Риманова многострукост

Скаларни производ два вектора тангентна на сферу која се налази унутар 3-димензионалног еуклидског простора садржи информације о дужинама и угловима између вектора. Скаларни производи на свакој тангентној равни, спаковани заједно у један математички објекат, чине Риманову метрику.

У диференцијалној геометрији, Риманова многострукост (или Риманов простор) је геометријски простор (многострукост) на којем су дефинисани многи геометријски појмови као што су растојање, углови, дужина, запремина и кривина. Еуклидски простор, $n$-сфера, хиперболички простор и глатке површи у тродимензионалном простору, као што су елипсоиди и параболоиди, примери су Риманових многострукости. Риманове многострукости су добиле име по немачком математичару Бернхарду Риману, који их је први пут конципирао 1854. године.

Формално, Риманова метрика (или само метрика) на глаткој многострукости је гладак избор скаларног производа за сваки тангентни простор многострукости. Риманова многострукост је глатка многострукост заједно са Римановом метриком. Технике диференцијалног и интегралног рачуна користе се за извлачење геометријских података из Риманове метрике. На пример, интеграција доводи до функције Римановог растојања, док се диференцирање користи за дефинисање кривине и паралелног транспорта.

Свака глатка површ у тродимензионалном еуклидском простору је Риманова многострукост са Римановом метриком која потиче од начина на који је она смештена у амбијенталном простору. Исто важи и за сваку подмногострукост еуклидског простора било које димензије. Иако је Џон Неш доказао да свака Риманова многострукост настаје као подмногострукост еуклидског простора, и иако су неке Риманове многострукости природно представљене или дефинисане на тај начин, идеја Риманове многострукости наглашава унутрашњу (интринсичну) тачку гледишта, која дефинише геометријске појмове директно на апстрактном простору без позивања на амбијентални простор. У многим случајевима, као што су хиперболички простор и пројективни простор, Риманове метрике се природније дефинишу или конструишу коришћењем унутрашње тачке гледишта. Поред тога, многе метрике на Лијевим групама и хомогеним просторима дефинисане су интринсично коришћењем дејстава група за транспорт скаларног производа са једног тангентног простора на целу многострукост, а многе специјалне метрике, као што су метрике константне скаларне кривине и Келер-Ајнштајнове метрике, конструишу се интринсично коришћењем алата из парцијалних диференцијалних једначина.

Риманова геометрија, студија Риманових многострукости, има дубоке везе са другим областима математике, укључујући геометријску топологију, комплексну геометрију и алгебарску геометрију. Примене обухватају физику (посебно општу теорију релативности и теорију баждарења), рачунарску графику, машинско учење и картографију. Генерализације Риманових многострукости укључују псеудо-Риманове многострукости, Финслерове многострукости и суб-Риманове многострукости.

Историја

Риманове многострукости је први конципирао њихов имењак, немачки математичар Бернхард Риман.

Године 1827. Карл Фридрих Гаус је открио да Гаусова кривина површи уграђене у тродимензионални простор зависи само од локалних мерења извршених унутар површи (прва основна форма).Шаблон:Sfn Овај резултат је познат као Theorema Egregium („изузетна теорема” на латинском).

Пресликавање које чува локална мерења површи назива се локална изометрија. Својство површи назива се унутрашњим својством ако је очувано локалним изометријама, а спољашњим својством ако није. Овим језиком, Theorema Egregium каже да је Гаусова кривина унутрашње својство површи.

Риманове многострукости и њихову кривину први је неригорозно увео Бернхард Риман 1854. године.Шаблон:Sfn Међутим, оне нису биле формализоване све до много касније. Заправо, примитивнији концепт глатке многострукости је први пут експлицитно дефинисан тек 1913. године у књизи коју је написао Херман Вајл.Шаблон:Sfn

Ели Картан је увео Картанову конексију, један од првих концепата конексије. Леви-Чивита је дефинисао Леви-Чивита конексију, специјалну конексију на Римановој многострукости.

Алберт Ајнштајн је користио теорију псеудо-Риманових многострукости (генерализацију Риманових многострукости) да развије општу теорију релативности. Конкретно, Ајнштајнове једначине поља су ограничења на кривину простор-времена, које је 4-димензионална псеудо-Риманова многострукост.

Дефиниција

Риманове метрике и Риманове многострукости

Тангентна раван сфере са два вектора у њој. Риманова метрика омогућава узимање скаларног производа ових вектора.

Нека је $M$ глатка многострукост. За сваку тачку $p\in M$, постоји придружени векторски простор $T_{p}M$ који се назива тангентни простор многострукости $M$ у тачки $p$. Вектори у $T_{p}M$ се сматрају векторима тангентним на $M$ у $p$.

Међутим, $T_{p}M$ није опремљен скаларним производом, „мерним штапом” који даје тангентним векторима концепт дужине и угла. Ово је важан недостатак јер математичка анализа учи да се за израчунавање дужине криве мора дефинисати дужина вектора тангентних на криву. Риманова метрика поставља такав „мерни штап” на сваки тангентни простор.

Риманова метрика $g$ на $M$ додељује сваком $p$ позитивно дефинитну симетричну билинеарну форму (тј. скаларни производ) $g_p:T_{p}M\times T_{p}M\to ℝ$ на гладак начин (видети одељак о регуларности испод).Шаблон:Sfn Ово индукује норму $\Vert \cdot {\Vert }_p:T_{p}M\to ℝ$ дефинисану са $\Vert v{\Vert }_p=\sqrt{g_p(v,v)}$. Глатка многострукост $M$ опремљена Римановом метриком $g$ је Риманова многострукост, означена са $(M,g)$.Шаблон:Sfn Риманова метрика је специјалан случај метричког тензора.

Риманову метрику не треба мешати са функцијом растојања метричког простора, која се такође назива метрика.

Риманова метрика у координатама

Ако су $(x^1,\dots ,x^n):U\to {ℝ}^n$ глатке локалне координате на $M$, вектори

$\{\frac{\partial }{\partial x^1}{|}_p,\dots ,\frac{\partial }{\partial x^n}{|}_p\}$

чине базу векторског простора $T_{p}M$ за свако $p\in U$. У односу на ову базу, могу се дефинисати компоненте Риманове метрике у свакој тачки $p$ као

$g_{ij}{|}_p:=g_p({\frac{\partial }{\partial x^i}|}_p,{\frac{\partial }{\partial x^j}|}_p)$.Шаблон:Sfn

Ових $n^2$ функција $g_{ij}:U\to ℝ$ могу се спојити у функцију са вредностима у $n\times n$ матрицама на $U$. Захтев да је $g_p$ позитивно дефинитан скаларни производ тада тачно каже да је ова матрична функција симетрична позитивно дефинитна матрица у $p$.

У терминима тензорске алгебре, Риманова метрика се може записати преко дуалне базе $\{d{x}^1,\dots ,d{x}^n\}$ котангентног раслојавања као

$g=\sum _{i,j}{g}_{ij}d{x}^i\otimes d{x}^j.$Шаблон:Sfn

Регуларност Риманове метрике

Риманова метрика $g$ је непрекидна ако су њене компоненте $g_{ij}:U\to ℝ$ непрекидне у било којој глаткој координатној карти $(U,x).$ Риманова метрика $g$ је глатка ако су њене компоненте $g_{ij}$ глатке у било којој глаткој координатној карти. Могу се разматрати многи други типови Риманових метрика у овом духу, као што су Липшицове Риманове метрике или мерљиве Риманове метрике.

Постоје ситуације у геометријској анализи у којима се желе разматрати неглатке Риманове метрике. Видети на пример (Gromov 1999) и (Shi and Tam 2002). Међутим, у овом чланку се претпоставља да је $g$ глатка метрика осим ако није другачије наведено.

Музички изоморфизам

Аналогно томе како скаларни производ на векторском простору индукује изоморфизам између векторског простора и његовог дуала дат са $v\mapsto ⟨v,\cdot ⟩$, Риманова метрика индукује изоморфизам раслојавања између тангентног раслојавања и котангентног раслојавања. Наиме, ако је $g$ Риманова метрика, тада је

$(p,v)\mapsto g_p(v,\cdot )$

изоморфизам глатких векторских раслојавања од тангентног раслојавања $TM$ до котангентног раслојавања $T^{\ast }M$.Шаблон:Sfn

Изометрије

Изометрија је функција између Риманових многострукости која чува сву структуру Риманових многострукости. Ако две Риманове многострукости имају изометрију између себе, називају се изометричним, и сматрају се истом многострукошћу за потребе Риманове геометрије.

Конкретно, ако су $(M,g)$ и $(N,h)$ две Риманове многострукости, дифеоморфизам $f:M\to N$ се назива изометрија ако је $g=f^{\ast }h$,Шаблон:Sfn то јест, ако је

$g_p(u,v)=h_{f(p)}(d{f}_p(u),d{f}_p(v))$

за свако $p\in M$ и $u,v\in T_{p}M.$ На пример, транслације и ротације су изометрије еуклидског простора (који ће ускоро бити дефинисан) у самог себе.

Каже се да је глатко пресликавање $f:M\to N,$ за које се не претпоставља да је дифеоморфизам, локална изометрија ако свако $p\in M$ има отворену околину $U$ такву да је $f:U\to f(U)$ изометрија (и самим тим дифеоморфизам).Шаблон:Sfn

Запремина

Оријентисана $n$-димензионална Риманова многострукост $(M,g)$ има јединствену $n$-форму $d{V}_g$ која се назива Риманова форма запремине.Шаблон:Sfn Риманова форма запремине је очувана изометријама које чувају оријентацију.Шаблон:Sfn Форма запремине даје меру на $M$ која омогућава интеграцију мерљивих функција. Ако је $M$ компактна, запремина многострукости $M$ је ${\int }_{M}d{V}_g$.Шаблон:Sfn

Примери

Еуклидски простор

Нека $x^1,\dots ,x^n$ означавају стандардне координате на ${ℝ}^n.$ (Канонска) еуклидска метрика $g^{\text{can}}$ дата је саШаблон:Sfn

$g^{\text{can}}(\sum _i{a}_i\frac{\partial }{\partial x^i},\sum _j{b}_j\frac{\partial }{\partial x^j})=\sum _i{a}_i{b}_i$

или еквивалентно

$g^{\text{can}}=(d{x}^1{)}^2+\cdots +(d{x}^n{)}^2$

или еквивалентно преко својих координатних функција

$g_{ij}^{\text{can}}={\delta }_{ij}$ где је ${\delta }_{ij}$ Кронекерова делта

које заједно чине матрицу

$(g_{ij}^{\text{can}})=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right).$

Риманова многострукост $({ℝ}^n,g^{\text{can}})$ назива се еуклидски простор.

Подмногострукости

$n$-сфера $S^n$ са округлом метриком је уграђена Риманова подмногострукост од ${ℝ}^{n+1}$.

Нека је $(M,g)$ Риманова многострукост и нека је $i:N\to M$ имерзована подмногострукост или уграђена подмногострукост од $M$. Инверзна слика (пулбак) $i^{\ast }g$ метрике $g$ је Риманова метрика на $N$, а $(N,i^{\ast }g)$ се назива Риманова подмногострукост од $(M,g)$.Шаблон:Sfn

У случају када је $N\subseteq M$, пресликавање $i:N\to M$ је дато са $i(x)=x$ и метрика $i^{\ast }g$ је само рестрикција метрике $g$ на векторе тангентне дуж $N$. Генерално, формула за $i^{\ast }g$ је

$i^{\ast }{g}_p(v,w)=g_{i(p)}(d{i}_p(v),d{i}_p(w)),$

где је $d{i}_p(v)$ диференцијал (pushforward) вектора $v$ пресликавањем $i.$

Примери:

• $n$-сфера

  $S^n=\{x\in {ℝ}^{n+1}:(x^1{)}^2+\cdots +(x^{n+1}{)}^2=1\}$

је глатка уграђена подмногострукост еуклидског простора ${ℝ}^{n+1}$.Шаблон:Sfn Риманова метрика коју ово индукује на $S^n$ назива се округла метрика или стандардна метрика.

• Фиксирајмо реалне бројеве $a,b,c$. Елипсоид

  $\{(x,y,z)\in {ℝ}^3:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\}$

је глатка уграђена подмногострукост еуклидског простора ${ℝ}^3$.

• График глатке функције $f:{ℝ}^n\to ℝ$ је глатка уграђена подмногострукост од ${ℝ}^{n+1}$ са својом стандардном метриком.
• Ако $(M,g)$ није просто повезана, постоји наткривајуће пресликавање $\tilde{M}\to M$, где је $\tilde{M}$ универзални наткривач од $M$. Ово је имерзија (јер је локално дифеоморфизам), па $\tilde{M}$ аутоматски наслеђује Риманову метрику. По истом принципу, сваки наткривајући простор Риманове многострукости наслеђује Риманову метрику.

С друге стране, ако $N$ већ има Риманову метрику $\tilde{g}$, тада се имерзија (или улагање) $i:N\to M$ назива изометријска имерзија (или изометријско улагање) ако је $\tilde{g}=i^{\ast }g$. Стога су изометријске имерзије и изометријска улагања Риманове подмногострукости.Шаблон:Sfn

Производи

Нека су $(M,g)$ и $(N,h)$ две Риманове многострукости, и размотримо многострукост производа $M\times N$. Риманове метрике $g$ и $h$ природно стављају Риманову метрику $\tilde{g}$ на $M\times N,$ што се може описати на неколико начина.

• Разматрајући декомпозицију $T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_{p}M\oplus T_{q}N,$ може се дефинисати

  ${\tilde{g}}_{p,q}((u_1,u_2),(v_1,v_2))=g_p(u_1,v_1)+h_q(u_2,v_2).$Шаблон:Sfn

• Ако је $(U,x)$ глатка координатна карта на $M$ и $(V,y)$ глатка координатна карта на $N$, тада је $(U\times V,(x,y))$ глатка координатна карта на $M\times N.$ Нека је $g_U$ репрезентација метрике $g$ у карти $(U,x)$ и нека је $h_V$ репрезентација метрике $h$ у карти $(V,y)$. Репрезентација метрике $\tilde{g}$ у координатама $(U\times V,(x,y))$ је

  $\tilde{g}=\sum _{ij}{\tilde{g}}_{ij}d{x}^{i}d{x}^j$ где је $({\tilde{g}}_{ij})=\left(\begin{array}{cc}{g}_U& 0\\ 0& h_V\end{array}\right).$Шаблон:Sfn

На пример, размотримо $n$-торус $T^n=S^1\times \cdots \times S^1$. Ако се свакој копији $S^1$ додели округла метрика, производ Риманове многострукости $T^n$ назива се равни торус. Као други пример, Риманов производ $ℝ\times \cdots \times ℝ$, где свака копија $ℝ$ има еуклидску метрику, изометричан је са ${ℝ}^n$ са еуклидском метриком.

Позитивне комбинације метрика

Нека су $g_1,\dots ,g_k$ Риманове метрике на $M.$ Ако су $f_1,\dots ,f_k$ било које позитивне глатке функције на $M$, тада је $f_1{g}_1+\dots +f_k{g}_k$ друга Риманова метрика на $M.$

Свака глатка многострукост допушта Риманову метрику

Теорема: Свака глатка многострукост допушта (неканонску) Риманову метрику.Шаблон:Sfn

Ово је фундаментални резултат. Иако се већи део основне теорије Риманових метрика може развити користећи само чињеницу да је глатка многострукост локално еуклидски тополошки простор, за овај резултат је неопходно користити то да су глатке многострукости Хаусдорфове и паракомпактне. Разлог је тај што доказ користи разбијање јединице.

Шаблон:Collapse top Нека је $M$ глатка многострукост и $\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha }){\}}_{\alpha \in A}$ локално коначан атлас тако да су $U_{\alpha }\subseteq M$ отворени подскупови и ${\phi }_{\alpha }:U_{\alpha }\to {\phi }_{\alpha }(U_{\alpha })\subseteq {𝐑}^n$ су дифеоморфизми. Такав атлас постоји јер је многострукост паракомпактна.

Нека је $\{{\tau }_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ диференцијабилно разбијање јединице подређено датом атласу, тј. такво да је $\mathrm{supp}({\tau }_{\alpha })\subseteq U_{\alpha }$ за све $\alpha \in A$.

Дефинишимо Риманову метрику $g$ на $M$ са

$g=\sum _{\alpha \in A}{\tau }_{\alpha }\cdot {\tilde{g}}_{\alpha }$

где је

${\tilde{g}}_{\alpha }={\phi }_{\alpha }^{\ast }{g}^{\text{can}}.$

Овде је $g^{\text{can}}$ еуклидска метрика на ${ℝ}^n$ и ${\phi }_{\alpha }^{\ast }{g}^{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{n}}$ је њена инверзна слика дуж ${\phi }_{\alpha }$. Док је ${\tilde{g}}_{\alpha }$ дефинисана само на $U_{\alpha }$, производ ${\tau }_{\alpha }\cdot {\tilde{g}}_{\alpha }$ је дефинисан и гладак на $M$ јер је $\mathrm{supp}({\tau }_{\alpha })\subseteq U_{\alpha }$. Он узима вредност 0 изван $U_{\alpha }$. Пошто је атлас локално коначан, у свакој тачки збир садржи само коначно много ненултих чланова, тако да збир конвергира. Једноставно је проверити да је $g$ Риманова метрика. Шаблон:Collapse bottom

Алтернативни доказ користи Витнијеву теорему о улагању за улагање $M$ у еуклидски простор, а затим повлачи метрику из еуклидског простора на $M$. С друге стране, Нешова теорема о улагању наводи да, за сваку глатку Риманову многострукост $(M,g),$ постоји улагање $F:M\to {ℝ}^N$ за неко $N$ такво да је инверзна слика стандардне Риманове метрике на ${ℝ}^N$ пресликавањем $F$ једнака $g.$ То јест, цела структура глатке Риманове многострукости може се кодирати дифеоморфизмом на одређену уграђену подмногострукост неког еуклидског простора. Стога би се могло тврдити да се ништа не добија разматрањем апстрактних глатких многострукости и њихових Риманових метрика. Међутим, постоје многе природне глатке Риманове многострукости, као што су скуп ротација тродимензионалног простора и хиперболички простор, за које било која репрезентација као подмногострукости еуклидског простора неће успети да представи њихове изузетне симетрије и својства тако јасно као њихове апстрактне презентације.

