Диференцијална геометрија површи

Карл Фридрих Гаус 1828. године

У математици, диференцијална геометрија површи бави се диференцијалном геометријом глатких површиШаблон:Efn са различитим додатним структурама, најчешће Римановом метриком.Шаблон:Efn

Површи су опсежно проучаване из различитих перспектива: спољашње, у односу на њихово утапање у Еуклидски простор, и унутрашње (интринсичне), које одражавају њихова својства одређена искључиво растојањем унутар површи мереним дуж кривих на површи. Један од основних истраживаних концепата је Гаусова кривина, коју је први дубински проучио Карл Фридрих Гаус,Шаблон:Sfn који је показао да је кривина унутрашње својство површи, независно од њеног изометријског утапања у Еуклидски простор.

Површи природно настају као графици функција пара променљивих, а понекад се појављују у параметарском облику или као геометријска места тачака повезана са просторним кривама. Важну улогу у њиховом проучавању имале су Лијеве групе (у духу Ерлангенског програма), наиме групе симетрија Еуклидске равни, сфере и хиперболичке равни. Ове Лијеве групе се могу користити за описивање површи константне Гаусове кривине; оне такође пружају суштински састојак у модерном приступу унутрашњој диференцијалној геометрији кроз конексије. С друге стране, спољашња својства која се ослањају на утапање површи у Еуклидски простор такође су опсежно проучавана. Ово је добро илустровано нелинеарним Ојлер-Лагранжовим једначинама у варијационом рачуну: иако је Ојлер развио једначине једне променљиве да би разумео геодезијске линије, дефинисане независно од утапања, једна од главних Лагранжових примена једначина са две променљиве била је на минималне површи, концепт који се може дефинисати само у смислу утапања.

Историја

Бернхард Риман (1826—1866)

Запремине одређених квадрикa ротационих површи израчунао је Архимед. Развој рачуна у седамнаестом веку пружио је систематичнији начин њиховог израчунавања. Кривину општих површи први је проучавао Ојлер. Године 1760. доказао је формулу за кривину равног пресека површи, а 1771. разматрао је површи представљене у параметарском облику. Монж је поставио темеље њихове теорије у свом класичном мемоару L'application de l'analyse à la géometrie који се појавио 1795. године. Одлучујући допринос теорији површи дао је Гаус у два изузетна рада написана 1825. и 1827. године.Шаблон:Sfn Ово је означило нови отклон од традиције јер је Гаус први пут разматрао унутрашњу геометрију површи, својства која су одређена само геодезијским растојањима између тачака на површи независно од посебног начина на који је површ смештена у амбијентални Еуклидски простор. Крунски резултат, Гаусова Theorema Egregium, установио је да је Гаусова кривина унутрашња инваријанта, тј. инваријанта при локалним изометријама. Ову тачку гледишта проширио је на вишедимензионалне просторе Риман и то је довело до онога што је данас познато као Риманова геометрија. Деветнаести век био је златно доба за теорију површи, како са тополошке тако и са диференцијално-геометријске тачке гледишта, при чему се већина водећих геометара посветила њиховом проучавању.Шаблон:Тражи се извор Дарбу је прикупио многе резултате у свом четворотомном трактату Théorie des surfaces (1887–1896).

Преглед

Интуитивно је сасвим познато рећи да су лист биљке, површина чаше или облик лица закривљени на одређене начине, и да сви ови облици, чак и након занемаривања било каквих ознака, имају одређене геометријске карактеристике које разликују један од другог. Диференцијална геометрија површи бави се математичким разумевањем таквих феномена. Проучавање овог поља, које је започето у свом модерном облику у 18. веку, довело је до развоја вишедимензионалне и апстрактне геометрије, као што су Риманова геометрија и општа релативност.

Суштински математички објекат је регуларна површ. Иако конвенције варирају у њиховој прецизној дефиницији, оне чине општу класу подскупова тродимензионалног Еуклидског простора (Шаблон:Math) који обухватају део познатог појма „површи”. Анализирањем класе кривих које леже на таквој површи, и степена до којег их површи приморавају да се закриве у Шаблон:Math, свакој тачки површи могу се придружити два броја, названа главне кривине. Њихов просек се назива средња кривина површи, а њихов производ Гаусова кривина.

Постоји много класичних примера регуларних површи, укључујући:

• познате примере као што су равни, цилиндри и сфере;
• минималне површи, које су дефинисане својством да им је средња кривина нула у свакој тачки. Најпознатији примери су катеноиди и хеликоиди, иако је откривено још много њих. Минималне површи се такође могу дефинисати својствима везаним за површину, са последицом да пружају математички модел за облик филмова сапунице када су разапети преко жичаног оквира;
• праволинијске површи, које су површи које имају најмање једну праву линију која пролази кроз сваку тачку; примери укључују цилиндар и хиперболоид (једног грана).

Изненађујући резултат Карла Фридриха Гауса, познат као Theorema Egregium, показао је да се Гаусова кривина површи, која по својој дефиницији има везе са тим како криве на површи мењају правце у тродимензионалном простору, заправо може мерити дужинама кривих које леже на површима заједно са угловима који настају када се две криве на површи пресецају. Терминолошки, ово каже да се Гаусова кривина може израчунати из прве фундаменталне форме (такође зване метрички тензор) површи. Друга фундаментална форма, насупрот томе, је објекат који кодира како се дужине и углови кривих на површи искривљују када се криве „одгурну” са површи.

Упркос мерењу различитих аспеката дужине и угла, прва и друга фундаментална форма нису независне једна од друге, и задовољавају одређена ограничења звана Гаус-Кодацијеве једначине. Главна теорема, често звана основна теорема диференцијалне геометрије површи, тврди да кад год два објекта задовољавају Гаус-Кодацијева ограничења, они ће настати као прва и друга фундаментална форма регуларне површи.

Користећи прву фундаменталну форму, могуће је дефинисати нове објекте на регуларној површи. Геодезијске линије су криве на површи које задовољавају одређену обичну диференцијалну једначину другог реда која је одређена првом фундаменталном формом. Оне су врло директно повезане са проучавањем дужина кривих; геодезијска линија довољно кратке дужине увек ће бити крива најкраће дужине на површи која повезује своје две крајње тачке. Дакле, геодезијске линије су фундаменталне за оптимизациони проблем одређивања најкраће путање између две дате тачке на регуларној површи.

Такође се може дефинисати паралелни транспорт дуж било које дате криве, који даје рецепт како деформисати тангентни вектор на површ у једној тачки криве у тангентне векторе у свим другим тачкама криве. Рецепт је одређен обичном диференцијалном једначином првог реда која је одређена првом фундаменталном формом.

Горе наведени концепти суштински имају везе са рачуном више променљивих. Гаус-Бонеова теорема је глобалнији резултат, који повезује Гаусову кривину површи са њеним тополошким типом. Она тврди да је просечна вредност Гаусове кривине потпуно одређена Ојлеровом карактеристиком површи заједно са њеном површином.

Свака регуларна површ је пример и Риманове многострукости и Риманове површи. Суштински сва теорија регуларних површи како је овде дискутована има генерализацију у теорији Риманових многострукости и њихових подмногострукости.

Регуларне површи у Еуклидском простору

Дефиниција

Интуитивно је јасно да је сфера глатка, док купа или пирамида, због свог врха или ивица, нису. Појам „регуларне површи” је формализација појма глатке површи. Дефиниција користи локалну репрезентацију површи путем пресликавања између Еуклидских простора. Постоји стандардни појам глаткости за таква пресликавања; пресликавање између два отворена подскупа Еуклидског простора је глатко ако његови парцијални изводи сваког реда постоје у свакој тачки домена.

Регуларна површ у Еуклидском простору Шаблон:Math је подскуп Шаблон:Mvar од Шаблон:Math такав да свака тачка од Шаблон:Mvar допушта било који од следећа три концепта: локалне параметризације, Монжове карте или имплицитне функције. Следећа табела даје дефиниције таквих објеката; Монжове карте су можда визуелно најинтуитивније, јер суштински кажу да је регуларна површ подскуп од Шаблон:Math који је локално график глатке функције (било над облашћу у Шаблон:Math равни, Шаблон:Math равни или Шаблон:Math равни).

Локална параметризација Монжовог облика за горњу хемисферу 2-сфере, добијена пројектовањем на Шаблон:Math-раван

Објекти	Дефиниција
Локалне параметризације	Отворена околина Шаблон:Math за коју постоји отворен подскуп Шаблон:Mvar од Шаблон:Math и хомеоморфизам Шаблон:Math такав да: Шаблон:Mvar, као функција Шаблон:Math, је бесконачно диференцијабилна (тј. глатка); за сваку тачку из Шаблон:Mvar, два парцијална извода Шаблон:Math и Шаблон:Math су линеарно независни као елементи од Шаблон:Math.
Монжове карте	Отворена околина Шаблон:Math за коју постоји отворен подскуп Шаблон:Mvar од Шаблон:Math и глатка функција Шаблон:Math таква да важи једно од следећег: Шаблон:Math} Шаблон:Math} Шаблон:Math}.
Имплицитне функције	Отворена околина Шаблон:Math за коју постоји глатка функција Шаблон:Math са: Шаблон:Math} у свакој тачки од Шаблон:Math, најмање један парцијални извод од Шаблон:Mvar је различит од нуле.

Хомеоморфизми који се појављују у првој дефиницији познати су као локалне параметризације или локални координатни системи или локалне карте на Шаблон:Mvar. Еквиваленција прве две дефиниције тврди да, око било које тачке на регуларној површи, увек постоје локалне параметризације облика Шаблон:Math, Шаблон:Math или Шаблон:Math, познате као Монжове картеШаблон:Anchor. Функције Шаблон:Mvar као у трећој дефиницији називају се локалне дефинишуће функције. Еквиваленција све три дефиниције следи из теореме о имплицитној функцији.

Промене координата између различитих локалних карата морају бити глатке

Дате било које две локалне параметризације Шаблон:Math и Шаблон:Math регуларне површи, композиција Шаблон:Math је нужно глатка као пресликавање између отворених подскупова од Шаблон:Math. Ово показује да свака регуларна површ природно има структуру глатке многострукости, са глатким атласом који је дат инверзима локалних параметризација.

У класичној теорији диференцијалне геометрије, површи се обично проучавају само у регуларном случају. Међутим, такође је уобичајено проучавати нерегуларне површи, у којима два парцијална извода Шаблон:Math и Шаблон:Math локалне параметризације могу да не буду линеарно независни. У овом случају, Шаблон:Mvar може имати сингуларитете. Такве површи се типично проучавају у теорији сингуларитета. Други ослабљени облици регуларних површи јављају се у рачунарски подржаном дизајнирању (CAD), где се површ разбија на дисјунктне делове, при чему изводи локалних параметризација нису чак ни непрекидни дуж граница.

Хиперболоид (двограни)

Торус

Хеликоид

Једноставни примери. Једноставан пример регуларне површи дат је 2-сфером Шаблон:Math}; ова површ може бити покривена са шест Монжових карата (две од свака три типа наведена горе), узимајући Шаблон:Math. Такође може бити покривена са две локалне параметризације, користећи стереографску пројекцију. Скуп Шаблон:Math} је ротациони торус са полупречницима Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar. То је регуларна површ; локалне параметризације се могу дати у облику

$f(s,t)=((R\cos s+r)\cos t,(R\cos s+r)\sin t,R\sin s).$

Хиперболоид (двограни) Шаблон:Math} је регуларна површ; може се покрити са две Монжове карте, са Шаблон:Math. Хеликоид се појављује у теорији минималних површи. Покривен је једном локалном параметризацијом, Шаблон:Math.

Тангентни вектори и нормални вектори

Нека је Шаблон:Mvar регуларна површ у Шаблон:Math, и нека је Шаблон:Mvar елемент од Шаблон:Mvar. Користећи било коју од горњих дефиниција, могу се издвојити одређени вектори у Шаблон:Math као тангентни на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar, и одређени вектори у Шаблон:Math као ортогонални (или нормални) на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar.

