Тригонометријски идентитети

Шаблон:Тригонометрија У тригонометрији, тригонометријски идентитети су једнакости које укључују тригонометријске функције и тачне су за сваку вредност променљивих за које су обе стране једнакости дефинисане. Геометријски, ово су идентитети који укључују одређене функције једног или више углова. Они се разликују од идентитета троугла, који су идентитети који потенцијално укључују углове, али такође укључују дужине страница или друге дужине троугла.

Ови идентитети су корисни кад год је потребно поједноставити изразе који садрже тригонометријске функције. Важна примена је интеграција нетригонометријских функција: уобичајена техника укључује прво коришћење правила смене са тригонометријском функцијом, а затим поједностављивање резултујућег интеграла помоћу тригонометријског идентитета.

Питагорини идентитети

Тригонометријске функције и њихове реципрочне вредности на јединичном кругу. Сви правоугли троуглови су слични, тј. односи између њихових одговарајућих страница су исти. За sin, cos и tan полупречник јединичне дужине чини хипотенузу троугла који их дефинише. Идентитети реципрочних вредности настају као односи страница у троугловима где ова јединична линија више није хипотенуза. Плаво осенчени троугао илуструје идентитет $1+{\cot }^2\theta ={\csc }^2\theta$, док црвени троугао показује да је ${\tan }^2\theta +1={\sec }^2\theta$.

Основни однос између синуса и косинуса дат је Питагориним идентитетом:

$${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1,$$

где ${\sin }^2\theta$ значи ${(\sin \theta )}^2$, а ${\cos }^2\theta$ значи ${(\cos \theta )}^2.$

Ово се може посматрати као верзија Питагорине теореме и следи из једначине $x^2+y^2=1$ за јединични круг. Ова једначина се може решити било за синус или за косинус:

$$\begin{array}{cc}\sin \theta & =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta },\\ \cos \theta & =\pm \sqrt{1-{\sin }^2\theta }.\end{array}$$

где знак зависи од квадранта у ком се налази $\theta .$

Дељењем овог идентитета са ${\sin }^2\theta$, ${\cos }^2\theta$ или са оба, добијају се следећи идентитети: $$\begin{array}{cc}1+{\cot }^2\theta & ={\csc }^2\theta \\ 1+{\tan }^2\theta & ={\sec }^2\theta \\ {\sec }^2\theta +{\csc }^2\theta & ={\sec }^2\theta {\csc }^2\theta \end{array}$$

Користећи ове идентитете, могуће је изразити било коју тригонометријску функцију преко било које друге (до на знак плус или минус):

Свака тригонометријска функција изражена преко осталих пет.

изражено преко → ↓	$\sin \theta$	$\csc \theta$	$\cos \theta$	$\sec \theta$	$\tan \theta$	$\cot \theta$
$\sin \theta =$	$\sin \theta$	$\frac{1}{\csc \theta }$	$\pm \sqrt{1-{\cos }^2\theta }$	$\pm \frac{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}{\sec \theta }$	$\pm \frac{\tan \theta }{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}$
$\csc \theta =$	$\frac{1}{\sin \theta }$	$\csc \theta$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}$	$\pm \frac{\sec \theta }{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}$	$\pm \frac{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}{\tan \theta }$	$\pm \sqrt{1+{\cot }^2\theta }$
$\cos \theta =$	$\pm \sqrt{1-{\sin }^2\theta }$	$\pm \frac{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}{\csc \theta }$	$\cos \theta$	$\frac{1}{\sec \theta }$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}$	$\pm \frac{\cot \theta }{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}$
$\sec \theta =$	$\pm \frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}$	$\pm \frac{\csc \theta }{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}$	$\frac{1}{\cos \theta }$	$\sec \theta$	$\pm \sqrt{1+{\tan }^2\theta }$	$\pm \frac{\sqrt{1+{\cot }^2\theta }}{\cot \theta }$
$\tan \theta =$	$\pm \frac{\sin \theta }{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{{\csc }^2\theta -1}}$	$\pm \frac{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}{\cos \theta }$	$\pm \sqrt{{\sec }^2\theta -1}$	$\tan \theta$	$\frac{1}{\cot \theta }$
$\cot \theta =$	$\pm \frac{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}{\sin \theta }$	$\pm \sqrt{{\csc }^2\theta -1}$	$\pm \frac{\cos \theta }{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}$	$\pm \frac{1}{\sqrt{{\sec }^2\theta -1}}$	$\frac{1}{\tan \theta }$	$\cot \theta$

Рефлексије, помаци и периодичност

Испитивањем јединичног круга могу се установити следећа својства тригонометријских функција.

Рефлексије

Трансформација координата (a,b) приликом померања угла рефлексије $\alpha$ у корацима од $\frac{\pi }{4}$

Када је правац Еуклидовог вектора представљен углом $\theta ,$ то је угао одређен слободним вектором (који почиње у координатном почетку) и позитивним $x$-јединичним вектором. Исти концепт се такође може применити на праве у Еуклидовом простору, где је угао одређен паралелом са датом правом кроз координатни почетак и позитивном $x$-осом. Ако се права (вектор) са правцем $\theta$ рефлектује око праве са правцем $\alpha ,$ онда угао правца ${\theta }^{\prime }$ ове рефлектоване праве (вектора) има вредност $${\theta }^{\prime }=2\alpha -\theta .$$

Вредности тригонометријских функција ових углова $\theta ,{\theta }^{\prime }$ за специфичне углове $\alpha$ задовољавају једноставне идентитете: или су једнаке, или имају супротне знаке, или користе комплементарну тригонометријску функцију. Ове формуле су такође познате као формуле редукције.

$\theta$ рефлектован у $\alpha =0$ идентитети парних/непарних функција	$\theta$ рефлектован у $\alpha =\frac{\pi }{4}$ комплементарни углови	$\theta$ рефлектован у $\alpha =\frac{\pi }{2}$ суплементарни углови	$\theta$ рефлектован у $\alpha =\frac{3\pi }{4}$	$\theta$ рефлектован у $\alpha =\pi$ коњуговани углови; упореди са $\alpha =0$
$\sin (-\theta )=-\sin \theta$	$\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )=\cos \theta$	$\sin (\pi -\theta )=+\sin \theta$	$\sin (\frac{3\pi }{2}-\theta )=-\cos \theta$	$\sin (2\pi -\theta )=-\sin (\theta )=\sin (-\theta )$
$\cos (-\theta )=+\cos \theta$	$\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sin \theta$	$\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$	$\cos (\frac{3\pi }{2}-\theta )=-\sin \theta$	$\cos (2\pi -\theta )=+\cos (\theta )=\cos (-\theta )$
$\tan (-\theta )=-\tan \theta$	$\tan (\frac{\pi }{2}-\theta )=\cot \theta$	$\tan (\pi -\theta )=-\tan \theta$	$\tan (\frac{3\pi }{2}-\theta )=+\cot \theta$	$\tan (2\pi -\theta )=-\tan (\theta )=\tan (-\theta )$
$\csc (-\theta )=-\csc \theta$	$\csc (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sec \theta$	$\csc (\pi -\theta )=+\csc \theta$	$\csc (\frac{3\pi }{2}-\theta )=-\sec \theta$	$\csc (2\pi -\theta )=-\csc (\theta )=\csc (-\theta )$
$\sec (-\theta )=+\sec \theta$	$\sec (\frac{\pi }{2}-\theta )=\csc \theta$	$\sec (\pi -\theta )=-\sec \theta$	$\sec (\frac{3\pi }{2}-\theta )=-\csc \theta$	$\sec (2\pi -\theta )=+\sec (\theta )=\sec (-\theta )$
$\cot (-\theta )=-\cot \theta$	$\cot (\frac{\pi }{2}-\theta )=\tan \theta$	$\cot (\pi -\theta )=-\cot \theta$	$\cot (\frac{3\pi }{2}-\theta )=+\tan \theta$	$\cot (2\pi -\theta )=-\cot (\theta )=\cot (-\theta )$

Помаци и периодичност

Трансформација координата (a,b) при померању угла $\theta$ у корацима од $\frac{\pi }{2}$

