Огистен Луј Коши

Шаблон:Научник

Огистен Луј Коши (Шаблон:Јез-фр; Париз, 21. август 1789 — Со, 23. мај 1857) истакнути француски математичар, професор универзитета у Паризу, један је од твораца теорије функција комлексне променљиве.^[1] Објавио радове из разних области математике и њених примена (теорија бројева, математичка анализа, теорија диференцијалних и парцијалних једначина, теорија полиедара, теоријска и небеска механика, математичка физика и др.), постављајући и решавајући нове проблеме и уводећи нове појмове и нове методе. Такође је развијао теорију таласа у оптици и радио је на теорији еластичности.Шаблон:Sfn Увео је следеће терминеу математици: модул и аргумент комлексног броја, конјуговани комплексни бројеви. Његова главна дела су: Курс анализе, Примена анализе у геометрији.

Дубоки математичар, Коши је имао велики утицај на своје савременике и наследнике;Шаблон:Sfn Ханс Фројдентал је изјавио: „Више концепата и теорема је именовано за Кошија него за било ког другог математичара (само у еластичности постоји шеснаест концепата и теорема названих по Кошију).”Шаблон:Sfn Коши је био плодан писац; написао је око осам стотина истраживачких чланака и пет комплетних уџбеника о разним темама из области математике и математичке физике.

Кошијев критеријум конвергенције

Кошијев општи критеријум конвергенције: за конвергенцију било којег бројевног или функционалног реда неопходно је и довољно да сваки сегмент тог реда $a_{n + 1} + a_{n + 2} + . . . + a_{n + p}$ постаје произвољно мали ако су $n$ и $p$ довољно велики.

Кошијева интегрална формула

Коши је најпознатији по развијању теорије комплексне промењиве. Његово прво дело у овој области је тзв. " Кошијева интегрална формула" која се може математички записати као:

\oint_{C} f (z) d z = 0,

где је f(z) функција на затвореној области C у комплексној равни.

Кошијев проблем

Кошијев проблем је проблем налажења оног решења диференцијалне једначине које одговара задатим почетним условима.

Ресидум функције комплексне промењиве

Године 1826. Коши је дао формалну дефиницију ресидума функције. Овај концепт се односи на функције које имају полове —изоловане сингуларитете, т.ј. тачке у којима функција иде у позитивну или негативну бесконачност. Ако се комплексна функција f(z) може развити у околини сингуларне тачке a као

f (z) = ϕ (z) + \frac{B_{1}}{z - a} + \frac{B_{2}}{(z - a)^{2}} + \dots + \frac{B_{n}}{(z - a)^{n}}, B_{i}, z, a \in ℂ,

где је φ(z) аналитичка функција, онда функција f има пол реда n у тачки a. Ако је n = 1, онда је то пол првог реда, ако је n = 2 онда је то пол другог реда итд.

Коефицијент B₁ се зове по Кошију ресидум функције f у a. Ако f није регуларно у a, онда је ресидум функције f 0 у тачки a. У случају пола првог реда, ресидум функције f(z) је једнак :

\underset{z = a}{R e s} f (z) = \lim_{z \to a} (z - a) f (z),

где је B₁ замењено модерном нотацијом за ресидум.

Основна Кошијева итегрална формула

Године 1831. Коши је објавио формулу познату као Основна Кошијева интегрална формула,

f (a) = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{z - a} d z,

где је f(z) аналитичка функција у области C и где је a комплексан број који се налази негде у наведеној области.

Кошијев теорем о остацима (ресидуму)

Исте године Коши је извео теорем о ресидуму,

\frac{1}{2 π i} \oint_{C} f (z) d z = \sum_{k = 1}^{n} \underset{z = a_{k}}{R e s} f (z),

где је сума ресидума по свим половима n функције f(z) на области C једнака интегралу по затвореној области С помноженим са : $\frac{1}{2 π i}$ .

Ови Кошијеви доприноси представљају саму срж "Теорије функција комплексне промењиве" коју данас изучавају физичари и инжињери електротехнике.

Радови

Коши је био веома продуктиван, по броју радова је други после Леонхарда Ојлера. Био је потребан скоро читав век да се сви његови списи сакупе у 27 великих томова: