Аполонијева мрежа

У математици, Аполонијева мрежа, Аполонијева заптивка или Аполонијево паковање кругова јесте фрактал који се генерише почевши од три круга, од којих је сваки тангентан на друга два, а затим се сукцесивно попуњава са још кругова, од којих је сваки тангентан на нека друга три. Име је добила по старогрчком математичару Аполонију из Перге.^[1]

Конструкција

Међусобно тангентни кругови. Ако су дата три међусобно тангентна круга (Шаблон:Color), постоје генерално два друга круга који су међусобно тангентни на њих (Шаблон:Color).

Конструкција Аполонијеве мреже почиње са три круга $C_{1}$ , $C_{2}$ и $C_{3}$ (црни на слици), који су међусобно тангентни један на други, али немају ниједну тачку троструке тангенте. Ови кругови могу бити различитих величина, и дозвољено је да два буду унутар трећег, или да сва три буду један изван другог. Као што је Аполоније открио, постоје још два круга $C_{4}$ и $C_{5}$ (црвени) који су тангентни на сва три почетна круга — они се називају Аполонијевим круговима. Ових пет кругова су одвојени један од другог помоћу шест закривљених троугаоних региона, од којих је сваки омеђен луковима три међусобно тангентна круга. Конструкција се наставља додавањем још шест кругова, по један у сваки од ових шест закривљених троуглова, тангентно на његове три странице. Они заузврат стварају још 18 закривљених троуглова, а конструкција се наставља поновним попуњавањем ових троуглова тангентним круговима, у бесконачност (лат. Шаблон:Lang).

Настављајући се етапу по етапу на овај начин, конструкција додаје $2 \cdot 3^{n}$ нових кругова у етапи $n$ , дајући укупно $3^{n + 1} + 2$ кругова након $n$ фаза. У граничном случају, овај скуп кругова чини Аполонијеву мрежу. У њој, сваки пар тангентних кругова има бесконачан Папосов ланац кругова који су тангентни на оба круга у пару.

Величина сваког новог круга одређена је Декартовом теоремом, која наводи да, за било која четири међусобно тангентна круга, полупречници $r_{i}$ кругова задовољавају једначину ${(\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} + \frac{1}{r_{4}})}^{2} = 2 (\frac{1}{r_{1}^{2}} + \frac{1}{r_{2}^{2}} + \frac{1}{r_{3}^{2}} + \frac{1}{r_{4}^{2}}) .$ Ова једначина може имати решење са негативним полупречником; то значи да један од кругова (онај са негативним полупречником) окружује остала три. Један или два почетна круга ове конструкције, или кругови који су резултат ове конструкције, могу дегенерисати у праву линију, која се може посматрати као круг бесконачног полупречника. Када постоје две праве линије, оне морају бити паралелне и сматра се да су тангентне у тачки у бесконачности. Када мрежа укључује две праве на $x$ -оси и једну јединичну изнад ње, као и круг јединичног пречника тангентан на обе линије са центром на $y$ -оси, тада кругови који су тангентни на $x$ -осу представљају Фордове кругове, значајне у теорији бројева.

Аполонијева мрежа има Хаусдорфову димензију од око 1,3056867, која је проширена на најмање 128 децималних места.^[2]^[3]^[4] Пошто има добро дефинисану фракциону димензију, иако није прецизно самослична, може се сматрати фракталом.

Симетрије

Мебијусове трансформације равни чувају облике и тангентности кругова, и стога чувају структуру Аполонијеве мреже. Било које две тројке међусобно тангентних кругова у Аполонијевој мрежи могу се пресликати једна у другу помоћу Мебијусове трансформације, а било које две Аполонијеве мреже могу се пресликати једна у другу Мебијусовом трансформацијом. Конкретно, за било која два тангентна круга у било којој Аполонијевој мрежи, инверзија круга центрирана у тачки тангенте (посебан случај Мебијусове трансформације) трансформисаће ова два круга у две паралелне праве и трансформисаће остатак мреже у посебан облик мреже између две паралелне линије. Композиције ових инверзија могу се користити за међусобно трансформисање било које две тачке тангенте. Мебијусове трансформације су такође изометрије хиперболичке равни, тако да су у хиперболичкој геометрији све Аполонијеве мреже подударне. У том смислу, постоји само једна Аполонијева мрежа, до на (хиперболичку) изометрију.