Помак за четвртину периода ортогонални углови	Помак за половину периода супротни углови	Помак за целе периоде поклапајући углови	Период
$\sin (\theta \pm \frac{\pi }{2})=\pm \cos \theta$	$\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$	$\sin (\theta +k\cdot 2\pi )=+\sin \theta$	$2\pi$
$\cos (\theta \pm \frac{\pi }{2})=\mp \sin \theta$	$\cos (\theta +\pi )=-\cos \theta$	$\cos (\theta +k\cdot 2\pi )=+\cos \theta$	$2\pi$
$\csc (\theta \pm \frac{\pi }{2})=\pm \sec \theta$	$\csc (\theta +\pi )=-\csc \theta$	$\csc (\theta +k\cdot 2\pi )=+\csc \theta$	$2\pi$
$\sec (\theta \pm \frac{\pi }{2})=\mp \csc \theta$	$\sec (\theta +\pi )=-\sec \theta$	$\sec (\theta +k\cdot 2\pi )=+\sec \theta$	$2\pi$
$\tan (\theta \pm \frac{\pi }{4})=\frac{\tan \theta \pm 1}{1\mp \tan \theta }$	$\tan (\theta +\frac{\pi }{2})=-\cot \theta$	$\tan (\theta +k\cdot \pi )=+\tan \theta$	$\pi$
$\cot (\theta \pm \frac{\pi }{4})=\frac{\cot \theta \mp 1}{1\pm \cot \theta }$	$\cot (\theta +\frac{\pi }{2})=-\tan \theta$	$\cot (\theta +k\cdot \pi )=+\cot \theta$	$\pi$

Знаци

Знак тригонометријских функција зависи од квадранта угла. Ако је $-\pi <\theta \le \pi$ и Шаблон:Math представља функцију знака,

$$\begin{array}{cc}\mathrm{sgn}(\sin \theta )=\mathrm{sgn}(\csc \theta )& =\{\begin{array}{cc}+1& \text{ако је}0<\theta <\pi \\ -1& \text{ако је}-\pi <\theta <0\\ 0& \text{ако је}\theta \in \{0,\pi \}\end{array}\\ \mathrm{sgn}(\cos \theta )=\mathrm{sgn}(\sec \theta )& =\{\begin{array}{cc}+1& \text{ако је}-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}\\ -1& \text{ако је}-\pi <\theta <-\frac{\pi }{2}\text{или}\frac{\pi }{2}<\theta <\pi \\ 0& \text{ако је}\theta \in \{-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\}\end{array}\\ \mathrm{sgn}(\tan \theta )=\mathrm{sgn}(\cot \theta )& =\{\begin{array}{cc}+1& \text{ако је}-\pi <\theta <-\frac{\pi }{2}\text{или}0<\theta <\frac{\pi }{2}\\ -1& \text{ако је}-\frac{\pi }{2}<\theta <0\text{или}\frac{\pi }{2}<\theta <\pi \\ 0& \text{ако је}\theta \in \{-\frac{\pi }{2},0,\frac{\pi }{2},\pi \}\end{array}\end{array}$$

Тригонометријске функције су периодичне са заједничким периодом $2\pi ,$ па за вредности Шаблон:Mvar изван интервала $(-\pi ,\pi ],$ оне узимају вредности које се понављају (погледајте Шаблон:Slink изнад). Знак синусоиде или косинусоиде може се користити за дефинисање нормализованог квадратног таласа. На пример, функције $\mathrm{sgn}(\sin x)$ и $\mathrm{sgn}(\cos x)$ узимају вредности Шаблон:Math и одговарају квадратним таласима са фазним помаком од Шаблон:Math.

Идентитети збира и разлике углова

Геометријска конструкција за извођење тригонометријских идентитета збира углова

Дијаграм који приказује идентитете разлике углова за $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$

Ове теореме су такође познате као теореме (или формуле) о сабирању и одузимању углова. $$\begin{array}{cc}\sin (\alpha +\beta )& =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha -\beta )& =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha +\beta )& =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha -\beta )& =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{array}$$

Идентитети разлике углова за $\sin (\alpha -\beta )$ и $\cos (\alpha -\beta )$ могу се извести из верзија за збир углова (и обрнуто) заменом $-\beta$ за $\beta$ и коришћењем чињенице да је $\sin (-\beta )=-\sin (\beta )$ и $\cos (-\beta )=\cos (\beta )$. Такође се могу извести коришћењем мало модификоване верзије слике за идентитете збира углова, које су обе приказане овде. Такође се могу посматрати као изражавање скаларног производа и векторског производа два вектора у терминима косинуса и синуса угла између њих.

Ови идентитети су сумирани у прва два реда следеће табеле, која такође укључује идентитете збира и разлике за остале тригонометријске функције.

Синус	$\sin (\alpha \pm \beta )$			$=$	$\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
Косинус	$\cos (\alpha \pm \beta )$			$=$	$\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
Тангенс	$\tan (\alpha \pm \beta )$			$=$	$\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$
Косеканс	$\csc (\alpha \pm \beta )$			$=$	$\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\sec \alpha \csc \beta \pm \csc \alpha \sec \beta }$
Секанс	$\sec (\alpha \pm \beta )$			$=$	$\frac{\sec \alpha \sec \beta \csc \alpha \csc \beta }{\csc \alpha \csc \beta \mp \sec \alpha \sec \beta }$
Котангенс	$\cot (\alpha \pm \beta )$			$=$	$\frac{\cot \alpha \cot \beta \mp 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha }$
Аркус синус	$\arcsin x\pm \arcsin y$			$=$	$\arcsin (x\sqrt{1-y^2}\pm y\sqrt{1-x^2\phantom{y}})$
Аркус косинус	$\arccos x\pm \arccos y$			$=$	$\arccos (xy\mp \sqrt{(1-x^2)(1-y^2)})$
Аркус тангенс	$\arctan x\pm \arctan y$			$=$	$\arctan \left(\frac{x\pm y}{1\mp xy}\right)$
Аркус котангенс	$\mathrm{arccot}x\pm \mathrm{arccot}y$			$=$	$\mathrm{arccot}\left(\frac{xy\mp 1}{y\pm x}\right)$

Синуси и косинуси збирова бесконачно много углова

Када ред ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_i$ апсолутно конвергира, тада:

$$\begin{array}{cc}\sin \left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_i\right)& =\sum _{\text{непарно}k\ge 1}(-1{)}^{\frac{k-1}{2}}\sum _{\begin{array}{c}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\ \left|A\right|=k\end{array}}(\prod _{i\in A}\sin {\theta }_i\prod _{i\in ̸A}\cos {\theta }_i)\\ \cos \left(\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_i\right)& =\sum _{\text{парно}k\ge 0}(-1{)}^{\frac{k}{2}}\sum _{\begin{array}{c}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\ \left|A\right|=k\end{array}}(\prod _{i\in A}\sin {\theta }_i\prod _{i\in ̸A}\cos {\theta }_i).\end{array}$$

Зато што ред ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_i$ апсолутно конвергира, нужно следи да је $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}{\theta }_i=0,$ $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}\sin {\theta }_i=0,$ и $\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}\cos {\theta }_i=1.$ Конкретно, у ова два идентитета појављује се асиметрија која се не види у случају збирова коначно много углова: у сваком производу постоји само коначно много фактора синуса, али постоји коначно много фактора косинуса. Чланови са бесконачно много фактора синуса би нужно били једнаки нули.

Када је само коначно много углова ${\theta }_i$ различито од нуле, тада је само коначно много чланова на десној страни различито од нуле јер се сви осим коначно много фактора синуса поништавају. Штавише, у сваком члану сви осим коначно много фактора косинуса једнаки су јединици.

Тангенси и котангенси збирова

Нека је $e_k$ (за $k=0,1,2,3,\dots$) елементарни симетрични полином степена Шаблон:Mvar у променљивама $$x_i=\tan {\theta }_i$$ за $i=0,1,2,3,\dots ,$ односно:

$$\begin{array}{cc}{e}_0& =1\\ e_1& =\sum _i{x}_i& & =\sum _i\tan {\theta }_i\\ e_2& =\sum _{i<j}{x}_i{x}_j& & =\sum _{i<j}\tan {\theta }_i\tan {\theta }_j\\ e_3& =\sum _{i<j<k}{x}_i{x}_j{x}_k& & =\sum _{i<j<k}\tan {\theta }_i\tan {\theta }_j\tan {\theta }_k\\ & ⋮& & ⋮\end{array}$$

Тада је

$$\tan \left(\sum _i{\theta }_i\right)=\frac{e_1-e_3+e_5-\cdots }{e_0-e_2+e_4-\cdots }.$$ Ово се може показати коришћењем горенаведених формула за збир синуса и косинуса: $$\begin{array}{cc}\tan \left(\sum _i{\theta }_i\right)& =\frac{\sin \left(\sum _i{\theta }_i\right)/\prod _i\cos {\theta }_i}{\cos \left(\sum _i{\theta }_i\right)/\prod _i\cos {\theta }_i}\\ & =\frac{\sum _{\text{непарно}k\ge 1}(-1{)}^{\frac{k-1}{2}}\sum _{\begin{array}{c}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\ \left|A\right|=k\end{array}}\prod _{i\in A}\tan {\theta }_i}{\sum _{\text{парно}k\ge 0}(-1{)}^{\frac{k}{2}}\sum _{\begin{array}{c}A\subseteq \{1,2,3,\dots \}\\ \left|A\right|=k\end{array}}\prod _{i\in A}\tan {\theta }_i}=\frac{e_1-e_3+e_5-\cdots }{e_0-e_2+e_4-\cdots }\\ \cot \left(\sum _i{\theta }_i\right)& =\frac{e_0-e_2+e_4-\cdots }{e_1-e_3+e_5-\cdots }\end{array}$$

Број чланова на десној страни зависи од броја чланова на левој страни.

