Коши-Шварцова неједнакост

Коши-Шварцова неједнакост, позната и као неједнакост Коши-Шварц-Буњаковског, корисна је неједнакост која се примењује у многим областима математике као што су линеарна алгебра, анализа, теорија вероватноће и друге. Сматра се једном од најважнијих неједнакости у математици.

Неједнакост за суме открио је Шаблон:Harvs, док је одговарајућу неједнакост за интеграле први доказао Шаблон:Harvs. Интегралну неједнакост нешто касније је открио, независно од Буњаковског, и Шаблон:Harvs.

Исказ неједнакости

Коши-Шварцова неједнакост тврди да за све векторе $u$ и $v$ унитарног векторског простора важи

$|⟨𝐮,𝐯⟩{|}^2\le ⟨𝐮,𝐮⟩\cdot ⟨𝐯,𝐯⟩,$

где $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ представља унутрашњи производ. Еквивалентно, кореновањем обе стране претходне неједнакости, уз коришћење норме вектора, неједнакост се може записати у облику

$|⟨𝐮,𝐯⟩|\le \Vert 𝐮\Vert \Vert 𝐯\Vert .$

Специјално, једнакост важи ако и само ако су $𝐮$ и $𝐯$ линеарно зависни (што значи да су паралелни: један од вектора $u$ и $v$ је нула вектор, или представља скаларни умножак другог).

Ако је $u_1,\dots ,u_n\in ℂ$ и $v_1,\dots ,v_n\in ℂ$, и унутрашњи производ је стандардни комплексни унутрашњи производ, тада се неједнакост може експлицитно изразити на следећи начин (где црта изнад означава комплексну конјугацију):

$|u_1{\overline{v}}_1+\cdots +u_n{\overline{v}}_n{|}^2\le (|u_1{|}^2+\cdots +|u_n{|}^2)(|v_1{|}^2+\cdots +|v_n{|}^2),$

односно

${\left|\sum _{i=1}^n{u}_i{\overline{v}}_i\right|}^2\le \sum _{j=1}^n|u_j{|}^2\sum _{k=1}^n|v_k{|}^2.$

Докази

Први доказ

Нека су $u$ и $v$ произвољни вектори векторског простора над $𝔽$ са унутрашњим производом, где је $𝔽$ поље реалних или комплексних бројева. Желимо да докажемо неједнакост

$|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert ,$

као и да једнакост важи ако и само ако је један од вектора $u$ и $v$ скаларни умножак другог (специјално, (бар) један од вектора је нула вектор).

Ако је $v=0$, јасно је да тада важи једнакост, а такође и да су $u$ и $v$ линеарно зависни (без обзира на вектор $u$), тако да закључујемо да у овом случају тврђење важи. Аналогно се показује за случај $u=0$. Претпоставимо стога да $v$ није нула вектор.

Нека је

$z=u-\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}v.$

Тада, због линеарности унутрашњег производа по првом аргументу, имамо да је

$⟨z,v⟩=⟨u-\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}v,v⟩=⟨u,v⟩-\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}⟨v,v⟩=0.$

Одавде следи да је вектор $z$ ортогоналан на $v$ (заиста, $z$ је пројекција вектора $u$ на раван ортогоналну на $v$). Стога можемо да применимо Питагорину теорему на

$u=\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}v+z$,

што нам даје

$\Vert u{\Vert }^2={\left|\frac{⟨u,v⟩}{⟨v,v⟩}\right|}^2\Vert v{\Vert }^2+\Vert z{\Vert }^2=\frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{(\Vert v{\Vert }^2{)}^2}\Vert v{\Vert }^2+\Vert z{\Vert }^2=\frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{\Vert v{\Vert }^2}+\Vert z{\Vert }^2\ge \frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{\Vert v{\Vert }^2},$

одакле, након множења са $\Vert v{\Vert }^2$ и узимања квадратног корена обе стране, добијамо Коши-Шварцову неједнакост. Додатно, ако у претходном изразу уместо $\ge$ важи једнакост, тада је $\Vert z{\Vert }^2=0$, односно $z=0$; тада нам дефиниција вектора $z$ даје линеарну зависност вектора $u$ и $v$.

