Дуалност (математика)

У математици, дуалност (или двојност) преводи концепте, теореме или математичке структуре у друге концепте, теореме или структуре на бијективан (један-на-један) начин, често (али не увек) помоћу операције инволуције: ако је дуал од Шаблон:Mvar једнак Шаблон:Mvar, онда је дуал од Шаблон:Mvar једнак Шаблон:Mvar. У другим случајевима дуал дуала — двоструки дуал или бидуал — није нужно идентичан оригиналу (који се такође назива примал). Такве инволуције понекад имају фиксне тачке, тако да је дуал од Шаблон:Mvar само Шаблон:Mvar. На пример, Дезаргова теорема је самодуална у овом смислу под стандардном дуалношћу у пројективној геометрији.

У математичким контекстима, дуалност има бројна значења. Описана је као „веома свеобухватан и важан концепт у (модерној) математици” и „важан општи тематски оквир који се манифестује у готово свакој области математике”.

Многе математичке дуалности између објеката два типа одговарају упаривањима, односно билинеарним функцијама са објекта једног типа и другог објекта другог типа на неку фамилију скалара. На пример, дуалност линеарне алгебре на овај начин одговара билинеарним пресликавањима са парова векторских простора на скаларе, дуалност између дистрибуција и припадајућих тест функција одговара упаривању у којем се интегрише дистрибуција у односу на тест функцију, а Поенкареова дуалност слично одговара броју пресека, посматраном као упаривање између подмногострукости дате многострукости.

Из угла теорије категорија, дуалност се такође може посматрати као функтор, барем у домену векторских простора. Овај функтор додељује сваком простору његов дуални простор, а конструкција повлачења (енгл. Шаблон:Lang) додељује свакој стрелици Шаблон:Math њен дуал Шаблон:Math.

Уводни примери

Према речима Мајкла Атије, Шаблон:Quote

Следећи списак примера приказује заједничке карактеристике многих дуалности, али такође указује да прецизно значење дуалности може варирати од случаја до случаја.

Комплемент подскупа

Једноставна дуалност произилази из разматрања подскупова фиксираног скупа Шаблон:Mvar. За било који подскуп Шаблон:Math, комплемент Шаблон:Math (такође означен као Шаблон:Math) састоји се од свих оних елемената у Шаблон:Mvar који нису садржани у Шаблон:Mvar. То је поново подскуп од Шаблон:Mvar. Узимање комплемента има следећа својства:

• Његова двострука примена враћа оригинални скуп, тј. Шаблон:Math. Ово се описује тако што се каже да је операција узимања комплемента инволуција.
• Инклузија скупова Шаблон:Math се претвара у инклузију у супротном смеру Шаблон:Math.
• За два дата подскупа Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar скупа Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar је садржано у Шаблон:Math ако и само ако је Шаблон:Mvar садржано у Шаблон:Math.

Ова дуалност се појављује у топологији као дуалност између отворених и затворених подскупова неког фиксираног типолошког простора Шаблон:Mvar: подскуп Шаблон:Mvar скупа Шаблон:Mvar је затворен ако и само ако је његов комплемент у Шаблон:Mvar отворен. Због тога су многе теореме о затвореним скуповима дуалне теоремама о отвореним скуповима. На пример, свака унија отворених скупова је отворена, па је дуално, сваки пресек затворених скупова затворен. Унутрашњост скупа је највећи отворени скуп који је у њему садржан, а затворење скупа је најмањи затворени скуп који га садржи. Због ове дуалности, комплемент унутрашњости било ког скупа Шаблон:Mvar једнак је затворењу комплемента од Шаблон:Mvar.

Дуални конус

Скуп Шаблон:Mvar (плаво) и његов дуални конус Шаблон:Math (црвено).