Објекти коришћени у дефиницији	Вектор Шаблон:Mvar у Шаблон:Math је тангентан на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar ако...	Вектор Шаблон:Mvar у Шаблон:Math је нормалан на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar ако...
Локалне параметризације	... дата било која локална параметризација Шаблон:Math са Шаблон:Math, Шаблон:Mvar је линеарна комбинација $\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{f^{-1}(p)}$ и $\frac{\partial f}{\partial v}{|}_{f^{-1}(p)}$	... је ортогоналан на сваки тангентни вектор на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar
Монжове карте	... за било коју Монжову карту Шаблон:Math чији опсег укључује Шаблон:Mvar, важи $X^1\frac{\partial h}{\partial u}+X^2\frac{\partial h}{\partial v}-X^3=0,$ са парцијалним изводима израчунатим у тачки Шаблон:Math. Аналогна дефиниција важи у случају Монжових карата друга два облика.	... за било коју Монжову карту Шаблон:Math чији опсег укључује Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar је умножак од Шаблон:Math како је израчунато у тачки Шаблон:Math. Аналогна дефиниција важи у случају Монжових карата друга два облика.
Имплицитне функције	... за било коју локалну дефинишућу функцију Шаблон:Mvar чији домен садржи Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar је ортогоналан на Шаблон:Math	... за било коју локалну дефинишућу функцију Шаблон:Mvar чији домен садржи Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar је умножак од Шаблон:Math

Шаблон:AnchorВиди се да је тангентни простор или тангентна раван на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar, која је дефинисана да се састоји од свих тангентних вектора на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar, дводимензионални линеарни подпростор од Шаблон:Math; често се означава са Шаблон:Math.

Нормални простор на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar, који је дефинисан да се састоји од свих нормалних вектора на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar, је једнодимензионални линеарни подпростор од Шаблон:Math који је ортогоналан на тангентни простор Шаблон:Math. Као такав, у свакој тачки Шаблон:Mvar од Шаблон:Mvar, постоје два нормална вектора јединичне дужине (јединични нормални вектори). Јединични нормални вектори у Шаблон:Mvar могу се дати помоћу локалних параметризација, Монжових карата, или локалних дефинишућих функција, путем формула

$\pm {\frac{\frac{\partial f}{\partial u}\times \frac{\partial f}{\partial v}}{\Vert \frac{\partial f}{\partial u}\times \frac{\partial f}{\partial v}\Vert }|}_{f^{-1}(p)},\pm {\frac{(\frac{\partial h}{\partial u},\frac{\partial h}{\partial v},-1)}{\sqrt{1+{\left(\frac{\partial h}{\partial u}\right)}^2+{\left(\frac{\partial h}{\partial v}\right)}^2}}|}_{(p_1,p_2)},\text{или}\pm \frac{\mathrm{\nabla }F(p)}{\Vert \mathrm{\nabla }F(p)\Vert },$

следећи исте ознаке као у претходним дефиницијама.

Такође је корисно приметити „унутрашњу” дефиницију тангентних вектора, која је типична за генерализацију теорије регуларних површи на поставку глатких многострукости. Она дефинише тангентни простор као апстрактан дводимензионални реални векторски простор, радије него као линеарни подпростор од Шаблон:Math. У овој дефиницији, каже се да је тангентни вектор на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar додела, свакој локалној параметризацији Шаблон:Math са Шаблон:Math, два броја Шаблон:Math и Шаблон:Math, тако да за било коју другу локалну параметризацију Шаблон:Math са Шаблон:Math (и са одговарајућим бројевима Шаблон:Math и Шаблон:Math), важи

$\left(\begin{array}{c}{X}^1\\ X^2\end{array}\right)=A_{f^{\prime }(p)}\left(\begin{array}{c}(X^{\prime }{)}^1\\ (X^{\prime }{)}^2\end{array}\right),$

где је Шаблон:Math Јакобијева матрица пресликавања Шаблон:Math, израчуната у тачки Шаблон:Math. Колекција тангентних вектора на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar природно има структуру дводимензионалног векторског простора. Тангентни вектор у овом смислу одговара тангентном вектору у претходном смислу разматрањем вектора

$X^1\frac{\partial f}{\partial u}+X^2\frac{\partial f}{\partial v}.$

у Шаблон:Math. Јакобијев услов за Шаблон:Math и Шаблон:Math осигурава, путем ланчаног правила, да овај вектор не зависи од Шаблон:Mvar.

За глатке функције на површи, векторска поља (тј. тангентна векторска поља) имају важну интерпретацију као оператори првог реда или деривације. Нека је $S$ регуларна површ, $U$ отворен подскуп равни и $f:U\to S$ координатна карта. Ако је $V=f(U)$, простор $C^{\mathrm{\infty }}(U)$ се може идентификовати са $C^{\mathrm{\infty }}(V)$. Слично $f$ идентификује векторска поља на $U$ са векторским пољима на $V$. Узимајући стандардне променљиве Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, векторско поље има облик $X=a{\partial }_u+b{\partial }_v$, са Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar глатким функцијама. Ако је $X$ векторско поље и $g$ глатка функција, онда је $Xg$ такође глатка функција. Диференцијални оператор првог реда $X$ је деривација, тј. задовољава Лајбницово правило $X(gh)=(Xg)h+g(Xh).$

За векторска поља Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar једноставно је проверити да је оператор $[X,Y]=XY-YX$ деривација која одговара векторском пољу. Назива се Лијева заграда $[X,Y]$. Она је кососиметрична $[X,Y]=-[Y,X]$ и задовољава Јакобијев идентитет:

$[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.$

Укратко, векторска поља на $U$ или $V$ чине Лијеву алгебру под Лијевом заградом.

Прва и друга фундаментална форма, оператор облика и кривина

Нека је Шаблон:Mvar регуларна површ у Шаблон:Math. Дата локална параметризација Шаблон:Math и јединично нормално векторско поље Шаблон:Mvar на Шаблон:Math, дефинишу следеће објекте као реалне или матричне функције на Шаблон:Mvar. Прва фундаментална форма зависи само од Шаблон:Mvar, а не од Шаблон:Mvar. Четврта колона бележи начин на који ове функције зависе од Шаблон:Mvar, повезујући функције Шаблон:Math итд., које настају за различит избор локалне параметризације, Шаблон:Math, са онима које настају за Шаблон:Mvar. Овде Шаблон:Mvar означава Јакобијеву матрицу од Шаблон:Math. Кључна релација у успостављању формула четврте колоне је тада

$\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f^{\prime }}{\partial u}\\ \frac{\partial f^{\prime }}{\partial v}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial u}\\ \frac{\partial f}{\partial v}\end{array}\right),$

као што следи из ланчаног правила.

Терминологија	Ознака	Дефиниција	Зависност од локалне параметризације
Прва фундаментална форма	Шаблон:Mvar	$E=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial f}{\partial u}$	$\left(\begin{array}{cc}{E}^{\prime }& F^{\prime }\\ F^{\prime }& G^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)A^T$
	Шаблон:Mvar	$F=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot \frac{\partial f}{\partial v}$
	Шаблон:Mvar	$G=\frac{\partial f}{\partial v}\cdot \frac{\partial f}{\partial v}$
Друга фундаментална форма	Шаблон:Mvar	$L=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}\cdot n$	$\left(\begin{array}{cc}{L}^{\prime }& M^{\prime }\\ M^{\prime }& N^{\prime }\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{cc}L& M\\ M& N\end{array}\right)A^T$
	Шаблон:Mvar	$M=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}\cdot n$
	Шаблон:Mvar	$N=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}\cdot n$
Оператор облика	Шаблон:Mvar	$P={\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cc}L& M\\ M& N\end{array}\right)$	$P^{\prime }=AP{A}^{-1}$
Гаусова кривина	Шаблон:Mvar	$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$	$K^{\prime }=K$
Средња кривина	Шаблон:Mvar	$H=\frac{GL-2FM+EN}{2(EG-F^2)}$	$H^{\prime }=H$
Главне кривине	${\kappa }_{\pm }$	$H\pm \sqrt{H^2-K}$	${\kappa }_{{\pm }^{\prime }}={\kappa }_{\pm }$

Директним израчунавањем са матрицом која дефинише оператор облика, може се проверити да је Гаусова кривина детерминанта оператора облика, средња кривина је половина трага оператора облика, а главне кривине су сопствене вредности оператора облика; штавише, Гаусова кривина је производ главних кривина, а средња кривина је њихов збир. Ова запажања се такође могу формулисати као дефиниције ових објеката. Ова запажања такође чине јасним да последња три реда четврте колоне следе непосредно из претходног реда, јер сличне матрице имају идентичну детерминанту, траг и сопствене вредности. Фундаментално је приметити да су Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Math сви нужно позитивни. Ово осигурава да је инверз матрице у дефиницији оператора облика добро дефинисан, и да су главне кривине реални бројеви.

Такође треба напоменути да ће негација избора јединичног нормалног векторског поља негирати другу фундаменталну форму, оператор облика, средњу кривину и главне кривине, али ће оставити Гаусову кривину непромењеном. Укратко, ово је показало да, дата регуларна површ Шаблон:Mvar, Гаусова кривина од Шаблон:Mvar се може сматрати реалном функцијом на Шаблон:Mvar; у односу на избор јединичног нормалног векторског поља на целом Шаблон:Mvar, две главне кривине и средња кривина су такође реалне функције на Шаблон:Mvar.

Дефиниција друге фундаменталне форме

Главне кривине у тачки на површи

Геометријски, прва и друга фундаментална форма могу се посматрати као давање информација о томе како се Шаблон:Math креће у Шаблон:Math док се Шаблон:Math креће у Шаблон:Mvar. Конкретно, прва фундаментална форма кодира колико брзо се Шаблон:Mvar креће, док друга фундаментална форма кодира степен до којег је његово кретање у правцу нормалног вектора Шаблон:Mvar. Другим речима, друга фундаментална форма у тачки Шаблон:Mvar кодира дужину ортогоналне пројекције са Шаблон:Mvar на тангентну раван на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar; конкретно, она даје квадратну функцију која најбоље апроксимира ову дужину. Ово размишљање се може учинити прецизним формулама

$\begin{array}{cc}\underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}\frac{|f(u+h,v+k)-f(u,v){|}^2-(E{h}^2+2Fhk+G{k}^2)}{h^2+k^2}& =0\\ \underset{(h,k)\to (0,0)}{lim}\frac{(f(u+h,v+k)-f(u,v))\cdot n-\frac{1}{2}(L{h}^2+2Mhk+N{k}^2)}{h^2+k^2}& =0,\end{array}$

као што следи директно из дефиниција фундаменталних форми и Тејлорове теореме у две димензије. Главне кривине могу се посматрати на следећи начин. У датој тачки Шаблон:Mvar од Шаблон:Mvar, размотримо колекцију свих равни које садрже ортогоналну линију на Шаблон:Mvar. Свака таква раван има криву пресека са Шаблон:Mvar, која се може сматрати раванском кривом унутар саме равни. Две главне кривине у Шаблон:Mvar су максимална и минимална могућа вредност кривине ове раванске криве у Шаблон:Mvar, док разматрана раван ротира око нормалне линије.

Следеће сумира израчунавање горе наведених величина у односу на Монжову карту Шаблон:Math. Овде Шаблон:Math и Шаблон:Math означавају два парцијална извода од Шаблон:Mvar, са аналогном ознаком за друге парцијалне изводе. Друга фундаментална форма и све накнадне величине израчунате су у односу на дати избор јединичног нормалног векторског поља.

