Аполонијев проблем

Слика 1: Решење (љубичасто) Аполонијевог проблема. Задати кругови су приказани црном бојом.

Слика 2: Четири комплементарна пара решења Аполонијевог проблема; задати кругови су црни.

У еуклидској геометрији равни, Аполонијев проблем је конструкција кругова који су тангентни на три задата круга у равни (Слика 1). Аполоније из Перге (Шаблон:Circa) поставио је и решио овај чувени проблем у свом делу Шаблон:Lang (Шаблон:Lang, „Додири”); ово дело је изгубљено, али је извештај о његовим резултатима из 4. века нове ере, који је написао Папус, сачуван. Три задата круга генерички имају осам различитих кругова који су тангентни на њих (Слика 2), пар решења за сваки начин поделе три задата круга у два подскупа (постоје 4 начина да се скуп кардиналности 3 подели на 2 дела).

У 16. веку, Адријан ван Ромен је решио проблем користећи пресеке хипербола, али ово решење користи методе које нису ограничене на конструкције лењиром и шестаром. Франсоа Вијет је пронашао решење помоћу лењира и шестара искоришћавањем граничних случајева: било који од три задата круга може се смањити на нулти полупречник (тачку) или проширити на бесконачни полупречник (праву). Вијетов приступ, који користи једноставније граничне случајеве за решавање сложенијих, сматра се веродостојном реконструкцијом Аполонијеве методе. Методу Ван Ромена поједноставио је Исак Њутн, који је показао да је Аполонијев проблем еквивалентан проналажењу позиције на основу разлика њених растојања до три познате тачке. Ово има примену у навигационим и системима за позиционирање као што је LORAN.

Каснији математичари увели су алгебарске методе, које геометријски проблем трансформишу у алгебарске једначине. Ове методе су поједностављене искоришћавањем симетрија инхерентних Аполонијевом проблему: на пример, кругови решења се генерички јављају у паровима, при чему једно решење обухвата задате кругове које друго искључује (Слика 2). Жозеф Дијаз Жергон искористио је ову симетрију да пружи елегантно решење лењиром и шестаром, док су други математичари користили геометријске трансформације попут инверзије у односу на круг да поједноставе конфигурацију задатих кругова. Ови развоји пружају геометријски оквир за алгебарске методе (користећи Лијеву геометрију сфере) и класификацију решења према 33 суштински различите конфигурације задатих кругова.

Аполонијев проблем подстакао је много даљег рада. Проучавана су уопштења на три димензије — конструкција сфере тангентне на четири задате сфере — и више. Конфигурација три међусобно тангентна круга добила је посебну пажњу. Рене Декарт је дао формулу која повезује полупречнике кругова решења и задатих кругова, данас познату као Декартова теорема. Итеративно решавање Аполонијевог проблема у овом случају води до Аполонијеве мреже, која је један од најранијих фрактала описаних у штампи, и важна је у теорији бројева преко Фордових кругова и Харди-Литлвудовог кружног метода.

Поставка проблема

Општа поставка Аполонијевог проблема је конструкција једног или више кругова који су тангентни на три задата објекта у равни, при чему објекат може бити права, тачка или круг било које величине. Ови објекти могу бити распоређени на било који начин и могу се пресецати; међутим, обично се узима да су различити, што значи да се не поклапају. Решења Аполонијевог проблема понекад се називају Аполонијеви кругови, иако се тај термин користи и за друге типове кругова повезаних са Аполонијем.

Својство тангентности (додира) дефинише се на следећи начин. Прво, тачка, права или круг се сматрају тангентним сами на себе; стога, ако је задати круг већ тангентан на друга два задата објекта, он се рачуна као решење Аполонијевог проблема. За два различита геометријска објекта каже се да се секу ако имају заједничку тачку. По дефиницији, тачка је тангентна на круг или праву ако их пресеца, то јест, ако лежи на њима; дакле, две различите тачке не могу бити тангентне. Ако је угао између правих или кругова у тачки пресека нула, каже се да су тангентни; тачка пресека назива се тачка додира или тачка тангенције. У пракси, два различита круга су тангентна ако се секу у само једној тачки; ако се секу у нула или две тачке, нису тангентни. Исто важи и за праву и круг. Две различите праве не могу бити тангентне у равни, иако се две паралелне праве могу сматрати тангентним у бесконачној тачки у инверзивној геометрији (види испод поглавље Инверзивне методе).

Круг решења може бити или интерно (изнутра) или екстерно (споља) тангентан на сваки од задатих кругова. Екстерни додир је онај где се два круга савијају један од другог у тачки контакта; леже на супротним странама тангентне праве у тој тачки и искључују један другог. Растојање између њихових центара једнако је збиру њихових полупречника. Насупрот томе, интерни додир је онај у којем се два круга криве на исти начин у тачки контакта; два круга леже на истој страни тангентне праве, а један круг обухвата други. У овом случају, растојање између њихових центара једнако је разлици њихових полупречника. Као илустрација, на Слици 1, ружичасти круг решења је интерно тангентан на средњи црни задати круг десно, док је екстерно тангентан на најмањи и највећи задати круг лево.

Аполонијев проблем се такође може формулисати као проблем лоцирања једне или више тачака таквих да су разлике њихових растојања до три задате тачке једнаке трима познатим вредностима. Размотримо круг решења полупречника r_s и три задата круга полупречника r₁, r₂ и r₃. Ако је круг решења екстерно тангентан на сва три задата круга, растојања између центра круга решења и центара задатих кругова једнака су Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap, респективно. Стога су разлике ових растојања константе, као што је Шаблон:Nowrap; оне зависе само од познатих полупречника задатих кругова, а не од полупречника r_s круга решења, који се поништава. Ова друга формулација Аполонијевог проблема може се уопштити на интерно тангентне кругове решења (за које је растојање центар-центар једнако разлици полупречника), променом одговарајућих разлика растојања у збирове растојања, тако да се полупречник круга решења r_s поново поништава. Реформулација у смислу растојања центар-центар корисна је у решењима испод Адријана ван Ромена и Исака Њутна, као и у хиперболичком позиционирању или трилатерацији, што је задатак лоцирања позиције на основу разлика у растојањима до три познате тачке. На пример, навигациони системи као што је LORAN идентификују позицију пријемника на основу разлика у временима доласка сигнала са три фиксне позиције, што одговара разликама у растојањима до тих предајника.

Историја

Развијен је богат репертоар геометријских и алгебарских метода за решавање Аполонијевог проблема, који је назван „најпознатијим од свих” проблема геометрије. Оригинални приступ Аполонија из Перге је изгубљен, али реконструкције су понудили Франсоа Вијет и други, на основу трагова у опису Папуса из Александрије. Прву нову методу решавања објавио је 1596. године Адријан ван Ромен, који је идентификовао центре кругова решења као тачке пресека две хиперболе. Ван Роменову методу усавршио је 1687. године Исак Њутн у свом делу Principia, као и Џон Кејси 1881. године.