Дуалност у геометрији је омогућена конструкцијом дуалног конуса. За дати скуп $C$ тачака у равни ${ℝ}^2$ (или генералније тачака у Шаблон:Nowrap дуални конус је дефинисан као скуп $C^{\ast }\subseteq {ℝ}^2$ који се састоји од оних тачака $(x_1,x_2)$ које задовољавају $$x_1{c}_1+x_2{c}_2\ge 0$$ за све тачке $(c_1,c_2)$ у $C$, као што је илустровано на дијаграму. За разлику од горе поменутог комплемента скупова, генерално није тачно да двострука примена конструкције дуалног конуса враћа оригинални скуп $C$. Уместо тога, $C^{\ast \ast }$ је најмањи конус који садржи $C$ и који може бити већи од $C$. Зато је ова дуалност слабија од претходне, у смислу да:

• Двострука примена операције враћа потенцијално већи скуп: за свако $C$, $C$ је садржано у $C^{\ast \ast }$. (За нека $C$, тачније за конусе, ова два су заправо једнака.)

Остала два својства се преносе без промена:

• И даље важи да се инклузија $C\subseteq D$ претвара у инклузију у супротном смеру ($D^{\ast }\subseteq C^{\ast }$).
• За дата два подскупа $C$ и $D$ равни, $C$ је садржано у $D^{\ast }$ ако и само ако је $D$ садржано у $C^{\ast }$.

Дуални векторски простор

Веома важан пример дуалности настаје у линеарној алгебри придруживањем сваком векторском простору Шаблон:Mvar његовог дуалног векторског простора Шаблон:Math. Његови елементи су линеарни функционали $\phi :V\to K$, где је Шаблон:Mvar поље над којим је дефинисан Шаблон:Mvar. Три својства дуалног конуса преносе се на овај тип дуалности заменом подскупова од ${ℝ}^2$ векторским простором и инклузија таквих подскупова линеарним пресликавањима. То јест:

• Двострука примена операције узимања дуалног векторског простора даје други векторски простор Шаблон:Math. Увек постоји пресликавање Шаблон:Math. За неке Шаблон:Mvar, тачније за коначнодимензионалне векторске просторе, ово пресликавање је изоморфизам. 
• Линеарно пресликавање Шаблон:Math ствара пресликавање у супротном смеру (Шаблон:Math).
• За дата два векторска простора Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, пресликавања са Шаблон:Mvar у Шаблон:Math одговарају пресликавањима са Шаблон:Mvar у Шаблон:Math.

Посебна карактеристика ове дуалности је да су Шаблон:Mvar и Шаблон:Math изоморфни за одређене објекте, односно коначнодимензионалне векторске просторе. Међутим, ово је у неку руку срећна околност, јер давање таквог изоморфизма захтева одређени избор, на пример избор базе простора Шаблон:Mvar. Ово је такође тачно у случају ако је Шаблон:Mvar Хилбертов простор, преко Рисове теореме о репрезентацији.

Галоаова теорија

У свим претходно разматраним дуалностима, дуал објекта је исте врсте као и сам објекат. На пример, дуал векторског простора је поново векторски простор. Многе тврдње о дуалности нису ове врсте. Уместо тога, такве дуалности откривају блиску везу између објеката наизглед различите природе. Један пример такве општије дуалности је из Галоаове теорије. За фиксирану Галоаову екстензију Шаблон:Math, може се придружити Галоаова група Шаблон:Math сваком међупољу Шаблон:Mvar (тј. Шаблон:Math). Ова група је подгрупа Галоаове групе Шаблон:Math. Обрнуто, за сваку такву подгрупу Шаблон:Math постоји фиксно поље Шаблон:Math које се састоји од елемената фиксираних елементима у Шаблон:Mvar.

У поређењу са горенаведеним, ова дуалност има следеће карактеристике:

• Екстензија Шаблон:Math међупоља даје инклузију Галоаових група у супротном смеру: Шаблон:Math.
• Придруживање Шаблон:Math пољу Шаблон:Mvar и Шаблон:Math групи Шаблон:Mvar су инверзни једно другом. Ово је садржај основне теореме Галоаове теорије.