Аполонијева мрежа је гранични скуп групе Мебијусових трансформација познате као Клајнова група.^[5]

За еуклидске трансформације симетрије, уместо Мебијусових трансформација, Аполонијева мрежа ће генерално наследити симетрије свог генеришућег скупа од три круга. Међутим, неке тројке кругова могу генерисати Аполонијеве мреже са вишом симетријом од почетне тројке; ово се дешава када иста мрежа има другачији и симетричнији скуп генеришућих кругова. Посебно симетрични случајеви укључују Аполонијеву мрежу између две паралелне линије (са бесконачном диједарском симетријом), Аполонијеву мрежу генерисану са три подударна круга у једнакостраничном троуглу (са симетријом троугла) и Аполонијеву мрежу генерисану помоћу два круга полупречника 1 окружена кругом полупречника 2 (са две линије рефлективне симетрије).

Целобројна Аполонијева паковања кругова

Целобројно Аполонијево паковање кругова дефинисано закривљеностима кругова (−1, 2, 2, 3)
Целобројно Аполонијево паковање кругова дефинисано закривљеностима кругова (−3, 5, 8, 8)
Целобројно Аполонијево паковање кругова дефинисано закривљеностима кругова (−12, 25, 25, 28)
Целобројно Аполонијево паковање кругова дефинисано закривљеностима кругова (−6, 10, 15, 19)
Целобројно Аполонијево паковање кругова дефинисано закривљеностима кругова (−10, 18, 23, 27)

Ако било која четири међусобно тангентна круга у Аполонијевој мрежи имају целобројну закривљеност (реципрочна вредност њиховог полупречника), тада ће сви кругови у мрежи имати целобројну закривљеност.Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Пошто је једначина која повезује закривљености у Аполонијевој мрежи, било целобројној или не: $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 2 a b + 2 a c + 2 a d + 2 b c + 2 b d + 2 c d,$ следи да се може прећи са једне четворке закривљености на другу Вијетовим скоком, баш као код проналажења новог Марковљевог броја. Првих неколико оваквих целобројних Аполонијевих мрежа наведено је у следећој табели. Табела приказује закривљености највећих кругова у мрежи. Само прве три закривљености (од пет приказаних у табели) су потребне за потпуни опис сваке мреже — све остале закривљености се могу извести из ове три.

Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-break

**Целобројне Аполонијеве мреже**
Почетне закривљености	Симетрија
−1, 2, 2, 3, 3	D₂
−2, 3, 6, 7, 7	D₁
−3, 4, 12, 13, 13	D₁
−3, 5, 8, 8, 12	D₁
−4, 5, 20, 21, 21	D₁
−4, 8, 9, 9, 17	D₁
−5, 6, 30, 31, 31	D₁
−5, 7, 18, 18, 22	D₁
−6, 7, 42, 43, 43	D₁
−6, 10, 15, 19, 19	D₁
−6, 11, 14, 15, 23	C₁
−7, 8, 56, 57, 57	D₁
−7, 9, 32, 32, 36	D₁
−7, 12, 17, 20, 24	C₁
−8, 9, 72, 73, 73	D₁
−8, 12, 25, 25, 33	D₁
−8, 13, 21, 24, 28	C₁
−9, 10, 90, 91, 91	D₁
−9, 11, 50, 50, 54	D₁
−9, 14, 26, 27, 35	C₁
−9, 18, 19, 22, 34	C₁
−10, 11, 110, 111, 111	D₁
−10, 14, 35, 39, 39	D₁
−10, 18, 23, 27, 35	C₁
−11, 12, 132, 133, 133	D₁
−11, 13, 72, 72, 76	D₁
−11, 16, 36, 37, 45	C₁
−11, 21, 24, 28, 40	C₁
−12, 13, 156, 157, 157	D₁
−12, 16, 49, 49, 57	D₁
−12, 17, 41, 44, 48	C₁
−12, 21, 28, 37, 37	D₁
−12, 21, 29, 32, 44	C₁
−12, 25, 25, 28, 48	D₁
−13, 14, 182, 183, 183	D₁
−13, 15, 98, 98, 102	D₁
−13, 18, 47, 50, 54	C₁
−13, 23, 30, 38, 42	C₁
−14, 15, 210, 211, 211	D₁
−14, 18, 63, 67, 67	D₁
−14, 19, 54, 55, 63	C₁
−14, 22, 39, 43, 51	C₁
−14, 27, 31, 34, 54	C₁
−15, 16, 240, 241, 241	D₁
−15, 17, 128, 128, 132	D₁
−15, 24, 40, 49, 49	D₁
−15, 24, 41, 44, 56	C₁
−15, 28, 33, 40, 52	C₁
−15, 32, 32, 33, 65	D₁