Иако успешна у решавању Аполонијевог проблема, метода Ван Ромена има недостатак. Цењено својство у класичној еуклидској геометрији је могућност решавања проблема коришћењем само шестара и лењира. Многе конструкције су немогуће коришћењем само ових алата, као што је подела угла на три једнака дела. Међутим, многи такви „немогући” проблеми могу се решити пресецањем кривих као што су хиперболе, елипсе и параболе (конусни пресеци). На пример, удвостручење коцке (проблем конструкције коцке двоструко веће запремине од задате коцке) не може се урадити само лењиром и шестаром, али је Менехмо показао да се проблем може решити коришћењем пресека две параболе. Стога, Ван Роменово решење — које користи пресек две хиперболе — није утврдило да ли проблем задовољава својство конструкције лењиром и шестаром.

Ван Роменов пријатељ Франсоа Вијет, који је првобитно подстакао Ван Ромена да ради на Аполонијевом проблему, развио је методу која је користила само шестар и лењир. Пре Вијетовог решења, Региомонтан је сумњао да се Аполонијев проблем може решити лењиром и шестаром. Вијет је прво решио неке једноставне специјалне случајеве Аполонијевог проблема, као што је проналажење круга који пролази кроз три задате тачке (што има само једно решење ако су тачке различите); затим је наставио са решавањем сложенијих специјалних случајева, у неким случајевима смањивањем или повећавањем задатих кругова. Према извештају Папуса из 4. века, Аполонијева сопствена књига о овом проблему — насловљена Шаблон:Lang (Шаблон:Lang, „Додири”; латински: De tactionibus, De contactibus) — следила је сличан прогресивни приступ. Стога се Вијетово решење сматра веродостојном реконструкцијом Аполонијевог решења, иако су друге реконструкције независно објавила три различита аутора.

Неколико других геометријских решења Аполонијевог проблема развијено је у 19. веку. Најзначајнија решења су она Жан-Виктора Понселеа (1811) и Жозефа Дијаза Жергона (1814). Док се Понселеов доказ ослања на хомотетичне центре кругова и теорему о потенцији тачке, Жергонова метода користи конјуговани однос између правих и њихових полова у кругу. Методе које користе инверзију круга пионирски је увео Јулијус Петерсен 1879. године; један пример је метода ануларног решења Х. С. М. Коксетера. Други приступ користи Лијеву геометрију сфере, коју је развио Софус Ли.

Алгебарска решења Аполонијевог проблема су у 17. веку пионирски увели Рене Декарт и принцеза Елизабета од Чешке, иако су њихова решења била прилично сложена. Практичне алгебарске методе развили су крајем 18. и у 19. веку неколико математичара, укључујући Леонарда Ојлера, Николаса Фуса, Карла Фридриха Гауса, Лазара Карноа, и Огистена Луја Кошија.

Методе решавања

Пресецање хипербола

Слика 3: Два задата круга (црна) и круг који додирује оба (розе). Растојања центар-центар d₁ и d₂ једнака су Шаблон:Nowrap и Шаблон:Nowrap, респективно, тако да је њихова разлика независна од r_s.

Решење Адријана ван Ромена (1596) заснива се на пресеку две хиперболе. Нека су задати кругови означени као C₁, C₂ и C₃. Ван Ромен је решио општи проблем решавањем једноставнијег проблема, проналажењем кругова који су тангентни на два задата круга, као што су C₁ и C₂. Приметио је да центар круга тангентног на оба задата круга мора лежати на хиперболи чији су фокуси центри задатих кругова. Да бисмо ово разумели, нека су полупречници круга решења и два задата круга означени као r_s, r₁ и r₂, респективно (Слика 3). Растојање d₁ између центара круга решења и C₁ је или Шаблон:Nowrap или Шаблон:Nowrap, у зависности од тога да ли су ови кругови изабрани да буду екстерно или интерно тангентни. Слично, растојање d₂ између центара круга решења и C₂ је или Шаблон:Nowrap или Шаблон:Nowrap, поново у зависности од њихове изабране тангентности. Дакле, разлика Шаблон:Nowrap између ових растојања је увек константа независна од r_s. Ово својство, постојање фиксне разлике између растојања до фокуса, карактерише хиперболе, тако да могући центри круга решења леже на хиперболи. Друга хипербола може се нацртати за пар задатих кругова C₂ и C₃, при чему интерни или екстерни додир решења и C₂ треба изабрати доследно са оним код прве хиперболе. Пресек ове две хиперболе (ако постоји) даје центар круга решења који има изабране интерне и екстерне додире са три задата круга. Потпуни скуп решења Аполонијевог проблема може се наћи разматрањем свих могућих комбинација интерног и екстерног додира круга решења са три задата круга.

Исак Њутн (1687) је усавршио Ван Роменово решење, тако да су центри кругова решења лоцирани на пресецима праве са кругом. Њутн формулише Аполонијев проблем као проблем у трилатерацији: лоцирати тачку Z на основу три задате тачке A, B и C, тако да разлике у растојањима од Z до три задате тачке имају познате вредности. Ове четири тачке одговарају центру круга решења (Z) и центрима три задата круга (A, B и C).

Скуп тачака са константним односом растојања d₁/d₂ до две фиксне тачке је круг.

Уместо решавања за две хиперболе, Њутн уместо тога конструише њихове директрисе. За било коју хиперболу, однос растојања од тачке Z до фокуса A и до директрисе је фиксна константа која се назива ексцентрицитет. Две директрисе се секу у тачки T, и из њихова два позната односа растојања, Њутн конструише праву која пролази кроз T на којој Z мора лежати. Међутим, однос растојања TZ/TA је такође познат; стога, Z такође лежи на познатом кругу, пошто је Аполоније показао да се круг може дефинисати као скуп тачака које имају задати однос растојања до две фиксне тачке. (Узгред, ова дефиниција је основа биполарних координата.) Дакле, решења Аполонијевог проблема су пресеци праве са кругом.

Вијетова реконструкција

Као што је описано испод, Аполонијев проблем има десет специјалних случајева, у зависности од природе три задата објекта, који могу бити круг (К), права (П) или тачка (Т). По обичају, ових десет случајева разликују се по трословним кодовима као што је ККТ. Вијет је решио свих десет случајева користећи само конструкције лењиром и шестаром, и користио је решења једноставнијих случајева за решавање сложенијих.

Слика 4: Додир између кругова је очуван ако се њихови полупречници промене за једнаке износе. Ружичасти круг решења мора се смањити или повећати са интерно тангентним кругом (црни круг десно), док екстерно тангентни кругови (два црна круга лево) раде супротно.

Вијет је почео решавањем случаја ТТТ (три тачке) пратећи метод Еуклида у његовим Елементима. Из тога је извео лему која одговара теореми о потенцији тачке, коју је користио за решавање случаја ПТТ (права и две тачке). Пратећи Еуклида други пут, Вијет је решио случај ППП (три праве) користећи симетрале углова. Затим је извео лему за конструкцију праве нормалне на симетралу угла која пролази кроз тачку, коју је користио за решавање проблема ППТ (две праве и тачка). Ово чини прва четири случаја Аполонијевог проблема, оне који не укључују кругове.