Величина	Формула
Јединично нормално векторско поље	$n=\frac{(-h_u,-h_v,1)}{\sqrt{1+h_u^2+h_v^2}}$
Прва фундаментална форма	$\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+h_u^2& h_u{h}_v\\ h_u{h}_v& 1+h_v^2\end{array}\right)$
Друга фундаментална форма	$\left(\begin{array}{cc}L& M\\ M& N\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+h_u^2+h_v^2}}\left(\begin{array}{cc}{h}_{uu}& h_{uv}\\ h_{uv}& h_{vv}\end{array}\right)$
Оператор облика	$P=\frac{1}{(1+h_u^2+h_v^2{)}^{3/2}}\left(\begin{array}{cc}{h}_{uu}(1+h_v^2)-h_{uv}{h}_u{h}_v& h_{uv}(1+h_v^2)-h_{vv}{h}_u{h}_v\\ h_{uv}(1+h_u^2)-h_{uu}{h}_u{h}_v& h_{vv}(1+h_u^2)-h_{uv}{h}_u{h}_v\end{array}\right)$
Гаусова кривина	$K=\frac{h_{uu}{h}_{vv}-h_{uv}^2}{(1+h_u^2+h_v^2{)}^2}$
Средња кривина	$H=\frac{(1+h_v^2)h_{uu}-2h_u{h}_v{h}_{uv}+(1+h_u^2)h_{vv}}{2(1+h_u^2+h_v^2{)}^{3/2}}$

Кристофелови симболи, Гаус-Кодацијеве једначине и Theorema Egregium

Нека је Шаблон:Mvar регуларна површ у Шаблон:Math. Кристофелови симболи додељују, свакој локалној параметризацији Шаблон:Math, осам функција на Шаблон:Mvar, дефинисаних са

$\left(\begin{array}{cccc}{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1& {\mathrm{\Gamma }}_{12}^1& {\mathrm{\Gamma }}_{21}^1& {\mathrm{\Gamma }}_{22}^1\\ {\mathrm{\Gamma }}_{11}^2& {\mathrm{\Gamma }}_{12}^2& {\mathrm{\Gamma }}_{21}^2& {\mathrm{\Gamma }}_{22}^2\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}\frac{\partial E}{\partial u}& \frac{1}{2}\frac{\partial E}{\partial v}& \frac{1}{2}\frac{\partial E}{\partial v}& \frac{\partial F}{\partial v}-\frac{1}{2}\frac{\partial G}{\partial u}\\ \frac{\partial F}{\partial u}-\frac{1}{2}\frac{\partial E}{\partial v}& \frac{1}{2}\frac{\partial G}{\partial u}& \frac{1}{2}\frac{\partial G}{\partial u}& \frac{1}{2}\frac{\partial G}{\partial v}\end{array}\right).$

Они се такође могу дефинисати следећим формулама, у којима је Шаблон:Mvar јединично нормално векторско поље дуж Шаблон:Math а Шаблон:Math су одговарајуће компоненте друге фундаменталне форме:

$\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial u^2}& ={\mathrm{\Gamma }}_{11}^1\frac{\partial f}{\partial u}+{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2\frac{\partial f}{\partial v}+Ln\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial u\partial v}& ={\mathrm{\Gamma }}_{12}^1\frac{\partial f}{\partial u}+{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2\frac{\partial f}{\partial v}+Mn\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial v^2}& ={\mathrm{\Gamma }}_{22}^1\frac{\partial f}{\partial u}+{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2\frac{\partial f}{\partial v}+Nn.\end{array}$

Кључ ове дефиниције је да Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Mvar чине базу од Шаблон:Math у свакој тачки, у односу на коју свака од три једначине јединствено одређује Кристофелове симболе као координате других парцијалних извода од Шаблон:Mvar. Избор јединичне нормале нема утицаја на Кристофелове симболе, јер ако се Шаблон:Mvar замени својом негацијом, тада се компоненте друге фундаменталне форме такође негирају, па знаци од Шаблон:Math остају непромењени.

Друга дефиниција показује, у контексту локалних параметризација, да су Кристофелови симболи геометријски природни. Иако формуле у првој дефиницији изгледају мање природно, оне имају важност показивања да се Кристофелови симболи могу израчунати из прве фундаменталне форме, што није одмах очигледно из друге дефиниције. Еквиваленција дефиниција се може проверити директним уврштавањем прве дефиниције у другу, и коришћењем дефиниција за Шаблон:Math.

Кодацијеве једначине тврде да

$\begin{array}{cc}\frac{\partial L}{\partial v}-\frac{\partial M}{\partial u}& =L{\mathrm{\Gamma }}_{12}^1+M({\mathrm{\Gamma }}_{12}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1)-N{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2\\ \frac{\partial M}{\partial v}-\frac{\partial N}{\partial u}& =L{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1+M({\mathrm{\Gamma }}_{22}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{12}^1)-N{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2.\end{array}$

Ове једначине могу бити директно изведене из друге дефиниције Кристофелових симбола дате горе; на пример, прва Кодацијева једначина се добија диференцирањем прве једначине по Шаблон:Mvar, друге једначине по Шаблон:Mvar, одузимањем те две, и узимањем скаларног производа са Шаблон:Mvar. Гаусова једначина тврди да

$\begin{array}{cc}KE& =\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{11}^2}{\partial v}-\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{21}^2}{\partial u}+{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2{\mathrm{\Gamma }}_{21}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2\\ KF& =\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{12}^2}{\partial v}-\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{22}^2}{\partial u}+{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2{\mathrm{\Gamma }}_{12}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1\\ KG& =\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{22}^1}{\partial u}-\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{12}^1}{\partial v}+{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{12}^1{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{21}^1{\mathrm{\Gamma }}_{12}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2\end{array}$

Оне се могу слично извести као и Кодацијеве једначине, с тим што се користе Вајнгартенове једначине уместо узимања скаларног производа са Шаблон:Mvar. Иако су написане као три засебне једначине, оне су идентичне када се уврсте дефиниције Кристофелових симбола, у терминима прве фундаменталне форме. Постоји много начина да се напише резултујући израз, један од њих је 1852. извео Бриоски вештим коришћењем детерминанти:

$K=\frac{1}{(EG-F^2{)}^2}det\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}E}{\partial v^2}+\frac{{\partial }^{2}F}{\partial u\partial v}-\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}G}{\partial u^2}& \frac{1}{2}\frac{\partial E}{\partial u}& \frac{\partial F}{\partial u}-\frac{1}{2}\frac{\partial E}{\partial v}\\ \frac{\partial F}{\partial v}-\frac{1}{2}\frac{\partial G}{\partial u}& E& F\\ \frac{1}{2}\frac{\partial G}{\partial v}& F& G\end{array}\right)-\frac{1}{(EG-F^2{)}^2}det\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}\frac{\partial E}{\partial v}& \frac{1}{2}\frac{\partial G}{\partial u}\\ \frac{1}{2}\frac{\partial E}{\partial v}& E& F\\ \frac{1}{2}\frac{\partial G}{\partial u}& F& G\end{array}\right).$

Када се Кристофелови симболи сматрају дефинисаним помоћу прве фундаменталне форме, Гаусова и Кодацијеве једначине представљају одређена ограничења између прве и друге фундаменталне форме. Гаусова једначина је посебно вредна пажње, јер показује да се Гаусова кривина може израчунати директно из прве фундаменталне форме, без потребе за било каквим другим информацијама; еквивалентно, ово каже да се Шаблон:Math заправо може написати као функција од Шаблон:Math, иако појединачне компоненте Шаблон:Math не могу. Ово је познато као Theorema Egregium, и било је велико откриће Карла Фридриха Гауса. Посебно је упечатљиво када се подсетимо геометријске дефиниције Гаусове кривине од Шаблон:Mvar као дефинисане максималним и минималним полупречницима оскулаторних кругова; чини се да су оне фундаментално дефинисане геометријом тога како се Шаблон:Mvar савија унутар Шаблон:Math. Ипак, теорема показује да се њихов производ може одредити из „унутрашње” геометрије од Шаблон:Mvar, која има везе само са дужинама кривих дуж Шаблон:Mvar и угловима формираним у њиховим пресецима. Као што је рекао Марсел Берже: Шаблон:Цитат

Гаус-Кодацијеве једначине се такође могу сажето изразити и извести језиком форми конексије захваљујући Елију Картану. У језику тензорског рачуна, користећи природне метрике и конексије на тензорским раслојавањима, Гаусова једначина се може написати као Шаблон:Math, а две Кодацијеве једначине као Шаблон:Math и Шаблон:Math; компликовани изрази који имају везе са Кристофеловим симболима и првом фундаменталном формом потпуно су апсорбовани у дефиниције коваријантног тензорског извода Шаблон:Math и скаларне кривине Шаблон:Mvar. Пјер Осијан Боне је доказао да две квадратне форме које задовољавају Гаус-Кодацијеве једначине увек јединствено одређују утапану површ локално. Из тог разлога се Гаус-Кодацијеве једначине често називају фундаменталним једначинама за утапане површи, прецизно идентификујући одакле долазе унутрашње и спољашње кривине. Оне допуштају генерализације на површи утапане у општије Риманове многострукости.

Изометрије

Дифеоморфизам $\phi$ између отворених скупова $U$ и $V$ у регуларној површи $S$ назива се изометрија ако чува метрику, тј. прву фундаменталну форму. Дакле, за сваку тачку $p$ у $U$ и тангентне векторе $w_1,w_2$ у $p$, важе једнакости

$E(p)w_1\cdot w_1+2F(p)w_1\cdot w_2+G(p)w_2\cdot w_2=E(\phi (p)){\phi }^{\prime }(w_1)\cdot {\phi }^{\prime }(w_1)+2F(\phi (p)){\phi }^{\prime }(w_1)\cdot {\phi }^{\prime }(w_2)+G(\phi (p)){\phi }^{\prime }(w_1)\cdot {\phi }^{\prime }(w_2).$

У терминима унутрашњег производа који долази из прве фундаменталне форме, ово се може написати као

$(w_1,w_2{)}_p=({\phi }^{\prime }(w_1),{\phi }^{\prime }(w_2){)}_{\phi (p)}$.

Катеноид је регуларна ротациона површ

С друге стране, дужина параметризоване криве $\gamma (t)=(x(t),y(t))$ може се израчунати као

$L(\gamma )={\int }_a^b\sqrt{E\dot{x}\cdot \dot{x}+2F\dot{x}\cdot \dot{y}+G\dot{y}\cdot \dot{y}}dt$

и, ако крива лежи у $U$, правила за промену променљивих показују да

$L(\phi \circ \gamma )=L(\gamma ).$

Обрнуто, ако $\phi$ чува дужине свих параметризованих кривих, онда је $\phi$ изометрија. Заиста, за погодне изборе $\gamma$, тангентни вектори $\dot{x}$ и $\dot{y}$ дају произвољне тангентне векторе $w_1$ и $w_2$. Једнакости морају важити за сваки избор тангентних вектора $w_1$ и $w_2$ као и ${\phi }^{\prime }(w_1)$ и ${\phi }^{\prime }(w_2)$, тако да $({\phi }^{\prime }(w_1),{\phi }^{\prime }(w_2){)}_{\phi (p)}=(w_1,w_1{)}_p$.

Једноставан пример изометрије пружају две параметризације $f_1$ и $f_2$ отвореног скупа $U$ у регуларне површи $S_1$ и $S_2$. Ако $E_1=E_2$, $F_1=F_2$ и $G_1=G_2$, онда је $\phi =f_2\circ f_1^{-1}$ изометрија $f_1(U)$ на $f_2(U)$.

Цилиндар и раван дају примере површи које су локално изометричне, али које се не могу проширити на изометрију из тополошких разлога. Као други пример, катеноид и хеликоид су локално изометрични.

Коваријантни изводи

Шаблон:Главни Тангенцијално векторско поље Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar додељује, свакој Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar, тангентни вектор Шаблон:Math на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar. Према „унутрашњој” дефиницији тангентних вектора датој горе, тангенцијално векторско поље Шаблон:Mvar тада додељује, свакој локалној параметризацији Шаблон:Math, две реалне функције Шаблон:Math и Шаблон:Math на Шаблон:Mvar, тако да

$X_p=X^1(f^{-1}(p))\frac{\partial f}{\partial u}{|}_{f^{-1}(p)}+X^2(f^{-1}(p))\frac{\partial f}{\partial v}{|}_{f^{-1}(p)}$

за сваку Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar. Каже се да је Шаблон:Mvar глатко ако су функције Шаблон:Math и Шаблон:Math глатке, за сваки избор од Шаблон:Mvar. Према другим дефиницијама тангентних вектора датим горе, може се такође сматрати тангенцијално векторско поље Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar као пресликавање Шаблон:Math такво да је Шаблон:Math садржано у тангентном простору Шаблон:Math за сваку Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar. Као што је уобичајено у општијој ситуацији глатких многострукости, тангенцијална векторска поља могу такође бити дефинисана као одређени диференцијални оператори на простору глатких функција на Шаблон:Mvar.