Шаблон:Col-end

Пребројавање целобројних Аполонијевих паковања кругова

Закривљености $(a, b, c, d)$ чине коренску четворку (најмању у неком целобројном паковању кругова) ако је $a < 0 \leq b \leq c \leq d$ . Оне су примитивне када је $gcd (a, b, c, d) = 1$ . Дефинисањем новог скупа променљивих $(x, d_{1}, d_{2}, m)$ путем матричне једначине: $[\begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & 1 & - 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ d_{1} \\ d_{2} \\ m \end{matrix}]$ добија се систем где $(a, b, c, d)$ задовољава Декартову једначину тачно када је $x^{2} + m^{2} = d_{1} d_{2}$ . Штавише, $(a, b, c, d)$ је примитивна тачно када је $gcd (x, d_{1}, d_{2}) = 1$ , а $(a, b, c, d)$ је коренска четворка тачно када је $x < 0 \leq 2 m \leq d_{1} \leq d_{2}$ .Шаблон:Sfn

Овај однос се може користити за проналажење свих примитивних коренских четворки са датом негативном кривином $x$ . Из $2 m \leq d_{1}$ и $2 m \leq d_{2}$ следи да је $4 m^{2} \leq d_{1} d_{2}$ , и стога $3 m^{2} \leq d_{1} d_{2} - m^{2} = x^{2}$ . Зато ће било која коренска четворка задовољити $0 \leq m \leq | x | / \sqrt{3}$ . Итерирањем кроз све могуће вредности $m$ , $d_{1}$ и $d_{2}$ могу се пронаћи све примитивне коренске четворке.^[6] Следећи код у Python-у демонстрира овај алгоритам, генеришући примитивне коренске четворке наведене изнад.

import math

def get_primitive_bends(n: int) -> tuple[int, int, int, int]:
    if n == 0:
        yield 0, 0, 1, 1
        return
    for m in range(math.ceil(n / math.sqrt(3))):
        s = m**2 + n**2
        for d1 in range(max(2 * m, 1), math.floor(math.sqrt(s)) + 1):
            d2, remainder = divmod(s, d1)
            if remainder == 0 and math.gcd(n, d1, d2) == 1:
                yield -n, d1 + n, d2 + n, d1 + d2 + n - 2 * m

for n in range(15):
    for bends in get_primitive_bends(n):
        print(bends)

Локално-глобална хипотеза

Закривљености које се појављују у примитивном целобројном Аполонијевом паковању кругова морају припадати скупу од шест или осам могућих класа остатака по модулу 24, а теоретски резултати и нумерички докази су подржавали тезу да би било који довољно велики цео број из ових класа остатака такође био присутан као закривљеност унутар паковања.Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Ова претпоставка, позната као локално-глобална хипотеза, доказана је као нетачна 2023. године.Шаблон:Sfn^[7]^[8]

Симетрија целобројних Аполонијевих паковања кругова

Постоји више типова диједарске симетрије који се могу јавити код мреже у зависности од закривљености кругова.