Дуалности које обрћу поредак

Хасеов дијаграм партитивног скупа за Шаблон:Math, делимично уређеног преко Шаблон:Math. Дуални посет (парцијално уређени скуп), тј. уређење преко Шаблон:Math, добија се окретањем дијаграма наопако. Зелени чворови формирају горњи скуп у оригиналном, односно доњи скуп у дуалном поретку.

Шаблон:Главни За дати посет Шаблон:Math (скраћено од парцијално уређен скуп; тј. скуп који има појам уређења али у којем два елемента не могу нужно бити постављена у поредак један у односу на други), дуални посет Шаблон:Math обухвата исти основни скуп али са инверзном релацијом. Познати примери дуалних парцијалних поредака укључују

• релације подскупа и надскупа Шаблон:Math и Шаблон:Math на било којој колекцији скупова, као што су подскупови фиксираног скупа Шаблон:Mvar. Ово доводи до првог примера дуалности поменутог горе.
• релације дели и садржилац од на целим бројевима.
• релације потомак-од и предак-од на скупу људи.

Трансформација дуалности је инволутивни антиаутоморфизам Шаблон:Mvar парцијално уређеног скупа Шаблон:Mvar, односно инволуција која обрће поредак Шаблон:Math. У неколико важних случајева ова једноставна својства јединствено одређују трансформацију до на неке једноставне симетрије. На пример, ако су Шаблон:Math, Шаблон:Math две трансформације дуалности онда је њихова композиција аутоморфизам поретка за Шаблон:Mvar; дакле, било које две трансформације дуалности се разликују само за аутоморфизам поретка. На пример, сви аутоморфизми поретка партитивног скупа Шаблон:Math индуковани су пермутацијама скупа Шаблон:Mvar.

Концепт дефинисан за парцијални поредак Шаблон:Mvar одговараће дуалном концепту на дуалном посету Шаблон:Math. На пример, минимални елемент од Шаблон:Mvar ће бити максимални елемент од Шаблон:Math: минималност и максималност су дуални концепти у теорији поретка. Други парови дуалних концепата су горња и доња граница, доњи и горњи скупови, као и идеали и филтери.

У топологији, отворени и затворени скупови су дуални концепти: комплемент отвореног скупа је затворен скуп, и обрнуто. У теорији матроида, фамилија скупова комплементарних независним скуповима датог матроида и сама формира други матроид, који се назива дуални матроид.

Дуалности које обрћу димензије

Карактеристике коцке и њеног дуалног октаедра одговарају једна-на-једну са обрнутим димензијама.

Постоји много различитих, али међусобно повезаних дуалности у којима геометријски или типолошки објекти одговарају другим објектима истог типа, али уз обртање димензија карактеристика објеката. Класичан пример (познат Еуклиду) за ово је дуалност Платонових тела, у којој коцка и октаедар чине дуални пар, додекаедар и икосаедар чине дуални пар, док је тетраедар самодуалан.  Дуални полиједар било ког од ових полиједара може се формирати као конвексни омотач централних тачака сваке стране прималног полиједра, тако да темена дуала одговарају један-на-један странама примала. Слично томе, свака ивица дуала одговара ивици примала, а свака страна дуала одговара темену примала. Ове кореспонденције чувају инциденцију: ако се два дела прималног полиједра додирују, додирују се и одговарајућа два дела дуалног полиједра. Општије, користећи концепт поларне реципрочности, сваки конвексни полиједар, или генералније сваки конвексни политоп, одговара дуалном полиједру или дуалном политопу, при чему Шаблон:Mvar-димензионална карактеристика Шаблон:Mvar-димензионалног политопа одговара Шаблон:Math-димензионалној карактеристици дуалног политопа. Природа дуалности која чува инциденцију огледа се у чињеници да су мреже страна (енгл. Шаблон:Lang) прималног и дуалног полиједра или политопа заправо дуалне у теорији поретка. Дуалност политопа и дуалност у теорији поретка су инволуције: дуални политоп дуалног политопа било ког политопа је оригинални политоп, а двоструко обртање свих релација поретка враћа на оригинални поредак. Избор различитог центра поларности доводи до геометријски различитих дуалних политопа, али сви имају исту комбинаторну структуру.

