Степени ред

У математици, степени ред (једне променљиве) је ред облика

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - c)}^{n} = a_{0} + a_{1} (x - c) + a_{2} (x - c)^{2} + a_{3} (x - c)^{3} + \dots

где a_n представља коефицијент -{n}--тог сабирка, -{c}- је константа, а -{x}- је променљива близу -{c}-. Ови редови се често јављају у виду Тејлорових редова неке дате функције; у чланку о Тејлоровим редовима се могу наћи примери.

Јако често се узима да је -{c}- једнако нули, на пример, када се разматрају Маклоренови редови. У овим случајевима, степени ред има једноставнији облик

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots .

Овакви степени редови се јављају углавном у анализи, али такође и у комбинаторици (као генераторне функције) и у обради сигнала.

Примери

Сваки полином се лако може изразити као степени ред код тачке -{c}-, мада му је већина коефицијената једнака нули. На пример, полином $f (x) = x^{2} + 2 x + 3$ се може записати као степени ред око $c = 0$ облика

f (x) = 3 + 2 x + 1 x^{2} + 0 x^{3} + 0 x^{4} + \dots

или око центра $c = 1$ као

f (x) = 6 + 4 (x - 1) + 1 (x - 1)^{2} + 0 (x - 1)^{3} + 0 (x - 1)^{4} + \dots

или око било ког другог центра -{c}-. Степени редови се могу посматрати као полиноми бесконачног реда, мада они нису полиноми.

Формула геометријског реда

\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots,

која важи за $| x | < 1$ , је једна од најважнијих примера степеног реда, као и формула експоненцијалне функције

e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots,

и синусна формула

\sin (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + \dots,

која важи за свако реално -{x}-. Ови степени редови су такође и примери Тејлорових редова. Међутим, постоје степени редови који нису Тејлорови редови ниједне функције, на пример

\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n} = 1 + x + 2! x^{2} + 3! x^{3} + \dots .

Негативни степени нису дозвољени у степеним редовима, на пример $1 + x^{- 1} + x^{- 2} + \dots$ се не сматра степеним редом (мада јесте Лоренов ред). Слично, разломљени степенови, као што је $x^{1 / 2}$ нису дозвољени (види Писеов ред). Коефицијенти $a_{n}$ не смеју да зависе од $x$ , стога на пример:

\sin (x) x + \sin (2 x) x^{2} + \sin (3 x) x^{3} + \dots

није степени ред.

Радијус конвергенције

Степени ред сигурно конвергира за неке вредности променљиве -{x}- (барем за -{x}- = -{c}-) а за остале може да дивергира. Увек постоји број -{r}-, 0 ≤ -{r}- ≤ ∞ такав да ред конвергира кад год је |-{x}- − -{c}-| < -{r}- и дивергира кад год |-{x}- − -{c}-| > -{r}-. Број r се назива радијус конвергенције (или стпен конвергенције) степеног реда; у општем случају, радијус конвергенције је одређен изразом

r = \underset{n \to \infty}{lim inf} {| a_{n} |}^{- \frac{1}{n}}

или, еквивалентно,

$r^{- 1} = \underset{n \to \infty}{lim sup} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

(види лимес супериор и лимес инфериор). Брз начин да се израчуна је

r^{- 1} = lim_{n \to \infty} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |

ако овај лимес постоји.

Ред конвергира апсолутно за -{|x - c| < r}- и униформно на сваком непрекидном подскупу {-{x}- : |-{x}- − -{c}-| < -{r}-}.

За -{|x - c| = r}-, се не може у општем случају рећи да ли ред конвергира или дивергира. Међутим, Абелова теорема каже да је сума реда непрекидна на -{x}- ако ред конвергира на -{x}-.

Операције са степеним редовима

Сабирање и одузимање

Када се две функције, -{f}- и -{g}- декомпонују у степени ред око истог центра -{c}-, степени ред збира или разлике функција се може наћи сабирањем или одузимањем члан по члан. То јест, ако:

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}

g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} (x - c)^{n}

онда

f (x) \pm g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} \pm b_{n}) (x - c)^{n}

Множење и дељење

Уз исте дефиниције као и горе, степени ред производа или количника функција се може добити на следећи начин:

f (x) g (x) = (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} (x - c)^{n})

= \sum_{i = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{\infty} a_{i} b_{j} (x - c)^{i + j}

= \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{i = 0}^{n} a_{i} b_{n - i}) (x - c)^{n} .

Низ $m_{n} := \sum_{i = 0}^{n} a_{i} b_{n - i}$ је познат као конволуција низова $a_{n}$ и $b_{n}$ .

Приметимо, за дељење:

\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - c)^{n}}{\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} (x - c)^{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} (x - c)^{n}

f (x) = (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} (x - c)^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} (x - c)^{n})

а затим се користе горњи изрази, упоређујући коефицијенте.

Диференцирање и интеграција

Ако је функција дата као стпеени ред, она је непрекидна где год конвергира, и диференцијабилна је на унутрашњости овог скупа. Може се диференцирати или интегралити врло једноставно, члан по члан:

f^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} n {(x - c)}^{n - 1}

\int f (x) d x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n} {(x - c)}^{n + 1}}{n + 1} + C

Оба ова реда имају исти радијус конвергенције као и почетни.

Аналитичке функције

Функција -{f}- дефинисана на неком отвореном подскупу -{U}- од -{R}- или -{C}- се назива аналитичком ако је локално задата степеним редом. Ово значи да свако -{a}- ∈ -{U}- има отворену околину -{V}- ⊆ -{U}-, такву да постоји степени ред са центром -{a}- који конвергира функцији -{f(x)}- за свако -{x}- ∈ -{V}-.

Сваки степени ред са позитивним радијусом конвергенције је аналитички на унутрашњости своје области конвергенције. Све холоморфне функције су комплексно-аналитичке. Суме и производи аналитичких функција су аналитичке, као и количници, све док именилац није нула.

Формални степени редови

У апстрактној алгебри, покушава се да се извуче суштина степених редова, без ограничавања на поља реалних и комплексних бројева и без потребе да се говори о конвергенцији. Ово доводи до концепта формалног степеног реда. Овај концепт је од великог значаја у комбинаторици.