Инверзна функција

Функција -{ƒ}- и њена инверзна -{ƒ}-^–1. Како -{ƒ}- пресликава -{a}- у 3, инверзна функција -{ƒ}-^–1 пресликава 3 назад на -{a}-.

У математици, ако функција ƒ пресликава скуп -{A}- на скуп -{B}-, онда је њена инверзна функција ƒ^-1 таква да пресликава скуп -{B}- на скуп -{A}- и то тако да сложена функција $f\circ f^{-1}$ пресликава сваки елемент скупа -{A}- на самог себе. Нема свака функција своју инверзну, она која има се зове инверзибилна.

Нпр., ако је дата функција ƒ таква да даје дужину у миљама ако је дата дужина у метрима (ƒ(-{x}-) = 1,6 · -{x}-), онда њена инверзна функција -{g}- = ƒ^-1 даје дужину у метрима ако је позната дужина у миљама (-{g(x)}- = -{x}- / 1,6).

Инверзибилност

1. Како функција мора да пресликава оригинал у само једну слику, то функција која није инјективна не може имати инверзну.
2. С друге стране, ако се опсег функције није идентичан њеном кодомену, онда за неке елементе скупа-слике неће бити дефинисано пресликавање ƒ^-1.

Зато можемо рећи да је функција инверзибилна акко је бијекција.

• 
  Сурјективно али неинјективно пресликавање
• 
  Инјективно али несурјективно пресликавање
• 
  Бијекција

Нпр. функција $f(x)=x^2:ℝ\to ℝ$ није ни инјективна (јер позитивни и негативни бројеви имају исту слику), ни сурјективна (јер је ранг ${ℝ}^{+}$, а не читав кодомен $ℝ$). Иста функција, али дефинисана као ${ℝ}^{+}\to {ℝ}^{+}$ има инверзну функцију $\sqrt{x}$. Функција $f(x)=x^3$ има инверзну, а $f(x)=x^3-x$ нема јер није инјективна ($f(0)=f(1)=0$).

Особине

Симетрија

Нека је -{id}- функција идентитета -{id_X = x}-. Тада важи

$\begin{array}{c}f\circ f^{-1}=i{d}_X\\ f^{-1}\circ f=i{d}_Y\end{array}$

односно $(f^{-1}{)}^{-1}=f$.

Инверзна функција сложене функције

При инверзији композиције функција, основне функције мењају редослед:

$(f\circ g{)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$

Аутоинверзија

Функција идентитета је инверзна сама себи:

$i{d}_X^{-1}=i{d}_X$

Графичко представљање

Функција и њена инверзна функција су симетричне у односу на праву $y=x$.

Извод инверзне функције

Ако је почетна функција диференцијабилна, онда се за све тачке у којима $f(x)\ne 0$ важи следећа формула за извод инверзне функције:

$\frac{d}{dy}[f^{-1}(y)]=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}.$

Обележавање

Важно је уочити да ^-1 у означавању инверзне функције није ознака за експонент. Заправо $\frac{1}{f(x)}$ се записује као ƒ(-{x}-)^-1.

У инфинитезималном рачуну ознака ƒ⁽ⁿ⁾ означава -{n}--ти извод функције:

$f^{(n)}(x)=\frac{d^n}{d{x}^n}f(x).$

У тригонометрији, из историјских разлога, ${\sin }^{2}x=(\sin x{)}^2$ а не $\sin (\sin x)$, али је ${\sin }^{-1}x=\arcsin x$, а не $\frac{1}{\sin x}$. Управо да би се избегла ова непрецизност, за инверзне тригонометријске функције користи се ознака -{arc}-, а за реципрочне потпуно друга имена ($\frac{1}{\sin x}=\csc x$). .

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Види још

• Теорија скупова
• Функција
• Списак инверзних функција
• Инјективно пресликавање
• Сурјективно пресликавање
• Бијективно пресликавање