Структура метричког простора

Допустива крива је део по део глатка крива $\gamma :[0,1]\to M$ чија је брзина ${\gamma }^{\prime }(t)\in T_{\gamma (t)}M$ различита од нуле свуда где је дефинисана. Ненегативна функција $t\mapsto \Vert {\gamma }^{\prime }(t){\Vert }_{\gamma (t)}$ је дефинисана на интервалу $[0,1]$ осим у коначно много тачака. Дужина $L(\gamma )$ допустиве криве $\gamma :[0,1]\to M$ дефинише се као

$L(\gamma )={\int }_0^1\Vert {\gamma }^{\prime }(t){\Vert }_{\gamma (t)}dt.$

Подинтегрална функција је ограничена и непрекидна осим у коначно много тачака, па је интеграбилна. За повезану Риманову многострукост $(M,g)$, дефинишимо $d_g:M\times M\to [0,\mathrm{\infty })$ са

$d_g(p,q)=inf\{L(\gamma ):\gamma \text{ допустива крива са }\gamma (0)=p,\gamma (1)=q\}.$

Теорема: $(M,d_g)$ је метрички простор, и метричка топологија на $(M,d_g)$ се поклапа са топологијом на $M$.Шаблон:Sfn

Шаблон:Collapse top При верификацији да $(M,d_g)$ задовољава све аксиоме метричког простора, најтежи део је провера да $p\ne q$ имплицира $d_g(p,q)>0$. Верификација осталих аксиома метричког простора је изостављена.

Мора постојати неки прекомпактан отворен скуп око p из којег свака крива од p до q мора изаћи. Одабиром овог отвореног скупа да буде садржан у координатној карти, тврдња се може свести на добро познату чињеницу да је у еуклидској геометрији најкраћа крива између две тачке права линија. Конкретно, као што се види из еуклидске геометрије координатне карте око p, свака крива од p до q мора прво проћи кроз одређени „унутрашњи радијус”. Претпостављена непрекидност Риманове метрике g дозвољава овој „геометрији координатне карте” да искриви „праву геометрију” само за неки ограничени фактор.

Да будемо прецизни, нека је $(U,x)$ глатка координатна карта са $x(p)=0$ и $q\notin U.$ Нека је $V\ni x$ отворен подскуп од $U$ са $\bar{V}\subset U.$ Због непрекидности $g$ и компактности $\bar{V},$ постоји позитиван број $\lambda$ такав да је $g(X,X)\ge \lambda \Vert X{\Vert }^2$ за свако $r\in V$ и свако $X\in T_{r}M,$ где $\Vert \cdot \Vert$ означава еуклидску норму индуковану локалним координатама. Нека R означава $sup\{r>0:B_r(0)\subset x(V)\}$. Сада, дата било која допустива крива $\gamma :[0,1]\to M$ од p до q, мора постојати неко минимално $\delta >0$ такво да $\gamma (\delta )\notin V;$ јасно је $\gamma (\delta )\in \partial V.$

Дужина криве $\gamma$ је најмање онолика колико и рестрикција $\gamma$ на $[0,\delta ].$ Дакле

$L(\gamma )\ge \sqrt{\lambda }{\int }_0^{\delta }\Vert {\gamma }^{\prime }(t)\Vert dt.$

Интеграл који се овде појављује представља еуклидску дужину криве од 0 до $x(\partial V)\subset {ℝ}^n$, и стога је већи или једнак R. Закључујемо $L(\gamma )\ge \sqrt{\lambda }R.$

Запажање о поређењу између дужина мерених са g и еуклидских дужина мерених у глаткој координатној карти, такође верификује да се топологија метричког простора $(M,d_g)$ поклапа са оригиналном структуром тополошког простора $M$. Шаблон:Collapse bottom

Иако је дужина криве дата експлицитном формулом, генерално је немогуће написати функцију растојања $d_g$ било којим експлицитним средствима. Заправо, ако је $M$ компактна, увек постоје тачке где $d_g:M\times M\to ℝ$ није диференцијабилна, и може бити изузетно тешко чак и одредити локацију или природу ових тачака, чак и у наизглед једноставним случајевима као што је када је $(M,g)$ елипсоид.

Ако се ради са Римановим метрикама које су само непрекидне, али можда не и глатке, дужина допустиве криве и Риманова функција растојања дефинишу се потпуно исто, и, као и раније, $(M,d_g)$ је метрички простор, а метричка топологија на $(M,d_g)$ се поклапа са топологијом на $M$.Шаблон:Sfn

Дијаметар

Дијаметар метричког простора $(M,d_g)$ је

$\mathrm{diam}(M,d_g)=sup\{d_g(p,q):p,q\in M\}.$

Хопф-Риновљева теорема показује да ако је $(M,d_g)$ комплетан и има коначан дијаметар, онда је компактан. Обрнуто, ако је $(M,d_g)$ компактан, онда функција $d_g:M\times M\to ℝ$ има максимум, јер је то непрекидна функција на компактном метричком простору. Ово доказује следеће.

Ако је $(M,d_g)$ комплетан, онда је компактан ако и само ако има коначан дијаметар.

Ово није случај без претпоставке комплетности; за контрапримере се може размотрити било који отворен ограничен подскуп еуклидског простора са стандардном Римановом метриком. Такође није тачно да сваки комплетан метрички простор коначног дијаметра мора бити компактан; важно је да метрички простор потиче од Риманове многострукости.

Конексије, геодезијске линије и кривина

Конексије

Афина конексија је додатна структура на Римановој многострукости која дефинише диференцирање једног векторског поља у односу на друго. Конексије садрже геометријске податке, и две Риманове многострукости са различитим конексијама имају различиту геометрију.

Нека $𝔛(M)$ означава простор векторских поља на $M$. (Афина) конексија

$\mathrm{\nabla }:𝔛(M)\times 𝔛(M)\to 𝔛(M)$

на $M$ је билинеарно пресликавање $(X,Y)\mapsto {\mathrm{\nabla }}_{X}Y$ такво да

1. За сваку функцију $f\in C^{\mathrm{\infty }}(M)$, ${\mathrm{\nabla }}_{f_1{X}_1+f_2{X}_2}Y=f_1{\mathrm{\nabla }}_{X_1}Y+f_2{\mathrm{\nabla }}_{X_2}Y,$
2. Важи правило производа ${\mathrm{\nabla }}_{X}fY=X(f)Y+f{\mathrm{\nabla }}_{X}Y$.Шаблон:Sfn

Израз ${\mathrm{\nabla }}_{X}Y$ назива се коваријантни извод $Y$ у односу на $X$.

Леви-Чивита конексија

Две Риманове многострукости са различитим конексијама имају различиту геометрију. Срећом, постоји природна конексија повезана са Римановом многострукошћу која се зове Леви-Чивита конексија.