За решавање преосталих проблема, Вијет је искористио чињеницу да се задати кругови и круг решења могу мењати у величини (ширити или скупљати) у тандему уз очување њихових додира (Слика 4). Ако се полупречник круга решења промени за износ Δr, полупречник његових интерно тангентних задатих кругова мора се исто тако променити за Δr, док се полупречник његових екстерно тангентних задатих кругова мора променити за −Δr. Дакле, како се круг решења шири, интерно тангентни задати кругови морају се ширити у тандему, док се екстерно тангентни задати кругови морају скупљати, да би одржали своје додире.

Вијет је користио овај приступ да смањи један од задатих кругова на тачку, чиме је проблем свео на једноставнији, већ решени случај. Прво је решио случај КПП (круг и две праве) смањивањем круга у тачку, претварајући га у случај ППТ. Затим је решио случај КПТ (круг, права и тачка) користећи три леме. Поново смањујући један круг на тачку, Вијет је трансформисао случај ККП у случај КПТ. Затим је решио случај КТТ (круг и две тачке) и случај ККТ (два круга и тачка), овај други помоћу две леме. Коначно, Вијет је решио општи случај ККК (три круга) смањивањем једног круга на тачку, претварајући га у случај ККТ.

Алгебарска решења

Аполонијев проблем се може поставити као систем од три једначине за центар и полупречник круга решења. Пошто три задата круга и сваки круг решења морају лежати у истој равни, њихове позиције се могу специфицирати помоћу (x, y) координата њихових центара. На пример, позиције центара три задата круга могу се записати као (x₁, y₁), (x₂, y₂) и (x₃, y₃), док се позиција круга решења може записати као (x_s, y_s). Слично, полупречници задатих кругова и круга решења могу се записати као r₁, r₂, r₃ и r_s, респективно. Захтев да круг решења мора тачно додиривати сваки од три задата круга може се изразити као три спрегнуте квадратне једначине за x_s, y_s и r_s:

${(x_s-x_1)}^2+{(y_s-y_1)}^2={(r_s-s_1{r}_1)}^2$

${(x_s-x_2)}^2+{(y_s-y_2)}^2={(r_s-s_2{r}_2)}^2$

${(x_s-x_3)}^2+{(y_s-y_3)}^2={(r_s-s_3{r}_3)}^2.$

Три броја s₁, s₂ и s₃ на десној страни, названа знаци, могу бити једнака ±1, и одређују да ли жељени круг решења треба да додирује одговарајући задати круг интерно (s = 1) или екстерно (s = −1). На пример, на сликама 1 и 4, ружичасто решење је интерно тангентно на средњи задати круг десно и екстерно тангентно на најмањи и највећи задати круг лево; ако су задати кругови поређани по полупречнику, знаци за ово решење су Шаблон:Nowrap. Пошто се три знака могу изабрати независно, постоји осам могућих скупова једначина Шаблон:Nowrap, а сваки скуп одговара једном од осам типова кругова решења.

Општи систем од три једначине може се решити методом резултанта. Када се измноже, све три једначине имају Шаблон:Nowrap на левој страни и r_s² на десној страни. Одузимањем једне једначине од друге елиминишу се ови квадратни чланови; преостали линеарни чланови могу се преуредити тако да дају формуле за координате x_s и y_s

$x_s=M+N{r}_s$

$y_s=P+Q{r}_s$

где су M, N, P и Q познате функције задатих кругова и избора знакова. Заменом ових формула у једну од почетне три једначине добија се квадратна једначина за r_s, која се може решити квадратном формулом. Замена нумеричке вредности r_s у линеарне формуле даје одговарајуће вредности x_s и y_s.

Знаци s₁, s₂ и s₃ на десним странама једначина могу се изабрати на осам могућих начина, а сваки избор знакова даје до два решења, пошто је једначина за r_s квадратна. Ово би могло сугерисати (нетачно) да постоји до шеснаест решења Аполонијевог проблема. Међутим, због симетрије једначина, ако је (r_s, x_s, y_s) решење, са знацима s_i, онда је то и (−r_s, x_s, y_s), са супротним знацима −s_i, што представља исти круг решења. Стога, Аполонијев проблем има највише осам независних решења (Слика 2). Један начин да се избегне ово двоструко бројање је разматрање само кругова решења са ненегативним полупречником.

Два корена било које квадратне једначине могу бити три могућа типа: два различита реална броја, два идентична реална броја (тј. дегенерисани двоструки корен), или пар конјуговано комплексних корена. Први случај одговара уобичајеној ситуацији; сваки пар корена одговара пару решења која су повезана инверзијом круга, као што је описано испод (Слика 6). У другом случају, оба корена су идентична, што одговара кругу решења који се трансформише у самог себе при инверзији. У овом случају, један од задатих кругова је и сам решење Аполонијевог проблема, а број различитих решења се смањује за један. Трећи случај конјуговано комплексних полупречника не одговара геометријски могућем решењу за Аполонијев проблем, пошто круг решења не може имати имагинарни полупречник; стога се број решења смањује за два. Аполонијев проблем не може имати седам решења, иако може имати било који други број решења од нула до осам.

Лијева геометрија сфере

Исте алгебарске једначине могу се извести у контексту Лијеве геометрије сфере. Та геометрија представља кругове, праве и тачке на јединствен начин, као петодимензионални вектор X = (v, c_x, c_y, w, sr), где је c = (c_x, c_y) центар круга, а r његов (ненегативни) полупречник. Ако r није нула, знак s може бити позитиван или негативан; за визуализацију, s представља оријентацију круга, при чему кругови у смеру супротном од казаљке на сату имају позитиван s, а кругови у смеру казаљке на сату имају негативан s. Параметар w је нула за праву линију, а један иначе.

У овом петодимензионалном свету постоји билинеарни производ сличан скаларном производу:

$(X_1\mid X_2):=v_1{w}_2+v_2{w}_1+{𝐜}_1\cdot {𝐜}_2-s_1{s}_2{r}_1{r}_2.$

Лијева квадрика дефинисана је као они вектори чији је производ са самим собом (њихова квадратна норма) једнак нули, (X|X) = 0. Нека су X₁ и X₂ два вектора која припадају овој квадрици; норма њихове разлике једнака је

$(X_1-X_2\mid X_1-X_2)=2(v_1-v_2)(w_1-w_2)+({𝐜}_1-{𝐜}_2)\cdot ({𝐜}_1-{𝐜}_2)-{(s_1{r}_1-s_2{r}_2)}^2.$

Производ је дистрибутиван у односу на сабирање и одузимање (тачније, он је билинеаран):

$(X_1-X_2\mid X_1-X_2)=(X_1\mid X_1)-2(X_1\mid X_2)+(X_2\mid X_2).$

Пошто је (X₁|X₁) = (X₂|X₂) = 0 (оба припадају Лијевој квадрици) и пошто је w₁ = w₂ = 1 за кругове, производ било која два таква вектора на квадрици једнак је