Са друге стране, ако су $u$ и $v$ линеарно зависни, тада постоји $\lambda \in 𝔽$ тако да је $u=\lambda \cdot v$ (јер је $v\ne 0$). Тада имамо

$|⟨u,v⟩|=|⟨\lambda \cdot v,v⟩|=|\lambda \Vert v{\Vert }^2|=|\lambda |\Vert v{\Vert }^2=\Vert \lambda \cdot v\Vert \Vert v\Vert =\Vert u\Vert \Vert v\Vert .$

Овиме је тврђење доказано.

Други доказ

Нека су $u$ и $v$ произвољни вектори унитарног векторског простора над $ℂ$.

У специјалном случају $v=0$ тврђење тривијално важи. Претпоставимо сада да је $v\ne 0$. Нека је $\lambda \in ℂ$ дато са $\lambda =\frac{⟨u,v⟩}{\Vert v{\Vert }^2}$. Тада је

$\begin{array}{cc}0& \le \Vert u-\lambda \cdot v{\Vert }^2\\ & =⟨u,u⟩-⟨\lambda \cdot v,u⟩-⟨u,\lambda \cdot v⟩+⟨\lambda \cdot v,\lambda \cdot v⟩\\ & =⟨u,u⟩-\lambda ⟨v,u⟩-\bar{\lambda }⟨u,v⟩+\lambda \bar{\lambda }⟨v,v⟩\\ & =\Vert u{\Vert }^2-\lambda \overline{⟨u,v⟩}-\bar{\lambda }⟨u,v⟩+\lambda \bar{\lambda }\Vert v{\Vert }^2\\ & =\Vert u{\Vert }^2-\frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{\Vert v{\Vert }^2}-\frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{\Vert v{\Vert }^2}+\frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{\Vert v{\Vert }^2}\\ & =\Vert u{\Vert }^2-\frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{\Vert v{\Vert }^2}.\end{array}$

Дакле, имамо да важи $0\le \Vert u{\Vert }^2-\frac{|⟨u,v⟩{|}^2}{\Vert v{\Vert }^2}$, oдносно $|⟨u,v⟩|\le \Vert u\Vert \Vert v\Vert$, што је и требало доказати.

Ако у претходној неједнакости заправо важи једнакост, онда је $\Vert u-\lambda \cdot v\Vert =0$, односно $u-\lambda \cdot v=0$, одакле следи да су $u$ и $v$ линеарно зависни. Са друге стране, ако су $u$ и $v$ линеарно зависни, тада се као у првом доказу добија да важи $|⟨u,v⟩|=\Vert u\Vert \Vert v\Vert$.

Више доказа

Постоји још много различитих доказа Коши-Шварцове неједнакости. При разматрању других извора, често долази до забуне из два разлога. Прво, неки аутори дефинишу Шаблон:Math као оператор који је линеаран по другом аргументу, уместо по првом. Друго, неки докази важе само у случају када се ради над пољем $ℝ$, а не $ℂ$.

Специјални случајеви

Титуова лема

Титуова лема (названа по математичару имена Titu Andreescu, позната још и као Т2 лема, Енгелова форма, или Седракјанова неједнакост) тврди да за позитивне реалне бројеве важи

$\frac{{\left(\sum _{i=1}^n{u}_i\right)}^2}{\sum _{i=1}^n{v}_i}\le \sum _{i=1}^n\frac{u_i^2}{v_i}.$

Ова лема је директна последица Коши-Шварцове неједнакости, добијена сменом ${u_i}^{\prime }=\frac{u_i}{\sqrt{v_i}}$ и ${v_i}^{\prime }=\sqrt{v_i}.$ Овај облик посебно је користан када се у неједнакости појављује разломак чији је бројилац потпун квадрат.

R² (стандардни дводимензионални простор)

У обичном дводимензионалном простору са скаларним производом, нека је $u=(u_1,u_2)$ и $v=(v_1,v_2)$. Коши-Шварцова неједнакост тада има облик

$⟨u,v{⟩}^2=(\Vert u\Vert \Vert v\Vert \cos \theta {)}^2\le \Vert u{\Vert }^2\Vert v{\Vert }^2,$

где је $\theta$ угао између вектора $u$ и $v.$

Овај облик је вероватно и најједноставнији за разумевање неједнакости, с обзиром да квадрат косинуса може бити највише 1, а то се дешава када су вектори истог или супротног смера (дакле, када су линеарно зависни). Претходна неједнакост може се расписати и преко координата вектора $u_1,u_2,v_1$ и $v_2$, чиме се добија

$(u_1{v}_1+u_2{v}_2{)}^2\le (u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2),$

при чему једнакост важи ако и само ако је вектор $(u_1,u_2)$ истог или супротног смера у односу на вектор $(v_1,v_2),$ или ако је један од њих нула вектор.