За конексију $\mathrm{\nabla }$ се каже да чува метрику ако

$X(g(Y,Z))=g({\mathrm{\nabla }}_{X}Y,Z)+g(Y,{\mathrm{\nabla }}_{X}Z)$

Конексија $\mathrm{\nabla }$ је без торзије ако

${\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X=[X,Y],$

где је $[\cdot ,\cdot ]$ Лијева заграда.

Леви-Чивита конексија је конексија без торзије која чува метрику. Када је Риманова метрика фиксирана, постоји јединствена Леви-Чивита конексија.Шаблон:Sfn Приметите да дефиниција очувања метрике користи регуларност метрике $g$.

Коваријантни извод дуж криве

Ако је $\gamma :[0,1]\to M$ глатка крива, глатко векторско поље дуж $\gamma$ је глатко пресликавање $X:[0,1]\to TM$ такво да $X(t)\in T_{\gamma (t)}M$ за свако $t\in [0,1]$. Скуп $𝔛(\gamma )$ глатких векторских поља дуж $\gamma$ је векторски простор у односу на сабирање вектора по тачкама и множење скаларом.Шаблон:Sfn Такође се може помножити по тачкама глатко векторско поље дуж $\gamma$ глатком функцијом $f:[0,1]\to ℝ$:

$(fX)(t)=f(t)X(t)$ за $X\in 𝔛(\gamma ).$

Нека је $X$ глатко векторско поље дуж $\gamma$. Ако је $\tilde{X}$ глатко векторско поље на околини слике од $\gamma$ такво да је $X(t)={\tilde{X}}_{\gamma (t)}$, тада се $\tilde{X}$ назива екстензија од $X$.

Дата фиксна конексија $\mathrm{\nabla }$ на $M$ и глатка крива $\gamma :[0,1]\to M$, постоји јединствен оператор $D_t:𝔛(\gamma )\to 𝔛(\gamma )$, назван коваријантни извод дуж $\gamma$, такав да:Шаблон:Sfn

1. $D_t(aX+bY)=a{D}_{t}X+b{D}_{t}Y,$
2. $D_t(fX)=f^{\prime }X+f{D}_{t}X,$
3. Ако је $\tilde{X}$ екстензија од $X$, тада је $D_{t}X(t)={\mathrm{\nabla }}_{{\gamma }^{\prime }(t)}\tilde{X}$.

Геодезијске линије

Геодезијске линије су криве без унутрашњег убрзања. Еквивалентно, геодезијске линије су криве које локално представљају најкраћи пут између две тачке. Оне су генерализација правих линија у еуклидском простору на произвољне Риманове многострукости. Мрав који живи на Римановој многострукости и хода право напред без икаквог напора да убрза или скрене, исцртавао би геодезијску линију.

Фиксирајмо конексију $\mathrm{\nabla }$ на $M$. Нека је $\gamma :[0,1]\to M$ глатка крива. Убрзање криве $\gamma$ је векторско поље $D_t{\gamma }^{\prime }$ дуж $\gamma$. Ако је $D_t{\gamma }^{\prime }=0$ за свако $t$, $\gamma$ се назива геодезијска линија.Шаблон:Sfn

За свако $p\in M$ и $v\in T_{p}M$, постоји геодезијска линија $\gamma :I\to M$ дефинисана на неком отвореном интервалу $I$ који садржи 0 таква да $\gamma (0)=p$ и ${\gamma }^{\prime }(0)=v$. Било које две такве геодезијске линије се слажу на свом заједничком домену.Шаблон:Sfn Узимајући унију свих отворених интервала $I$ који садрже 0 на којима постоји геодезијска линија која задовољава $\gamma (0)=p$ и ${\gamma }^{\prime }(0)=v$, добија се геодезијска линија која се назива максимална геодезијска линија, чија је свака геодезијска линија која задовољава $\gamma (0)=p$ и ${\gamma }^{\prime }(0)=v$ рестрикција.Шаблон:Sfn

Свака крива $\gamma :[0,1]\to M$ која има најмању дужину од свих допустивих кривих са истим крајњим тачкама као $\gamma$ је геодезијска линија (у репараметризацији јединичном брзином).Шаблон:Sfn

Примери

• Неконстантне максималне геодезијске линије еуклидске равни ${ℝ}^2$ су тачно праве линије.Шаблон:Sfn Ово се слаже са чињеницом из еуклидске геометрије да је најкраћи пут између две тачке дуж праве линије.
• Неконстантне максималне геодезијске линије на $S^2$ са округлом метриком су тачно велики кругови.Шаблон:Sfn Пошто је Земља приближно сфера, то значи да је најкраћи пут који авион може прелетети између две локације на Земљи сегмент великог круга.

Хопф-Риновљева теорема

Пробушена раван ${ℝ}^2\mathrm{\setminus }\{(0,0)\}$ није геодезијски комплетна јер максимална геодезијска линија са почетним условима $p=(1,1)$, $v=(1,1)$ нема домен $ℝ$.

Риманова многострукост $M$ са својом Леви-Чивита конексијом је геодезијски комплетна ако је домен сваке максималне геодезијске линије $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$.Шаблон:Sfn Раван ${ℝ}^2$ је геодезијски комплетна. С друге стране, пробушена раван ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$ са рестрикцијом Риманове метрике из ${ℝ}^2$ није геодезијски комплетна јер максимална геодезијска линија са почетним условима $p=(1,1)$, $v=(1,1)$ нема домен $ℝ$.

Хопф-Риновљева теорема карактерише геодезијски комплетне многострукости.

Теорема: Нека је $(M,g)$ повезана Риманова многострукост. Следећа тврђења су еквивалентна:Шаблон:Sfn

• Метрички простор $(M,d_g)$ је комплетан (сваки $d_g$-Кошијев низ конвергира),
• Сви затворени и ограничени подскупови од $M$ су компактни,
• $M$ је геодезијски комплетна.

Паралелни транспорт

Паралелни транспорт тангентног вектора дуж криве на сфери.

У еуклидском простору, сви тангентни простори су канонски идентификовани један са другим путем транслације, тако да је лако преместити векторе из једног тангентног простора у други. Паралелни транспорт је начин премештања вектора из једног тангентног простора у други дуж криве у окружењу опште Риманове многострукости. За дату фиксну конексију, постоји јединствен начин за вршење паралелног транспорта.Шаблон:Sfn

Конкретно, назовимо глатко векторско поље $V$ дуж глатке криве $\gamma$ паралелним дуж $\gamma$ ако је $D_{t}V=0$ идентички.Шаблон:Sfn Фиксирајмо криву $\gamma :[0,1]\to M$ са $\gamma (0)=p$ и $\gamma (1)=q$. Да бисмо паралелно транспортовали вектор $v\in T_{p}M$ у вектор у $T_{q}M$ дуж $\gamma$, прво проширимо $v$ на векторско поље паралелно дуж $\gamma$, а затим узмемо вредност овог векторског поља у $q$.