Коваријантни изводи (такође звани „тангенцијални изводи”) Тулија Леви-Чивите и Грегорија Ричи-Курбастра пружају средство за диференцирање глатких тангенцијалних векторских поља. Дато тангенцијално векторско поље Шаблон:Mvar и тангентни вектор Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar, коваријантни извод Шаблон:Math је одређени тангентни вектор на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar. Последично, ако су Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar оба тангенцијална векторска поља, онда се Шаблон:Math може такође сматрати тангенцијалним векторским пољем; итеративно, ако су Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar тангенцијална векторска поља, онда се може израчунати Шаблон:Math, што ће бити друго тангенцијално векторско поље. Постоји неколико начина да се дефинише коваријантни извод; први доле користи Кристофелове симболе и „унутрашњу” дефиницију тангентних вектора, а други је очигледније геометријски.

Дато тангенцијално векторско поље Шаблон:Mvar и тангентни вектор Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar, дефинише се Шаблон:Math као тангентни вектор на Шаблон:Mvar који додељује локалној параметризацији Шаблон:Math два броја

$({\mathrm{\nabla }}_{Y}X{)}^k=D_{(Y^1,Y^2)}{X}^k{|}_{f^{-1}(p)}+\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2({\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{X}^j){|}_{f^{-1}(p)}{Y}^i,(k=1,2)$

где је Шаблон:Math извод у правцу. Ово се често скраћује у мање гломазном облику Шаблон:Math, користећи Ајнштајнову нотацију и са имплицитно подразумеваним локацијама евалуације функција. Ово следи стандардни рецепт у Римановој геометрији за добијање конексије из Риманове метрике. Фундаментална је чињеница да је вектор

$({\mathrm{\nabla }}_{Y}X{)}^1\frac{\partial f}{\partial u}+({\mathrm{\nabla }}_{Y}X{)}^2\frac{\partial f}{\partial v}$

у Шаблон:Math независан од избора локалне параметризације Шаблон:Mvar, иако је ово прилично заморно за проверу.

Такође се може дефинисати коваријантни извод следећим геометријским приступом, који не користи Кристофелове симболе нити локалне параметризације. Нека је Шаблон:Mvar векторско поље на Шаблон:Mvar, посматрано као функција Шаблон:Math. За сваку криву Шаблон:Math, може се размотрити композиција Шаблон:Math. Као пресликавање између Еуклидских простора, оно се може диференцирати у било којој улазној вредности да се добије елемент Шаблон:Math од Шаблон:Math. Ортогонална пројекција овог вектора на Шаблон:Math дефинише коваријантни извод Шаблон:Math. Иако је ово веома геометријски чиста дефиниција, неопходно је показати да резултат зависи само од Шаблон:Math и Шаблон:Mvar, а не од Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar; локалне параметризације се могу користити за овај мали технички аргумент.

Није одмах очигледно из друге дефиниције да коваријантно диференцирање зависи само од прве фундаменталне форме од Шаблон:Mvar; међутим, ово је непосредно из прве дефиниције, пошто се Кристофелови симболи могу дефинисати директно из прве фундаменталне форме. Једноставно је проверити да су две дефиниције еквивалентне. Кључ је у томе да када се посматра Шаблон:Math као Шаблон:Math-вредносна функција, њено диференцирање дуж криве резултира другим парцијалним изводима Шаблон:Math; Кристофелови симболи улазе са ортогоналном пројекцијом на тангентни простор, због формулације Кристофелових симбола као тангенцијалних компоненти других извода од Шаблон:Mvar у односу на базу Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Mvar. О овоме се расправља у горњем одељку. Десна страна три Гаусове једначине може се изразити помоћу коваријантног диференцирања. На пример, десна страна

$\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{11}^2}{\partial v}-\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{21}^2}{\partial u}+{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1+{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2-{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2{\mathrm{\Gamma }}_{21}^1-{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2{\mathrm{\Gamma }}_{21}^2$

може се препознати као друга координата од

${\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial f}{\partial v}}{\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial f}{\partial u}}\frac{\partial f}{\partial u}-{\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial f}{\partial u}}{\mathrm{\nabla }}_{\frac{\partial f}{\partial v}}\frac{\partial f}{\partial u}$

у односу на базу Шаблон:Math, Шаблон:Math, што се може директно проверити коришћењем дефиниције коваријантног диференцирања помоћу Кристофелових симбола. Језиком Риманове геометрије, ово запажање се такође може формулисати тако што се каже да су десне стране Гаусових једначина различите компоненте Ричијеве кривине за Леви-Чивита конексију прве фундаменталне форме, када се тумачи као Риманова метрика.

Примери

Ротациона површ добијена ротацијом криве Шаблон:Math око Шаблон:Math-осе.

Ротационе површи

Шаблон:Further Ротациона површ се добија ротацијом криве у Шаблон:Math-равни око Шаблон:Math-осе. Такве површи укључују сфере, цилиндре, купе, торусе и катеноид. Општи елипсоиди, хиперболоиди и параболоиди то нису. Претпоставимо да је крива параметризована са

$x=c_1(s),z=c_2(s)$

са Шаблон:Math узетим из интервала Шаблон:Math. Ако је Шаблон:Math никада није нула, ако Шаблон:Math и Шаблон:Math никада нису истовремено једнаки нули, и ако су Шаблон:Math и Шаблон:Math глатке, онда одговарајућа ротациона површ

$S=\left\{\right(c_1(s)\cos t,c_1(s)\sin t,c_2(s)):s\in (a,b)\text{ и }t\in ℝ\}$

биће регуларна површ у Шаблон:Math. Локална параметризација Шаблон:Math дата је са

$f(s,t)=(c_1(s)\cos t,c_1(s)\sin t,c_2(s)).$

У односу на ову параметризацију, геометријски подаци су:

Величина	Формула
Јединично нормално векторско поље	$n=\frac{(-{c_2}^{\prime }(s)\cos t,-{c_2}^{\prime }(s)\sin t,{c_1}^{\prime }(s))}{\sqrt{{c_1}^{\prime }(s{)}^2+{c_2}^{\prime }(s{)}^2}}$
Прва фундаментална форма	$\left(\begin{array}{cc}E& F\\ F& G\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{c_1}^{\prime }(s{)}^2+{c_2}^{\prime }(s{)}^2& 0\\ 0& c_1(s{)}^2\end{array}\right)$
Друга фундаментална форма	$\left(\begin{array}{cc}L& M\\ M& N\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{{c_1}^{\prime }(s){c_2}^{″}(s)-{c_2}^{\prime }(s){c_1}^{″}(s)}{\sqrt{{c_1}^{\prime }(s{)}^2+{c_2}^{\prime }(s{)}^2}}& 0\\ 0& \frac{c_1(s){c_2}^{\prime }(s)}{\sqrt{{c_1}^{\prime }(s{)}^2+{c_2}^{\prime }(s{)}^2}}\end{array}\right)$
Главне кривине	$\frac{{c_1}^{\prime }(s){c_2}^{″}(s)-{c_2}^{\prime }(s){c_1}^{″}(s)}{({c_1}^{\prime }(s{)}^2+{c_2}^{\prime }(s{)}^2{)}^{3/2}}\text{и}\frac{{c_2}^{\prime }(s)}{c_1(s)\sqrt{{c_1}^{\prime }(s{)}^2+{c_2}^{\prime }(s{)}^2}}$
Гаусова кривина	$K=\frac{{c_2}^{\prime }(s)({c_1}^{\prime }(s){c_2}^{″}(s)-{c_2}^{\prime }(s){c_1}^{″}(s))}{c_1(s)({c_1}^{\prime }(s{)}^2+{c_2}^{\prime }(s{)}^2{)}^2}$
Средња кривина	$H=\frac{1}{2}\frac{{c_1}^{\prime }(s){c_2}^{″}(s)-{c_2}^{\prime }(s){c_1}^{″}(s)}{({c_1}^{\prime }(s{)}^2+{c_2}^{\prime }(s{)}^2{)}^{3/2}}+\frac{1}{2}\frac{{c_2}^{\prime }(s)}{c_1(s)\sqrt{{c_1}^{\prime }(s{)}^2+{c_2}^{\prime }(s{)}^2}}.$

У специјалном случају да је оригинална крива параметризована дужином лука, тј. Шаблон:Math, може се диференцирати да би се нашло Шаблон:Math. Заменом у Гаусову кривину, добија се поједностављено

$K=-\frac{{c_1}^{″}(s)}{c_1(s)}\text{и}H={c_1}^{\prime }(s){c_2}^{″}(s)-{c_2}^{\prime }(s){c_1}^{″}(s)+\frac{{c_2}^{\prime }(s)}{c_1(s)}.$

Једноставност ове формуле чини посебно лаким проучавање класе ротационо симетричних површи са константном Гаусовом кривином. Редукцијом на алтернативни случај да је Шаблон:Math, могу се проучавати ротационо симетричне минималне површи, са резултатом да је свака таква површ део равни или скалираног катеноида.

Свака крива константног Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar може се параметризовати као геодезијска линија; крива константног Шаблон:Mvar на Шаблон:Mvar може се параметризовати као геодезијска линија ако и само ако је Шаблон:Math једнако нули. Генерално, геодезијске линије на Шаблон:Mvar су регулисане Клероовом релацијом.

Квадрика елипсоид

Квадрике

Шаблон:Further Размотримо квадрику дефинисану са

$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}=1.$

Ова површ допушта параметризацију

$x=\sqrt{\frac{a(a-u)(a-v)}{(a-b)(a-c)}},y=\sqrt{\frac{b(b-u)(b-v)}{(b-a)(b-c)}},z=\sqrt{\frac{c(c-u)(c-v)}{(c-b)(c-a)}}.$

Гаусова кривина и средња кривина дате су са

$K=\frac{abc}{u^2{v}^2},K_m=-(u+v)\sqrt{\frac{abc}{u^3{v}^3}}.$

Једнограни хиперболоид који је праволинијска површ на два различита начина.

Праволинијске површи

Шаблон:Further Праволинијска површ је она која се може генерисати кретањем праве линије у Шаблон:Math. Бирањем директрисе на површи, тј. глатке криве јединичне брзине Шаблон:Math ортогоналне на праве линије, а затим бирањем Шаблон:Math да буду јединични вектори дуж криве у правцу линија, вектор брзине Шаблон:Math и Шаблон:Math задовољавају

$u\cdot v=0,\Vert u\Vert =1,\Vert v\Vert =1.$

Површ се састоји од тачака

$c(t)+s\cdot u(t)$

док Шаблон:Math и Шаблон:Math варирају.

Тада, ако

$a=\Vert u_t\Vert ,b=u_t\cdot v,\alpha =-\frac{b}{a^2},\beta =\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a^2},$

Гаусова и средња кривина дате су са

$K=-\frac{{\beta }^2}{((s-\alpha {)}^2+{\beta }^2{)}^2},K_m=-\frac{r[(s-\alpha {)}^2+{\beta }^2)]+{\beta }_t(s-\alpha )+\beta {\alpha }_t}{[(s-\alpha {)}^2+{\beta }^2{]}^{\frac{3}{2}}}.$

Гаусова кривина праволинијске површи нестаје ако и само ако су Шаблон:Math и Шаблон:Math пропорционални. Овај услов је еквивалентан томе да је површ анвелопа (омотач) равни дуж криве које садрже тангентни вектор Шаблон:Math и ортогонални вектор Шаблон:Math, тј. томе да је површ развојна дуж криве. Уопштеније, површ у Шаблон:Math има Гаусову кривину која нестаје у близини тачке ако и само ако је развојна у близини те тачке. (Еквивалентан услов дат је испод у терминима метрике.)

Минималне површи

Шаблон:Further Године 1760. Лагранж је проширио Ојлерове резултате о варијационом рачуну који укључују интеграле једне променљиве на две променљиве. На уму је имао следећи проблем:

Таква површ назива се минимална површ.

Године 1776. Жан Батист Меније показао је да је диференцијална једначина коју је извео Лагранж еквивалентна нестајању средње кривине површи:

Минималне површи имају једноставну интерпретацију у стварном животу: оне су облик који ће заузети филм сапунице ако се жичани оквир обликован као крива урони у раствор сапунице и затим пажљиво извади. Питање да ли минимална површ са датом границом постоји назива се Платоов проблем по белгијском физичару Жозефу Платоу који је вршио експерименте на филмовима сапунице средином деветнаестог века. Године 1930. Џеси Даглас и Тибор Радо дали су потордан одговор на Платоов проблем (Даглас је награђен једном од првих Филдсових медаља за овај рад 1936. године).

Многи експлицитни примери минималних површи су познати експлицитно, као што су катеноид, хеликоид, Шеркова површ и Енеперова површ. Постоји опсежно истраживање у овој области, сумирано у Шаблон:Harvtxt. Конкретно, Осерманов резултат показује да ако је минимална површ нераванска, онда је њена слика под Гаусовим пресликавањем густа у Шаблон:Math.

Површи константне Гаусове кривине

Еуђенио Белтрами (1835-1899)

Ако површ има константну Гаусову кривину, назива се површ константне кривине.

• Јединична сфера у Шаблон:Math има константну Гаусову кривину +1.
• Еуклидска раван и цилиндар имају константну Гаусову кривину 0.
• Јединична псеудосфера има константну Гаусову кривину -1 (осим на свом екватору, који је сингуларан). Псеудосфера се може добити ротацијом трактрисе око њене асимптоте. Године 1868. Еуђенио Белтрами показао је да је геометрија псеудосфере директно повезана са геометријом апстрактније хиперболичке равни, коју су независно открили Лобачевски (1830) и Бољаи (1832). Већ 1840. године, Ф. Миндинг, Гаусов студент, добио је тригонометријске формуле за псеудосферу идентичне онима за хиперболичку раван. Унутрашња геометрија ове површи сада се боље разуме у терминима Поенкареове метрике на горњој полуравни или јединичном диску, и описана је другим моделима као што су Клајнов модел или хиперболоидни модел, добијен разматрањем двограног хиперболоида Шаблон:Math у тродимензионалном простору Минковског, где је Шаблон:Math.

Сфера, раван и хиперболичка раван имају транзитивну Лијеву групу симетрија. Ова групно-теоријска чињеница има далекосежне последице, утолико значајније због централне улоге коју ове специјалне површи играју у геометрији површи, захваљујући Поенкареовој теореми униформизације (види испод).

Други примери површи са Гаусовом кривином 0 укључују купе, тангентне развојне површи, и уопштеније сваку развојну површ.

Локална метричка структура

Шаблон:Further За било коју површ утапану у Еуклидски простор димензије 3 или више, могуће је измерити дужину криве на површи, угао између две криве и површину области на површи. Ова структура је кодирана инфинитезимално у Римановој метрици на површи кроз елементе линије и елементе површине. Класично, у деветнаестом и раном двадесетом веку, разматране су само површи утапане у Шаблон:Math и метрика је била дата као 2×2 позитивно дефинитна матрица која глатко варира од тачке до тачке у локалној параметризацији површи. Идеја локалне параметризације и промене координата касније је формализована кроз тренутни апстрактни појам многострукости, тополошког простора где је глатка структура дата локалним картама на многострукости, тачно као што је планета Земља мапирана атласима данас. Промене координата између различитих карата исте области морају бити глатке. Баш као што изохипсе на стварним картама кодирају промене у елевацији, узимајући у обзир локална изобличења Земљине површине за израчунавање правих растојања, тако Риманова метрика описује растојања и површине „у малом” у свакој локалној карти. У свакој локалној карти Риманова метрика је дата глатким додељивањем 2×2 позитивно дефинитне матрице свакој тачки; када се узме друга карта, матрица се трансформише према Јакобијевој матрици промене координата. Многострукост тада има структуру 2-димензионалне Риманове многострукости.

Оператор облика

Вилхелм Блашке (1885-1962)

Диференцијал Шаблон:Math Гаусовог пресликавања Шаблон:Math може се користити за дефинисање типа спољашње кривине, познатог као оператор облика или Вајнгартеново пресликавање. Овај оператор се први пут појавио имплицитно у раду Вилхелма Блашкеа, а касније експлицитно у трактату Бурали-Фортија и Бургатија. Пошто је у свакој тачки Шаблон:Math површи тангентни простор простор са скаларним производом, оператор облика Шаблон:Math се може дефинисати као линеарни оператор на овом простору формулом

$(S_{x}v,w)=(dn(v),w)$

за тангентне векторе Шаблон:Math, Шаблон:Math (скаларни производ има смисла јер и Шаблон:Math и Шаблон:Math леже у Шаблон:Math).Шаблон:Efn Десна страна је симетрична по Шаблон:Math и Шаблон:Math, тако да је оператор облика самоадјунгован на тангентном простору. Сопствене вредности од Шаблон:Math су управо главне кривине Шаблон:Math и Шаблон:Math у Шаблон:Math. Конкретно, детерминанта оператора облика у тачки је Гаусова кривина, али она такође садржи друге информације, јер је средња кривина половина трага оператора облика. Средња кривина је спољашња инваријанта. У унутрашњој геометрији, цилиндар је развојан, што значи да је сваки његов део изнутра неразлучив од дела равни јер његова Гаусова кривина идентички нестаје. Његова средња кривина није нула, ипак; стога је споља он различит од равни.

Еквивалентно, оператор облика се може дефинисати као линеарни оператор на тангентним просторима, $S_p:T_{p}M\to T_{p}M$. Ако је n јединично нормално поље на M и v тангентни вектор онда

$S(v)=\pm {\mathrm{\nabla }}_{v}n$

(не постоји стандардни договор да ли користити + или − у дефиницији).

Генерално, сопствени вектори и сопствене вредности оператора облика у свакој тачки одређују правце у којима се површ савија у свакој тачки. Сопствене вредности одговарају главним кривинама површи, а сопствени вектори су одговарајући главни правци. Главни правци одређују правце којима крива утапана у површ мора путовати да би имала максималну и минималну кривину, које су дате главним кривинама.

Геодезијске криве на површи

Криве на површи које минимизирају дужину између крајњих тачака називају се геодезијске линије; оне су облик који би еластична трака затегнута између две тачке заузела. Математички се описују помоћу обичних диференцијалних једначина и варијационог рачуна. Диференцијална геометрија површи врти се око проучавања геодезијских линија. Још увек је отворено питање да ли свака Риманова метрика на 2-димензионалној локалној карти настаје из утапања у 3-димензионални Еуклидски простор: теорија геодезијских линија коришћена је да покаже да је ово тачно у важном случају када су компоненте метрике аналитичке.

Геодезијске линије

Геодезијски троугао на сфери. Геодезијске линије су лукови великих кругова.

Дата део-по-део глатка путања $c(t)=(x(t),y(t))$ у карти за $t$ у $[a,b]$, њена дужина је дефинисана са

$L(c)={\int }_a^b(E{\dot{x}}^2+2F\dot{x}\dot{y}+G{\dot{y}}^2{)}^{\frac{1}{2}}dt$

а енергија са

$E(c)={\int }_a^b(E{\dot{x}}^2+2F\dot{x}\dot{y}+G{\dot{y}}^2)dt.$

Дужина је независна од параметризације путање. Према Ојлер-Лагранжовим једначинама, ако је Шаблон:Math путања која минимизира дужину, параметризована дужином лука, она мора задовољавати Ојлерове једначине

$\ddot{x}+{\mathrm{\Gamma }}_{11}^1{\dot{x}}^2+2{\mathrm{\Gamma }}_{12}^1\dot{x}\dot{y}+{\mathrm{\Gamma }}_{22}^1{\dot{y}}^2=0$

$\ddot{y}+{\mathrm{\Gamma }}_{11}^2{\dot{x}}^2+2{\mathrm{\Gamma }}_{12}^2\dot{x}\dot{y}+{\mathrm{\Gamma }}_{22}^2{\dot{y}}^2=0$

где су Кристофелови симболи Шаблон:Math дати са

${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=\frac{1}{2}{g}^{km}({\partial }_j{g}_{im}+{\partial }_i{g}_{jm}-{\partial }_m{g}_{ij})$

где Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math је инверзна матрица од Шаблон:Math. Путања која задовољава Ојлерове једначине назива се геодезијска линија. Према Коши-Шварцовој неједнакости путања која минимизира енергију је управо геодезијска линија параметризована дужином лука; и, за сваку геодезијску линију, параметар Шаблон:Math је пропорционалан дужини лука.

Геодезијска кривина

Шаблон:Види још Геодезијска кривина Шаблон:Math у тачки криве Шаблон:Math, параметризоване дужином лука, на оријентисаној површи дефинисана је као

$k_g=\ddot{c}(t)\cdot 𝐧(t).$

где је Шаблон:Math "главна" јединична нормала на криву у површи, конструисана ротацијом јединичног тангентног вектора Шаблон:Math за угао од +90°.

• Геодезијска кривина у тачки је унутрашња инваријанта која зависи само од метрике у близини тачке.
• Крива јединичне брзине на површи је геодезијска линија ако и само ако њена геодезијска кривина нестаје у свим тачкама криве.
• Крива јединичне брзине Шаблон:Math у утапаној површи је геодезијска линија ако и само ако је њен вектор убрзања Шаблон:Math нормалан на површ.

Геодезијска кривина мери на прецизан начин колико је крива на површи далеко од тога да буде геодезијска линија.

Ортогоналне координате

Када је Шаблон:Math у целој координатној карти, као што је случај са геодезијским поларним координатама о којима се говори у наставку, слике линија паралелних са Шаблон:Math и Шаблон:Math осама су ортогоналне и пружају ортогоналне координате. Ако је Шаблон:Math, онда је Гаусова кривина дата са

$K=-\frac{1}{2H}[{\partial }_x\left(\frac{G_x}{H}\right)+{\partial }_y\left(\frac{E_y}{H}\right)].$

Ако поред тога Шаблон:Math, тако да Шаблон:Math, онда је угао Шаблон:Math у пресеку између геодезијске линије Шаблон:Math и линије Шаблон:Math = константа дат једначином

$\tan \phi =H\cdot \frac{\dot{y}}{\dot{x}}.$

Извод од Шаблон:Math дат је класичном формулом извода Гауса:

$\dot{\phi }=-H_x\cdot \dot{y}.$

Геодезијске поларне координате

Карл Густав Јакоб Јакоби (1804–1851)

Изохипсе које прате кретање тачака на фиксној кривој крећући се дуж геодезијских линија ка базној тачки

Једном када је дата метрика на површи и фиксирана базна тачка, постоји јединствена геодезијска линија која повезује базну тачку са сваком довољно блиском тачком. Правац геодезијске линије у базној тачки и растојање јединствено одређују другу крајњу тачку. Ова два податка, правац и интензитет, тако одређују тангентни вектор у базној тачки. Пресликавање од тангентних вектора до крајњих тачака глатко "брише" околину базне тачке и дефинише оно што се назива експоненцијално пресликавање, дефинишући локалну координатну карту у тој базној тачки. Околина која је "обрисана" има слична својства лоптама у Еуклидском простору, наиме било које две тачке у њој су повезане јединственом геодезијском линијом. Ово својство се назива „геодезијска конвексност”, а координате се називају нормалне координате. Експлицитно израчунавање нормалних координата може се постићи разматрањем диференцијалне једначине коју задовољавају геодезијске линије. Својства конвексности су последице Гаусове леме и њених генерализација. Грубо говорећи, ова лема каже да геодезијске линије које почињу у базној тачки морају сећи сфере фиксног полупречника центриране у базној тачки под правим углом. Геодезијске поларне координате добијају се комбиновањем експоненцијалног пресликавања са поларним координатама на тангентним векторима у базној тачки. Гаусова кривина површи је тада дата одступањем другог реда метрике у тачки од Еуклидске метрике. Конкретно, Гаусова кривина је инваријанта метрике, Гаусова прослављена Theorema Egregium. Згодан начин за разумевање кривине долази из обичне диференцијалне једначине, коју је први разматрао Гаус, а касније генерализовао Јакоби, која произилази из промене нормалних координата око две различите тачке. Гаус-Јакобијева једначина пружа други начин израчунавања Гаусове кривине. Геометријски она објашњава шта се дешава са геодезијским линијама од фиксне базне тачке како крајња тачка варира дуж малог сегмента криве кроз податке забележене у Јакобијевом пољу, векторском пољу дуж геодезијске линије. Век и четврт након Гауса и Јакобија, Марстон Морс дао је концептуалнију интерпретацију Јакобијевог поља у терминима других извода функције енергије на бесконачно-димензионалној Хилбертовој многострукости путања.