Без симетрије

Ако се ниједна од закривљености не понавља у првих пет, мрежа не садржи никакву симетрију, што је представљено групом симетрије C₁; мрежа описана закривљеностима (−10, 18, 23, 27) је један пример.

D₁ симетрија

Кад год два од пет највећих кругова у мрежи имају исту закривљеност, та мрежа ће имати D₁ симетрију, што одговара рефлексији дуж пречника граничног круга, без ротационе симетрије.

D₂ симетрија

Ако се две различите закривљености понављају унутар првих пет, мрежа ће имати D₂ симетрију; таква симетрија се састоји од две рефлексије (међусобно нормалне) дуж пречника граничног круга, са двоструком ротационом симетријом од 180°. Мрежа описана закривљеностима (−1, 2, 2, 3) је једина Аполонијева мрежа (до на фактор скалирања) која поседује D₂ симетрију.

D₃ симетрија

Не постоје целобројне мреже са D₃ симетријом.

Ако три круга са најмањом позитивном закривљеношћу имају исту закривљеност, мрежа ће имати D₃ симетрију, што одговара трима рефлексијама дуж пречника граничног круга (размакнутих за 120°), заједно са троструком ротационом симетријом од 120°. У овом случају однос закривљености граничног круга према три унутрашња круга износи 2Шаблон:Sqrt − 3. Пошто овај однос није рационалан број, ниједно целобројно Аполонијево паковање кругова не поседује ову D₃ симетрију, иако су многа паковања близу тога.

Скоро-D₃ симетрија

Слика лево приказује целобројну Аполонијеву мрежу која изгледа као да има D₃ симетрију. Иста слика је приказана десно, са ознакама које указују на закривљеност унутрашњих кругова, илуструјући да мрежа заправо поседује само D₁ симетрију уобичајену за многе друге целобројне Аполонијеве мреже.

Следећа табела наводи више оваквих скоро-D₃ целобројних Аполонијевих мрежа. Низ има неке занимљиве особине, а табела наводи факторизацију закривљености, заједно са множиоцем потребним да би се прешло са претходног скупа на тренутни. Апсолутне вредности закривљености дискова „a” поштују рекурентну релацију Шаблон:Math Шаблон:OEIS, из чега следи да множилац конвергира ка Шаблон:Sqrt + 2 ≈ 3,732050807.

**Целобројне Аполонијеве мреже са скоро-D₃ симетријом**
Закривљеност				Фактори			Множилац
a	b	c	d	a	b	d	a	b	c	d
−1	2	2	3	1×1	1×2	1×3	Шаблон:N/A	Шаблон:N/A	Шаблон:N/A	Шаблон:N/A
−4	8	9	9	2×2	2×4	3×3	4,000000000	4,000000000	4,500000000	3,000000000
−15	32	32	33	3×5	4×8	3×11	3,750000000	4,000000000	3,555555556	3,666666667
−56	120	121	121	8×7	8×15	11×11	3,733333333	3,750000000	3,781250000	3,666666667
−209	450	450	451	11×19	15×30	11×41	3,732142857	3,750000000	3,719008264	3,727272727
−780	1680	1681	1681	30×26	30×56	41×41	3,732057416	3,733333333	3,735555556	3,727272727
−2911	6272	6272	6273	41×71	56×112	41×153	3,732051282	3,733333333	3,731112433	3,731707317
−10864	23408	23409	23409	112×97	112×209	153×153	3,732050842	3,732142857	3,732302296	3,731707317
−40545	87362	87362	87363	153×265	209×418	153×571	3,732050810	3,732142857	3,731983425	3,732026144

Секвенцијалне закривљености

За било који цео број Шаблон:Math, постоји Аполонијева мрежа дефинисана следећим закривљеностима: $(- n, n + 1, n (n + 1), n (n + 1) + 1) .$ На пример, мреже дефинисане вредностима (−2, 3, 6, 7), (−3, 4, 12, 13), (−8, 9, 72, 73) и (−9, 10, 90, 91) све прате овај образац. Пошто сваки унутрашњи круг који је дефинисан са Шаблон:Math може постати гранични круг (дефинисан са Шаблон:Math) у другој мрежи, ове мреже могу бити угнежђене. Ово је приказано на слици десно, која садржи ове секвенцијалне мреже са Шаблон:Mvar које се креће од 2 до 20.