На пример: $$\begin{array}{cc}\tan ({\theta }_1+{\theta }_2)& =\frac{e_1}{e_0-e_2}=\frac{x_1+x_2}{1-x_1{x}_2}=\frac{\tan {\theta }_1+\tan {\theta }_2}{1-\tan {\theta }_1\tan {\theta }_2},\\ \tan ({\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3)& =\frac{e_1-e_3}{e_0-e_2}=\frac{(x_1+x_2+x_3)-(x_1{x}_2{x}_3)}{1-(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3)},\\ \tan ({\theta }_1+{\theta }_2+{\theta }_3+{\theta }_4)& =\frac{e_1-e_3}{e_0-e_2+e_4}\\ & =\frac{(x_1+x_2+x_3+x_4)-(x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4)}{1-(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4)+(x_1{x}_2{x}_3{x}_4)},\end{array}$$

и тако даље. Случај коначно много чланова може се доказати математичком индукцијом. Случај бесконачно много чланова може се доказати коришћењем неких елементарних неједнакости.

Одређене линеарно разломљене трансформације тангенса

Претпоставимо да $a,b,c,d,p,q\in ℝ$ и $i=\sqrt{-1}$ и

$\frac{ai+b}{ci+d}=pi+q$

и нека $\phi$ буде било који број за који је $\tan \phi =\frac{c}{d}.$ Претпоставимо да је $\frac{a}{c}\ne \frac{b}{d}$ тако да претходни разломак не може бити Шаблон:Sfrac. Тада за све $\theta \in ℝ$

$\frac{a\tan \theta +b}{c\tan \theta +d}=p\tan (\theta -\phi )+q.$

(У случају да је именилац овог разломка 0, узимамо вредност разломка да буде $\mathrm{\infty }$, где симбол $\mathrm{\infty }$ не значи ни $+\mathrm{\infty }$ ни $-\mathrm{\infty }$, већ је то $\mathrm{\infty }$ којој се приступа идући у позитивном или негативном смеру, чинећи комплетирање линије $ℝ\cup \{\mathrm{\infty }\}$ тополошки кругом.)

Из овог идентитета се може брзо показати да је породица свих Кошијево распоређених случајних променљивих затворена у односу на линеарно разломљене трансформације, што је резултат познат од 1976. године.

Секанси и косеканси збирова

$$\begin{array}{cc}\sec \left(\sum _i{\theta }_i\right)& =\frac{\prod _i\sec {\theta }_i}{e_0-e_2+e_4-\cdots }\\ \csc \left(\sum _i{\theta }_i\right)& =\frac{\prod _i\sec {\theta }_i}{e_1-e_3+e_5-\cdots }\end{array}$$

где је $e_k$ елементарни симетрични полином степена Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar променљивих $x_i=\tan {\theta }_i,$ $i=1,\dots ,n,$ а број чланова у имениоцу и број фактора у производу у бројиоцу зависе од броја чланова у збиру на левој страни. Случај коначно много чланова може се доказати математичком индукцијом по броју таквих чланова.

На пример,

$$\begin{array}{cc}\sec (\alpha +\beta +\gamma )& =\frac{\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }\\ \csc (\alpha +\beta +\gamma )& =\frac{\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma -\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma }.\end{array}$$

Птолемејева теорема

Дијаграм који илуструје везу између Птолемејеве теореме и тригонометријског идентитета збира углова за синус. Птолемејева теорема наводи да је збир производа дужина наспрамних страница једнак производу дужина дијагонала. Када се те дужине страница изразе помоћу вредности синуса и косинуса приказаних на горњој слици, ово даје тригонометријски идентитет збира углова за синус: Шаблон:Math.

Птолемејева теорема је важна у историји тригонометријских идентитета, јер су се тако први пут доказали резултати еквивалентни формулама за збир и разлику синуса и косинуса. Она наводи да је у тетивном четвороуглу $ABCD$, као што је приказано на пратећој слици, збир производа дужина наспрамних страница једнак производу дужина дијагонала. У посебним случајевима када је једна од дијагонала или страница пречник круга, ова теорема директно доводи до тригонометријских идентитета збира и разлике углова. Однос најлакше следи када је круг конструисан тако да има пречник дужине један, као што је приказано овде.

Према Талесовој теореми, $\mathrm{\angle }DAB$ и $\mathrm{\angle }DCB$ су прави углови. Правоугли троуглови $DAB$ и $DCB$ деле хипотенузу $\overline{BD}$ дужине 1. Стога је страница $\overline{AB}=\sin \alpha$, $\overline{AD}=\cos \alpha$, $\overline{BC}=\sin \beta$ и $\overline{CD}=\cos \beta$.

Према теореми о периферијском углу, централни угао над тетивом $\overline{AC}$ у центру круга је двоструко већи од угла $\mathrm{\angle }ADC$, тј. $2(\alpha +\beta )$. Стога, симетрични пар црвених троуглова има угао $\alpha +\beta$ у центру. Сваки од ових троуглова има хипотенузу дужине $\frac{1}{2}$, па је дужина $\overline{AC}$ једнака $2\times \frac{1}{2}\sin (\alpha +\beta )$, односно једноставно $\sin (\alpha +\beta )$. Друга дијагонала четвороугла је пречник дужине 1, па је и производ дужина дијагонала такође $\sin (\alpha +\beta )$.

Када се ове вредности замене у тврдњу Птолемејеве теореме да је $|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{AD}|\cdot |\overline{BC}|$, добија се тригонометријски идентитет збира углова за синус: $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$. Формула за разлику углова за $\sin (\alpha -\beta )$ може се слично извести тако што ће се страница $\overline{CD}$ узети за пречник уместо $\overline{BD}$.

Формуле вишеструког и половине угла

Формуле вишеструког угла

Формуле двоструког угла

Визуелна демонстрација формуле двоструког угла за синус. За горе приказани једнакокраки троугао са јединичним страницама и углом Шаблон:Math, површина Шаблон:Math се рачуна у две оријентације. Када је усправан, површина је Шаблон:Math. Када је положен на страну, иста површина је Шаблон:Math. Стога, Шаблон:Math.

Формуле двоструког угла,
преко Шаблон:Math (или Шаблон:Abbr) и Шаблон:Math

Шаблон:Math	Идентитет, Шаблон:Math или Шаблон:Abbr	Идентитет, Шаблон:Math
$\sin (2\theta )$	$\begin{array}{cc}& =2\sin \theta \cos \theta \\ & =(\sin \theta +\cos \theta {)}^2-1\end{array}$	$=\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$
$\cos (2\theta )$	$\begin{array}{cc}& ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \\ & =2{\cos }^2\theta -1\\ & =1-2{\sin }^2\theta \end{array}$	$=\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$
$\tan (2\theta )$		$=\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$
$\cot (2\theta )$	$=\frac{{\cot }^2\theta -1}{2\cot \theta }$	$=\frac{1-{\tan }^2\theta }{2\tan \theta }$
$\sec (2\theta )$	$=\frac{{\sec }^2\theta }{2-{\sec }^2\theta }$	$=\frac{1+{\tan }^2\theta }{1-{\tan }^2\theta }$
$\csc (2\theta )$	$=\frac{\sec \theta \csc \theta }{2}$	$=\frac{1+{\tan }^2\theta }{2\tan \theta }$

Формуле троструког угла

Формуле за троструке углове.

$$\begin{array}{cccc}\sin (3\theta )& =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta & & =4\sin \theta \sin (\frac{\pi }{3}-\theta )\sin (\frac{\pi }{3}+\theta )\\ \cos (3\theta )& =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta & & =4\cos \theta \cos (\frac{\pi }{3}-\theta )\cos (\frac{\pi }{3}+\theta )\\ \tan (3\theta )& =\frac{3\tan \theta -{\tan }^3\theta }{1-3{\tan }^2\theta }& & =\tan \theta \tan (\frac{\pi }{3}-\theta )\tan (\frac{\pi }{3}+\theta )\\ \cot (3\theta )& =\frac{3\cot \theta -{\cot }^3\theta }{1-3{\cot }^2\theta }\\ \sec (3\theta )& =\frac{{\sec }^3\theta }{4-3{\sec }^2\theta }\\ \csc (3\theta )& =\frac{{\csc }^3\theta }{3{\csc }^2\theta -4}\end{array}$$