Експоненцијално пресликавање

Шаблон:Further Теорија обичних диференцијалних једначина показује да ако је Шаблон:Math глатко онда диференцијална једначина Шаблон:Math са почетним условом Шаблон:Math има јединствено решење за Шаблон:Math довољно мало и решење зависи глатко од Шаблон:Math и Шаблон:Math. Ово имплицира да за довољно мале тангентне векторе Шаблон:Math у датој тачки Шаблон:Math, постоји геодезијска линија Шаблон:Math дефинисана на Шаблон:Math са Шаблон:Math и Шаблон:Math. Штавише, ако Шаблон:Math, онда Шаблон:Math. Експоненцијално пресликавање је дефинисано са

Шаблон:Math (1)

и даје дифеоморфизам између диска Шаблон:Math и околине од Шаблон:Math; уопштеније пресликавање које шаље Шаблон:Math у Шаблон:Math даје локални дифеоморфизам на околину од Шаблон:Math. Експоненцијално пресликавање даје геодезијске нормалне координате близу Шаблон:Math.

Израчунавање нормалних координата

Постоји стандардна техника (види на пример Шаблон:Harvtxt) за израчунавање промене променљивих у нормалне координате Шаблон:Math, Шаблон:Math у тачки као формални развој у Тејлоров ред. Ако су координате Шаблон:Math, Шаблон:Math у (0,0) локално ортогоналне, пишемо

Шаблон:Math

Шаблон:Math

где су Шаблон:Math, Шаблон:Math квадратни и Шаблон:Math, Шаблон:Math кубни хомогени полиноми по Шаблон:Math и Шаблон:Math. Ако су Шаблон:Math и Шаблон:Math фиксирани, Шаблон:Math и Шаблон:Math се могу сматрати формалним решењима у облику степеног реда Ојлерових једначина: ово јединствено одређује Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math.

Гаусова лема

У геодезијским поларним координатама геодезијске линије које зраче из координатног почетка секу кругове константног полупречника ортогонално. Растојања дуж полупречника су права растојања али на концентричним круговима мали лукови имају дужину Шаблон:Math пута угао који захватају.

У овим координатама матрица Шаблон:Math задовољава Шаблон:Math и линије Шаблон:Math су геодезијске линије кроз 0. Ојлерове једначине имплицирају матричну једначину

Шаблон:Math,

кључни резултат, обично назван Гаусова лема. Геометријски она тврди да

геодезијске линије кроз 0 секу кругове центриране у 0 ортогонално.

Узимајући поларне координате Шаблон:Math, следи да метрика има облик

Шаблон:Math.

У геодезијским координатама, лако је проверити да геодезијске линије кроз нулу минимизирају дужину. Топологија на Римановој многострукости је тада дата функцијом растојања Шаблон:Math, наиме инфимумом дужина део-по-део глатких путања између Шаблон:Math и Шаблон:Math. Ово растојање се реализује локално геодезијским линијама, тако да у нормалним координатама Шаблон:Math. Ако се полупречник Шаблон:Math узме довољно малим, благо пооштравање Гаусове леме показује да је слика Шаблон:Math диска Шаблон:Math под експоненцијалним пресликавањем геодезијски конвексна, тј. било које две тачке у Шаблон:Math су повезане јединственом геодезијском линијом која лежи у потпуности унутар Шаблон:Math.

Theorema Egregium

Гаусов оригинални исказ Theorema Egregium, преведен са латинског на енглески.

Гаусова Theorema Egregium, „Изванредна теорема”, показује да се Гаусова кривина површи може израчунати искључиво у терминима метрике и стога је унутрашња инваријанта површи, независна од било ког изометријског утапања у Шаблон:Math и непромењена при трансформацијама координата. Конкретно, изометрије и локалне изометрије површи чувају Гаусову кривину.

Ова теорема се може изразити у терминима развоја метрике у степени ред, Шаблон:Math, датог у нормалним координатама Шаблон:Math као

Шаблон:Math.

Гаус-Јакобијева једначина

Шаблон:Further Узимање промене координата од нормалних координата у Шаблон:Math до нормалних координата у блиској тачки Шаблон:Math, даје Штурм-Лиувилову једначину коју задовољава Шаблон:Math, коју је открио Гаус а касније генерализовао Јакоби,

Шаблон:Math.

Јакобијан ове промене координата у Шаблон:Math је једнак Шаблон:Math. Ово даје други начин успостављања унутрашње природе Гаусове кривине. Јер Шаблон:Math се може тумачити као дужина елемента линије у Шаблон:Math правцу, Гаус-Јакобијева једначина показује да Гаусова кривина мери ширење геодезијских линија на геометријској површи док се удаљавају од тачке.

Лаплас-Белтрамијев оператор

На површи са локалном метриком

$d{s}^2=Ed{x}^2+2Fdxdy+Gd{y}^2$

и Лаплас-Белтрамијевим оператором

$\mathrm{\Delta }f=\frac{1}{H}({\partial }_x\frac{G}{H}{\partial }_{x}f-{\partial }_x\frac{F}{H}{\partial }_{y}f-{\partial }_y\frac{F}{H}{\partial }_{x}f+{\partial }_y\frac{E}{H}{\partial }_{y}f),$

где Шаблон:Math, Гаусова кривина у тачки је дата формулом

$K=-3\underset{r\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }(\log r),$

где Шаблон:Math означава геодезијско растојање од тачке.

У изотермалним координатама, које је први разматрао Гаус, метрика мора бити специјалног облика

$d{s}^2=e^{\phi }(d{x}^2+d{y}^2).$

У овом случају Лаплас-Белтрамијев оператор је дат са

$\mathrm{\Delta }=e^{-\phi }(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2})$

а Шаблон:Math задовољава Лиувилову једначину

$\mathrm{\Delta }\phi =-2K.$

Познато је да изотермалне координате постоје у околини било које тачке на површи, иако се сви досадашњи докази ослањају на нетривијалне резултате о парцијалним диференцијалним једначинама. Постоји елементаран доказ за минималне површи.

Гаус-Бонеова теорема

Тријангулација торуса

На сфери или хиперболоиду, површина геодезијског троугла, тј. троугла чије су све странице геодезијске линије, пропорционална је разлици збира унутрашњих углова и Шаблон:Math. Константа пропорционалности је управо Гаусова кривина, константа за ове површи. За торус, разлика је нула, одражавајући чињеницу да је његова Гаусова кривина нула. Ово су стандардни резултати у сферној, хиперболичкој и средњошколској тригонометрији (види испод). Гаус је генерализовао ове резултате на произвољну површ показујући да је интеграл Гаусове кривине по унутрашњости геодезијског троугла такође једнак овој разлици углова или ексцесу. Његова формула је показала да се Гаусова кривина може израчунати близу тачке као лимес односа површине и угаоног ексцеса за геодезијске троуглове који се скупљају ка тачки. Пошто се свака затворена површ може разложити на геодезијске троуглове, формула се такође могла користити за израчунавање интеграла кривине по целој површи. Као посебан случај онога што се сада назива Гаус-Бонеова теорема, Гаус је доказао да је овај интеграл изванредно увек 2π пута цео број, тополошка инваријанта површи која се назива Ојлерова карактеристика. Ову инваријанту је лако израчунати комбинаторно у терминима броја темена, ивица и лица троуглова у разлагању, такође званом тријангулација. Ова интеракција између анализе и топологије била је претеча многих каснијих резултата у геометрији, кулминирајући у Атија-Сингеровој теореми о индексу. Конкретно, својства кривине намећу ограничења топологији површи.

Геодезијски троуглови

Гаус је доказао да, ако је Шаблон:Math геодезијски троугао на површи са угловима Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math у теменима Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math, онда

${\int }_{\mathrm{\Delta }}KdA=\alpha +\beta +\gamma -\pi .$

Заправо, узимајући геодезијске поларне координате са центром Шаблон:Math и Шаблон:Math, Шаблон:Math полупречницима при поларним угловима 0 и Шаблон:Math:

$\begin{array}{cc}{\int }_{\mathrm{\Delta }}KdA& ={\int }_{\mathrm{\Delta }}KHdrd\theta =-{\int }_0^{\alpha }{\int }_0^{r_{\theta }}{H}_{rr}drd\theta \\ & ={\int }_0^{\alpha }1-H_r(r_{\theta },\theta )d\theta ={\int }_0^{\alpha }d\theta +{\int }_{\pi -\beta }^{\gamma }d\phi \\ & =\alpha +\beta +\gamma -\pi ,\end{array}$

Гаусова формула показује да се кривина у тачки може израчунати као лимес угаоног ексцеса Шаблон:Math кроз површина за узастопно мање геодезијске троуглове близу тачке. Квалитативно, површ је позитивно или негативно закривљена према знаку угаоног ексцеса за произвољно мале геодезијске троуглове.

Гаус-Бонеова теорема

Ојлерова карактеристика сфере, тријангулисане као икосаедар, је Шаблон:Math.

Шаблон:Главни чланак Пошто свака компактна оријентисана 2-многострукост Шаблон:Math може бити тријангулисана малим геодезијским троугловима, следи да

${\int }_{M}KdA=2\pi \chi (M)$

где Шаблон:Math означава Ојлерову карактеристику површи.

Заправо, ако постоји Шаблон:Math лица, Шаблон:Math ивица и Шаблон:Math темена, онда Шаблон:Math и лева страна је једнака Шаблон:Math.

Ово је прослављена Гаус-Бонеова теорема: она показује да је интеграл Гаусове кривине тополошка инваријанта многострукости, наиме Ојлерова карактеристика. Ова теорема се може тумачити на много начина; можда један од најдалекосежнијих био је као теорема о индексу за елиптички диференцијални оператор на Шаблон:Math, један од најједноставнијих случајева Атија-Сингерове теореме о индексу. Други повезани резултат, који се може доказати коришћењем Гаус-Бонеове теореме, је Поенкаре-Хопфова теорема о индексу за векторска поља на Шаблон:Math која нестају у само коначном броју тачака: збир индекса у овим тачкама једнак је Ојлеровој карактеристици, где је индекс тачке дефинисан на следећи начин: на малом кругу око сваке изоловане нуле, векторско поље дефинише мапу у јединични круг; индекс је управо број обмотавања ове мапе.

Кривина и утапања

Ако је Гаусова кривина површи Шаблон:Math свуда позитивна, онда је Ојлерова карактеристика позитивна, па је Шаблон:Math хомеоморфна (и стога дифеоморфна) са Шаблон:Math. Ако је поред тога површ изометријски утапана у Шаблон:Math, Гаусово пресликавање пружа експлицитан дифеоморфизам. Као што је Адамар приметио, у овом случају површ је конвексна; овај критеријум за конвексност може се посматрати као 2-димензионална генерализација добро познатог критеријума другог извода за конвексност раванских кривих. Хилберт је доказао да свака изометријски утапана затворена површ мора имати тачку позитивне кривине. Дакле, затворена Риманова 2-многострукост непозитивне кривине никада не може бити утапана изометријски у Шаблон:Math; међутим, као што је Адријано Гарсија показао користећи Белтрамијеву једначину за квазиконформна пресликавања, ово је увек могуће за неку конформно еквивалентну метрику.

