Гринова функција

Гринова функција -{G(x,x')}- је решење линеарне диференцијалне једначине облика: $D_{x}G(x,x^{\prime })=\delta (x-x^{\prime }),$ где је -{D_x }- диференцијални оператор, а -{δ(x-x')}- Делта функција. Може се рећи да је Гринова функција одговор система на јединичну побуду.

Гринове функције су добиле назив по британском математичару Џорџу Грину који их је увео у математику 1830-их година. Метод Гринових функција има примењују у математици и физици при решавању разних врста диференцијалних једначина.

Особине

Гринова функција није једнозначно одређена. За њено одређивање потребно је додати одређени гранични услов, а најчешће се наметају Дирихлеов или Нојманов гранични услов.

• Дирихлеов гранични услов захтева да Гринова функција на граници буде једнака нули. Последица оваквог захтева је да је Гринова функција симетрична по $\overrightarrow{r}$ и $\overrightarrow{r^{\prime }}$, тј. да је $G(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r^{\prime }})=G(\overrightarrow{r^{\prime }},\overrightarrow{r}).$
• Нојманов гранични услов подразумева да је извод Гринове функције у правцу нормале једнак $-\frac{4\pi }{S}$.

Поасонова једначина

Гринова функција за Поасонову једначину:

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }G(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r^{\prime }})=-4\pi {\delta }^{(3)}(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})$

има опште решење:

$G(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r^{\prime }})=\frac{1}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}|}+F(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r^{\prime }}),$

где је $F(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r^{\prime }})$ решење хомогене диференцијалне једначине: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }F(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r^{\prime }})=0$

Метод Гринових функција

Метод Гринових функција се уводи за решавање диференцијалних нехомогених једначина које су линеарне. Метод се састоји у томе да се аналогна једначина увођењем Гринове функције уместо почетне решава за јединичну побуду уместо за нехомоген део, и онда се укупно решење добија суперпозицијом, што је еквивалентно Хајгенсоновом принципу у таласима и оптици.

Пример

Стационарна Шредингерова једначина има облик:

$(\mathrm{\Delta }+k_0^2){\mathrm{\Psi }}^{(n)}(\overrightarrow{r})=J^{(n)}(\overrightarrow{r}),$

где је $J^{(n)}(\overrightarrow{r})$ позната функција.

Ова једначина се може решити методом Гринових функција. Дакле, решавамо аналогну једначину с тим што непознату функцију замењујемо Гриновом функцијом, а нехомоген део с десне стране једначине замењујемо Делта функцијом.

$(\mathrm{\Delta }+k_0^2)G(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r^{\prime }})=\delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}).$

Таласна функција преко Гринове функције је изражена као:

${\mathrm{\Psi }}^{(n)}(\overrightarrow{r})=\int G(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r^{\prime }})J^{(n)}(\overrightarrow{r^{\prime }})d^3{r}^{\prime },$

што се може лако проверити убацивањем у почетну једначину.

Како су сви чланови у једначини са Гриновом функцијом инваријантни на транслације, то ни Гринова функција не зависи експлицитно од координата:

$G(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r^{\prime }})=G(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }}),$

а једначина се може решити развојем у Фуријеов интеграл:

$G(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r^{\prime }})=G(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})=\frac{1}{(2\pi {)}^3}\int c(\overrightarrow{k})e^{ik(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r^{\prime }})}{d}^{3}k,$

где коефицијенте у развоју добијамо преко инверзног Фуријеовог интеграла.

Види још

• Диференцијална једначина