Дистрибутивност

Дистрибутивност је алгебарска особина понашања оператора сабирања и множења над алгебарском структуром $(K,\oplus ,\cdot )$. Конкретно када се производ два елемента скупа -{K}- може представити ако збир производа једног од њих са још два елемента који у збиру дају другог, каже се да закон дистрибуције важи за дату алгебарску структуру. Множење може бити лево и десно те отуда два различита услова:

$a\cdot (b\oplus c)=a\cdot b\oplus a\cdot c$ (дистрибутивност слева)

$(b\oplus c)\cdot a=b\cdot a\oplus c\cdot a$ (дистрибутивност здесна)

Ако су задовољени само први или само други услов, каже се да се „лево односно десно множење лепо понаша према сабирању“. Уколико су оба испуњена, каже се да се „операција множења лепо понаша према сабирању“ тј. да је дистрибутивна.

Дефиниција

За дати скуп $S$ и два бинарна оператора $*$ и $+$ on $S,$

операција $*$ је Шаблон:Em преко (или у односу на) $+$ ако је дат било који елемент $x,y,\text{ и }z$ из $S,$ $$x*(y+z)=(x*y)+(x*z),$$

операција $*$ је Шаблон:Em преко $+$ ако је дат било који елемент $x,y,\text{ и }z$ из $S,$ $$(y+z)*x=(y*x)+(z*x),$$

и операција $*$ је Шаблон:Em преко $+$ ако је лево- и десно-дистрибутивна.

Када је $*$ комутативно, три горња услова су логички еквивалентна.

Значење

Оператори који се користе за примере у овом одељку су они уобичајеног сабирања $+$ и множења $\cdot .$

Ако операција означена са $\cdot$ није комутативна, постоји разлика између леве дистрибутивности и десне дистрибутивности:

$$a\cdot (b\pm c)=a\cdot b\pm a\cdot c\text{ (лева-дистрибутивност) }$$

$$(a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c\text{ (десна-дистрибутивност) }.$$

У оба случаја, дистрибутивно својство се може речима описати као:

Да би се збир (или разлика) помножио са фактором, сваки сабирак (или умањеник и умањилац) се множи са овим фактором и добијени производи се додају (или одузимају).

Ако је операција ван заграда (у овом случају множење) комутативна, онда лева дистрибутивност имплицира десну дистрибутивност и обрнуто, и говори се једноставно о Шаблон:Em.

Један пример операције која је „само“ десно-дистрибутивна је дељење, које није комутативно:

$$(a\pm b)÷c=a÷c\pm b÷c.$$

У овом случају, лева дистрибуција се не примењује:

$$a÷(b\pm c)\ne a÷b\pm a÷c$$

Дистрибутивни закони су међу аксиомима за прстенове (попут прстена целих бројева) и поља (попут поља рационалних бројева). Овде је множење дистрибутивно над сабирањем, али сабирање није дистрибутивно над множењем. Примери структура са две операције при чему је свака дистрибутивна над другом су Булове алгебреШаблон:Sfn као што је алгебра скупова или алгебра преклапања.

Примери

Реални бројеви

У следећим примерима је илустрована употреба дистрибутивног закона на скупу реалних бројева $ℝ$. Када се множење помиње у елементарној математици, обично се мисли на ову врсту множења. Са тачке гледишта алгебре, реални бројеви чине поље, које обезбеђује валидност дистрибутивног закона.

Матрице

За матрично множење важи дистрибутивни закон. Прецизније,

$$(A+B)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$$

за све $l\times m$ матрице $A,B$ и $m\times n$ матрице $C,$ као и

$$A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C$$

за све $l\times m$ матрице $A$ и $m\times n$ матрице $B,C.$ Пошто комутативно својство не важи за множење матрице, други закон не следи из првог закона. У овом случају, то су два различита закона.

Други примери

• За разлику од тога, множење редних бројева је само лево-дистрибутивно, а не десно.
• Векторски производ је лево- и десно-дистрибутиван над сабирањем вектора, иако није комутативно.
• Унија скупова је дистрибутивна над пресеком, а пресек је дистрибутивна над унијом.
• Логичка дисјункција („или“) је дистрибутивна у односу на логичку коњункцију („и“), и обрнуто.
• За реалне бројеве (и за било који потпуно уређен скуп), максимална операција је дистрибутивна у односу на минималну операцију, и обрнуто: $$\max (a,\min (b,c))=\min (\max (a,b),\max (a,c))\text{ and }\min (a,\max (b,c))=\max (\min (a,b),\min (a,c)).$$
• За целе бројеве, највећи заједнички делилац је дистрибутивни преко најмањег заједничког садржаоца, и обрнуто: $$\gcd (a,\mathrm{lcm}(b,c))=\mathrm{lcm}(\gcd (a,b),\gcd (a,c))\text{ and }\mathrm{lcm}(a,\gcd (b,c))=\gcd (\mathrm{lcm}(a,b),\mathrm{lcm}(a,c)).$$
• За реалне бројеве, сабирање се дистрибуира на максималну операцију, а такође и на минималну операцију: $$a+\max (b,c)=\max (a+b,a+c)\text{ and }a+\min (b,c)=\min (a+b,a+c).$$
• За биномно множење, дистрибуција се понекад назива FOIL методом (први појмови $ac,$ спољашњи $ad,$ унутрашњи $bc,$ и последњи $bd$), као што су: $(a+b)\cdot (c+d)=ac+ad+bc+bd.$
• У свим полупрстеновима, укључујући комплексне бројеве, кватернионе, полиноме и матрице, множење се дистрибуира преко сабирања: $u(v+w)=uv+uw,(u+v)w=uw+vw.$
• У свим алгебрама над пољем, укључујући октонионе и друге неасоцијативне алгебре, множење се дистрибуира преко сабирања.