Површи константне кривине

Просто повезане површи константне кривине 0, +1 и –1 су Еуклидска раван, јединична сфера у Шаблон:Math и хиперболичка раван. Свака од њих има транзитивну тродимензионалну Лијеву групу изометрија Шаблон:Math које чувају оријентацију, која се може користити за проучавање њихове геометрије. Свака од две некомпактне површи може се идентификовати са количником Шаблон:Math где је Шаблон:Math максимална компактна подгрупа од Шаблон:Math. Овде је Шаблон:Math изоморфна са Шаблон:Math. Било која друга затворена Риманова 2-многострукост Шаблон:Math константне Гаусове кривине, након скалирања метрике константним фактором ако је потребно, имаће једну од ове три површи као свој универзални натпростор. У оријентабилном случају, фундаментална група Шаблон:Math од Шаблон:Math може се идентификовати са униформном подгрупом без торзије од Шаблон:Math, а Шаблон:Math се тада може идентификовати са простором двоструких косета Шаблон:Math. У случају сфере и Еуклидске равни, једини могући примери су сама сфера и торуси добијени као количници од Шаблон:Math дискретним подгрупама ранга 2. За затворене површи рода Шаблон:Math, простор модула Риманових површи добијених како Шаблон:Math варира преко свих таквих подгрупа, има реалну димензију Шаблон:Math. Према Поенкареовој теореми униформизације, свака оријентабилна затворена 2-многострукост је конформно еквивалентна површи константне кривине 0, +1 или –1. Другим речима, множењем метрике позитивним фактором скалирања, Гаусова кривина се може направити да узме тачно једну од ових вредности (знак Ојлерове карактеристике од Шаблон:Math).

Еуклидска геометрија

Троугао у равни

У случају Еуклидске равни, група симетрије је Еуклидска група кретања, полудиректан производ дводимензионалне групе транслација и групе ротација. Геодезијске линије су праве линије, а геометрија је кодирана у елементарним формулама тригонометрије, као што је косунусна теорема за троугао са страницама Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math и угловима Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma .$

Равни торуси се могу добити узимањем количника Шаблон:Math помоћу решетке, тј. слободне Абелове подгрупе ранга 2. Ове затворене површи немају изометријска утапања у Шаблон:Math. Ипак, оне допуштају изометријска утапања у Шаблон:Math; у најједноставнијем случају ово следи из чињенице да је торус производ два круга и сваки круг се може изометријски потопити у Шаблон:Math.

Сферна геометрија

Сферни троугао

Површина сферног троугла на јединичној сфери је Шаблон:Math.

Група изометрија јединичне сфере Шаблон:Math у Шаблон:Math је ортогонална група Шаблон:Math, са [[ротациона група SO(3)|ротационом групом Шаблон:Math]] као подгрупом изометрија које чувају оријентацију. То је директан производ Шаблон:Math са антиподалним пресликавањем, које шаље Шаблон:Math у Шаблон:Math. Група Шаблон:Math делује транзитивно на Шаблон:Math. Стабилизатор подгрупа јединичног вектора (0,0,1) може се идентификовати са Шаблон:Math, тако да је Шаблон:Math.

Геодезијске линије између две тачке на сфери су лукови великог круга са овим датим крајњим тачкама. Ако тачке нису антиподалне, постоји јединствена најкраћа геодезијска линија између тачака. Геодезијске линије се такође могу описати групно-теоријски: свака геодезијска линија кроз Северни пол (0,0,1) је орбита подгрупе ротација око осе кроз антиподалне тачке на екватору.

Сферни троугао је геодезијски троугао на сфери. Дефинисан је тачкама Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math на сфери са страницама Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math формираним од лукова великог круга дужине мање од Шаблон:Math. Ако су дужине страница Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math а углови између страница Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, тада сферна косинусна теорема каже да

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma .$

Површина троугла је дата са

Шаблон:Math.

Коришћењем стереографске пројекције са Северног пола, сфера се може идентификовати са проширеном комплексном равни Шаблон:Math. Експлицитно пресликавање је дато са

$\pi (x,y,z)=\frac{x+iy}{1-z}\equiv u+iv.$

Под овом кореспонденцијом свака ротација од Шаблон:Math одговара Мебијусовој трансформацији у Шаблон:Math, јединственој до на знак. У односу на координате Шаблон:Math у комплексној равни, сферна метрика постаје

$d{s}^2=\frac{4(d{u}^2+d{v}^2)}{(1+u^2+v^2{)}^2}.$

Јединична сфера је јединствена затворена оријентабилна површ са константном кривином +1. Количник Шаблон:Math се може идентификовати са реалном пројективном равни. Она је неоријентабилна и може се описати као количник од Шаблон:Math путем антиподалног пресликавања (мвожење са −1). Сфера је просто повезана, док реална пројективна раван има фундаменталну групу Шаблон:Math. [[Коначне групе ротација|Коначне подгрупе од Шаблон:Math]], које одговарају коначним подгрупама од Шаблон:Math и групама симетрије Платонових тела, не делују слободно на Шаблон:Math, тако да одговарајући количници нису 2-многострукости, већ само орбифолди.

Хиперболичка геометрија

Анри Поенкаре (1854-1912)

Нееуклидска геометрија је први пут разматрана у Гаусовим писмима, који је направио опсежне прорачуне на прелазу у деветнаести век, које је, иако су приватно кружили, одлучио да не штампа. Године 1830. Лобачевски и независно 1832. Бољаи, син једног од Гаусових кореспондената, објавили су синтетичке верзије ове нове геометрије, због чега су били оштро критиковани. Међутим, тек 1868. године Белтрами, праћен Клајном 1871. и Поенкареом 1882. године, дали су конкретне аналитичке моделе за оно што је Клајн назвао хиперболичка геометрија. Четири модела 2-димензионалне хиперболичке геометрије која су се појавила су:

• Белтрами-Клајнов модел;
• Поенкареов диск;
• Поенкареова горња полураван;
• Хиперболоидни модел Вилхелма Килинга у 3-димензионалном простору Минковског.

Први модел, заснован на диску, има предност што су геодезијске линије заправо сегменти правих (то јест, пресеци Еуклидских правих са отвореним јединичним диском). Последњи модел има предност што даје конструкцију која је потпуно паралелна оној за јединичну сферу у 3-димензионалном Еуклидском простору. Међутим, због њихове примене у комплексној анализи и геометрији, Поенкареови модели су најшире коришћени: они су заменљиви захваљујући Мебијусовим трансформацијама између диска и горње полуравни.

Нека је

$D=\{z:|z|<1\}$

Поенкареов диск у комплексној равни са Поенкареовом метриком

$d{s}^2=\frac{4(d{x}^2+d{y}^2)}{(1-x^2-y^2{)}^2}.$

У поларним координатама Шаблон:Math метрика је дата са

$d{s}^2=\frac{4(d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2)}{(1-r^2{)}^2}.$

Дужина криве Шаблон:Math дата је формулом

$\ell (\gamma )={\int }_a^b\frac{2|{\gamma }^{\prime }(t)|dt}{1-|\gamma (t){|}^2}.$

Група Шаблон:Math дата са

$G=\{\left(\begin{array}{cc}\alpha & \beta \\ \bar{\beta }& \bar{\alpha }\end{array}\right):\alpha ,\beta \in 𝐂,|\alpha {|}^2-|\beta {|}^2=1\}$

делује транзитивно Мебијусовим трансформацијама на Шаблон:Math а стабилизатор подгрупа од 0 је група ротација

$K=\{\left(\begin{array}{cc}\zeta & 0\\ 0& \bar{\zeta }\end{array}\right):\zeta \in 𝐂,|\zeta |=1\}.$

Количничка група Шаблон:Math је група изометрија Шаблон:Math које чувају оријентацију. Било које две тачке Шаблон:Math, Шаблон:Math у Шаблон:Math су повезане јединственом геодезијском линијом, датом делом круга или праве линије која пролази кроз Шаблон:Math и Шаблон:Math и ортогонална је на гранични круг. Растојање између Шаблон:Math и Шаблон:Math је дато са

$d(z,w)=2{\tanh }^{-1}\frac{|z-w|}{|1-\bar{w}z|}.$

Конкретно Шаблон:Math и Шаблон:Math је геодезијска линија кроз 0 дуж реалне осе, параметризована дужином лука.

Топологија дефинисана овом метриком је еквивалентна уобичајеној Еуклидској топологији, иако је као метрички простор Шаблон:Math комплетан.

Хиперболички троугао у моделу Поенкареовог диска

Хиперболички троугао је геодезијски троугао за ову метрику: било које три тачке у Шаблон:Math су темена хиперболичког троугла. Ако странице имају дужину Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math са одговарајућим угловима Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, тада хиперболичка косинусна теорема каже да

$\cosh c=\cosh a\cosh b-\sinh a\sinh b\cos \gamma .$

Површина хиперболичког троугла је дата са

Шаблон:Math.

Јединични диск и горња полураван

$H=\{w=x+iy:y>0\}$

су конформно еквивалентни помоћу Мебијусових трансформација

$w=i\frac{1+z}{1-z},z=\frac{w-i}{w+i}.$

Под овом кореспонденцијом дејство Шаблон:Math Мебијусовим трансформацијама на Шаблон:Math одговара оном од Шаблон:Math на Шаблон:Math. Метрика на Шаблон:Math постаје

$d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}.$

Пошто су праве или кругови очувани при Мебијусовим трансформацијама, геодезијске линије су поново описане правама или круговима ортогоналним на реалну осу.

Јединични диск са Поенкареовом метриком је јединствена просто повезана оријентисана 2-димензионална Риманова многострукост са константном кривином −1. Свака оријентисана затворена површ Шаблон:Math са овим својством има Шаблон:Math као свој универзални натпростор. Њена фундаментална група се може идентификовати са кокомпактном подгрупом без торзије Шаблон:Math од Шаблон:Math, на такав начин да

$M=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G/K.$

У овом случају Шаблон:Math је коначно презентована група. Генератори и релације су кодирани у геодезијски конвексном фундаменталном геодезијском полигону у Шаблон:Math (или Шаблон:Math) који геометријски одговара затвореним геодезијским линијама на Шаблон:Math.

Примери.

• Болцова површ рода 2;
• Клајнова квартика рода 3;
• Макбитова површ рода 7;
• Први Хурвицов триплет рода 14.

Униформизација

Шаблон:Види још Дата оријентисана затворена површ Шаблон:Math са Гаусовом кривином Шаблон:Math, метрика на Шаблон:Math се може променити конформно скалирањем фактором Шаблон:Math. Нова Гаусова кривина Шаблон:Math је тада дата са

$K^{\prime }(x)=e^{-2u}(K(x)-\mathrm{\Delta }u),$

где је Шаблон:Math Лапласијан за оригиналну метрику. Дакле, да би се показало да је дата површ конформно еквивалентна метрици са константном кривином Шаблон:Math довољно је решити следећу варијанту Лиувилове једначине:

$\mathrm{\Delta }u=K^{\prime }{e}^{2u}+K(x).$

Када Шаблон:Math има Ојлерову карактеристику 0, па је дифеоморфна торусу, Шаблон:Math, па се ово своди на решавање

$\mathrm{\Delta }u=K(x).$

Према стандардној елиптичкој теорији, ово је могуће јер је интеграл од Шаблон:Math по Шаблон:Math нула, према Гаус-Бонеовој теореми.

Када Шаблон:Math има негативну Ојлерову карактеристику, Шаблон:Math, па је једначина коју треба решити:

$\mathrm{\Delta }u=-e^{2u}+K(x).$

Коришћењем непрекидности експоненцијалног пресликавања на простору Собољева захваљујући Нилу Трудинџеру, ова нелинеарна једначина се увек може решити.

Коначно, у случају 2-сфере, Шаблон:Math и једначина постаје:

$\mathrm{\Delta }u=e^{2u}+K(x).$

До сада ова нелинеарна једначина није анализирана директно, иако класични резултати као што је Риман-Рохова теорема имплицирају да она увек има решење. Метод Ричијевог тока, који је развио Ричард С. Хамилтон, даје други доказ постојања заснован на нелинеарним парцијалним диференцијалним једначинама за доказивање постојања. Заправо, Ричијев ток на конформним метрикама на Шаблон:Math дефинисан је на функцијама Шаблон:Math by

$u_t=4\pi -K^{\prime }(x,t)=4\pi -e^{-2u}(K(x)-\mathrm{\Delta }u).$

Након коначног времена, Чау је показао да Шаблон:Math постаје позитивно; претходни резултати Хамилтона могли су се тада користити да се покаже да Шаблон:Math конвергира ка +1. Пре ових резултата о Ричијевом току, Шаблон:Harvtxt су дали алтернативни и технички једноставнији приступ униформизацији заснован на току на Римановим метрикама Шаблон:Math дефинисаним са Шаблон:Math.