Планарни граф у плавој, и његов дуални граф у црвеној боји.

Од сваког тродимензионалног полиједра може се формирати планарни граф, граф његових темена и ивица. Дуални полиједар има дуални граф, граф са једним теменом за сваку страну полиједра и са једном ивицом за сваке две суседне стране. Исти концепт дуалности планарног графа може се уопштити на графове који су нацртани у равни али не потичу од тродимензионалног полиједра, или генералније на утапања графова на површима вишег рода: може се нацртати дуални граф смештањем једног темена унутар сваког региона ограниченог циклусом ивица у утапању, и цртањем ивице која повезује било која два региона који деле граничну ивицу. Важан пример овог типа долази из рачунарске геометрије: дуалност за сваки коначни скуп Шаблон:Mvar тачака у равни између Делонеове триангулације скупа Шаблон:Mvar и Воронојевог дијаграма скупа Шаблон:Mvar. Као и код дуалних полиједара и дуалних политопа, дуалност графова на површинама је инволуција која обрће димензије: свако теме у прималном утопљеном графу одговара региону дуалног утапања, сваку ивицу у прималу сече ивица у дуалу, а сваки регион примала одговара темену дуала. Дуални граф зависи од тога како је примални граф утопљен: различита планарна утапања једног графа могу довести до различитих дуалних графова. Дуалност матроида је алгебарска екстензија дуалности планарног графа, у смислу да је дуални матроид графичког матроида планарног графа изоморфан графичком матроиду дуалног графа.

Врста геометријске дуалности се такође јавља у теорији оптимизације, али не она која обрће димензије. Линеарни програм може бити спецификован системом реалних променљивих (координате за тачку у еуклидском простору Шаблон:Nowrap системом линеарних ограничења (који специфицирају да тачка лежи у полупростору; пресек ових полупростора је конвексни политоп, допустиви домен програма), и линеарном функцијом (коју треба оптимизовати). Сваки линеарни програм има дуални проблем са истим оптималним решењем, али променљиве у дуалном проблему одговарају ограничењима у прималном проблему и обрнуто. Шаблон:Clear

Дуалност у логици и теорији скупова

У логици, функције или релације Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar се сматрају дуалним ако је Шаблон:Math, где је ¬ логичка негација. Основна дуалност овог типа је дуалност ∃ и ∀ квантификатора у класичној логици. Ови су дуални јер су Шаблон:Math и Шаблон:Math еквивалентни за све предикате Шаблон:Var у класичној логици: ако постоји Шаблон:Var за које Шаблон:Var не важи, онда је нетачно да Шаблон:Var важи за свако Шаблон:Var (али обрнуто не важи конструктивно). Из ове фундаменталне логичке дуалности следи неколико других:

• За формулу се каже да је задовољива у одређеном моделу ако постоје доделе њеним слободним променљивама које је чине тачном; она је важећа ако је свака додела њеним слободним променљивама чини тачном. Задовољивост и ваљаност су дуални јер су неважеће формуле управо оне чије су негације задовољиве, а незадовољиве формуле су оне чије су негације важеће.  Ово се може посматрати као посебан случај претходне ставке, где се квантификатори крећу кроз интерпретације.
• У класичној логици, оператори Шаблон:Math и Шаблон:Math су дуални у овом смислу, јер су Шаблон:Math и Шаблон:Math еквивалентни.  Ово значи да за сваку теорему класичне логике постоји еквивалентна дуална теорема.  Де Морганови закони су примери.  Општије, Шаблон:Math.  Лева страна је тачна ако и само ако Шаблон:Math, а десна страна ако и само ако ¬∃i.x_i.
• У модалној логици, Шаблон:Math значи да је исказ Шаблон:Mvar „нужно” тачан, а Шаблон:Math да је Шаблон:Mvar „могуће” тачан.  Већина интерпретација модалне логике додељује дуална значења овим двема операторима.  На пример у Крипкеовој семантици, „Шаблон:Mvar је могуће тачно” значи „постоји неки свет Шаблон:Mvar такав да је Шаблон:Mvar тачно у Шаблон:Mvar”, док „Шаблон:Mvar је нужно тачно” значи „за све светове Шаблон:Mvar, Шаблон:Mvar је тачно у Шаблон:Mvar”.  Дуалност Шаблон:Math и Шаблон:Math тада следи из аналогне дуалности Шаблон:Math и Шаблон:Math. Други дуални модални оператори понашају се слично. На пример, темпорална логика има операторе који означавају „биће тачно у неком тренутку у будућности” и „биће тачно у свим тренуцима у будућности” који су слично дуални.

