Сфера

Модел сфере. Тамноплавим линијама је извучена мрежа, која покрива ову површ. Сама сфера на слици је транспарентно-бела, што је уочљиво делимичном видљивошћу мреже на њеној сакривеној страни.

Сфера (Шаблон:Etymology) у математици примарно означава површину у тродимензионом простору. У том смислу се може дефинисати као геометријско место тачака у простору, чије је растојање од дате тачке -{O}- константно и износи -{r}-. Притом се -{O}- назива центром сфере, а -{r}- њеним полупречником. Део простора, којег сфера ограничава се назива лоптом.

Сфера је основни објекат у многим областима математике. Сфере и готово сферични облици се такође појављују у природи и индустрији. Мехурићи као што су мехурићи сапуна у равнотежи попримају сферни облик. Земља се у географији често апроксимира као сфера, а небеска сфера је важан појам у астрономији. Произведени предмети, укључујући посуде под притиском и већина закривљених огледала и сочива, засновани су на сферама. Сфере се глатко котрљају у било ком правцу, тако да је већина лопти које се користе у спорту и играчкама сферичне, као и куглични лежајеви.

Геометријски гледано, сфера се може формирати ротирањем круга за пола обртаја око осе која сече центар круга, или ротацијом полукруга за један пун обрт око осе која се поклапа (или истовремено) са правом ивицом полукруга.

Једначине сфере

Сфера се у Декартовом координатном систему може представити једначином:

$(x-x_c{)}^2+(y-y_c{)}^2+(z-z_c{)}^2=r^2$,

где је тачка -{C}- = (-{x}-_-{c}-, -{y}-_-{c}-, -{z}-_-{c}-) центар сфере, а -{r}- њен полупречник.

Координате из ове једначине се могу разложити и на појединачне компоненте:

$x=x_c+r\sin \theta \cos \phi$

$y=y_c+r\sin \theta \sin \phi (0\le \phi \le 2\pi ;0\le \theta \le \pi )$

$z=z_c+r\cos \theta$

Особине

Површина сфере је дефинисана њеним полупречником, и износи:

$S=4\pi r^2$

Иако је сфера као површ шупља, она у простору ограничава одређену запремину, која се такође може дефинисати полупречником те сфере, и износи:

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Затворена запреминаШаблон:Anchor

Сфера и описани цилиндар

У три димензије, запремина унутар сфере (тј. запремина лопте, али се класично назива запремина сфере) је

$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{\pi }{6}{d}^3\approx 0.5236\cdot d^3$

где је Шаблон:Mvar полупречник а Шаблон:Mvar пречник сфере. Архимед је први извео ову формулу показујући да је запремина унутар сфере двоструко већа од запремине између сфере и описаног цилиндра те сфере (имају висину и пречник једнаке пречнику сфере). Ово се може доказати уписивањем конуса у полусферу, уз напомену да је површина попречног пресека конуса плус површина попречног пресека сфере иста као и површина попречног пресека описаног цилиндра, и применом Кавалијеријевог принципа. Ова формула се такође може извести коришћењем интегралног рачуна, односно интеграције дискова да се саберу запремине бесконачног броја кружних дискова бесконачно мале дебљине наслаганих један поред другог и центрираних дуж Шаблон:Mvar-осе од Шаблон:Math до Шаблон:Math, под претпоставком да је сфера полупречника Шаблон:Mvar је центрирана у координатном почетку.

Шаблон:Collapse top На било ком датом Шаблон:Mvar, инкрементална запремина (Шаблон:Mvar) једнака је производу површине попречног пресека диска у Шаблон:Mvar и његове дебљине (Шаблон:Mvar):

$\delta V\approx \pi y^2\cdot \delta x.$

Укупна запремина је збир свих инкременталних запремина:

$V\approx \sum \pi y^2\cdot \delta x.$

У лимиту како се Шаблон:Mvar приближава нули, ова једначина постаје:

$V=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\pi y^{2}dx.$

У било ком датом Шаблон:Mvar, правоугли троугао повезује Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar са исходиштем; дакле, примена Питагорине теореме даје:

$y^2=r^2-x^2.$

Коришћење ове замене даје

$V=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\pi (r^2-x^2)dx,$

који се може проценити да би дао резултат

$V=\pi {[r^{2}x-\frac{x^3}{3}]}_{-r}^r=\pi (r^3-\frac{r^3}{3})-\pi (-r^3+\frac{r^3}{3})=\frac{4}{3}\pi r^3.$

Алтернативна формула се налази помоћу сферних координата, са елементом запремине

$dV=r^2\sin \theta drd\theta d\phi$

тако да је

$V=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{r}{\int }}r{\text{'}}^2\sin \theta d{r}^{\prime }d\theta d\phi =2\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{r}{\int }}r{\text{'}}^2\sin \theta d{r}^{\prime }d\theta =4\pi \underset{0}{\overset{r}{\int }}r{\text{'}}^{2}d{r}^{\prime }=\frac{4}{3}\pi r^3.$

За већину практичних сврха, запремина унутар сфере уписане у коцку може се апроксимирати као 52,4% запремине коцке, пошто је Шаблон:Math, где је Шаблон:Mvar пречник сфере и такође дужина странице коцке и Шаблон:Sfrac ≈ 0,5236. На пример, сфера пречника 1Шаблон:Spaces-{m}- има 52,4% запремине коцке са дужином ивице 1Шаблон:Spaces-{m}-, или око 0,524 -{m}-³.

ПовршинаШаблон:Anchor

Површина сфере полупречника Шаблон:Mvar је:

$A=4\pi r^2.$

Архимед је први извео ову формулу из чињенице да пројекција на бочну површину описаног цилиндра очувава површину. Други приступ добијању формуле долази из чињенице да је она једнака деривату формуле за запремину у односу на Шаблон:Mvar, јер се укупна запремина унутар сфере полупречника Шаблон:Mvar може сматрати збиром површине бесконачног броја сферних шкољки бесконачно мале дебљине концентрично наслаганих једна унутар друге од полупречника 0 до полупречника Шаблон:Mvar. При инфинитезималној дебљини, неслагање између унутрашње и спољашње површине било које дате шкољке је инфинитезимално мало, а елементарна запремина на радијусу Шаблон:Mvar је једноставно производ површине на радијусу Шаблон:Mvar и бесконачно мале дебљине.

Шаблон:Collapse top На било ком датом полупречнику Шаблон:Mvar,Шаблон:NoteTag инкрементална запремина (Шаблон:Mvar) једнака је производу површине на полупречнику Шаблон:Mvar (Шаблон:Math) и дебљине љуске (Шаблон:Mvar):

$\delta V\approx A(r)\cdot \delta r.$

Укупна запремина је збир свих запремина шкољке:

$V\approx \sum A(r)\cdot \delta r.$

У лимиту како се Шаблон:Mvar приближава нули ова једначина постаје:

$V=\underset{0}{\overset{r}{\int }}A(r)dr.$

Заменом Шаблон:Mvar се добија:

$\frac{4}{3}\pi r^3=\underset{0}{\overset{r}{\int }}A(r)dr.$

Диференцирање обе стране ове једначине у односу на Шаблон:Mvar даје Шаблон:Mvar као функцију Шаблон:Mvar:

$4\pi r^2=A(r).$

Ово се углавном скраћено записује као:

$A=4\pi r^2,$

где се Шаблон:Mvar сада сматра фиксним полупречником сфере.

Алтернативно, елемент површине на сфери је дат у сферним координатама са Шаблон:Math. У Декартовим координатама, елемент површине је

$dS=\frac{r}{\sqrt{r^2-\sum _{i\ne k}{x}_i^2}}\prod _{i\ne k}d{x}_i,\mathrm{\forall }k.$

Укупна површина се тако може добити интеграцијом:

$A=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{r}^2\sin \theta d\theta d\phi =4\pi r^2.$

Сфера има најмању површину од свих површина које обухватају дату запремину, а обухвата највећу запремину међу свим затвореним површинама са датом површином. Сфера се стога појављује у природи: на пример, мехурићи и мале капи воде су отприлике сферне, јер површински напон локално минимизира површину.

Површина у односу на масу лопте назива се специфична површина и може се изразити из горе наведених једначина као

$\mathrm{S}\mathrm{S}\mathrm{A}=\frac{A}{V\rho }=\frac{3}{r\rho },$

где је Шаблон:Mvar густина (однос масе и запремине).

Уопштење сфере

Сфера се може уопштити и на друге просторе и метрике, осим -{R³}-, следећи њену основну дефиницију да се ради о геометријском месту тачака, подједнако удаљеним од једне централне тачке. Пример њене примене у неком другом простору је нпр. у -{R²}-, где је она заправо кружница.

Види још

• Сферни координатни систем
• Лопта
• Хиперсфера

Литература

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.
• Шаблон:Cite book.
• Gal, Shmuel and Bachelis, Boris. An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
• Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2nd ed. Penguin Books, London. (2000). Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite journal (1996).
• Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton University Press. (1998). Reprint edition (2002): Шаблон:Cite book.
• Needham, Tristan, "Preface"" to Visual Complex Analysis. Oxford University Press, (1999). Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Citation
• O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, "Trigonometric functions", MacTutor History of Mathematics archive. (1996).
• O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, "Madhava of Sangamagramma" Шаблон:Wayback, MacTutor History of Mathematics archive. (2000).
• Pearce, Ian G., "Madhava of Sangamagramma" Шаблон:Wayback, MacTutor History of Mathematics archive. (2002).
• Шаблон:Citation
• Weisstein, Eric W., "Tangent" from MathWorld, accessed 21 January 2006.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• Mathematica/Uniform Spherical Distribution
• Surface area of sphere proof