Доказ коришћењем елиптичких оператора, откривен 1988. године, може се наћи у Шаблон:Harvtxt. Нека је Шаблон:Math Гринова функција на Шаблон:Math која задовољава Шаблон:Math, где је Шаблон:Math мера тачке у фиксној тачки Шаблон:Math од Шаблон:Math. Једначина Шаблон:Math, има глатко решење Шаблон:Math, јер десна страна има интеграл 0 према Гаус-Бонеовој теореми. Тако Шаблон:Math задовољава Шаблон:Math даље од Шаблон:Math. Следи да је Шаблон:Math комплетна метрика константне кривине 0 на комплементу од Шаблон:Math, који је стога изометричан равни. Компоновањем са стереографском пројекцијом, следи да постоји глатка функција Шаблон:Math таква да Шаблон:Math има Гаусову кривину +1 на комплементу од Шаблон:Math. Функција Шаблон:Math се аутоматски проширује на глатку функцију на целој Шаблон:Math.Шаблон:Efn

Риманова конексија и паралелни транспорт

Тулио Леви-Чивита (1873-1941)

Класични Гаусов приступ диференцијалној геометрији површи био је стандардни елементарни приступ који је претходио појави концепата Риманове многострукости које је иницирао Бернхард Риман средином деветнаестог века и конексије коју су развили Тулио Леви-Чивита, Ели Картан и Херман Вајл почетком двадесетог века. Појам конексије, коваријантног извода и паралелног транспорта дао је концептуалнији и униформнији начин разумевања кривине, који не само да је омогућио генерализације на многострукости виших димензија већ је и пружио важан алат за дефинисање нових геометријских инваријанти, названих карактеристичне класе. Приступ коришћењем коваријантних извода и конексија је данас усвојен у напреднијим уџбеницима.

Коваријантни извод

Конексије на површи могу се дефинисати са различитих еквивалентних али подједнако важних тачака гледишта. Риманова конексија или Леви-Чивита конексија. се можда најлакше разуме у терминима подизања векторских поља, која се сматрају диференцијалним операторима првог реда који делују на функције на многострукости, до диференцијалних оператора на тангентном раслојавању или раслојавању репера. У случају утапане површи, подизање до оператора на векторским пољима, названо коваријантни извод, врло је једноставно описано у терминима ортогоналне пројекције. Заиста, векторско поље на површи утапаној у Шаблон:Math може се посматрати као функција са површи у Шаблон:Math. Друго векторско поље делује као диференцијални оператор по компонентама. Резултујуће векторско поље неће бити тангентно на површ, али се то може кориговати узимањем његове ортогоналне пројекције на тангентни простор у свакој тачки површи. Као што су Ричи и Леви-Чивита схватили на прелазу у двадесети век, овај процес зависи само од метрике и може се локално изразити у терминима Кристофелових симбола.

Паралелни транспорт вектора око геодезијског троугла на сфери. Дужина транспортованог вектора и угао који заклапа са сваком страницом остају константни.

Паралелни транспорт

Паралелни транспорт тангентних вектора дуж криве на површи био је следећи велики напредак у овој области, захваљујући Леви-Чивити. Он је повезан са ранијим појмом коваријантног извода, јер је то монодромија обичне диференцијалне једначине на кривој дефинисане коваријантним изводом у односу на вектор брзине криве. Паралелни транспорт дуж геодезијских линија, "правих линија" површи, такође се лако може описати директно. Вектор у тангентној равни се транспортује дуж геодезијске линије као јединствено векторско поље константне дужине које заклапа константан угао са вектором брзине геодезијске линије. За општу криву, овај процес се мора модификовати коришћењем геодезијске кривине, која мери колико крива одступа од тога да буде геодезијска линија.

За векторско поље Шаблон:Math дуж криве јединичне брзине Шаблон:Math, са геодезијском кривином Шаблон:Math, каже се да је паралелно дуж криве ако

• има константну дужину
• угао Шаблон:Math који заклапа са вектором брзине Шаблон:Math задовољава

$\dot{\theta }(t)=-k_g(t)$

Ово поново хвата правило за паралелни транспорт дуж геодезијске или део-по-део геодезијске криве, јер је у том случају Шаблон:Math, тако да угао Шаблон:Math треба да остане константан на сваком геодезијском сегменту. Постојање паралелног транспорта следи јер се Шаблон:Math може израчунати као интеграл геодезијске кривине. Пошто стога зависи непрекидно од Шаблон:Math норме од Шаблон:Math, следи да се паралелни транспорт за произвољну криву може добити као лимес паралелног транспорта на апроксимирајућим део-по-део геодезијским кривама.

Конексија се тако може описати у терминима подизања путања у многострукости до путања у тангентном или ортонормалном раслојавању репера, чиме се формализује класична теорија "покретног репера", коју су фаворизовали француски аутори.Шаблон:Sfn Подизања петљи око тачке доводе до групе холономије у тој тачки. Гаусова кривина у тачки може се повратити из паралелног транспорта око све мањих петљи у тачки. Еквивалентно, кривина се може израчунати директно на инфинитезималном нивоу у терминима Лијевих заграда подигнутих векторских поља.

Ели Картан 1904. године

Форма конексије

Приступ Картана и Вајла, коришћењем 1-форми конексије на раслојавању репера од Шаблон:Math, даје трећи начин за разумевање Риманове конексије. Они су приметили да паралелни транспорт диктира да се путања на површи подигне до путање у раслојавању репера тако да њени тангентни вектори леже у посебном подпростору кодимензије један у тродимензионалном тангентном простору раслојавања репера. Пројекција на овај подпростор је дефинисана диференцијалном 1-формом на ортонормалном раслојавању репера, форма конексије. Ово је омогућило да се својства кривине површи кодирају у диференцијалним формама на раслојавању репера и формулама које укључују њихове спољашње изводе.

Овај приступ је посебно једноставан за утапану површ. Захваљујући резултату Шаблон:Harvtxt, 1-форма конексије на површи утапаној у Еуклидски простор Шаблон:Math је само повлачење (pullback) под Гаусовим пресликавањем 1-форме конексије на Шаблон:Math. Коришћењем идентификације Шаблон:Math са хомогеним простором Шаблон:Math, 1-форма конексије је само компонента Маурер-Картанове 1-форме на Шаблон:Math.

Глобална диференцијална геометрија површи

Иако карактеризација кривине укључује само локалну геометрију површи, постоје важни глобални аспекти као што су Гаус-Бонеова теорема, теорема униформизације, фон Манголд-Адамарова теорема и теорема о утапању. Постоје и други важни аспекти глобалне геометрије површи. Они укључују:

• Радијус инјективности, дефинисан као највеће Шаблон:Math такво да су две тачке на растојању мањем од Шаблон:Math повезане јединственом геодезијском линијом. Вилхелм Клингенберг је 1959. године доказао да је радијус инјективности затворене површи ограничен одоздо минимумом од Шаблон:Math и дужине њене најмање затворене геодезијске линије. Ово је побољшало Бонеову теорему који је 1855. показао да је дијаметар затворене површи позитивне Гаусове кривине увек ограничен одозго са Шаблон:Math; другим речима, геодезијска линија која реализује метричко растојање између две тачке не може имати дужину већу од Шаблон:Math.
• Крутост. Године 1927. Кон-Фосен је доказао да су два овалоида – затворене површи са позитивном Гаусовом кривином – који су изометрични, нужно подударни изометријом од Шаблон:Math. Штавише, затворена утапана површ са позитивном Гаусовом кривином и константном средњом кривином је нужно сфера; такође затворена утапана површ константне Гаусове кривине мора бити сфера (Либман 1899). Хајнц Хопф је 1950. показао да је затворена утапана површ са константном средњом кривином и родом 0, тј. хомеоморфна сфери, нужно сфера; пет година касније Александров је уклонио тополошку претпоставку. Осамдесетих година, Венте је конструисао иморзиране торусе константне средње кривине у Еуклидском 3-простору.
• Каратеодоријева хипотеза: Ова хипотеза тврди да затворена конвексна три пута диференцијабилна површ допушта најмање две умбиличке тачке. Први рад на овој хипотези био је 1924. године од стране Ханса Хамбургера, који је приметио да она следи из следеће јаче тврдње: индекс половине целог броја фолијације главне кривине изоловане умбиличке тачке је највише један. Доказали су је за глатке површи Брендан Гилфојл и Вилхелм Клингенберг у три дела закључно са 2024. годином, стогодишњицом хипотезе.
• Нулта Гаусова кривина: комплетна површ у Шаблон:Math са нултом Гаусовом кривином мора бити цилиндар или раван.
• Хилбертова теорема (1901): ниједна комплетна површ са константном негативном кривином не може бити имерзирана изометријски у Шаблон:Math.

Најкраћа петља на торусу

• Вилморова хипотеза. Ова хипотеза тврди да интеграл квадрата средње кривине торуса имерзираног у Шаблон:Math треба да буде ограничен одоздо са Шаблон:Math. Познато је да је интеграл Мебијус инваријантан. Решили су је 2012. године Фернандо Кода Маркес и Андре Невеш.
• Изопериметријске неједнакости. Године 1939. Шмит је доказао да класична изопериметријска неједнакост за криве у Еуклидској равни важи и на сфери или у хиперболичкој равни: наиме, показао је да међу свим затвореним кривама које ограничавају домен фиксне површине, обим је минимизиран када је крива круг за ту метрику. У једној димензији више, познато је да међу свим затвореним површима у Шаблон:Math које настају као граница ограниченог домена јединичне запремине, површина је минимизирана за Еуклидску лопту.
• Систолне неједнакости за криве на површима. Дата затворена површ, њена систола је дефинисана као најмања дужина било које неконтрактибилне затворене криве на површи. Године 1949. Левнер је доказао неједнакост торуса за метрике на торусу, наиме да је површина торуса кроз квадрат његове систоле ограничена одоздо са Шаблон:Math, са једнакошћу у равном случају (константне кривине). Сличан резултат даје Пуова неједнакост за реалну пројективну раван из 1952. године, са доњом границом од Шаблон:Math такође достигнутом у случају константне кривине. За Клајнову флашу, Блатер и Бавард су касније добили доњу границу од Шаблон:Math. За затворену површ рода Шаблон:Math, Хебда и Бураго су показали да је однос ограничен одоздо са Шаблон:Math. Три године касније Михаил Громов нашао је доњу границу дату константом пута Шаблон:Math, иако то није оптимално. Асимптотски оштре горње и доње границе дате константом пута Шаблон:Math дугују се Громову и Бузер-Сарнаку, и могу се наћи у Шаблон:Harvtxt. Постоји и верзија за метрике на сфери, узимајући за систолу дужину најмање затворене геодезијске линије. Громов је претпоставио доњу границу од Шаблон:Math 1980. године: најбољи резултат до сада је доња граница од Шаблон:Math коју је добила Регина Ротман 2006. године.

Водич за читање

Један од најсвеобухватнијих уводних прегледа теме, који приказује историјски развој од пре Гауса до модерних времена, је Шаблон:Harvtxt. Прикази класичне теорије дати су у Шаблон:Harvtxt, Шаблон:Harvtxt и Шаблон:Harvtxt; модернији, богато илустровани уџбеници за основне студије Шаблон:Harvtxt, Шаблон:Harvtxt и Шаблон:Harvtxt могу бити приступачнији. Приступачан приказ класичне теорије може се наћи у Шаблон:Harvtxt. Софистициранији третмани на постдипломском нивоу који користе Риманову конексију на површи могу се наћи у Шаблон:Harvtxt, Шаблон:Harvtxt и Шаблон:Harvtxt.

Види још

• Тангентни вектор
• Цолова површ

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book; translated from the Russian by K. Vogtmann and A. Weinstein.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation; translated from 2nd edition of Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (1951) by James Glazebrook.
• Шаблон:Citation; translated from Russian by V. V. Goldberg with a foreword by S. S. Chern.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation Volume I (1887) Шаблон:Webarchive, Volume II (1915) [1889], Volume III (1894) Шаблон:Webarchive, Volume IV (1896)Шаблон:Мртва веза.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation translated by A.M. Hiltebeitel and J.C. Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), pp. 99–146.
  • Шаблон:Citation.
  • Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation,
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Ian R. Porteous (2001) Geometric Differentiation: for the intelligence of curves and surfaces, Cambridge University Press Шаблон:ISBN.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book Full text of book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book