Слике испод приказују паралелни транспорт индукован Леви-Чивита конексијом повезаном са две различите Риманове метрике на пробушеној равни ${ℝ}^2\setminus \{0,0\}$. Крива дуж које се врши паралелни транспорт је јединични круг. У поларним координатама, метрика лево је стандардна еуклидска метрика $d{x}^2+d{y}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2$, док је метрика десно $d{r}^2+d{\theta }^2$. Ова друга метрика има сингуларитет у координатном почетку, тако да се не проширује изван пробушене тачке, али прва метрика се проширује на целу раван.

Упозорење: Ово је паралелни транспорт на пробушеној равни дуж јединичног круга, а не паралелни транспорт на јединичном кругу. Заиста, на првој слици вектори падају изван тангентног простора на јединични круг.

Риманов тензор кривине

Риманов тензор кривине прецизно мери у којој мери паралелни транспорт вектора око малог правоугаоника није идентитетско пресликавање.Шаблон:Sfn Риманов тензор кривине је 0 у свакој тачки ако и само ако је многострукост локално изометрична еуклидском простору.Шаблон:Sfn

Фиксирајмо конексију $\mathrm{\nabla }$ на $M$. Риманов тензор кривине је пресликавање $R:𝔛(M)\times 𝔛(M)\times 𝔛(M)\to 𝔛(M)$ дефинисано са

$R(X,Y)Z={\mathrm{\nabla }}_X{\mathrm{\nabla }}_{Y}Z-{\mathrm{\nabla }}_Y{\mathrm{\nabla }}_{X}Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z$

где је $[X,Y]$ Лијева заграда. Риманов тензор кривине је тензорско поље типа $(1,3)$.Шаблон:Sfn

Ричијева кривина

Фиксирајмо конексију $\mathrm{\nabla }$ на $M$. Ричијев тензор кривине је

$Ric(X,Y)=\mathrm{tr}(Z\mapsto R(Z,X)Y)$

где је $\mathrm{tr}$ траг. Ричијев тензор кривине је коваријантно 2-тензорско поље.Шаблон:Sfn

Ајнштајнове многострукости

Ричијев тензор кривине $Ric$ игра дефинишућу улогу у теорији Ајнштајнових многострукости, која има примене у проучавању гравитације. (Псеудо-)Риманова метрика $g$ се назива Ајнштајнова метрика ако Ајнштајнова једначина

$Ric=\lambda g$ за неку константу $\lambda$

важи, а (псеудо-)Риманова многострукост чија је метрика Ајнштајнова назива се Ајнштајнова многострукост.Шаблон:Sfn Примери Ајнштајнових многострукости укључују еуклидски простор, $n$-сферу, хиперболички простор и комплексни пројективни простор са Фубини-Штуди метриком.

Константна кривина и просторне форме

За Риманову многострукост се каже да има константну кривину Шаблон:Mvar ако је свака секциона кривина једнака броју Шаблон:Mvar. Ово је еквивалентно услову да се, у односу на било коју координатну карту, Риманов тензор кривине може изразити преко метричког тензора као

$R_{ijkl}=\kappa (g_{il}{g}_{jk}-g_{ik}{g}_{jl}).$

Ово имплицира да је Ричијева кривина дата са Шаблон:Math и да је скаларна кривина Шаблон:Math, где је Шаблон:Mvar димензија многострукости. Конкретно, свака Риманова многострукост константне кривине је Ајнштајнова многострукост, чиме има константну скаларну кривину. Као што је открио Бернхард Риман у свом предавању из 1854. године којим је увео Риманову геометрију, локално дефинисана Риманова метрика

$\frac{d{x}_1^2+\cdots +d{x}_n^2}{(1+\frac{\kappa }{4}(x_1^2+\cdots +x_n^2){)}^2}$

има константну кривину Шаблон:Mvar. Било које две Риманове многострукости исте константне кривине су локално изометричне, и одатле следи да се свака Риманова многострукост константне кривине Шаблон:Mvar може покрити координатним картама у односу на које метрика има горњи облик.Шаблон:Sfnm

Риманова просторна форма је Риманова многострукост са константном кривином која је додатно повезана и геодезијски комплетна. За Риманову просторну форму се каже да је сферна просторна форма ако је кривина позитивна, еуклидска просторна форма ако је кривина нула, и хиперболичка просторна форма или хиперболичка многострукост ако је кривина негативна. У било којој димензији, сфера са својом стандардном Римановом метриком, еуклидски простор и хиперболички простор су Риманове просторне форме константне кривине Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math респективно. Штавише, Килинг-Хопфова теорема каже да је свака просто повезана сферна просторна форма хомотетична сфери, свака просто повезана еуклидска просторна форма хомотетична еуклидском простору, и свака просто повезана хиперболичка просторна форма хомотетична хиперболичком простору.Шаблон:Sfnm

Користећи конструкцију наткривајуће многострукости, свака Риманова просторна форма је изометрична количничкој многострукости просто повезане Риманове просторне форме, модуло одређено дејство групе изометрија. На пример, група изометрија Шаблон:Mvar-сфере је ортогонална група Шаблон:Math. Дата било која коначна подгрупа Шаблон:Mvar исте у којој само јединична матрица поседује Шаблон:Math као сопствену вредност, природно дејство групе ортогоналне групе на Шаблон:Mvar-сферу ограничава се на дејство групе Шаблон:Mvar, при чему количничка многострукост Шаблон:Math наслеђује геодезијски комплетну Риманову метрику константне кривине Шаблон:Math. До на хомотетију, свака сферна просторна форма настаје на овај начин; ово у великој мери своди проучавање сферних просторних форми на проблеме у теорији група. На пример, ово се може користити да се директно покаже да је свака сферна просторна форма парне димензије хомотетична стандардној метрици или на сфери или на реалном пројективном простору. Постоји много више сферних просторних форми непарне димензије, иако су познати алгоритми за њихову класификацију. Листа тродимензионалних сферних просторних форми је бесконачна али експлицитно позната, и укључује просторе сочива и Поенкареов додекаедарски простор.Шаблон:Sfnm