Формуле вишеструког угла

Формуле за вишеструке углове.

$$\begin{array}{cc}\sin (n\theta )& =\sum _{k\in {𝕆}^{+}}^n(-1{)}^{\frac{k-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}\theta {\sin }^k\theta =\sin \theta \sum _{i=0}^{\frac{n+1}{2}}\sum _{j=0}^i(-1{)}^{i-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2i+1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}){\cos }^{n-2(i-j)-1}\theta \\ & =\sin (\theta )\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor }(-1{)}^k(2\cos (\theta ){)}^{n-2k-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k-1}{k})\\ & =2^{(n-1)}\prod _{k=0}^{n-1}\sin (\frac{k\pi }{n}+\theta )\\ \cos (n\theta )& =\sum _{k\in {𝔼}_0^{+}}^n(-1{)}^{\frac{k}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}\theta {\sin }^k\theta =\sum _{i=0}^{\frac{n}{2}}\sum _{j=0}^i(-1{)}^{i-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j}){\cos }^{n-2(i-j)}\theta \\ & =\sum _{k=0}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }(-1{)}^k{(2\cos (\theta ))}^{n-2k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})\frac{n}{2n-2k}\\ \cos ((2n+1)\theta )& =(-1{)}^n{2}^{2n}\prod _{k=0}^{2n}\cos (\frac{k\pi }{2n+1}-\theta )\\ \cos (2n\theta )& =(-1{)}^n{2}^{2n-1}\prod _{k=0}^{2n-1}\cos (\frac{(1+2k)\pi }{4n}-\theta )\\ \tan (n\theta )& =\frac{\sum _{k\in {𝕆}^{+}}^n(-1{)}^{\frac{k-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\tan }^k\theta }{\sum _{k\in {𝔼}_0^{+}}^n(-1{)}^{\frac{k}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\tan }^k\theta }\\ {𝕆}^{+}& =\text{Позитивни непарни бројеви}\\ {𝔼}_0^{+}& =\text{Не-негативни парни бројеви}\end{array}$$

Метод Чебишова

Чебишовљева метода је рекурзивни алгоритам за проналажење формуле за Шаблон:Mvar-ти вишеструки угао познавајући $(n-1)$-ту и $(n-2)$-гу вредност.

$\cos (nx)$ се може израчунати из $\cos ((n-1)x)$, $\cos ((n-2)x)$, и $\cos (x)$ помоћу:

$$\cos (nx)=2\cos x\cos ((n-1)x)-\cos ((n-2)x).$$

Ово се може доказати сабирањем формула

$$\begin{array}{cc}\cos ((n-1)x+x)& =\cos ((n-1)x)\cos x-\sin ((n-1)x)\sin x\\ \cos ((n-1)x-x)& =\cos ((n-1)x)\cos x+\sin ((n-1)x)\sin x\end{array}$$

Следи индукцијом да је $\cos (nx)$ полином од Шаблон:Tmath, Чебишовљев полином прве врсте, Шаблон:Math; дакле, $$\cos (n\theta )=T_n(\cos \theta )$$

Слично томе, $\sin (nx)$ се може израчунати из Шаблон:Tmath, Шаблон:Tmath и $\cos x$ помоћу $$\sin (nx)=2\cos x\sin ((n-1)x)-\sin ((n-2)x)$$

Ово се може доказати сабирањем формула за $\sin ((n-1)x+x)$ и $\sin ((n-1)x-x).$

Служећи сличној сврси као метода Чебишова, за тангенс можемо написати:

$$\tan (nx)=\frac{\tan ((n-1)x)+\tan x}{1-\tan ((n-1)x)\tan x}.$$

Формуле половине угла

$$\begin{array}{cc}\sin \frac{\theta }{2}& =\mathrm{sgn}(\sin \frac{\theta }{2})\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}\\ \cos \frac{\theta }{2}& =\mathrm{sgn}(\cos \frac{\theta }{2})\sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}\\ \tan \frac{\theta }{2}& =\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }=\csc \theta -\cot \theta =\frac{\tan \theta }{1+\sec \theta }\\ & =\mathrm{sgn}(\sin \theta )\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}=\frac{-1+\mathrm{sgn}(\cos \theta )\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}{\tan \theta }\\ \cot \frac{\theta }{2}& =\frac{1+\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }=\csc \theta +\cot \theta =\mathrm{sgn}(\sin \theta )\sqrt{\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}\\ \sec \frac{\theta }{2}& =\mathrm{sgn}(\cos \frac{\theta }{2})\sqrt{\frac{2}{1+\cos \theta }}\\ \csc \frac{\theta }{2}& =\mathrm{sgn}(\sin \frac{\theta }{2})\sqrt{\frac{2}{1-\cos \theta }}\end{array}$$

Такође $$\begin{array}{cc}\tan \frac{\eta \pm \theta }{2}& =\frac{\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }\\ \tan (\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{4})& =\sec \theta +\tan \theta \\ \sqrt{\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}& =\frac{|1-\tan \frac{\theta }{2}|}{|1+\tan \frac{\theta }{2}|}\end{array}$$

Табела

Ово се може показати коришћењем идентитета збира и разлике или формула за вишеструке углове.

	Синус	Косинус	Тангенс	Котангенс
Формула двоструког угла	$\begin{array}{cc}\sin (2\theta )& =2\sin \theta \cos \theta \\ & =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }\end{array}$	$\begin{array}{cc}\cos (2\theta )& ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \\ & =2{\cos }^2\theta -1\\ & =1-2{\sin }^2\theta \\ & =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }\end{array}$	$\tan (2\theta )=\frac{2\tan \theta }{1-{\tan }^2\theta }$	$\cot (2\theta )=\frac{{\cot }^2\theta -1}{2\cot \theta }$
Формула троструког угла	$\begin{array}{cc}\sin (3\theta )& =-{\sin }^3\theta +3{\cos }^2\theta \sin \theta \\ & =-4{\sin }^3\theta +3\sin \theta \end{array}$	$\begin{array}{cc}\cos (3\theta )& ={\cos }^3\theta -3{\sin }^2\theta \cos \theta \\ & =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta \end{array}$	$\tan (3\theta )=\frac{3\tan \theta -{\tan }^3\theta }{1-3{\tan }^2\theta }$	$\cot (3\theta )=\frac{3\cot \theta -{\cot }^3\theta }{1-3{\cot }^2\theta }$
Формула половине угла	$\begin{array}{cc}& \sin \frac{\theta }{2}=\mathrm{sgn}(\sin \frac{\theta }{2})\sqrt{\frac{1-\cos \theta }{2}}\\ \\ & (\text{или }{\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2})\end{array}$	$\begin{array}{cc}& \cos \frac{\theta }{2}=\mathrm{sgn}(\cos \frac{\theta }{2})\sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}\\ \\ & (\text{или }{\cos }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{2})\end{array}$	$\begin{array}{cc}\tan \frac{\theta }{2}& =\csc \theta -\cot \theta \\ & =\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}\\ & =\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }\\ & =\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }\\ \tan \frac{\eta +\theta }{2}& =\frac{\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }\\ \tan (\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{4})& =\sec \theta +\tan \theta \\ \sqrt{\frac{1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}& =\frac{|1-\tan \frac{\theta }{2}|}{|1+\tan \frac{\theta }{2}|}\\ \tan \frac{\theta }{2}& =\frac{\tan \theta }{1+\sqrt{1+{\tan }^2\theta }}\\ & \text{за }\theta \in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\end{array}$	$\begin{array}{cc}\cot \frac{\theta }{2}& =\csc \theta +\cot \theta \\ & =\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}\\ & =\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }\\ & =\frac{1+\cos \theta }{\sin \theta }\end{array}$

Чињеница да формула троструког угла за синус и косинус укључује само степене једне функције омогућава повезивање геометријског проблема конструкције шестаром и лењиром за трисекцију угла са алгебарским проблемом решавања кубне једначине, што омогућава да се докаже да је трисекција генерално немогућа помоћу задатих алата.

Постоји формула за израчунавање тригонометријских идентитета за трећину угла, али она захтева проналажење нула кубне једначине Шаблон:Math, где је Шаблон:Mvar вредност косинусне функције на трећини угла, а Шаблон:Mvar је позната вредност косинусне функције на пуном углу. Међутим, дискриминанта ове једначине је позитивна, тако да ова једначина има три реална корена (од којих је само један решење за косинус трећине угла). Ниједно од ових решења није сводљиво на реалан алгебарски израз, јер користе интермедијарне комплексне бројеве под кубним коренима.

Формуле за смањење степена

Добијају се решавањем друге и треће верзије косинусне формуле двоструког угла.