$-2(X_1\mid X_2)={|{𝐜}_1-{𝐜}_2|}^2-{(s_1{r}_1-s_2{r}_2)}^2.$

где вертикалне црте које обухватају Шаблон:Nowrap представљају дужину тог вектора разлике, тј. еуклидску норму. Ова формула показује да ако су два вектора квадрике X₁ и X₂ ортогонална (нормална) један на други — то јест, ако је (X₁|X₂)Шаблон:Nbsp=Шаблон:Nbsp0 — онда су њихови одговарајући кругови тангентни. Јер ако су два знака s₁ и s₂ иста (тј. кругови имају исту „оријентацију”), кругови су интерно тангентни; растојање између њихових центара једнако је разлици полупречника

${|{𝐜}_1-{𝐜}_2|}^2={(r_1-r_2)}^2.$

Обрнуто, ако су два знака s₁ и s₂ различита (тј. кругови имају супротне „оријентације”), кругови су екстерно тангентни; растојање између њихових центара једнако је збиру полупречника

${|{𝐜}_1-{𝐜}_2|}^2={(r_1+r_2)}^2.$

Стога се Аполонијев проблем може поново формулисати у Лијевој геометрији као проблем проналажења нормалних вектора на Лијевој квадрици; конкретно, циљ је идентификовати векторе решења X_sol који припадају Лијевој квадрици и такође су ортогонални (нормални) на векторе X₁, X₂ и X₃ који одговарају задатим круговима.

$(X_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}}\mid X_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}})=(X_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}}\mid X_1)=(X_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}}\mid X_2)=(X_{\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{l}}\mid X_3)=0$

Предност ове поновне формулације је у томе што се могу искористити теореме из линеарне алгебре о максималном броју линеарно независних, симултано нормалних вектора. Ово даје други начин за израчунавање максималног броја решења и проширење теореме на вишедимензионалне просторе.

Инверзивне методе

Слика 5: Инверзија у односу на круг. Тачка P' је инверзна слика тачке P у односу на круг.

Природно окружење за Аполонијев проблем је инверзивна геометрија. Основна стратегија инверзивних метода је трансформација датог Аполонијевог проблема у други Аполонијев проблем који је једноставнији за решавање; решења оригиналног проблема налазе се из решења трансформисаног проблема поништавањем трансформације. Кандидати за трансформације морају претворити један Аполонијев проблем у други; стога морају трансформисати задате тачке, кругове и праве у друге тачке, кругове и праве, и ни у какве друге облике. Инверзија круга има ово својство и омогућава да се центар и полупречник инверзионог круга пажљиво одаберу. Други кандидати укључују изометрије еуклидске равни; међутим, оне не поједностављују проблем, јер само померају, ротирају и пресликавају оригинални проблем.

Инверзија у кругу са центром O и полупречником R састоји се од следеће операције (Слика 5): свака тачка P пресликава се у нову тачку P' такву да су O, P и P' колинеарне, и производ растојања P и P' до центра O једнак је квадрату полупречника R

$\overline{𝐎𝐏}\cdot \overline{𝐎{𝐏}^{\prime }}=R^2.$

Дакле, ако P лежи изван круга, онда P' лежи унутар, и обрнуто. Када је P исто што и O, каже се да инверзија шаље P у бесконачност. (У комплексној анализи, „бесконачност” се дефинише у смислу Риманове сфере.) Инверзија има корисно својство да се праве и кругови увек трансформишу у праве и кругове, а тачке се увек трансформишу у тачке. Кругови се генерално трансформишу у друге кругове при инверзији; међутим, ако круг пролази кроз центар инверзионог круга, он се трансформише у праву линију, и обрнуто. Важно је да, ако круг сече круг инверзије под правим угловима (сече га нормално), он остаје непромењен инверзијом; трансформише се у самог себе.

Инверзије круга одговарају подскупу Мебијусових трансформација на Римановој сфери. Равански Аполонијев проблем може се пренети на сферу инверзном стереографском пројекцијом; стога се решења раванског Аполонијевог проблема такође односе на његов пандан на сфери. Могућа су и друга инверзивна решења раванског проблема осим уобичајених описаних испод.

Парови решења добијени инверзијом

Слика 6: Конјуговани пар решења Аполонијевог проблема (ружичасти кругови), са задатим круговима у црној боји.

Решења Аполонијевог проблема генерално се јављају у паровима; за сваки круг решења постоји конјуговани круг решења (Слика 6). Један круг решења искључује задате кругове које његово конјуговано решење обухвата, и обрнуто. На пример, на Слици 6, један круг решења (ружичасти, горе лево) обухвата два задата круга (црна), али искључује трећи; насупрот томе, његово конјуговано решење (такође ружичасто, доле десно) обухвата тај трећи задати круг, али искључује друга два. Два конјугована круга решења повезана су инверзијом, према следећем аргументу.

Уопштено, било која три различита круга имају јединствен круг — радикални круг — који их све сече нормално; центар тог круга је радикални центар та три круга. За илустрацију, наранџасти круг на Слици 6 сече црне задате кругове под правим угловима. Инверзија у радикалном кругу оставља задате кругове непромењеним, али трансформише два конјугована ружичаста круга решења један у други. Под истом инверзијом, одговарајуће тачке додира два круга решења трансформишу се једна у другу; за илустрацију, на Слици 6, две плаве тачке које леже на свакој зеленој линији трансформишу се једна у другу. Дакле, линије које повезују ове конјуговане тачке додира су инваријантне при инверзији; стога оне морају пролазити кроз центар инверзије, који је радикални центар (зелене линије које се секу у наранџастој тачки на Слици 6).

Инверзија у кружни прстен

Ако се два од три задата круга не секу, може се изабрати центар инверзије тако да та два задата круга постану концентрична. При овој инверзији, кругови решења морају пасти унутар анулуса (кружног прстена) између два концентрична круга. Стога они припадају двема једнопараметарским породицама. У првој породици (Слика 7), решења не обухватају унутрашњи концентрични круг, већ се окрећу као куглице у лежају у анулусу. У другој породици (Слика 8), кругови решења обухватају унутрашњи концентрични круг. Генерално постоје четири решења за сваку породицу, што даје осам могућих решења, у складу са алгебарским решењем.

Слика 7: Круг решења (ружичасти) у првој породици лежи између концентричних задатих кругова (црни). Двоструки полупречник решења r_s једнак је разлици Шаблон:Nowrap унутрашњег и спољашњег полупречника, док је двоструко растојање центра d_s једнако њиховом збиру.

Слика 8: Круг решења (ружичасти) у другој породици обухвата унутрашњи задати круг (црни). Двоструки полупречник решења r_s једнак је збиру Шаблон:Nowrap унутрашњег и спољашњег полупречника, док је двоструко растојање центра d_s једнако њиховој разлици.

