних стања. Најмање један Љапуновљев експонент детерминистички хаотичног система је позитиван.

Фрактали

Троугао Сјерпињског (са десне стране) се конструише узастопним замењивањем једнакостраничних троуглова са три мања.

Логаритми се јављају у дефиницијама димензија фрактала. Фрактали су геометријски објекти који су самослични у смислу да мали делови репродукују, бар грубо, целу глобалну структуру. Троугао Сјерпињског (на слици) може бити прекривен са три сопствене копије, при чему свака има странице дужине половине оригиналне дужине. Ово чини да Хаусдорфова димензија ове структуре буде Шаблон:Math. Други појам димензије заснован на логаритму добија се бројањем броја кутија потребних за прекривање фрактала у питању.

Музика

Логаритми су повезани са музичким тоновима и интервалима. У једнаким темперовањима, однос фреквенција зависи само од интервала између два тона, а не од специфичне фреквенције, или висине тона, појединачних тонова. У 12-тонском једнаком темперовању које је уобичајено у модерној западној музици, свака октава (удвостручавање фреквенције) подељена је на дванаест једнако размакнутих интервала који се називају полустепени. На пример, ако нота А има фреквенцију од 440 Hz, онда нота B-снижено (B-flat) има фреквенцију од 466 Hz. Интервал између A и B-снижено је полустепен, као и онај између B-снижено и B (фреквенција 493 Hz). Сходно томе, односи фреквенција се слажу:

$$\frac{466}{440}\approx \frac{493}{466}\approx 1.059\approx \sqrt[12]{2}.$$

Интервали између произвољних висина тона могу се мерити у октавама узимањем логаритма за основу 2 односа фреквенција, могу се мерити у једнако темперованим полустепенима узимањем логаритма за основу Шаблон:Math (Шаблон:Math пута логаритам за основу 2), или се могу мерити у центима, стотим деловима полустепена, узимањем логаритма за основу Шаблон:Math (Шаблон:Math пута логаритам за основу 2). Ово последње се користи за финије кодирање, пошто је потребно за финија мерења или неједнака темперовања.

Интервал (два тона се свирају у исто време)	1/12 тона Шаблон:Audio	Полустепен Шаблон:Audio	Чиста велика терца Шаблон:Audio	Велика терца Шаблон:Audio	Тритонус Шаблон:Audio	Октава Шаблон:Audio
Однос фреквенција $r$	$2^{\frac{1}{72}}\approx 1.0097$	$2^{\frac{1}{12}}\approx 1.0595$	$\frac{5}{4}=1.25$	$\begin{array}{cc}{2}^{\frac{4}{12}}& =\sqrt[3]{2}\\ & \approx 1.2599\end{array}$	$\begin{array}{cc}{2}^{\frac{6}{12}}& =\sqrt{2}\\ & \approx 1.4142\end{array}$	$2^{\frac{12}{12}}=2$
Број полустепена $12{\log }_{2}r$	$\frac{1}{6}$	$1$	$\approx 3.8631$	$4$	$6$	$12$
Број центи $1200{\log }_{2}r$	$16\frac{2}{3}$	$100$	$\approx 386.31$	$400$	$600$	$1200$

Теорија бројева

Природни логаритми су уско повезани са пребројавањем простих бројева (2, 3, 5, 7, 11, ...), што је важна тема у теорији бројева. За сваки цео број Шаблон:Mvar, количина простих бројева мањих или једнаких Шаблон:Mvar означава се са Шаблон:Math. Теорема о простим бројевима тврди да је Шаблон:Math приближно дато са

$$\frac{x}{\ln (x)},$$

у смислу да се однос између Шаблон:Math и тог разломка приближава 1 када Шаблон:Mvar тежи бесконачности. Као последица, вероватноћа да насумично изабран број између 1 и Шаблон:Mvar буде прост број је обрнуто пропорционална броју децималних цифара од Шаблон:Mvar. Далеко боља процена за Шаблон:Math дата је функцијом логаритамског интеграла Шаблон:Math, дефинисаном са

$$\mathrm{L}\mathrm{i}(x)={\int }_2^x\frac{1}{\ln (t)}dt.$$

Риманова хипотеза, једна од најстаријих отворених математичких хипотеза, може се исказати кроз упоређивање Шаблон:Math и Шаблон:Math. Ердеш-Кацова теорема која описује број различитих простих фактора такође укључује природни логаритам.

Логаритам факторијела од n, Шаблон:Math, дат је са

$$\ln (n!)=\ln (1)+\ln (2)+\cdots +\ln (n).$$

Ово се може искористити за добијање Стирлингове формуле, апроксимације за Шаблон:Math за велико Шаблон:Mvar.

Уопштавања

Комплексни логаритам

Поларни облик Шаблон:Math. И Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar су аргументи од Шаблон:Mvar.

Сви комплексни бројеви Шаблон:Mvar који решавају једначину

$$e^a=z$$

називају се комплексни логаритми од Шаблон:Mvar, када се Шаблон:Mvar посматра као комплексан број. Комплексан број се обично представља као Шаблон:Math, где су Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar реални бројеви, а Шаблон:Mvar је имагинарна јединица, чији је квадрат −1. Такав број се може визуелизовати тачком у комплексној равни, као што је приказано са десне стране. Поларни облик кодира не-нулти комплексан број Шаблон:Mvar његовом апсолутном вредношћу, то јест, (позитивним, реалним) растојањем Шаблон:Mvar до координатног почетка, и углом између реалне (Шаблон:Mvar) осе Шаблон:Math и линије која пролази кроз координатни почетак и Шаблон:Mvar. Овај угао се назива аргумент од Шаблон:Mvar.

Апсолутна вредност Шаблон:Mvar од Шаблон:Mvar дата је са

$$r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

Користећи геометријску интерпретацију синуса и косинуса и њихову периодичност у Шаблон:Math, сваки комплексан број Шаблон:Mvar може се означити као

$$\begin{array}{cc}z& =x+iy\\ & =r(\cos \phi +i\sin \phi )\\ & =r(\cos (\phi +2k\pi )+i\sin (\phi +2k\pi )),\end{array}$$

за било који цео број Шаблон:Mvar. Очигледно, аргумент од Шаблон:Mvar није јединствено одређен: и Шаблон:Mvar и Шаблон:Math су валидни аргументи од Шаблон:Mvar за све целе бројеве Шаблон:Mvar, јер додавање Шаблон:Math радијана или k⋅360°Шаблон:Refn на Шаблон:Mvar одговара „омотавању” око координатног почетка у смеру супротном од казаљке на сату за Шаблон:Mvar кругова. Резултујући комплексан број је увек Шаблон:Mvar, као што је илустровано са десне стране за Шаблон:Math. Може се изабрати тачно један од могућих аргумената од Шаблон:Mvar као главни аргумент, означен са Шаблон:Math, са великим словом Шаблон:Math, захтевајући да Шаблон:Mvar припада једном, погодно одабраном кругу, нпр. Шаблон:Math или Шаблон:Math. Ови региони, где је аргумент од Шаблон:Mvar јединствено одређен, називају се гране функције аргумента.

Главна грана (-Шаблон:Pi, Шаблон:Pi) комплексног логаритма, Шаблон:Math. Црна тачка у Шаблон:Math одговара апсолутној вредности нула, а светлије боје односе се на веће апсолутне вредности. Нијанса боје кодира аргумент од Шаблон:Math.

Ојлерова формула повезује тригонометријске функције синус и косинус са комплексном експоненцијалном функцијом: $$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi .$$

Користећи ову формулу, и поново периодичност, важе следећи идентитети:

$$\begin{array}{cc}z& =r(\cos \phi +i\sin \phi )\\ & =r(\cos (\phi +2k\pi )+i\sin (\phi +2k\pi ))\\ & =r{e}^{i(\phi +2k\pi )}\\ & =e^{\ln (r)}{e}^{i(\phi +2k\pi )}\\ & =e^{\ln (r)+i(\phi +2k\pi )}=e^{a_k},\end{array}$$

где је Шаблон:Math јединствени реални природни логаритам, Шаблон:Math означава комплексне логаритме од Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar је произвољан цео број. Стога су комплексни логаритми од Шаблон:Mvar, који су све оне комплексне вредности Шаблон:Math за које је Шаблон:Math-ти степен од Шаблон:Mvar једнак Шаблон:Mvar, бесконачно много вредности

$$a_k=\ln (r)+i(\phi +2k\pi ),$$

за произвољне целе бројеве Шаблон:Mvar.