Rⁿ (n-димензионални еуклидски простор)

У еуклидском простору ${ℝ}^n$ са стандардним унутрашњим производом, Коши-Шварцова неједнакост гласи

${\left(\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{u}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{v}_i^2\right).$

У овом случају, дата неједнакост се може доказати и помоћу елементарне алгебре. Наиме, посматрајмо следећи квадратни полином по $x$:

$0\le (u_{1}x+v_1{)}^2+\cdots +(u_{n}x+v_n{)}^2=(\sum u_i^2)x^2+2(\sum u_i{v}_i)x+\sum v_i^2.$

Како је дати квадратни полином ненегативан, он може имати највише један реалан корен, одакле следи да је његова дискриминанта мања или једнака нули. Дакле,

${(\sum (u_i{v}_i))}^2-\sum u_i^2\sum v_i^2\le 0,$

одакле непосредно следи Коши-Шварцова неједнакост.

L²

За унутрашњи производ простора квадратно интеграбилних функција са комплексним вредностима важи

${|\underset{{ℝ}^n}{\int }f(x)\overline{g(x)}dx|}^2\le \underset{{ℝ}^n}{\int }|f(x){|}^{2}dx\underset{{ℝ}^n}{\int }|g(x){|}^{2}dx.$

Уопштење овога представља Хелдерова неједнакост.

Примене

Анализа

Неједнакост троугла за стандардну норму често се наводи као последица Коши-Шварцове неједнакости. Наиме, ако су дати вектори $x$ и $y$, имамо да важи:

$\begin{array}{cc}\Vert x+y{\Vert }^2& =⟨x+y,x+y⟩\\ & =\Vert x{\Vert }^2+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+\Vert y{\Vert }^2\\ & =\Vert x{\Vert }^2+2\mathrm{Re}⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2\\ & \le \Vert x{\Vert }^2+2|⟨x,y⟩|+\Vert y{\Vert }^2\\ & \le \Vert x{\Vert }^2+2\Vert x\Vert \Vert y\Vert +\Vert y{\Vert }^2\\ & =(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert {)}^2.\end{array}$

Узимањем квадратног корена обе стране неједнакости добијамо управо неједнакост троугла:

$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$

Коши-Шварцова неједнакост се користи и да се докаже да је унутрашњи производ непрекидна функција, узимајући у обзир топологију која је индукована самим унутрашњим производом.

Геометрија

Коши-Шварцова неједнакост омогућава да се појам угла између два вектора уопшти на било који реални простор са унутрашњим производом тако што се дефинише

$\cos {\theta }_{xy}=\frac{⟨x,y⟩}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }.$

Помоћу Коши-Шварцове неједнакости доказује се да је дата дефиниција добра, тако што се покаже да вредност израза са десне стране припада интервалу [−1, 1], и оправдава се тврђење да (реални) Хилбертови простори заправо представљају генерализацију еуклидског простора. Горенаведена једнакост може се користити и за дефинисање угла у комплексним просторима са унутрашњим производом, узимањем модула или реалног дела десне стране.

Теорија вероватноће

Нека су X и Y случајне променљиве. Тада за њихову коваријансу важи неједнакост:

$\mathrm{Var}(Y)\ge \frac{(\mathrm{Cov}(Y,X){)}^2}{\mathrm{Var}(X)},$

где $\mathrm{Var}$ означава варијансу, а $\mathrm{Cov}$ коваријансу датих случајних променљивих.

Дефинисањем унутрашњег производа на скупу случајних променљивих помоћу очекивања њиховог производа:

$⟨X,Y⟩:=\mathrm{E}(XY),$

Коши-Шварцова неједнакост постаје

$|\mathrm{E}(XY){|}^2\le \mathrm{E}(X^2)\mathrm{E}(Y^2).$

Да бисмо доказали неједнакост за коваријансу помоћу Коши-Шварцове неједнакости, означимо $\mu =\mathrm{E}(X)$ и $\nu =\mathrm{E}(Y)$; тада је

