Ојлерова карактеристика

Извор: testwiki
Пређи на навигацију Пређи на претрагу

У математици, а тачније у алгебарској топологији и полиедарској комбинаторици, Ојлерова карактеристика (у појединим гранама математике понекад реферисана и само као карактеристика или Ојлеров број — не треба мешати са Ојлеровом константом, на коју се, такође, често реферише као на Ојлеров број) је инваријантна вредност која зависи од тополошког облика и особина објекта који описује. Најчешће се обележава малим грчким словом χ (хи). Назив захваљује Леонарду Ојлеру, познатом швајцарском математичару и физичару.

Оригинално се употребљавала у геометрији за описивање полиедара, али је своју примену пронашла у топологији и касније у теорији графова. То је наведено за платонска тела 1537. године у необјављеном рукопису Франческа Мауролика.[1] Леонард Ојлер, по коме је концепт добио име, увео га је генерално за конвексне полиедре, али није успео да ригорозно докаже да је он инваријанта. У савременој математици, Ојлерова карактеристика произилази из хомологије и, апстрактније, хомолошке алгебре.[2][3][4][5]

Ојлерова карактеристика у геометрији и топологији

Троугао има Ојлерову карактеристику 1.

Ојлерова карактеристика геометријске фигуре у геометрији означава суму χ=T−I+P, где је -{T}- број темена фигуре, -{I}- број ивица а -{P}- број пљосни дате фигуре. Управо овај идентитет[6] је први доказао Ојлер.

Јасно, сваки троугао има карактеристику 1 (3 темена, 3 ивице и једна пљосан). Одавде следи да и свака раванска фигура има Ојлерову карактеристику 1 (свака фигура у равни се може триангулисати[7], тј. разложити на више мањих троуглова — сада се спајањем два троугла по заједничкој ивици карактеристика не мења, јер се број темена повећава за 1, број ивица за 2, а број пљосни за 1). Како се и сваки полиедар може разложити на ланац повезаних полиедара, то је карактеристика целог полиедра управо 2 (настављањем полиедара један на други се карактеристика не мења, слично као малопре, али се при додавању „последњег” полиедра број ивица и темена не мења, а добија се додатна пљосан).[8] Уопштено, за правилан полиедар са -{n}- „рупа” важи да му је карактеристика -{2(1-n)}- (нпр. торус је карактеристике 0). Испод је дата табела неких конвексних и неких неконвексних тродимензионалних геометријских фигура са својим карактеристикама.

Назив Слика Конвексност Број темена
(-{T}-) 		Број ивица
(-{I}-) 		Број пљосни
(-{P}-) 		Карактеристика
Тетраедар конвексан 4 6 6 2
Хексаедар
(коцка) 		конвексан 8 12 6 2
Октаедар конвексан 6 12 8 2
Додекаедар конвексан 20 30 12 2
Икосаедар конвексан 12 30 20 2
Тетрахемихексаедар конкаван 6 12 7 1
Октахемиоктаедар конкаван 12 24 12 0
Мали звездасти додекаедар конкаван 12 30 12 -6
Велики звездасти додекаедар конкаван 20 30 12 2

Слично као у геометрији се дефинише Ојлерова карактеристика и у топологији. Испод се налази табела са неким тополошким облицима са својим карактеристикама.

Назив Слика Конвексност Карактеристика
Сфера конвексан 2
Торус конкаван 0
Дупли (дворупи)
торус 		конкаван -2
Трорупи торус конкаван -4

Ојлерова карактеристика у теорији графова

Пример планарног графа. Као и сви остали планарни графови, и овај је Ојлерове карактеристике 2.

Ојлерова карактеристика планарног графа -{G}- у теорији графова је резултат χ=|V(G)|−|E(G)|+f(G′), где је -{V(G)}- скуп чворова графа -{G}-, -{E(G)}- скуп грана графа -{G}-, а -{f(G’)}- број области на које планарно утапање -{G’}- графа -{G}- раздељује раван Шаблон:Math својим гранама и чворовима.

Може се показати да сви планарни графови имају Ојлерову карактеристику 2 (у теорији графова је ово тврђење познато као Ојлерова теорема[9]). У општем случају ће важити, за произвољан граф -{G}-, χ=|V(G)|−|E(G)|+f(G′)=1+ω(G), где је -{ω(G)}- број компоненти повезаности графа -{G}-.

Испод је дата табела са неколико графова и њиховим карактеристикама.

Граф G Број чворова G
(|V(G)|) 		Број грана G
(|E(G)|) 		Број области G
(f(G')) 		Број компоненти
повезаности G (ω(G)) 		Карактеристика G Напомена
6 6 2 1 2
12 18 8 1 2 Иако се граф на први поглед не чини планарним, ипак јесте (могуће је „извући” поједине гране у „спољашњост” како се не би секле са осталима).
21 27 10 3 4

Види још

Референце

Шаблон:Reflist

Литература

Шаблон:Литература


Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Commons category

Шаблон:Нормативна контрола

  1. ↑ Шаблон:Cite book
  2. ↑ Шаблон:Cite book
  3. ↑ Шаблон:Cite book
  4. ↑ Шаблон:Cite journal
  5. ↑ Шаблон:Cite journal
  6. ↑ Шаблон:Cite web
  7. ↑ Шаблон:Cite web
  8. ↑ Шаблон:Cite web
  9. ↑ Шаблон:Cite web
Преузето из „https://sr.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Ојлерова_карактеристика&oldid=7104”