Синус	Косинус	Остало
${\sin }^2\theta =\frac{1-\cos (2\theta )}{2}$	${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos (2\theta )}{2}$	${\sin }^2\theta {\cos }^2\theta =\frac{1-\cos (4\theta )}{8}$
${\sin }^3\theta =\frac{3\sin \theta -\sin (3\theta )}{4}$	${\cos }^3\theta =\frac{3\cos \theta +\cos (3\theta )}{4}$	${\sin }^3\theta {\cos }^3\theta =\frac{3\sin (2\theta )-\sin (6\theta )}{32}$
${\sin }^4\theta =\frac{3-4\cos (2\theta )+\cos (4\theta )}{8}$	${\cos }^4\theta =\frac{3+4\cos (2\theta )+\cos (4\theta )}{8}$	${\sin }^4\theta {\cos }^4\theta =\frac{3-4\cos (4\theta )+\cos (8\theta )}{128}$
${\sin }^5\theta =\frac{10\sin \theta -5\sin (3\theta )+\sin (5\theta )}{16}$	${\cos }^5\theta =\frac{10\cos \theta +5\cos (3\theta )+\cos (5\theta )}{16}$	${\sin }^5\theta {\cos }^5\theta =\frac{10\sin (2\theta )-5\sin (6\theta )+\sin (10\theta )}{512}$

Општи услови степена $\sin \theta$ или $\cos \theta$ дају следеће тачне једнакости, које се могу извести коришћењем Моаврове формуле, Ојлерове формуле и биномне теореме.

ако је n ...	${\cos }^n\theta$	${\sin }^n\theta$
n је непаран	${\cos }^n\theta =\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cos ((n-2k)\theta )$	${\sin }^n\theta =\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1{)}^{(\frac{n-1}{2}-k)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\sin ((n-2k)\theta )$
n је паран	${\cos }^n\theta =\frac{1}{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})+\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n}{2}-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cos ((n-2k)\theta )$	${\sin }^n\theta =\frac{1}{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{\frac{n}{2}})+\frac{2}{2^n}\sum _{k=0}^{\frac{n}{2}-1}(-1{)}^{(\frac{n}{2}-k)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cos ((n-2k)\theta )$

Идентитети претварања производа у збир и збира у производ

Доказ косинусне формуле збира и разлике у производ за простаферезне прорачуне помоћу једнакокраког троугла

Идентитети претварања производа у збир или формуле простаферезе могу се доказати проширивањем њихове десне стране помоћу теорема сабирања углова. Историјски гледано, прва четири од њих била су позната као Вернерове формуле, по Јохану Вернеру који их је користио за астрономске прорачуне.

Идентитети производа у збир

Производ два синуса или косинуса различитих углова може се конвертовати у збир тригонометријских функција збира и разлике тих углова:

$$\begin{array}{cc}\cos \theta \cos \phi & =\frac{1}{2}(\cos (\theta -\phi )+\cos (\theta +\phi )),\\ \sin \theta \sin \phi & =\frac{1}{2}(\cos (\theta -\phi )-\cos (\theta +\phi )),\\ \sin \theta \cos \phi & =\frac{1}{2}(\sin (\theta +\phi )+\sin (\theta -\phi )),\\ \cos \theta \sin \phi & =\frac{1}{2}(\sin (\theta +\phi )-\sin (\theta -\phi )).\end{array}$$ Као последица, производ или количник тангенса може се конвертовати у количник збирова косинуса односно синуса, $$\begin{array}{cc}\tan \theta \tan \phi & =\frac{\cos (\theta -\phi )-\cos (\theta +\phi )}{\cos (\theta -\phi )+\cos (\theta +\phi )},\\ \frac{\tan \theta }{\tan \phi }& =\frac{\sin (\theta +\phi )+\sin (\theta -\phi )}{\sin (\theta +\phi )-\sin (\theta -\phi )}.\end{array}$$

Генералније, за производ било ког броја синуса или косинуса, $$\begin{array}{cc}\prod _{k=1}^n\cos {\theta }_k& =\frac{1}{2^n}\sum _{e\in S}\cos (e_1{\theta }_1+\cdots +e_n{\theta }_n)\\ & \text{где је }e=(e_1,\dots ,e_n)\in S=\{1,-1{\}}^n,\\ \prod _{k=1}^n\sin {\theta }_k& =\frac{(-1{)}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor }}{2^n}\{\begin{array}{c}\sum _{e\in S}\cos (e_1{\theta }_1+\cdots +e_n{\theta }_n)\prod _{j=1}^n{e}_j\text{ако је}n\text{паран},\\ \sum _{e\in S}\sin (e_1{\theta }_1+\cdots +e_n{\theta }_n)\prod _{j=1}^n{e}_j\text{ако је}n\text{непаран}.\end{array}\end{array}$$

Идентитети збира у производ

Дијаграм који илуструје идентитете претварања збира у производ за синус и косинус. Плави правоугли троугао има угао $\theta$, а црвени правоугли троугао има угао $\phi$. Оба имају хипотенузу дужине 1. Помоћни углови, овде названи $p$ и $q$, конструисани су тако да је $p=\frac{1}{2}(\theta +\phi )$ и $q=\frac{1}{2}(\theta -\phi )$. Дакле, $\theta =p+q$ и $\phi =p-q$. Ово омогућава да се конструишу два подударна љубичасто уоквирена троугла $AFG$ и $FCE$, сваки са хипотенузом $\cos q$ и углом $p$ на њиховој основици. Збир висина црвеног и плавог троугла је $\sin \theta +\sin \phi$, и то је једнако двострукој висини једног љубичастог троугла, тј. $2\sin p\cos q$. Записивање $p$ и $q$ у тој једначини у терминима $\theta$ и $\phi$ даје идентитет претварања збира у производ за синус: $\sin \theta +\sin \phi =2\sin \frac{1}{2}(\theta +\phi )\cos \frac{1}{2}(\theta -\phi )$. Слично, збир ширина црвеног и плавог троугла даје одговарајући идентитет за косинус.

Збир синуса или косинуса два угла може се претворити у производ синуса или косинуса средње вредности и половине разлике углова:

$$\begin{array}{cc}\sin \theta +\sin \phi & =2\sin \frac{1}{2}(\theta +\phi )\cos \frac{1}{2}(\theta -\phi ),\\ \sin \theta -\sin \phi & =2\cos \frac{1}{2}(\theta +\phi )\sin \frac{1}{2}(\theta -\phi ),\\ \cos \theta +\cos \phi & =2\cos \frac{1}{2}(\theta +\phi )\cos \frac{1}{2}(\theta -\phi ),\\ \cos \theta -\cos \phi & =-2\sin \frac{1}{2}(\theta +\phi )\sin \frac{1}{2}(\theta -\phi ).\end{array}$$

Збир тангенса два угла може се претворити у количник синуса углова подељен производом косинуса: $$\tan \theta \pm \tan \phi =\frac{\sin (\theta \pm \phi )}{\cos \theta \cos \phi }.$$

Ермитов котангенсни идентитет

Шарл Ермит је демонстрирао следећи идентитет. Претпоставимо да су $a_1,\dots ,a_n$ комплексни бројеви, од којих се ниједна два не разликују за целобројни умножак од Шаблон:Pi. Нека је

$$A_{n,k}=\prod _{\begin{array}{c}1\le j\le n\\ j\ne k\end{array}}\cot (a_k-a_j)$$

(конкретно, $A_{1,1},$ као празан производ, износи 1). Тада је

$$\cot (z-a_1)\cdots \cot (z-a_n)=\cos \frac{n\pi }{2}+\sum _{k=1}^n{A}_{n,k}\cot (z-a_k).$$

Најједноставнији нетривијални пример је случај Шаблон:Math:

$$\cot (z-a_1)\cot (z-a_2)=-1+\cot (a_1-a_2)\cot (z-a_1)+\cot (a_2-a_1)\cot (z-a_2).$$

Коначни производи тригонометријских функција

За узајамно просте целе бројеве Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar

$$\prod _{k=1}^n(2a+2\cos (\frac{2\pi km}{n}+x))=2(T_n(a)+{(-1)}^{n+m}\cos (nx))$$

где је Шаблон:Mvar Чебишовљев полином.