Када су два задата круга концентрична, Аполонијев проблем се може лако решити коришћењем методе Гауса. Полупречници три задата круга су познати, као и растојање d_non од заједничког концентричног центра до неконцентричног круга (Слика 7). Круг решења може се одредити из његовог полупречника r_s, угла θ, и растојања d_s и d_T од његовог центра до заједничког концентричног центра и центра неконцентричног круга, респективно. Полупречник и растојање d_s су познати (Слика 7), а растојање d_T = r_s ± r_non, у зависности од тога да ли је круг решења интерно или екстерно тангентан на неконцентрични круг. Стога, према косинусној теореми,

$\cos \theta =\frac{d_{\mathrm{s}}^2+d_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}}^2-d_{\mathrm{T}}^2}{2d_{\mathrm{s}}{d}_{\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}}}\equiv C_{\pm }.$

Овде је нова константа C дефинисана ради краткоће, са индексом који указује да ли је решење екстерно или интерно тангентно. Једноставно тригонометријско преуређење даје четири решења

$\theta =\pm 2\arctan \left(\sqrt{\frac{1-C}{1+C}}\right).$

Ова формула представља четири решења, која одговарају двама изборима знака за θ, и двама изборима за C. Преостала четири решења могу се добити истом методом, користећи замене за r_s и d_s назначене на Слици 8. Дакле, свих осам решења општег Аполонијевог проблема могу се наћи овом методом.

Било која почетна два раздвојена задата круга могу се учинити концентричним на следећи начин. Конструише се потенцијална оса два задата круга; бирањем две произвољне тачке P и Q на овој потенцијалној оси, могу се конструисати два круга центрирана у P и Q која секу два задата круга ортогонално. Ова два конструисана круга секу се у две тачке. Инверзија у једној таквој тачки пресека F претвара конструисане кругове у праве линије које излазе из F, а два задата круга у концентричне кругове, при чему трећи задати круг постаје други круг (у општем случају). Ово следи јер је систем кругова еквивалентан скупу Аполонијевих кругова, формирајући биполарни координатни систем.

Промена величине и инверзија

Корисност инверзије може се значајно повећати променом величине. Као што је поменуто у Вијетовој реконструкцији, три задата круга и круг решења могу се мењати у величини у тандему уз очување њихових додира. Тако се почетни Аполонијев проблем трансформише у други проблем који може бити лакши за решавање. На пример, четири круга се могу променити тако да се један задати круг смањи на тачку; алтернативно, два задата круга се често могу променити тако да буду тангентни један на други. Треће, задати кругови који се секу могу се променити тако да постану они који се не секу, након чега се може применити метода инверзије у кружни прстен. У свим таквим случајевима, решење оригиналног Аполонијевог проблема добија се из решења трансформисаног проблема поништавањем промене величине и инверзије.

Смањивање једног задатог круга на тачку

У првом приступу, задати кругови се смањују или повећавају (сходно њиховом додиру) док се један задати круг не смањи на тачку P. У том случају, Аполонијев проблем дегенерише у ККТ гранични случај (два круга и тачка), што је проблем проналажења круга решења тангентног на два преостала задата круга који пролази кроз тачку P. Инверзија у кругу центрираном у P трансформише два задата круга у нове кругове, а круг решења у праву. Стога је трансформисано решење права која је тангентна на два трансформисана задата круга. Постоје четири такве праве решења, које се могу конструисати помоћу спољашњих и унутрашњих центара сличности два круга. Поновна инверзија у P и поништавање промене величине трансформише такву праву решења у жељени круг решења оригиналног Аполонијевог проблема. Свих осам општих решења може се добити смањивањем и повећавањем кругова према различитим унутрашњим и спољашњим додирима сваког решења; међутим, различити задати кругови могу се смањити на тачку за различита решења.

Промена величине два задата круга до додира

У другом приступу, полупречници задатих кругова се модификују за одговарајући износ Δr тако да су два од њих тангентна (додирују се). Њихова тачка додира бира се као центар инверзије у кругу који сече сваки од два круга који се додирују на два места. Након инверзије, кругови који се додирују постају две паралелне праве: њихова једина тачка пресека се шаље у бесконачност при инверзији, тако да се не могу састати. Иста инверзија трансформише трећи круг у други круг. Решење инвертованог проблема мора бити или (1) права паралелна двема задатим паралелним правама и тангентна на трансформисани трећи задати круг; или (2) круг константног полупречника који је тангентан на две задате паралелне праве и трансформисани задати круг. Поновна инверзија и подешавање полупречника свих кругова за Δr производи круг решења тангентан на оригинална три круга.

Жергоново решење

Слика 9: Две тангентне праве двеју тачака додира задатог круга секу се на потенцијалној оси R (црвена линија) два круга решења (ружичасти). Три тачке пресека на R су полови правих које повезују плаве тачке додира у сваком задатом кругу (црни).

Жергонов приступ је разматрање кругова решења у паровима. Нека пар кругова решења буде означен као C_A и C_B (ружичасти кругови на Слици 6), и нека њихове тачке додира са три задата круга буду означене као A₁, A₂, A₃, и B₁, B₂, B₃, респективно. Жергоново решење има за циљ да лоцира ових шест тачака, и тако реши проблем за два круга решења.

Жергонов увид био је да ако би се могла конструисати права L₁ тако да су A₁ и B₁ сигурно на њој, те две тачке би се могле идентификовати као тачке пресека L₁ са задатим кругом C₁ (Слика 6). Преостале четири тачке додира биле би лоциране слично, проналажењем правих L₂ и L₃ које садрже A₂ и B₂, односно A₃ и B₃. Да би се конструисала права као што је L₁, морају се идентификовати две тачке које леже на њој; али те тачке не морају бити тачке додира. Жергон је успео да идентификује две друге тачке за сваку од три праве. Једна од две тачке је већ идентификована: потенцијални центар G лежи на све три праве (Слика 6).

Да би лоцирао другу тачку на правама L₁, L₂ и L₃, Жергон је уочио реципрочан однос између тих правих и потенцијалне осе R кругова решења, C_A и C_B. Да бисмо разумели овај реципрочни однос, размотримо две тангентне праве на круг C₁ повучене у његовим тачкама додира A₁ и B₁ са круговима решења; пресек ових тангентних правих је пол тачка праве L₁ у C₁. Пошто су растојања од те пол тачке до тачака додира A₁ и B₁ једнака, ова пол тачка такође мора лежати на потенцијалној оси R кругова решења, по дефиницији (Слика 9). Однос између пол тачака и њихових поларних правих је реципрочан; ако пол од L₁ у C₁ лежи на R, пол од R у C₁ мора обрнуто лежати на L₁. Дакле, ако можемо конструисати R, можемо наћи његов пол P₁ у C₁, што даје потребну другу тачку на L₁ (Слика 10).

Слика 10: Полови (црвене тачке) потенцијалне осе R у три задата круга (црни) леже на зеленим линијама које повезују тачке додира. Ове линије се могу конструисати из полова и потенцијалног центра (наранџасто).

Жергон је пронашао потенцијалну осу R непознатих кругова решења на следећи начин. Било који пар кругова има два центра сличности; ове две тачке су два могућа пресека двеју тангентних правих на два круга. Стога, три задата круга имају шест центара сличности, два за сваки различит пар задатих кругова. Занимљиво је да ових шест тачака леже на четири праве, по три тачке на свакој правој; штавише, свака права одговара потенцијалној оси потенцијалног пара кругова решења. Да би то показао, Жергон је разматрао праве кроз одговарајуће тачке додира на два од задатих кругова, нпр. праву дефинисану са A₁/A₂ и праву дефинисану са B₁/B₂. Нека је X₃ центар сличности за два круга C₁ и C₂; тада су A₁/A₂ и B₁/B₂ парови антихомологних тачака, и њихове праве се секу у X₃. Из тога следи да су производи растојања једнаки

$\overline{X_3{A}_1}\cdot \overline{X_3{A}_2}=\overline{X_3{B}_1}\cdot \overline{X_3{B}_2}$

што имплицира да X₃ лежи на потенцијалној оси два круга решења. Исти аргумент се може применити на друге парове кругова, тако да три центра сличности за три задата круга морају лежати на потенцијалним осама парова кругова решења.