Случај еуклидских и хиперболичких просторних форми се такође може свести на теорију група, засновану на проучавању групе изометрија еуклидског простора и хиперболичког простора. На пример, класа дводимензионалних еуклидских просторних форми укључује Риманове метрике на Клајновој боци, Мебијусовој траци, торусу, цилиндру Шаблон:Math, заједно са еуклидском равни. За разлику од случаја дводимензионалних сферних просторних форми, у неким случајевима две структуре просторне форме на истој многострукости нису хомотетичне. Случај дводимензионалних хиперболичких просторних форми је још компликованији, и има везе са Тајхмилеровим простором. У три димензије, еуклидске просторне форме су познате, док геометрија хиперболичких просторних форми у три и више димензија остаје област активног истраживања позната као хиперболичка геометрија.Шаблон:Sfnm

Риманове метрике на Лијевим групама

Лево-инваријантне метрике на Лијевим групама

Нека је Шаблон:Mvar Лијева група, као што је група ротација у тродимензионалном простору. Користећи структуру групе, сваки скаларни производ на тангентном простору у идентитету (или било ком другом одређеном тангентном простору) може се транспортовати на све остале тангентне просторе како би се дефинисала Риманова метрика. Формално, дат скаларни производ Шаблон:Math на тангентном простору у идентитету, скаларни производ на тангентном простору у произвољној тачки Шаблон:Mvar дефинише се са

$g_p(u,v)=g_e(d{L}_{p^{-1}}(u),d{L}_{p^{-1}}(v)),$

где је за произвољно Шаблон:Mvar, Шаблон:Math пресликавање левог множења Шаблон:Math које шаље тачку Шаблон:Mvar у Шаблон:Math. Риманове метрике конструисане на овај начин су лево-инваријантне; десно-инваријантне Риманове метрике би се могле конструисати слично коришћењем пресликавања десног множења.

Леви-Чивита конексија и кривина опште лево-инваријантне Риманове метрике могу се експлицитно израчунати преко Шаблон:Math, адјунговане репрезентације од Шаблон:Mvar, и Лијеве алгебре повезане са Шаблон:Mvar.Шаблон:Sfnm Ове формуле се значајно поједностављују у специјалном случају Риманове метрике која је би-инваријантна (то јест, истовремено лево- и десно-инваријантна).Шаблон:Sfnm Све лево-инваријантне метрике имају константну скаларну кривину.

Лево- и би-инваријантне метрике на Лијевим групама су важан извор примера Риманових многострукости. Бержеове сфере, конструисане као лево-инваријантне метрике на специјалној унитарној групи SU(2), су међу најједноставнијим примерима феномена колапсирања, у којем просто повезана Риманова многострукост може имати малу запремину без велике кривине.Шаблон:Sfnm Оне такође дају пример Риманове метрике која има константну скаларну кривину али која није Ајнштајнова, па чак ни паралелне Ричијеве кривине.Шаблон:Sfnm Хиперболички простор се може обдарити структуром Лијеве групе у односу на коју је метрика лево-инваријантна.Шаблон:НапоменаШаблон:Sfnm Свака би-инваријантна Риманова метрика на Лијевој групи има ненегативну секциону кривину, што даје разноврсност таквих метрика: Лијева група се може обдарити би-инваријантном Римановом метриком ако и само ако је производ компактне Лијеве групе са абеловом Лијевом групом.Шаблон:Sfnm

Хомогени простори

За Риманову многострукост Шаблон:Math се каже да је хомогена ако за сваки пар тачака Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar, постоји нека изометрија Шаблон:Mvar Риманове многострукости која шаље Шаблон:Mvar у Шаблон:Mvar. Ово се може преформулисати језиком дејстава група као захтев да је природно дејство групе изометрија транзитивно. Свака хомогена Риманова многострукост је геодезијски комплетна и има константну скаларну кривину.Шаблон:Sfnm

До на изометрију, све хомогене Риманове многострукости настају следећом конструкцијом. Дата Лијева група Шаблон:Mvar са компактном подгрупом Шаблон:Mvar која не садржи ниједну нетривијалну нормалну подгрупу од Шаблон:Mvar, фиксирајмо било који комплементарни потпростор Шаблон:Mvar Лијеве алгебре од Шаблон:Mvar унутар Лијеве алгебре од Шаблон:Mvar. Ако је овај потпростор инваријантан под линеарним пресликавањем Шаблон:Math за сваки елемент Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar, тада су Шаблон:Mvar-инваријантне Риманове метрике на простору косета Шаблон:Math у један-на-један кореспонденцији са оним скаларним производима на Шаблон:Mvar који су инваријантни под Шаблон:Math за сваки елемент Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar.Шаблон:Sfnm Свака таква Риманова метрика је хомогена, при чему се Шаблон:Mvar природно посматра као подгрупа пуне групе изометрија.

Горњи пример Лијевих група са лево-инваријантним Римановим метрикама јавља се као веома специјалан случај ове конструкције, наиме када је Шаблон:Mvar тривијална подгрупа која садржи само јединични елемент. Прорачуни Леви-Чивита конексије и кривине који су тамо наведени могу се генерализовати на овај контекст, где су сада прорачуни формулисани у терминима скаларног производа на Шаблон:Mvar, Лијеве алгебре од Шаблон:Mvar, и директне декомпозиције суме Лијеве алгебре од Шаблон:Mvar на Лијеву алгебру од Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar.Шаблон:Sfnm Ово своди проучавање кривине хомогених Риманових многострукости у великој мери на алгебарске проблеме. Ова редукција, заједно са флексибилношћу горње конструкције, чини класу хомогених Риманових многострукости веома корисном за конструисање примера.