Следећи однос важи за синусну функцију

$$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \left(\frac{k\pi }{n}\right)=\frac{n}{2^{n-1}}.$$

Општије за цео број Шаблон:Math

$$\sin (nx)=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin (\frac{k\pi }{n}+x)=2^{n-1}\prod _{k=1}^n\sin (\frac{k\pi }{n}-x).$$

или написано у терминима функције тетиве $\mathrm{crd}x\equiv 2\sin \frac{1}{2}x$,

$$\mathrm{crd}(nx)=\prod _{k=1}^n\mathrm{crd}(\frac{2k\pi }{n}-x).$$

Ово долази из факторизације полинома $z^n-1$ на линеарне факторе (уп. корен из јединице): За било који комплексни Шаблон:Mvar и цео број Шаблон:Math,

$$z^n-1=\prod _{k=1}^n(z-\exp \frac{2ki\pi }{n}).$$

Линеарне комбинације

За неке сврхе важно је знати да је било која линеарна комбинација синусних таласа истог периода или фреквенције, али различитих фазних помака, такође синусни талас истог периода или фреквенције, али са другачијим фазним помаком. Ово је корисно код уклапања података у синусоиду, јер су измерени или посматрани подаци линеарно повезани са непознатима Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar наведеним у наставку, што резултира једноставнијим Јакобијаном, у поређењу са оним код $c$ и $\phi$.

Синус и косинус

Линеарна комбинација, или хармонијско сабирање, синусних и косинусних таласа је еквивалентна једном синусном таласу са фазним помаком и скалираном амплитудом,

$$a\cos x+b\sin x=c\cos (x+\phi )$$

где су $c$ и $\phi$ дефинисани на следећи начин:

$$\begin{array}{cc}c& =\mathrm{sgn}(a)\sqrt{a^2+b^2},\\ \phi & =\arctan (-\frac{b}{a}),\end{array}$$

под условом да $a\ne 0.$

Произвољни фазни помак

Генералније, за произвољне фазне помаке имамо

$$a\sin (x+{\theta }_a)+b\sin (x+{\theta }_b)=c\sin (x+\phi )$$

где $c$ и $\phi$ задовољавају:

$$\begin{array}{cc}{c}^2& =a^2+b^2+2ab\cos ({\theta }_a-{\theta }_b),\\ \tan \phi & =\frac{a\sin {\theta }_a+b\sin {\theta }_b}{a\cos {\theta }_a+b\cos {\theta }_b}.\end{array}$$

Више од две синусоиде

Општи случај гласи $$\sum _i{a}_i\sin (x+{\theta }_i)=a\sin (x+\theta ),$$ где је $$a^2=\sum _{i,j}{a}_i{a}_j\cos ({\theta }_i-{\theta }_j)$$ и $$\tan \theta =\frac{\sum _i{a}_i\sin {\theta }_i}{\sum _i{a}_i\cos {\theta }_i}.$$

Лагранжови тригонометријски идентитети

Ови идентитети, названи по Жозефу Лују Лагранжу, су: $$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^n\sin k\theta & =\frac{\cos \frac{1}{2}\theta -\cos \left((n+\frac{1}{2})\theta \right)}{2\sin \frac{1}{2}\theta }\\ \sum _{k=1}^n\cos k\theta & =\frac{-\sin \frac{1}{2}\theta +\sin \left((n+\frac{1}{2})\theta \right)}{2\sin \frac{1}{2}\theta }\end{array}$$ за $\theta \equiv ̸0(\mathrm{mod}2\pi ).$

Повезана функција је Дирихлеово језгро:

$$D_n(\theta )=1+2\sum _{k=1}^n\cos k\theta =\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})\theta \right)}{\sin \frac{1}{2}\theta }.$$

Сличан идентитет је

$$\sum _{k=1}^n\cos (2k-1)\alpha =\frac{\sin (2n\alpha )}{2\sin \alpha }.$$

Доказ је следећи. Коришћењем идентитета збира и разлике углова, $$\sin (A+B)-\sin (A-B)=2\cos A\sin B.$$ Затим погледајмо следећу формулу,

$$2\sin \alpha \sum _{k=1}^n\cos (2k-1)\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha +2\sin \alpha \cos 3\alpha +2\sin \alpha \cos 5\alpha +\cdots +2\sin \alpha \cos (2n-1)\alpha$$ а ова формула се може написати коришћењем горњег идентитета као,

$$\begin{array}{cc}& 2\sin \alpha \sum _{k=1}^n\cos (2k-1)\alpha \\ & =\sum _{k=1}^n(\sin (2k\alpha )-\sin (2(k-1)\alpha ))\\ & =(\sin 2\alpha -\sin 0)+(\sin 4\alpha -\sin 2\alpha )+(\sin 6\alpha -\sin 4\alpha )+\cdots +(\sin (2n\alpha )-\sin (2(n-1)\alpha ))\\ & =\sin (2n\alpha ).\end{array}$$

Дакле, дељење ове формуле са $2\sin \alpha$ завршава доказ.

Одређене линеарно разломљене трансформације

Ако је $f(x)$ дато линеарно разломљеном трансформацијом $$f(x)=\frac{(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha },$$ и слично томе $$g(x)=\frac{(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta },$$ тада $$f(g(x))=g(f(x))=\frac{(\cos (\alpha +\beta ))x-\sin (\alpha +\beta )}{(\sin (\alpha +\beta ))x+\cos (\alpha +\beta )}.$$

Краће речено, ако за све $\alpha$ узмемо $f_{\alpha }$ као оно што смо горе назвали $f$, онда је $$f_{\alpha }\circ f_{\beta }=f_{\alpha +\beta }.$$

Ако је $x$ нагиб праве, онда је $f(x)$ нагиб њене ротације за угао од $-\alpha .$

Однос према комплексној експоненцијалној функцији

Ојлерова формула наводи да, за било који реалан број x: $$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$$ где је i имагинарна јединица. Заменом −x за x добијамо: $$e^{-ix}=\cos (-x)+i\sin (-x)=\cos x-i\sin x.$$

Ове две једначине се могу користити за решавање синуса и косинуса преко експоненцијалне функције. Специфично, $$\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$$ $$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$$

Ове формуле су корисне за доказивање многих других тригонометријских идентитета. На пример, то што је Шаблон:Math значи да је Шаблон:Block indent То да је реални део леве стране једнак реалном делу десне стране представља формулу за сабирање углова косинуса. Једнакост имагинарних делова даје формулу за сабирање углова синуса.

Следећа табела изражава тригонометријске функције и њихове инверзе у терминима експоненцијалне функције и комплексног логаритма.

Функција	Инверзна функција
$\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$	$\arcsin x=-i\ln (ix+\sqrt{1-x^2})$
$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}$	$\arccos x=-i\ln (x+\sqrt{x^2-1})$
$\tan \theta =-i\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}$	$\arctan x=\frac{i}{2}\ln \left(\frac{i+x}{i-x}\right)$
$\csc \theta =\frac{2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$	$\mathrm{arccsc}x=-i\ln (\frac{i}{x}+\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})$
$\sec \theta =\frac{2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}$	$\mathrm{arcsec}x=-i\ln (\frac{1}{x}+i\sqrt{1-\frac{1}{x^2}})$
$\cot \theta =i\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$	$\mathrm{arccot}x=\frac{i}{2}\ln \left(\frac{x-i}{x+i}\right)$
$\mathrm{cis}\theta =e^{i\theta }$	$\mathrm{arccis}x=-i\ln x$

Однос према комплексним хиперболичним функцијама

Тригонометријске функције се могу извести из хиперболичних функција са комплексним аргументима. Формуле за ове односе приказане су у наставку.$$\begin{array}{cc}\sin x& =-i\sinh (ix)\\ \cos x& =\cosh (ix)\\ \tan x& =-i\tanh (ix)\\ \cot x& =i\coth (ix)\\ \sec x& =\mathrm{sech}(ix)\\ \csc x& =i\mathrm{csch}(ix)\end{array}$$

Развој у ред

Када се користи развој у степени ред за дефинисање тригонометријских функција, добијају се следећи идентитети:

$$\begin{array}{cccc}\sin x& =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots & & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ \cos x& =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots & & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\end{array}$$

Формуле бесконачног производа

За примене код специјалних функција, следеће формуле бесконачног производа за тригонометријске функције су корисне:

$$\begin{array}{cccc}\sin x& =x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2}),& \cos x& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}){\phantom{)}}^2}),\\ \sinh x& =x\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{{\pi }^2{n}^2}),& \cosh x& =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1+\frac{x^2}{{\pi }^2(n-\frac{1}{2}){\phantom{)}}^2}).\end{array}$$

Инверзне тригонометријске функције

Следећи идентитети дају резултат композиције тригонометријске функције са инверзном тригонометријском функцијом.

$$\begin{array}{cccccc}\sin (\arcsin x)& =x& \cos (\arcsin x)& =\sqrt{1-x^2}& \tan (\arcsin x)& =\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\\ \sin (\arccos x)& =\sqrt{1-x^2}& \cos (\arccos x)& =x& \tan (\arccos x)& =\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\\ \sin (\arctan x)& =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}& \cos (\arctan x)& =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}& \tan (\arctan x)& =x\\ \sin (\mathrm{arccsc}x)& =\frac{1}{x}& \cos (\mathrm{arccsc}x)& =\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}& \tan (\mathrm{arccsc}x)& =\frac{1}{x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}\\ \sin (\mathrm{arcsec}x)& =\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}& \cos (\mathrm{arcsec}x)& =\frac{1}{x}& \tan (\mathrm{arcsec}x)& =x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}\\ \sin (\mathrm{arccot}x)& =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}& \cos (\mathrm{arccot}x)& =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}& \tan (\mathrm{arccot}x)& =\frac{1}{x}\end{array}$$