Укратко, жељена права L₁ дефинисана је двема тачкама: потенцијалним центром G три задата круга и полом у C₁ једне од четири праве које повезују центре сличности. Проналажење истог пола у C₂ и C₃ даје L₂ и L₃, респективно; тако се може лоцирати свих шест тачака, из којих се може наћи један пар кругова решења. Понављање овог поступка за преостале три праве центара сличности даје још шест решења, што укупно даје осам решења. Међутим, ако права L_k не сече свој круг C_k за неко k, не постоји пар решења за ту праву центара сличности.

Теорија пресека

Технике модерне алгебарске геометрије, а посебно теорије пресека, могу се користити за решавање Аполонијевог проблема. У овом приступу, проблем се реинтерпретира као исказ о круговима у комплексној пројективној равни. Дозвољена су решења која укључују комплексне бројеве, а дегенерисане ситуације се рачунају са вишеструкошћу. Када се то уради, увек постоји осам решења проблема.

Свака квадратна једначина по Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math одређује јединствену конику, њен скуп нула. Обрнуто, свака коника у комплексној пројективној равни има једначину, и та једначина је јединствена до укупног фактора скалирања (јер скалирање једначине не мења њен скуп нула). Стога се скуп свих коника може параметризовати петодимензионалним пројективним простором Шаблон:Math, где је кореспонденција

$\{[X:Y:Z]\in {𝐏}^2:A{X}^2+BXY+C{Y}^2+DXZ+EYZ+F{Z}^2=0\}\leftrightarrow [A:B:C:D:E:F]\in {𝐏}^5.$

Круг у комплексној пројективној равни дефинише се као коника која пролази кроз две тачке Шаблон:Math и Шаблон:Math, где Шаблон:Math означава квадратни корен из Шаблон:Math. Тачке Шаблон:Math и Шаблон:Math називају се цикличне тачке. Пројективна многострукост свих кругова је подмногострукост од Шаблон:Math која се састоји од оних тачака које одговарају коникама које пролазе кроз цикличне тачке. Замена цикличних тачака у једначину за генеричку конику даје две једначине

$A+Bi-C=0,$

$A-Bi-C=0.$

Узимање збира и разлике ових једначина показује да је еквивалентно наметнути услове

$A=C$ и $B=0$.

Стога је многострукост свих кругова тродимензионални линеарни потпростор од Шаблон:Math. Након скалирања и допуне до потпуног квадрата, ове једначине такође показују да свака коника која пролази кроз цикличне тачке има једначину облика

$(X-aZ{)}^2+(Y-bZ{)}^2=r^2{Z}^2,$

што је хомогенизација уобичајене једначине круга у афиној равни. Стога је проучавање кругова у горе наведеном смислу скоро еквивалентно проучавању кругова у конвенционалном смислу. Једина разлика је у томе што горњи смисао дозвољава дегенерисане кругове који су унија две праве. Недегенерисани кругови називају се глатки кругови, док се дегенерисани називају сингуларни кругови. Постоје два типа сингуларних кругова. Један је унија праве у бесконачности Шаблон:Math са другом правом у пројективној равни (могуће поново правом у бесконачности), а други је унија две праве у пројективној равни, по једна кроз сваку од две цикличне тачке. Ово су лимеси глатких кругова како полупречник Шаблон:Math тежи ка Шаблон:Math и Шаблон:Math, респективно. У овом другом случају, ниједна тачка ни на једној од две праве нема реалне координате осим координатног почетка Шаблон:Math.

Нека је Шаблон:Math фиксни глатки круг. Ако је Шаблон:Math било који други круг, тада се, по дефиницији круга, Шаблон:Math и Шаблон:Math секу у цикличним тачкама Шаблон:Math и Шаблон:Math. Будући да су Шаблон:Math и Шаблон:Math конике, Безуова теорема имплицира да се Шаблон:Math и Шаблон:Math секу у укупно четири тачке, када се те тачке рачунају са одговарајућом пресечном вишеструкошћу. То јест, постоје четири тачке пресека Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math, али неке од ових тачака могу се поклопити. Аполонијев проблем се бави ситуацијом где је Шаблон:Math, што значи да је пресечна вишеструкост у тој тачки Шаблон:Math; ако је Шаблон:Math такође једнако цикличној тачки, ово треба тумачити као да је пресечна вишеструкост Шаблон:Math.

Нека је Шаблон:Math многострукост кругова тангентних на Шаблон:Math. Ова многострукост је квадратни конус у Шаблон:Math свих кругова. Да бисмо ово видели, размотримо кореспонденцију инциденције

$\mathrm{\Phi }=\{(r,C)\in D\times {𝐏}^3:C\text{ је тангентно на }D\text{ у }r\}.$

За криву која је скуп нула једне једначине Шаблон:Math, услов да крива сече Шаблон:Math у Шаблон:Math са вишеструкошћу Шаблон:Math значи да развој у Тејлоров ред функције Шаблон:Math нестаје до реда Шаблон:Math у Шаблон:Math; то је стога Шаблон:Math линеарних услова на коефицијенте од Шаблон:Math. Ово показује да је, за свако Шаблон:Math, влакно од Шаблон:Math над Шаблон:Math Шаблон:Math издвојено двема линеарним једначинама у простору кругова. Последично, Шаблон:Math је иредуцибилно димензије Шаблон:Math. Пошто је могуће приказати круг који је тангентан на Шаблон:Math у само једној тачки, генерички елемент из Шаблон:Math мора бити тангентан у само једној тачки. Стога је пројекција Шаблон:Math која шаље Шаблон:Math у Шаблон:Math бирационални морфизам. Следи да је слика од Шаблон:Math, која је Шаблон:Math, такође иредуцибилна и дводимензионална.

Да бисмо одредили облик Шаблон:Math, фиксирајмо два различита круга Шаблон:Math и Шаблон:Math, не нужно тангентна на Шаблон:Math. Ова два круга одређују прамен, што значи праву Шаблон:Math у Шаблон:Math кругова. Ако су једначине Шаблон:Math и Шаблон:Math Шаблон:Math и Шаблон:Math, респективно, тада тачке на Шаблон:Math одговарају круговима чије су једначине Шаблон:Math, где је Шаблон:Math тачка из Шаблон:Math. Тачке где Шаблон:Math сече Шаблон:Math су управо кругови у прамену који су тангентни на Шаблон:Math.