Пропозициона логика

Правило замене

У стандардној истинито-функционалној пропозиционалној логици, Шаблон:Em у логичким доказима користи два важећа правила замене да прошири појединачна појављивања одређених логичких конекција, унутар неке формуле, у засебне примене те конекције преко подформула дате формуле. Правила су

$$(P\wedge (Q\vee R))\iff ((P\wedge Q)\vee (P\wedge R))\text{ and }(P\vee (Q\wedge R))\iff ((P\vee Q)\wedge (P\vee R))$$

где је „$\iff$”, такође написано $\equiv ,$ је металогички симбол који представља „може бити замењен у доказу са” или „логички је еквивалентно”.

Истиносно функционални спојеви

Шаблон:Em је својство неких логичких спојева истинито-функционалне пропозиционе логике. Следеће логичке еквиваленције показују да је дистрибутивност својство одређених везива. Следе истинито-функционалне таутологије.

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}& (P& & \wedge & & (Q\vee R))& & \iff & & ((P\wedge Q)& & \vee (P\wedge R))& & \text{ Дистрибутивност }& & \text{ конјукције }& & \text{ над }& & \text{ дисјункцијом }\\ & (P& & \vee & & (Q\wedge R))& & \iff & & ((P\vee Q)& & \wedge (P\vee R))& & \text{ Дистрибутивност }& & \text{ дисјункције }& & \text{ над }& & \text{ конјукцијом }\\ & (P& & \wedge & & (Q\wedge R))& & \iff & & ((P\wedge Q)& & \wedge (P\wedge R))& & \text{ Дистрибутивност }& & \text{ конјукције }& & \text{ над }& & \text{ конјукцијом }\\ & (P& & \vee & & (Q\vee R))& & \iff & & ((P\vee Q)& & \vee (P\vee R))& & \text{ Дистрибутивност }& & \text{ дисјункције }& & \text{ над }& & \text{ дисјункцијом }\\ & (P& & \to & & (Q\to R))& & \iff & & ((P\to Q)& & \to (P\to R))& & \text{ Дистрибутивност }& & \text{ импликације }& & & & \\ & (P& & \to & & (Q\leftrightarrow R))& & \iff & & ((P\to Q)& & \leftrightarrow (P\to R))& & \text{ Дистрибутивност }& & \text{ импликације }& & \text{ над }& & \text{ еквиваленцијом }\\ & (P& & \to & & (Q\wedge R))& & \iff & & ((P\to Q)& & \wedge (P\to R))& & \text{ Дистрибутивност }& & \text{ импликације }& & \text{ над }& & \text{ конјукцијом }\\ & (P& & \vee & & (Q\leftrightarrow R))& & \iff & & ((P\vee Q)& & \leftrightarrow (P\vee R))& & \text{ Дистрибутивност }& & \text{ дисјункције }& & \text{ над }& & \text{ еквиваленцијом }\\ \end{array}$$

Двострука дистрибуција

$$\begin{array}{cccccccccccc}& ((P\wedge Q)& & \vee (R\wedge S))& & \iff & & (((P\vee R)\wedge (P\vee S))& & \wedge ((Q\vee R)\wedge (Q\vee S)))& & \\ & ((P\vee Q)& & \wedge (R\vee S))& & \iff & & (((P\wedge R)\vee (P\wedge S))& & \vee ((Q\wedge R)\vee (Q\wedge S)))& & \\ \end{array}$$

Види још

• Асоцијативност
• Антикомутативност
• Комутативност

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Springer
• Krowne, Aaron, Шаблон:PlanetMath, Accessed 8 August 2007.
• Шаблон:MathWorld, Accessed 8 August 2007.
• Шаблон:Cite web Шаблон:PlanetMath, Accessed 8 August 2007
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY.
• Chang, C.C. and Keisler, H.J. (1973), Model Theory, North-Holland, Amsterdam, Netherlands.
• Kohavi, Zvi (1978), Switching and Finite Automata Theory, 1st edition, McGraw–Hill, 1970. 2nd edition, McGraw–Hill, 1978.
• Korfhage, Robert R. , Шаблон:Cite book.
• Lambek, J. and Scott, P.J. , Шаблон:Cite book.
• Mendelson, Elliot (1964), Introduction to Mathematical Logic, D. Van Nostrand Company.
• Шаблон:Cite book
• Klement, Kevin C. (2006), "Propositional Logic", in James Fieser and Bradley Dowden (eds.), Internet Encyclopedia of Philosophy, Eprint.
• Formal Predicate Calculus, contains a systematic formal development along the lines of Alternative calculus
• forall x: an introduction to formal logic, by P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book

Спољашње везе

• A demonstration of the Distributive Law for integer arithmetic (from cut-the-knot)
• Шаблон:Springer
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: "The Mathematics of Boolean Algebra," by J. Donald Monk.
• McCune W., 1997. Robbins Algebras Are Boolean JAR 19(3), 263—276
• "Boolean Algebra" by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P., . Шаблон:Cite book.