Узимањем реципрочне вредности обе стране сваке једначине изнад добијају се једначине за $\csc =\frac{1}{\sin },\sec =\frac{1}{\cos },\text{ и }\cot =\frac{1}{\tan }.$ Десна страна горње формуле ће увек бити преокренута. На пример, једначина за $\cot (\arcsin x)$ је: $$\cot (\arcsin x)=\frac{1}{\tan (\arcsin x)}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$$ док су једначине за $\csc (\arccos x)$ и $\sec (\arccos x)$: $$\csc (\arccos x)=\frac{1}{\sin (\arccos x)}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{ и }\sec (\arccos x)=\frac{1}{\cos (\arccos x)}=\frac{1}{x}.$$

Следећи идентитети су имплицирани идентитетима рефлексије. Они важе кад год су $x,r,s,-x,-r,$ и $-s$ у доменима релевантних функција. $$\begin{array}{cccccccccccc}\frac{\pi }{2}& =\arcsin (x)& & +\arccos (x)& & =\arctan (r)& & +\mathrm{arccot}(r)& & =\mathrm{arcsec}(s)& & +\mathrm{arccsc}(s)\\ \pi & =\arccos (x)& & +\arccos (-x)& & =\mathrm{arccot}(r)& & +\mathrm{arccot}(-r)& & =\mathrm{arcsec}(s)& & +\mathrm{arcsec}(-s)\\ 0& =\arcsin (x)& & +\arcsin (-x)& & =\arctan (r)& & +\arctan (-r)& & =\mathrm{arccsc}(s)& & +\mathrm{arccsc}(-s)\end{array}$$

Такође, $$\begin{array}{cc}\arctan x+\arctan \frac{1}{x}& =\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2},& \text{ако је }x>0\\ -\frac{\pi }{2},& \text{ако је }x<0\end{array}\\ \mathrm{arccot}x+\mathrm{arccot}\frac{1}{x}& =\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2},& \text{ако је }x>0\\ \frac{3\pi }{2},& \text{ако је }x<0\end{array}\end{array}$$ $$\arccos \frac{1}{x}=\mathrm{arcsec}x\text{ и }\mathrm{arcsec}\frac{1}{x}=\arccos x$$ $$\arcsin \frac{1}{x}=\mathrm{arccsc}x\text{ и }\mathrm{arccsc}\frac{1}{x}=\arcsin x$$

Функција аркус тангенса се може проширити као ред: $$\arctan (nx)=\sum _{m=1}^n\arctan \frac{x}{1+(m-1)m{x}^2}$$

Идентитети без променљивих

У терминима функције аркус тангенса имамо $$\arctan \frac{1}{2}=\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{7}$$

што је посебан случај Ојлеровог идентитета за аркус тангенс:

$$\arctan \frac{1}{p}=\arctan \frac{1}{p+q}+\arctan \frac{q}{p^2+pq+1}.$$

Куриозитет познат као Моријев закон, $$\cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }=\frac{1}{8},$$

је посебан случај идентитета који садржи једну променљиву: $$\prod _{j=0}^{k-1}\cos \left(2^{j}x\right)=\frac{\sin \left(2^{k}x\right)}{2^k\sin x}.$$

Слично, $$\sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{8}$$ је посебан случај идентитета са $x=20^{\circ }$: $$\sin x\cdot \sin (60^{\circ }-x)\cdot \sin (60^{\circ }+x)=\frac{\sin 3x}{4}.$$

За случај $x=15^{\circ }$, $$\begin{array}{cc}\sin 15^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }& =\frac{\sqrt{2}}{8},\\ \sin 15^{\circ }\cdot \sin 75^{\circ }& =\frac{1}{4}.\end{array}$$

За случај $x=10^{\circ }$, $$\sin 10^{\circ }\cdot \sin 50^{\circ }\cdot \sin 70^{\circ }=\frac{1}{8}.$$

Исти идентитет косинуса је $$\cos x\cdot \cos (60^{\circ }-x)\cdot \cos (60^{\circ }+x)=\frac{\cos 3x}{4}.$$

Слично томе, $$\begin{array}{cc}\cos 10^{\circ }\cdot \cos 50^{\circ }\cdot \cos 70^{\circ }& =\frac{\sqrt{3}}{8},\\ \cos 15^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }& =\frac{\sqrt{2}}{8},\\ \cos 15^{\circ }\cdot \cos 75^{\circ }& =\frac{1}{4}.\end{array}$$

Такође, $$\begin{array}{cc}\tan 50^{\circ }\cdot \tan 60^{\circ }\cdot \tan 70^{\circ }& =\tan 80^{\circ },\\ \tan 40^{\circ }\cdot \tan 30^{\circ }\cdot \tan 20^{\circ }& =\tan 10^{\circ }.\end{array}$$

Следеће можда није тако лако генерализовати на идентитет који садржи променљиве (али погледајте објашњење испод): $$\cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }=\frac{1}{2}.$$

Мерење у степенима престаје да буде прикладније од мерења у радијанима када размотримо овај идентитет са бројем 21 у имениоцима: $$\cos \frac{2\pi }{21}+\cos (2\cdot \frac{2\pi }{21})+\cos (4\cdot \frac{2\pi }{21})+\cos (5\cdot \frac{2\pi }{21})+\cos (8\cdot \frac{2\pi }{21})+\cos (10\cdot \frac{2\pi }{21})=\frac{1}{2}.$$

Фактори 1, 2, 4, 5, 8, 10 могу почети да разјашњавају образац: они су они цели бројеви мањи од Шаблон:Sfrac који су узајамно прости (или немају заједничких простих фактора) са 21. Последњих неколико примера су последице основне чињенице о нередуцибилним циклотомичним полиномима: косинуси су реални делови нула тих полинома; збир нула је Мебијусова функција евалуирана (у самом последњем случају изнад) на 21; само половина нула је присутна изнад. Идентитет пре овог последњег настаје на исти начин када се 21 замени са 15.

Остали идентитети косинуса укључују: $$\begin{array}{cc}2\cos \frac{\pi }{3}& =1,\\ 2\cos \frac{\pi }{5}\times 2\cos \frac{2\pi }{5}& =1,\\ 2\cos \frac{\pi }{7}\times 2\cos \frac{2\pi }{7}\times 2\cos \frac{3\pi }{7}& =1,\end{array}$$ и тако даље за све непарне бројеве, па отуда и $$\cos \frac{\pi }{3}+\cos \frac{\pi }{5}\times \cos \frac{2\pi }{5}+\cos \frac{\pi }{7}\times \cos \frac{2\pi }{7}\times \cos \frac{3\pi }{7}+\dots =1.$$

Многи од ових занимљивих идентитета потичу из општијих чињеница као што су следеће: $$\prod _{k=1}^{n-1}\sin \frac{k\pi }{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$$ и $$\prod _{k=1}^{n-1}\cos \frac{k\pi }{n}=\frac{\sin \frac{\pi n}{2}}{2^{n-1}}.$$

Комбиновање ових нам даје $$\prod _{k=1}^{n-1}\tan \frac{k\pi }{n}=\frac{n}{\sin \frac{\pi n}{2}}$$

Ако је Шаблон:Mvar непаран број ($n=2m+1$), можемо искористити симетрије да добијемо $$\prod _{k=1}^m\tan \frac{k\pi }{2m+1}=\sqrt{2m+1}$$

Трансфер функција Батервортовог нископропусног филтра може се изразити преко полинома и полова. Постављањем фреквенције на граничну фреквенцију, може се доказати следећи идентитет: $$\prod _{k=1}^n\sin \frac{(2k-1)\pi }{4n}=\prod _{k=1}^n\cos \frac{(2k-1)\pi }{4n}=\frac{\sqrt{2}}{2^n}$$

Израчунавање броја Шаблон:Pi

Ефикасан начин за [[пи|израчунавање Шаблон:Pi]] на велики број цифара заснива се на следећем идентитету без променљивих, захваљујући Мечину. Ово је познато као Мечинова формула: $$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$$ или, алтернативно, коришћењем идентитета Леонхарда Ојлера: $$\frac{\pi }{4}=5\arctan \frac{1}{7}+2\arctan \frac{3}{79}$$ или помоћу Питагориних тројки: $$\pi =\arccos \frac{4}{5}+\arccos \frac{5}{13}+\arccos \frac{16}{65}=\arcsin \frac{3}{5}+\arcsin \frac{12}{13}+\arcsin \frac{63}{65}.$$

Остали укључују: $$\frac{\pi }{4}=\arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3},$$ $$\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3,$$ $$\frac{\pi }{4}=2\arctan \frac{1}{3}+\arctan \frac{1}{7}.$$

Генерално, за бројеве Шаблон:Math за које је Шаблон:Math, нека је Шаблон:Math. Овај последњи израз може се израчунати директно помоћу формуле за котангенс збира углова чији су тангенси Шаблон:Math и њена вредност ће бити унутар Шаблон:Math. Конкретно, израчунато Шаблон:Math биће рационално кад год су све вредности Шаблон:Math рационалне. Са овим вредностима, $$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}& =\sum _{k=1}^n\arctan (t_k)\\ \pi & =\sum _{k=1}^n\mathrm{sgn}(t_k)\arccos \left(\frac{1-t_k^2}{1+t_k^2}\right)\\ \pi & =\sum _{k=1}^n\arcsin \left(\frac{2t_k}{1+t_k^2}\right)\\ \pi & =\sum _{k=1}^n\arctan \left(\frac{2t_k}{1-t_k^2}\right),\end{array}$$

где смо у свим осим у првом изразу користили формуле половине угла тангенса. Прве две формуле функционишу чак и ако једна или више вредности Шаблон:Math нису унутар Шаблон:Math. Имајте на уму да ако је Шаблон:Math рационално, тада су вредности Шаблон:Math у горњим формулама пропорционалне Питагориној тројки Шаблон:Math.

На пример, за Шаблон:Math чланова, $$\frac{\pi }{2}=\arctan \left(\frac{a}{b}\right)+\arctan \left(\frac{c}{d}\right)+\arctan \left(\frac{bd-ac}{ad+bc}\right)$$ за било које Шаблон:Math.

Идентитет Еуклида

Еуклид је показао у Књизи XIII, Предлог 10 његових Елемената да је површина квадрата над страницом правилног петоугла уписаног у круг једнака збиру површина квадрата над страницама правилног шестоугла и правилног десетоугла уписаних у исти круг. Речено језиком модерне тригонометрије, ово гласи: $${\sin }^{2}18^{\circ }+{\sin }^{2}30^{\circ }={\sin }^{2}36^{\circ }.$$

Птолемеј је користио ову тврдњу да би израчунао неке углове у његовој табели тетива у Књизи I, поглавље 11 Алмагеста.

Композиција тригонометријских функција

Ови идентитети укључују тригонометријску функцију тригонометријске функције:

$\cos (t\sin x)=J_0(t)+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_{2k}(t)\cos (2kx)$

$\sin (t\sin x)=2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{J}_{2k+1}(t)\sin ((2k+1)x)$

$\cos (t\cos x)=J_0(t)+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{J}_{2k}(t)\cos (2kx)$

$\sin (t\cos x)=2\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{J}_{2k+1}(t)\cos ((2k+1)x)$

где су Шаблон:Mvar Беселове функције.

Даљи „условни” идентитети за случај α + β + γ = 180°

Условни тригонометријски идентитет је тригонометријски идентитет који важи ако су испуњени одређени услови аргумената тригонометријских функција. Следеће формуле се примењују на произвољне равне троуглове и следе из $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },$ све док су функције које се јављају у формулама добро дефинисане (ово последње се односи само на формуле у којима се јављају тангенси и котангенси). $$\begin{array}{cc}\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma & =\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma \\ 1& =\cot \beta \cot \gamma +\cot \gamma \cot \alpha +\cot \alpha \cot \beta \\ \cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)+\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)+\cot \left(\frac{\gamma }{2}\right)& =\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)\cot \left(\frac{\gamma }{2}\right)\\ 1& =\tan \left(\frac{\beta }{2}\right)\tan \left(\frac{\gamma }{2}\right)+\tan \left(\frac{\gamma }{2}\right)\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)+\tan \left(\frac{\alpha }{2}\right)\tan \left(\frac{\beta }{2}\right)\\ \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma & =4\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)\\ -\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma & =4\cos \left(\frac{\alpha }{2}\right)\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)\\ \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma & =4\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)+1\\ -\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma & =4\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cos \left(\frac{\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)-1\\ \sin (2\alpha )+\sin (2\beta )+\sin (2\gamma )& =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \\ -\sin (2\alpha )+\sin (2\beta )+\sin (2\gamma )& =4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma \\ \cos (2\alpha )+\cos (2\beta )+\cos (2\gamma )& =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1\\ -\cos (2\alpha )+\cos (2\beta )+\cos (2\gamma )& =-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\ {\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma & =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2\\ -{\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma & =2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma \\ {\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma & =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1\\ -{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma & =-2\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1\\ {\sin }^2(2\alpha )+{\sin }^2(2\beta )+{\sin }^2(2\gamma )& =-2\cos (2\alpha )\cos (2\beta )\cos (2\gamma )+2\\ {\cos }^2(2\alpha )+{\cos }^2(2\beta )+{\cos }^2(2\gamma )& =2\cos (2\alpha )\cos (2\beta )\cos (2\gamma )+1\\ 1& ={\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{\beta }{2}\right)+{\sin }^2\left(\frac{\gamma }{2}\right)+2\sin \left(\frac{\alpha }{2}\right)\sin \left(\frac{\beta }{2}\right)\sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)\end{array}$$

Историјске скраћенице

Версинус, коверсинус, хаверсинус и ексеканс користили су се у навигацији. На пример, формула хаверсинуса је коришћена за израчунавање удаљености између две тачке на сфери. Данас се ретко користе.

Разно

Дирихлеово језгро

Дирихлеово језгро Шаблон:Math је функција која се јавља на обе стране следећег идентитета: $$1+2\cos x+2\cos (2x)+2\cos (3x)+\cdots +2\cos (nx)=\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})x\right)}{\sin \left(\frac{1}{2}x\right)}.$$

Конволуција било које интеграбилне функције периода $2\pi$ са Дирихлеовим језгром поклапа се са функцијином Фуријеовом апроксимацијом степена $n$. Исто важи за сваку меру или генерализовану функцију.

Смена половине угла тангенса

Ако поставимо $$t=\tan \frac{x}{2},$$ тада је $$\sin x=\frac{2t}{1+t^2};\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2};e^{ix}=\frac{1+it}{1-it};dx=\frac{2dt}{1+t^2},$$ где је $e^{ix}=\cos x+i\sin x,$ што се понекад скраћује као Шаблон:Math.

Када се ова смена $t$ за Шаблон:Math користи у математичкој анализи, следи да се $\sin x$ замењује са Шаблон:Math, $\cos x$ се замењује са Шаблон:Math, а диференцијал Шаблон:Math се замењује са Шаблон:Math. На тај начин се претварају рационалне функције од $\sin x$ и $\cos x$ у рационалне функције од $t$ како би се пронашле њихове примитивне функције.

Вијетов бесконачни производ

Шаблон:Види још $$\cos \frac{\theta }{2}\cdot \cos \frac{\theta }{4}\cdot \cos \frac{\theta }{8}\cdots =\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \frac{\theta }{2^n}=\frac{\sin \theta }{\theta }=\mathrm{sinc}\theta .$$

Синусни идентитет који се користи у медицинском снимању

Овде је приказан идентитет откривен као нуспроизвод истраживања у медицинском снимању.

Нека је $i=\sqrt{-1}$ имагинарна јединица и нека ∘ означава композицију диференцијалних оператора. Тада за сваки непарни позитивни цео број Шаблон:Mvar,

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(\frac{d}{dx}-\sin x)& \circ (\frac{d}{dx}-\sin x+i)\circ \cdots \\ \cdots & \circ (\frac{d}{dx}-\sin x+(k-1)i)(\sin x{)}^{n-k}=0.\end{array}$

(Када је Шаблон:Mvar = 0, број диференцијалних оператора који се компонују је 0, тако да је одговарајући члан у горњем збиру само Шаблон:Math.)

Види још

• Аристархова неједнакост
• Изводи тригонометријских функција
• Ексеканс
• Хиперболична функција
• Закони за решавање троуглова:
  • Косинусна теорема
    • Сферна косинусна теорема
  • Синусна теорема
  • Тангенсна теорема
  • Котангенсна теорема
  • Молвајдева формула
• Интеграли тригонометријских функција
• Питагорина теорема
• Формула половине угла тангенса
• Тригонометрија
• Употреба тригонометрије
• Версинус и хаверсинус

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Спољашње везе

• Вредности синуса и косинуса, изражене у коренима, за целобројне умношке 3° и Шаблон:Sfrac°, и за исте углове косеканс и секанс и тангенс