$\begin{array}{cc}|\mathrm{Cov}(X,Y){|}^2& =|\mathrm{E}((X-\mu )(Y-\nu )){|}^2\\ & =|⟨X-\mu ,Y-\nu ⟩{|}^2\\ & \le ⟨X-\mu ,X-\mu ⟩⟨Y-\nu ,Y-\nu ⟩\\ & =\mathrm{E}((X-\mu {)}^2)\mathrm{E}((Y-\nu {)}^2)\\ & =\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y).\end{array}$

Уопштења

Постоје разна уопштења Коши-Шварцове неједнакости. Хелдерова неједнакост представља њено уопштење на $L^p$ норме. Још општије, ова неједнакост може се интерпретирати као специјалан случај дефиниције норме линеарног оператора у Банаховом простору (конкретно, када је простор Хилбертов). Даље генерализације су у контексту теорије оператора, на пример за алгебре оператора у којима су домен и/или кодомен замењени са C*-алгебром или W*-алгебром.

Унутрашњи производ се може користити за дефинисање позитивног линеарног функционала. На пример, ако је дат Хилбертов простор $L^2(m)$, где је $m$ коначна мера, помоћу стандардног унутрашњег производа може се дефинисати позитивни функционал $\phi$ са $\phi (g)=⟨g,1⟩$. Обратно, сваки позитивни линеарни функционал $\phi$ на $L^2(m)$ може се користити за дефинисање унутрашњег производа: $⟨f,g{⟩}_{\phi }:=\phi (g^{*}f)$, где $g^{*}$ представља тачка по тачка комплексни конјугат од $g$. У овом случају Коши-Шварцова неједнакост постаје

$|\phi (g^{*}f){|}^2\le \phi (f^{*}f)\phi (g^{*}g),$

што се уопштава на позитивне функционале у C*-алгебрама:

Теорема (Коши-Шварцова неједнакост за позитивне функционале на C*-алгебрама): Ако је $\phi$ позитивни линеарни функционал на C*-алгебри $𝒜,$ онда за све $a,b\in 𝒜$ важи

$|\phi (b^{*}a){|}^2\le \phi (b^{*}b)\phi (a^{*}a)$.

Наредне две теореме представљају даља уопштења Коши-Шварцове неједнакости у алгебри оператора.

Теорема (Кадисон-Шварцова неједнакост, названа по Ричарду Кадисону): Ако је $\phi$ унитална позитивна мапа, тада за сваки нормални елемент $a$ из њеног домена важи

$\phi (a^{*}a)\ge \phi (a^{*})\phi (a)$ и $\phi (a^{*}a)\ge \phi (a)\phi (a^{*})$.

Одавде следи чињеница да је $\phi (a^{*}a)\cdot 1\ge \phi (a{)}^{*}\phi (a)=|\phi (a){|}^2$, уколико је $\phi$ линеарни функционал. Случај када је $a$ самоадјунгован, тј. $a=a^{*},$ се некад назива Кадисонова неједнакост.

Теорема (Модификована Шварцова неједнакост за 2-позитивне мапе): Ако је $\phi$ 2-позитивна мапа између C*-алгебри, тада за све $a,b$ из њеног домена важи:

$\phi (a{)}^{*}\phi (a)\le \Vert \phi (1)\Vert \phi (a^{*}a)\text{ и }$

$\Vert \phi (a^{*}b){\Vert }^2\le \Vert \phi (a^{*}a)\Vert \cdot \Vert \phi (b^{*}b)\Vert .$

Још једно уопштење се добија интерполацијом обе стране Коши-Шварцове неједнакости:

Теорема (Неједнакост Калебаута): За реалне бројеве $0⩽s⩽t⩽1$ важи:

$(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{)}^2⩽\sum _{i=1}^n{a}_i^{1+s}{b}_i^{1-s}\sum _{i=1}^n{a}_i^{1-s}{b}_i^{1+s}⩽\sum _{i=1}^n{a}_i^{1+t}{b}_i^{1-t}\sum _{i=1}^n{a}_i^{1-t}{b}_i^{1+t}⩽\sum _{i=1}^n{a}_i^2\sum _{i=1}^n{b}_i^2.$

Ово се лако доказујe коришћењем Хелдерове неједнакости.

Види још

• Јенсенова неједнакост
• Неједнакост Минковског
• Беселова неједнакост

Литература

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Citation

Спољашње везе

• Earliest Uses: The entry on the Cauchy–Schwarz inequality has some historical information.
• Example of application of Cauchy–Schwarz inequality to determine Linearly Independent Vectors Tutorial and Interactive program.