Узимајући Шаблон:Mvar тако да је Шаблон:Math унутар дефинисаног интервала за главне аргументе, онда се Шаблон:Math назива главна вредност логаритма, означена са Шаблон:Math, поново са великим словом Шаблон:Math. Главни аргумент било ког позитивног реалног броја Шаблон:Mvar је 0; отуда је Шаблон:Math реалан број и једнак је реалном (природном) логаритму. Међутим, горенаведене формуле за логаритме производа и степена не могу се генерализовати на главну вредност комплексног логаритма.

Илустрација са десне стране приказује Шаблон:Math, ограничавајући аргументе од Шаблон:Mvar на интервал Шаблон:Open-closed. На овај начин одговарајућа грана комплексног логаритма има прекиде дуж целе негативне реалне Шаблон:Mvar осе, што се може видети у скоку нијансе боје ту. Овај прекид настаје скакањем на другу границу у истој грани, приликом преласка границе, тј. не мењајући се на одговарајућу Шаблон:Mvar-вредност континуирано суседне гране. Такав локус назива се пресек гране. Укидање ограничења опсега за аргумент чини релације „аргумент од Шаблон:Mvar”, и последично „логаритам од Шаблон:Mvar”, вишезначним функцијама.

Инверзи других експоненцијалних функција

Степеновање се јавља у многим областима математике, а његова инверзна функција се често назива логаритам. На пример, логаритам матрице је (вишезначна) инверзна функција матричне експоненцијалне функције. Још један пример је p-адични логаритам, инверзна функција p-адичне експоненцијалне функције. Оба се дефинишу преко Тејлорових редова аналогно реалном случају. У контексту диференцијалне геометрије, експоненцијално мапирање пресликава тангентни простор у некој тачки многострукости у околину те тачке. Његов инверз се такође назива логаритамско мапирање.

У контексту коначних група, степеновање је дато узастопним множењем једног елемента групе Шаблон:Mvar самим собом. Дискретни логаритам је цео број Шаблон:Mvar који решава једначину

$$b^n=x,$$

где је Шаблон:Mvar елемент групе. Извршавање степеновања може се обавити ефикасно, али се верује да је дискретни логаритам веома тешко израчунати у неким групама. Ова асиметрија има важне примене у криптографији јавног кључа, као што је на пример Размена кључева Дифи—Хелман, рутина која омогућава безбедне размене криптографских кључева преко несигурних информационих канала. Цехов логаритам (Zech's logarithm) је повезан са дискретним логаритмом у мултипликативној групи не-нултих елемената коначног поља.

Даље логаритму сличне инверзне функције укључују двоструки логаритам Шаблон:Math, супер-логаритам или хипер-4-логаритам (чија се мала варијација назива итерирани логаритам у рачунарству), Ламбертова W функција и логит. Оне су редом инверзне функције двоструке експоненцијалне функције, тетрације, функције Шаблон:Math, и логистичке функције.

Повезани концепти

Из перспективе теорије група, идентитет Шаблон:Math изражава изоморфизам група између позитивних реалних бројева у односу на множење и реалних бројева у односу на сабирање. Логаритамске функције су једини непрекидни изоморфизми између ових група. Путем тог изоморфизма, Харова мера (Лебегова мера) Шаблон:Math на реалним бројевима одговара Харовој мери Шаблон:Math на позитивним реалним бројевима. Не-негативни реални бројеви немају само множење, већ имају и сабирање, и чине полупрстен, који се назива полупрстен вероватноће; ово је у ствари полупоље. Логаритам затим преводи множење у сабирање (лог множење), а сабирање у лог сабирање (LogSumExp), дајући изоморфизам полупрстенова између полупрстена вероватноће и лог полупрстена.

Логаритамске један-форме Шаблон:Math се појављују у комплексној анализи и алгебарској геометрији као диференцијалне форме са логаритамским половима.

Полилогаритам је функција дефинисана са

$${\mathrm{Li}}_s(z)=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}.$$

Повезана је са природним логаритмом путем Шаблон:Math. Штавише, Шаблон:Math је једнако Римановој зета функцији Шаблон:Math.

Види још

• Децимални експонент
• Експоненцијална функција

Спољашње везе

• Шаблон:MathWorld
• Khan Academy: Logarithms, бесплатна онлајн микро предавања
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite EB1911