Историја

Иако је Аполонијева мрежа добила име по Аполонију из Перге, због зависности њене конструкције од решења Аполонијевог проблема, најранији опис мреже потиче из 1706. године од стране Лајбница у писму Бартоломеу де Босу.^[9] Прву модерну дефиницију Аполонијеве мреже дали су Едвард Каснер и Супник.Шаблон:Sfn

Види још

Аполонијева мрежа (граф), граф изведен из коначних подскупова Аполонијеве мреже
Аполонијево паковање сфера, тродимензионална генерализација Аполонијеве мреже
Троугао Сјерпињског, самосличан фрактал са сличном комбинаторном структуром

Референце

Шаблон:Референце

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Citation
Шаблон:Citation
Шаблон:Citation
Шаблон:Citation
Шаблон:Citation
David Mumford, Caroline Series, David Wright: Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein, Cambridge University Press, 2002, Шаблон:ISBN
Шаблон:Cite book

Шаблон:Литература крај

Спољашње везе

Шаблон:Wikibooks

Шаблон:Mathworld
Александар Богомољни, Аполонијева мрежа, cut-the-knot
Шаблон:Webarchive
Matlab скрипта за исцртавање 2Д Аполонијеве мреже са n идентичних кругова Шаблон:Webarchive коришћењем инверзије круга
Онлајн експерименти са JSXGraph
Аполонијева мрежа аутора Мајкла Шрајбера, The Wolfram Demonstrations Project.
Интерактивна Аполонијева мрежа Демонстрација Аполонијеве мреже покренуте у Јави
Дејна Макензи. Computing Science: A Tisket, a Tasket, an Apollonian Gasket. American Scientist, јануар/фебруар 2010.
Шаблон:Citation. Новинска прича о уметничком делу у облику делимичне Аполонијеве мреже, са спољним обимом од девет миља.
Динамичне Аполонијеве мреже, Tartapelago аутора Ђорђа Пјетроколе, 2014.

Шаблон:Проблеми паковања Шаблон:Фрактали Шаблон:Старогрчка математика Шаблон:Подножје

↑ Satija, I. I., The Butterfly in the Iglesias Waseas World: The story of the most fascinating quantum fractal (Бристол: IOP Publishing, 2016), стр. 5.
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Citation
↑ Counting circles and Ergodic theory of Kleinian groups, Хи О, Универзитет Браун, 12. 2009
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Citation
↑ Лајбниц Де Босу, Хановер 11—17. март 1706, превео др Освалдо Отавијани -{R|https://humanities.technion.ac.il/en/leibniz-to-des-bosses-hannover-11-17-march-1706/}-

[1] Satija, I. I., The Butterfly in the Iglesias Waseas World: The story of the most fascinating quantum fractal (Бристол: IOP Publishing, 2016), стр. 5.

[2] Шаблон:Citation

[3] Шаблон:Citation

[4] Шаблон:Citation

[5] Counting circles and Ergodic theory of Kleinian groups, Хи О, Универзитет Браун, 12. 2009

[6] Шаблон:Citation

[7] Шаблон:Citation

[8] Шаблон:Citation

[9] Лајбниц Де Босу, Хановер 11—17. март 1706, превео др Освалдо Отавијани -{R|https://humanities.technion.ac.il/en/leibniz-to-des-bosses-hannover-11-17-march-1706/}-

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Аполонијева мрежа

Садржај

Конструкција

Симетрије

Целобројна Аполонијева паковања кругова