Одређени интеграл

Одређени (или Риманов) интеграл је проистекао из проблема површине који датира још из античке Грчке. Проблем квадратуре параболе је поставио Архимед, и то решење се сматра једним од првих значајних резултата математичке анализе. Увођење одређеног и неодређеног интеграла у математику није било везано једно за друго, те се и њихово дефинисање разликује. Одређени интеграл се дефинише као површина између функције и апсцисе, а неодређени интеграл као обрнути проблем налажења извода. Тек се касније испоставило, постављањем Њутн-Лајбницове формуле, да између одређеног и неодређеног интеграла постоји велика релација.

Дефиниција

Функција $f$ је дефинисана на одсечку $[a,b]$. Дефинишимо поделу $\mathrm{\Pi }$ као уређену $(n+1)$ -торку бројева $(x_0,x_1,x_2,x_3,...,x_n)$ такву да је $a=x_0<x_1<x_2<x_3<...<x_n=b$, и у оквиру ње изберимо бројеве $\xi =({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n)$, тако да важи ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$. Означимо са $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$ разлику између 2 члана поделе. Тада је скуп $\{\mathrm{\Delta }{x}_1,\mathrm{\Delta }{x}_2,...,\mathrm{\Delta }{x}_n\}$ коначан скуп реалних бројева, па он има свој највећи елемент. Означимо тај елемент са $\delta$.

Реалним бројем $I$ називамо одређени интеграл функције $f$ на интервалу $[a,b]$, ако за свако $ϵ$ постоји $\delta$, такво да је за сваку поделу $\mathrm{\Pi }$ за коју важи да је њен параметер мањи од $\delta$, тј. $d\left(\mathrm{\Pi }\right)<\delta$, испуњено:

$|\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\mathrm{\Delta }{x}_i-I|<ϵ$

То се другачије може записати као:

$I=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left({\xi }_i\right)\mathrm{\Delta }{x_i}^{\prime }=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx,$

где је $\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ запис за суму од $a$ до $b$ када $\delta$ тежи нули (тиме и $n$ тежи бесконачности), а $\mathrm{\Delta }{x}_i$ је замењено диференцијалом, пошто је диференцијал у некој тачки заправо прираштај по $x$-оси у тој тачки, што је и смисао $\mathrm{\Delta }{x}_i$ када $\delta$ тежи нули.

Ако постоји одређени интеграл функције $f$ на интервалу $[a,b]$, кажемо да је функција $f$ интеграбилна на $[a,b]$.

Види још

• Неодређени интеграл
• Дарбуове суме

Литература

• Зоран Каделбург, Владимир Мићић, Срђан Огњановић: “Анализа са Алгебром, уџбеник за 4. разред Математичке гимназије”
• Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: "Математичка анализа 1", Студентски трг, Београд, 1995.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book. In particular chapters III and IV.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
  Available in translation as Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
  (Originally published by Cambridge University Press, 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book
• -{Keisler, H. Jerome, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals, University of Wisconsin}-
• -{Stroyan, K.D., A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, University of Iowa}-
• -{Mauch, Sean, Sean's Applied Math Book, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus}-
• -{Crowell, Benjamin, Calculus, Fullerton College, an online textbook}-
• -{Garrett, Paul, Notes on First-Year Calculus}-
• -{Hussain, Faraz, Understanding Calculus, an online textbook}-
• -{Kowalk, W.P., Integration Theory Шаблон:Wayback, University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook}-
• -{Sloughter, Dan, Difference Equations to Differential Equations, an introduction to calculus}-
• -{Numerical Methods of Integration at Holistic Numerical Methods Institute}-
• -{P.S. Wang, Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation (1972) - a cookbook of definite integral techniques}-

Спољашње везе

• Риманова сума
• Увод у одређене интеграле