Постоје две могућности за број тачака пресека. Једна је да је или Шаблон:Math или Шаблон:Math, рецимо Шаблон:Math, једначина за Шаблон:Math. У овом случају, Шаблон:Math је права кроз Шаблон:Math. Ако је Шаблон:Math тангентан на Шаблон:Math, тада је и сваки круг у прамену, и стога је Шаблон:Math садржано у Шаблон:Math. Друга могућност је да ни Шаблон:Math ни Шаблон:Math нису једначина за Шаблон:Math. У овом случају, функција Шаблон:Math је количник квадратних функција, од којих ниједна не нестаје идентички. Стога она нестаје у две тачке и има полове у две тачке. То су тачке у Шаблон:Math и Шаблон:Math, респективно, рачунате са вишеструкошћу и са одузетим цикличним тачкама. Рационална функција одређује морфизам Шаблон:Math степена два. Влакно над Шаблон:Math је скуп тачака Шаблон:Math за које је Шаблон:Math. То су управо тачке у којима круг чија је једначина Шаблон:Math сече Шаблон:Math. Тачке гранања овог морфизма су кругови тангентни на Шаблон:Math. Према Риман-Хурвицовој формули, постоје тачно две тачке гранања, и стога Шаблон:Math сече Шаблон:Math у две тачке. Заједно, ове две могућности за пресек Шаблон:Math и Шаблон:Math показују да је Шаблон:Math квадратни конус. Сви такви конуси у Шаблон:Math су исти до промене координата, тако да ово потпуно одређује облик Шаблон:Math.

Да закључимо аргумент, нека су Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math три круга. Ако је пресек Шаблон:Math коначан, тада има степен Шаблон:Math, и стога постоји осам решења Аполонијевог проблема, рачунатих са вишеструкошћу. Да бисмо доказали да је пресек генерички коначан, размотримо кореспонденцију инциденције

$\mathrm{\Psi }=\{(D_1,D_2,D_3,C)\in ({𝐏}^3{)}^4:C\text{ је тангентан на све }{D}_i\}.$

Постоји морфизам који пројектује Шаблон:Math на његов последњи фактор од Шаблон:Math. Влакно над Шаблон:Math је Шаблон:Math. Ово има димензију Шаблон:Math, тако да Шаблон:Math има димензију Шаблон:Math. Пошто Шаблон:Math такође има димензију Шаблон:Math, генеричко влакно пројекције од Шаблон:Math на прва три фактора не може имати позитивну димензију. Ово доказује да генерички постоји осам решења рачунатих са вишеструкошћу. Пошто је могуће приказати конфигурацију где је осам решења различито, генеричка конфигурација мора имати свих осам решења различитих.

Полупречници

У генеричком проблему са осам кругова решења, реципрочне вредности полупречника четири круга решења дају исти збир као и реципрочне вредности полупречника друга четири круга решења.

Специјални случајеви

Десет комбинација тачака, кругова и правих

Аполонијев проблем је конструкција једног или више кругова тангентних на три задата објекта у равни, који могу бити кругови, тачке или праве. Ово доводи до десет типова Аполонијевог проблема, по један који одговара свакој комбинацији кругова, правих и тачака, који се могу означити са три слова, било К (круг), П (права) или Т (тачка), да би се означило да ли су задати елементи круг, права или тачка, респективно (Табела 1). Као пример, тип Аполонијевог проблема са задатим кругом, правом и тачком означава се као КПТ.

Неки од ових специјалних случајева су много лакши за решавање од општег случаја три задата круга. Два најједноставнија случаја су проблеми цртања круга кроз три задате тачке (ТТТ) или тангентног на три праве (ППП), које је први решио Еуклид у својим Елементима. На пример, проблем ТТТ може се решити на следећи начин. Центар круга решења је подједнако удаљен од све три тачке, и стога мора лежати на симетрали дужи било које две тачке. Дакле, центар је тачка пресека било које две симетрале дужи. Слично, у случају ППП, центар мора лежати на правој која полови угао у три тачке пресека између три задате праве; дакле, центар лежи у тачки пресека две такве симетрале угла. Пошто постоје две такве симетрале у свакој тачки пресека три задате праве, постоје четири решења за општи ППП проблем (уписани и приписани кругови троугла који формирају три праве).

Тачке и праве могу се посматрати као специјални случајеви кругова; тачка се може сматрати кругом бесконачно малог полупречника, а права се може сматрати бесконачно великим кругом чији је центар такође у бесконачности. Из ове перспективе, општи Аполонијев проблем је конструкција кругова тангентних на три задата круга. Девет других случајева који укључују тачке и праве могу се посматрати као гранични случајеви општег проблема. Ови гранични случајеви често имају мање решења од општег проблема; на пример, замена задатог круга задатом тачком преполовљује број решења, пошто се тачка може тумачити као инфинитезимални круг који је или интерно или екстерно тангентан.

Табела 1: Десет типова Аполонијевог проблема

Индекс	Код	Задати елементи	Број решења (у општем случају)	Пример (решење ружичасто; задати објекти црни)
1	ТТТ	три тачке	1
2	ПТТ	једна права и две тачке	2
3	ППТ	две праве и тачка	2
4	КТТ	један круг и две тачке	2
5	ППП	три праве	4
6	КПТ	један круг, једна права и тачка	4
7	ККТ	два круга и тачка	4
8	КПП	један круг и две праве	8
9	ККП	два круга и једна права	8
10	ККК	три круга (класични проблем)	8

Број решења

Слика 11: Аполонијев проблем без решења. Круг решења (ружичасти) морао би да пређе преко испрекиданог задатог круга (црни) да би додирнуо оба друга задата круга (такође црна).

Проблем бројања решења за различите типове Аполонијевог проблема припада области енумеративне геометрије. Општи број решења за сваки од десет типова Аполонијевог проблема дат је у Табели 1 изнад. Међутим, посебни распореди задатих елемената могу променити број решења. За илустрацију, Аполонијев проблем нема решења ако један круг раздваја друга два (Слика 11); да би додирнуо оба пуна задата круга, круг решења би морао да пређе преко испрекиданог задатог круга; али то не може да учини ако треба да додирне испрекидани круг тангентно. Обрнуто, ако су три задата круга сви тангентни у истој тачки, тада је сваки круг тангентан у истој тачки решење; такви Аполонијеви проблеми имају бесконачан број решења. Ако су било који од задатих кругова идентични, такође постоји бесконачност решења. Ако су само два задата круга идентична, постоје само два различита задата круга; центри кругова решења формирају хиперболу, као што се користи у једном решењу Аполонијевог проблема.

Исцрпно набрајање броја решења за све могуће конфигурације три задата круга, тачке или праве први је предузео Мјурхед 1896. године, иако су ранији рад обавили Штол и Штуди. Међутим, Мјурхедов рад био је непотпун; проширен је 1974. године а дефинитивно набрајање, са 33 различита случаја, објављено је 1983. године. Иако се решења Аполонијевог проблема генерално јављају у паровима повезаним инверзијом, у неким случајевима могућ је непаран број решења, нпр. једно решење за ТТТ, или када су један или три од задатих кругова и сами решења. (Пример овог другог дат је у одељку о Декартовој теореми.) Међутим, не постоје Аполонијеви проблеми са седам решења. Алтернативна решења заснована на геометрији кругова и сфера развијена су и коришћена у вишим димензијама.

Међусобно тангентни задати кругови: Содијеви кругови и Декартова теорема

Ако су три задата круга међусобно тангентна, Аполонијев проблем има пет решења. Три решења су сами задати кругови, пошто је сваки тангентан на самог себе и на друга два задата круга. Преостала два решења (приказана црвеном бојом на Слици 12) одговарају уписаним и описаним круговима, и називају се Содијеви кругови. Овај специјални случај Аполонијевог проблема познат је и као проблем четири новчића. Три задата круга овог Аполонијевог проблема чине Штајнеров ланац тангентан на два Содијева круга.

Слика 12: Два решења (црвена) Аполонијевог проблема са међусобно тангентним задатим круговима (црни), означена својим закривљеностима.

Било који Содијев круг, када се узме заједно са три задата круга, производи скуп од четири круга који су међусобно тангентни у шест тачака. Полупречници ова четири круга повезани су једначином познатом као Декартова теорема. У писму из 1643. принцези Елизабети од Чешке, Рене Декарт је показао да

$(k_1+k_2+k_3+k_s{)}^2=2(k_1^2+k_2^2+k_3^2+k_s^2)$

где су k_s = 1/r_s и r_s закривљеност и полупречник круга решења, респективно, и слично за закривљености k₁, k₂ и k₃ и полупречнике r₁, r₂ и r₃ три задата круга. За сваки скуп од четири међусобно тангентна круга, постоји други скуп од четири међусобно тангентна круга који су тангентни у истих шест тачака.

Шаблон:AnchorДекартову теорему независно су поново открили 1826. године Јакоб Штајнер, 1842. године Филип Бикрофт, и поново 1936. године Фредерик Соди. Соди је објавио своја открића у научном часопису Nature као песму, The Kiss Precise (Прецизан пољубац), чије су прве две строфе преведене испод. Прва строфа описује Содијеве кругове, док друга строфа даје Декартову теорему. У Содијевој песми, за два круга се каже да се „љубе” ако су тангентни, док се израз „bend” (савијање) односи на закривљеност k круга.

Разна проширења Декартове теореме извео је Данијел Пидо.

Уопштења

Аполонијев проблем се може проширити на конструкцију свих кругова који секу три задата круга под прецизним углом θ, или под три специфицирана угла пресека θ₁, θ₂ и θ₃; обичан Аполонијев проблем одговара специјалном случају у којем је угао пресека нула за сва три задата круга. Друго уопштење је дуал првог проширења, наиме, конструкција кругова са три специфицирана тангенцијална растојања од три задата круга.

Слика 13: Симетрична Аполонијева мрежа, такође названа Лајбницово паковање, по њеном проналазачу Готфриду Лајбницу.

Аполонијев проблем се може проширити са равни на сферу и друге површи другог реда. За сферу, проблем је конструкција свих кругова (граница сферних калопа) који су тангентни на три задата круга на сфери. Овај сферни проблем може се превести у одговарајући равански проблем коришћењем стереографске пројекције. Када се конструишу решења раванског проблема, одговарајућа решења сферног проблема могу се одредити инверзијом стереографске пројекције. Још општије, може се разматрати проблем четири тангентне криве које настају пресеком произвољне површи другог реда и четири равни, проблем који је први разматрао Шарл Дипен.

Понављаним решавањем Аполонијевог проблема ради проналажења уписаног круга, међупростори између међусобно тангентних кругова могу се попунити произвољно фино, формирајући Аполонијеву мрежу, такође познату као Лајбницово паковање или Аполонијево паковање. Ова мрежа је фрактал, будући да је самослична и има димензију d која није тачно позната, али је приближно 1,3, што је више од димензије регуларне (или ректификабилне) криве (d = 1), али мање од димензије равни (d = 2). Аполонијеву мрежу први је описао Готфрид Лајбниц у 17. веку, и она је закривљени претходник троугла Сјерпињског из 20. века. Аполонијева мрежа такође има дубоке везе са другим областима математике; на пример, то је гранични скуп Клајнових група.

Конфигурација круга тангентног на четири круга у равни има посебна својства, која су разјаснили Лармор (1891) и Лахлан (1893). Таква конфигурација је такође основа за Кејсијеву теорему, која је сама по себи уопштење Птолемејеве теореме.

Проширење Аполонијевог проблема на три димензије, наиме, проблем проналажења пете сфере која је тангентна на четири задате сфере, може се решити аналогним методама. На пример, задате сфере и сфера решења могу се променити у величини тако да се једна задата сфера смањи на тачку уз одржавање тангентности. Инверзија у овој тачки своди Аполонијев проблем на проналажење равни која је тангентна на три задате сфере. У општем случају постоји осам таквих равни, које постају решења оригиналног проблема обртањем инверзије и промене величине. Овај проблем је први разматрао Пјер де Ферма, а многе алтернативне методе решавања развијене су током векова.

Аполонијев проблем се чак може проширити на d димензија, за конструкцију хиперсфера тангентних на задати скуп од Шаблон:Nowrap хиперсфера. Након објављивања поновног извођења Декартове теореме 1936. године од стране Фредерика Содија, неколико људи је решило (независно) случај међусобног додира који одговара Содијевим круговима у d димензија.

Примене

Главна примена Аполонијевог проблема, како га је формулисао Исак Њутн, је хиперболичка трилатерација, која покушава да одреди позицију на основу разлика у растојањима до најмање три тачке. На пример, брод може тражити да одреди своју позицију на основу разлика у временима доласка сигнала са три синхронизована предајника. Решења Аполонијевог проблема коришћена су у Првом светском рату за одређивање локације артиљеријског оруђа на основу времена када се пуцањ чуо на три различите позиције, а хиперболичка трилатерација је принцип који користе Decca Navigator System и LORAN. Слично, локација авиона може се одредити на основу разлике у временима доласка сигнала његовог транспондера на четири пријемне станице. Овај проблем мултилатерације еквивалентан је тродимензионалном уопштењу Аполонијевог проблема и примењује се на глобалне навигационе сателитске системе (види GPS). Такође се користи за одређивање позиције животиња које се оглашавају (попут птица и китова), иако Аполонијев проблем није применљив ако брзина звука варира са смером (тј. медијум преноса није изотропан).

Аполонијев проблем има и друге примене. У Књизи 1, Пропозиција 21 у својим Principia, Исак Њутн је користио своје решење Аполонијевог проблема да конструише орбиту у небеској механици на основу центра привлачења и посматрања тангентних линија на орбиту које одговарају тренутној брзини. Специјални случај Аполонијевог проблема када су сва три круга тангентна користи се у Харди-Литлвудовом кружном методу аналитичке теорије бројева за конструкцију контуре Ханса Радемахера за комплексну интеграцију, дату границама бесконачног скупа Фордових кругова од којих сваки додирује неколико других. Коначно, Аполонијев проблем је примењен на неке типове проблема паковања, који се јављају у различитим областима као што су кодови за корекцију грешака који се користе на DVD-овима и дизајн фармацеутских производа који се везују за одређени ензим патогене бактерије.

Види још

• Аполонијева тачка
• Аполонијева теорема

Литература

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book Trans., introd., and notes by Paul Ver Eecke.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal

Спољашње везе

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web