Ајнштајнова нотација

У линеарној алгебри, и посебно у областима физике које је користе, Ајнштајнова нотација или сумациона конвенција је конвенција у математичкој нотацији при којој се подразумева, осим уколико није експлицитно другачије напоменуто, сумација по индексима који су поновљени, па се симбол за суму изоставља. У општем случају, када се ради о коваријантним и контраваријантним величинама, сумација се подразумева по поновљеним горњим (контраваријантним) и доњим (коваријантним) индексима. Конвенција је добила име по Алберту Ајнштајну који ју је увео 1916. године у раду у коме је изложио основе опште теорије релативности како би упростио нотацију операција са тензорима. Забележена је анегдота у којој се Ајнштајн нашалио у писму једном пријатељу: Шаблон:Цитат

Дефиниција

Често јавља случај када се сумирају променљиве по индексу који се понавља па је економично изоставити знак за сумацију:

$\sum _i{x}_i{y}_i\stackrel{\text{def}}{=}{x}_i{y}_i.$

У овој форми, где се ради о оба доња индекса, може се применити у општем случају када се ради о било каквој сумацији, мада то није уобичајено, већ се ова конвенција користи углавном када се сумирају компоненте тензора па се онда мора водити рачуна о начину на који се те компоненте трансформишу при промени базиса. Тада се коваријантне компоненте пишу са доњим индексом, а контраваријантне са горњим индексом, па правило у овом случају предвиђа да се подразумева сумирање само по поновљеном горњем и доњем индексу:

$\sum _i{x}_i{y}^i\stackrel{\text{def}}{=}{x}_i{y}^i.$

Ова разлика се може игнорисати једино када се ради у простору над пољем реалних бројева са фиксираним базисом, па се тада могу користити само доњи индекси.

Примери

Уколико је дат базис векторског простора $B=(b_1,\dots ,b_n)$, вектор -{x}- у том базису може да се репрезентује бројном колоном чији су елементи координате вектора

$x=\left(\begin{array}{c}{\alpha }^1\\ ⋮\\ {\alpha }^n\end{array}\right).$

Тада вектор -{x}- може да се изрази преко векторског збира базисних вектора помножених координатама, што у Ајнштајновој нотацији има облик

$x={\alpha }^i{b}_i,$

што би, у уобичајеној нотацији вектора као збира скалираних базисних вектора и игноришући контраваријантност координата, било

$x={\alpha }_1{b}_1+\cdots +{\alpha }_n{b}_n.$

Стандардни скаларни производ вектора -{x}- и -{y}-, у апсолутном базису, у Ајнштајновој нотацији је

$⟨x,y⟩={\alpha }_i{\beta }^i,$

где су α_i и β_i координате вектора -{x}- и -{y}-, или уопштено за произвољан базис у унитарном простору

$⟨x,y⟩={\alpha }^{i^{*}}{g}_{ij}{\beta }^j,$

где је $g_{ij}$ метрички тензор, a звездица означава комплексно конјугован број. Конвенционално написано, ово у ствари значи

$⟨x,y⟩=\sum _i\sum _j{\alpha }_i^{*}{g}_{ij}{\beta }_j,$

где је $g_{ij}$ скаларни производ -{i}--тог и -{j}--тог базисног вектора.

Ако је дата матрица са -{m}- врста и -{n}- колона, елемент матрице се може означити као $M_j^i,$ где горњи индекс означава -{i}--ту врсту, а доњи -{j}--ту колону. Матрично множење се тада може компактно изразити као

$M_j^i=A_k^i{B}_j^k.$

Види још

• Диракова нотација

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• -{Einstein Summation}- на -{Wolfram MathWorld}- Шаблон:Ен
• -{Einstein rule}-, -{SpringerLink Encyclopaedia of Mathematics}- Шаблон:Ен