Симетрични простори

За повезану Риманову многострукост Шаблон:Math се каже да је симетрична ако за сваку тачку Шаблон:Mvar од Шаблон:Mvar постоји нека изометрија многострукости са Шаблон:Mvar као фиксном тачком и за коју је негација диференцијала у Шаблон:Mvar идентитетско пресликавање. Сваки Риманов симетричан простор је хомоген, и последично је геодезијски комплетна и има константну скаларну кривину. Међутим, Риманови симетрични простори такође имају много јаче својство кривине које не поседује већина хомогених Риманових многострукости, наиме да су Риманов тензор кривине и Ричијева кривина паралелни. За Риманове многострукости са овим својством кривине, које би се слободно могло назвати „константан Риманов тензор кривине” (не мешати са константном кривином), каже се да су локално симетричне. Ово својство скоро карактерише симетричне просторе; Ели Картан је доказао 1920-их да локално симетрична Риманова многострукост која је геодезијски комплетна и просто повезана мора заправо бити симетрична.Шаблон:Sfnm

Многи од фундаменталних примера Риманових многострукости су симетрични. Најосновнији укључују сферу и реалне пројективне просторе са њиховим стандардним метрикама, заједно са хиперболичким простором. Комплексни пројективни простор, кватернионски пројективни простор и Кејлијева раван су аналогони реалног пројективног простора који су такође симетрични, као што су комплексни хиперболички простор, кватернионски хиперболички простор и Кејлијев хиперболички простор, који су уместо тога аналогони хиперболичког простора. Грасмaнове многострукости такође носе природне Риманове метрике које их чине симетричним просторима. Међу Лијевим групама са лево-инваријантним Римановим метрикама, оне које су би-инваријантне су симетричне.Шаблон:Sfnm

На основу њихове алгебарске формулације као специјалне врсте хомогених простора, Картан је постигао експлицитну класификацију симетричних простора који су иредуцибилни, што се односи на оне који се не могу локално разложити као простори производа. Сваки такав простор је пример Ајнштајнове многострукости; међу њима само једнодимензионалне многострукости имају нулту скаларну кривину. Ови простори су важни из перспективе Риманове холономије. Као што је открио Марсел Берже 1950-их, свака Риманова многострукост која је просто повезана и иредуцибилна је или симетричан простор или има Риманову холономију која припада листи од само седам могућности. Шест од седам изузетака од симетричних простора у Бержеовој класификацији спада у поља Келерове геометрије, кватернион-Келерове геометрије, G₂ геометрије и Spin(7) геометрије, од којих свака проучава Риманове многострукости опремљене одређеним додатним структурама и симетријама. Седми изузетак је проучавање 'генеричких' Риманових многострукости без посебне симетрије, што се огледа у максималној могућој групи холономије.Шаблон:Sfnm

Бесконачнодимензионалне многострукости

Изјаве и теореме изнад су за коначнодимензионалне многострукости — многострукости чије карте пресликавају у отворене подскупове од ${ℝ}^n.$ Оне се могу проширити, до одређеног степена, на бесконачнодимензионалне многострукости; то јест, многострукости које су моделоване према тополошком векторском простору; на пример, Фрешеове, Банахове и Хилбертове многострукости.

Дефиниције

Риманове метрике се дефинишу на начин сличан коначнодимензионалном случају. Међутим, постоји разлика између два типа Риманових метрика:

• Слаба Риманова метрика на $M$ је глатка функција $g:TM\times TM\to ℝ,$ таква да је за свако $x\in M$ рестрикција $g_x:T_{x}M\times T_{x}M\to ℝ$ скаларни производ на $T_{x}M.$
• Јака Риманова метрика на $M$ је слаба Риманова метрика таква да $g_x$ индукује топологију на $T_{x}M$. Ако је $g$ јака Риманова метрика, тада $M$ мора бити Хилбертова многострукост.

Примери

• Ако је $(H,⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ Хилбертов простор, тада за свако $x\in H,$ може се идентификовати $H$ са $T_{x}H.$ Метрика $g_x(u,v)=⟨u,v⟩$ за све $x,u,v\in H$ је јака Риманова метрика.
• Нека је $(M,g)$ компактна Риманова многострукост и означимо са $\mathrm{Diff}(M)$ њену групу дифеоморфизама. Ово последње је глатка многострукост и заправо, Лијева група. Њено тангентно раслојавање у идентитету је скуп глатких векторских поља на $M.$ Нека је $\mu$ форма запремине на $M.$ $L^2$ слаба Риманова метрика на $\mathrm{Diff}(M)$, означена са $G$, дефинише се на следећи начин. Нека $f\in \mathrm{Diff}(M),$ $u,v\in T_f\mathrm{Diff}(M).$ Тада за $x\in M,u(x)\in T_{f(x)}M$,

  $G_f(u,v)={\int }_M{g}_{f(x)}(u(x),v(x))d\mu (x)$.

Структура метричког простора

Дужина кривих и Риманова функција растојања $d_g:M\times M\to [0,\mathrm{\infty })$ дефинишу се на начин сличан коначнодимензионалном случају. Функција растојања $d_g$, названа геодезијско растојање, увек је псеудометрика (метрика која не раздваја тачке), али можда неће бити метрика.Шаблон:Sfn У коначнодимензионалном случају, доказ да Риманова функција растојања раздваја тачке користи постојање прекомпактног отвореног скупа око било које тачке. У бесконачном случају, отворени скупови више нису прекомпактни, па доказ не важи.

• Ако је $g$ јака Риманова метрика на $M$, тада $d_g$ раздваја тачке (стога је метрика) и индукује оригиналну топологију.
• Ако је $g$ слаба Риманова метрика, $d_g$ може не успети да раздвоји тачке. Заправо, може чак бити идентички 0.Шаблон:Sfn На пример, ако је $(M,g)$ компактна Риманова многострукост, тада $L^2$ слаба Риманова метрика на $\mathrm{Diff}(M)$ индукује ишчезавајуће геодезијско растојање.Шаблон:Sfn

Хопф-Риновљева теорема

У случају јаких Риманових метрика, један део коначнодимензионалне Хопф-Риновљеве теореме и даље важи.

Теорема: Нека је $(M,g)$ јака Риманова многострукост. Тада метричка комплетност (у метрици $d_g$) имплицира геодезијску комплетност.

Међутим, геодезијски комплетна јака Риманова многострукост можда није метрички комплетна и може имати затворене и ограничене подскупове који нису компактни. Даље, јака Риманова многострукост за коју су сви затворени и ограничени подскупови компактни можда није геодезијски комплетна.

Ако је $g$ слаба Риманова метрика, тада ниједан појам комплетности не имплицира други генерално.

Види још

• Глатка многострукост
• Риманова геометрија
• Финслерова многострукост
• Суб-Риманова многострукост
• Псеудо-Риманова многострукост
• Метрички тензор
• Хермитска многострукост
• Симплектичка многострукост
• Келерова многострукост
• Ајнштајнова многострукост

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal

Спољашње везе

• Шаблон:Springer