Јакобијан

Јакобијева матрица је матрица парцијалних извода првог реда неке функције и има облик:

$J_F\left(M\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right).$

Јакобијан је детерминанта Јакобијеве матрице. Добила је назив по немачком математичару Карлу Густаву Јакобију.

Дефиниција

Нека је $F:{ℝ}^n\to {ℝ}^m$ функција са Еуклидова n- простора на Еуклидов m-простор. Таква функција има м компоненти:

$F:\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ f_m(x_1,\dots ,x_n)\end{array}\right).$

Тада парцијални изводи тих функција чине Јакобијеву матрицу:

$J_F\left(M\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right).$

Матрица се означава и као:

$J_F\left(M\right),\frac{\partial (f_1,\dots ,f_m)}{\partial (x_1,\dots ,x_n)}\text{ili}\frac{\mathrm{D}(f_1,\dots ,f_m)}{\mathrm{D}(x_1,\dots ,x_n)}.$

У случају да су $(x_1,\dots ,x_n)$ ортогоналне Декартове координате тада матрица одговара градијенту компоненти функције, тј. $\left(\mathrm{\nabla }{F}_i\right)$.

Јакобијан

У случају да је $m=n$ Јакобијева матрица је квадратна матрица па има детерминанту, која се назива Јакобијева детерминанта или Јакобијан. Јакобијан се користи за израчунавања вишеструких интеграла заменом координатнога система ${\tilde{x}}_j\to x_i$ тако да следи:

$\underset{\tilde{\mathrm{\Omega }}}{\int }f({\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2,\dots ,{\tilde{x}}_n)d{\tilde{x}}_{1}d{\tilde{x}}_2\dots d{\tilde{x}}_n=$

$=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f({\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2,\dots ,{\tilde{x}}_n)\left|\frac{D({\tilde{x}}_1,{\tilde{x}}_2,\dots ,{\tilde{x}}_n)}{D(x_1,x_2,\dots ,x_n)}\right|d{x}_{1}d{x}_2\dots d{x}_n$

Сферни координатни систем

У случају трансформације сфернога координатнога система заданога са (r, θ, φ) на картезијев координатни систем једначине трансформације су:

$x_1=r\sin \theta \cos \varphi$

$x_2=r\sin \theta \sin \varphi$

$x_3=r\cos \theta .$

Јакобијева матрица је тада дана са:

$J_F(r,\theta ,\varphi )=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial r}& \frac{\partial x_1}{\partial \theta }& \frac{\partial x_1}{\partial \varphi }\\ \frac{\partial x_2}{\partial r}& \frac{\partial x_2}{\partial \theta }& \frac{\partial x_2}{\partial \varphi }\\ \frac{\partial x_3}{\partial r}& \frac{\partial x_3}{\partial \theta }& \frac{\partial x_3}{\partial \varphi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\sin \theta \cos \varphi & r\cos \theta \cos \varphi & -r\sin \theta \sin \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi & r\cos \theta \sin \varphi & r\sin \theta \cos \varphi \\ \cos \theta & -r\sin \theta & 0\end{array}\right].$

Јакобијан је детерминанта те матрице тј:

$\det \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}=r^2\sin \theta .$

Односно запремински елемент је тада:

$\mathrm{d}V=|\det \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}|\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi =r^2\sin \theta \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi .$

Поларни координатни систем

У поларном координатном систему једначине трансформације су:

$x=r\cos \varphi ;$

$y=r\sin \varphi .$

Јакобијева матрица је дана са: $J(r,\varphi )=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \varphi }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \varphi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial (r\cos \varphi )}{\partial r}& \frac{\partial (r\cos \varphi )}{\partial \varphi }\\ \frac{\partial (r\sin \varphi )}{\partial r}& \frac{\partial (r\sin \varphi )}{\partial \varphi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \varphi & -r\sin \varphi \\ \sin \varphi & r\cos \varphi \end{array}\right]$ Јакобијева детерминанта или Јакобијан је онда једнак $r$. Због тога се двоструки интеграли могу из картезијевога система трансформисати у поларни систем на следећи начин:

$\underset{A}{\iint }dxdy=\underset{B}{\iint }rdrd\varphi .$

Литература

• Јакобијан
• -{Kaplan, W. Advanced Calculus, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley 1984.}-
• Herbert Federer: Geometric measure theory. 1. izdanje. Springer, Berlin. Шаблон:Page