Друге аналогне дуалности следе из ових:

• Скуповна унија и пресек су дуални под оператором скуповног комплемента Шаблон:Math. То јест, Шаблон:Math, и општије, Шаблон:Math. Ово следи из дуалности Шаблон:Math и Шаблон:Math: елемент Шаблон:Mvar је члан пресека Шаблон:Math ако и само ако Шаблон:Math, и члан је комплемента Шаблон:Math ако и само ако Шаблон:Math.

Бидуал

Дуал дуала, који се назива бидуал или двоструки дуал, у зависности од контекста, често је идентичан оригиналу (такође названом примал), и дуалност је инволуција. У овом случају бидуал се обично не издваја, већ се позива само на примал и дуал. На пример, дуални посет дуалног посета је тачно оригинални посет, јер је инверзна релација дефинисана инволуцијом.

У другим случајевима, бидуал није идентичан прималу, иако често постоји блиска веза. На пример, дуални конус дуалног конуса неког скупа садржи примални скуп (то је најмањи конус који садржи примални скуп), и једнак је ако и само ако је примални скуп конус.

Важан случај је код векторских простора, где постоји пресликавање са прималног простора на двоструки дуал, Шаблон:Math, познато као „канонско евалуационо пресликавање”. За коначнодимензионалне векторске просторе ово је изоморфизам, али то нису идентични простори: то су различити скупови. У теорији категорија, ово је генерализовано кроз Шаблон:Slink и „природну трансформацију” са функтора идентитета на функтор двоструког дуала. За векторске просторе (посматране алгебарски), ово је увек инјекција; види Шаблон:Slink. Ово се може генерализовати алгебарски на дуални модул. И даље постоји канонско евалуационо пресликавање, али оно није увек инјективно; ако јесте, ово је познато као модул без торзије; ако је изоморфизам, модул се назива рефлексивним.

За тополошке векторске просторе (укључујући нормиране векторске просторе), постоји посебан појам тополошког дуала, означеног са Шаблон:Tmath како би се разликовао од алгебарског дуала Шаблон:VarШаблон:Sup, са различитим могућим топологијама на дуалу, од којих свака дефинише различит бидуални простор Шаблон:Tmath. У овим случајевима канонско евалуационо пресликавање Шаблон:Tmath генерално није изоморфизам. Ако јесте, ово је познато (за одређене локално конвексне векторске просторе са топологијом јаког дуалног простора) као рефлексивни простор.

У другим случајевима, показивање релације између примала и бидуала је значајан резултат, као у Понтрјагиновој дуалности (локално компактна Абелова група је природно изоморфна свом бидуалу).

Дуални објекти

Група дуалности може се описати тако што се, за било који математички објекат Шаблон:Mvar, скуп морфизама Шаблон:Math у неки фиксирани објекат Шаблон:Mvar, опреми структуром сличном оној од Шаблон:Mvar. Ово се понекад назива унутрашњи Hom. Генерално, ово даје праву дуалност само за специфичне изборе објекта Шаблон:Mvar, у ком случају се Шаблон:Math назива дуалом од Шаблон:Mvar. Увек постоји пресликавање са Шаблон:Mvar на бидуал, односно, на дуал дуала, $$X\to X^{\ast \ast }:=(X^{\ast }{)}^{\ast }=\mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(X,D),D).$$ Оно додељује неком Шаблон:Math пресликавање које повезује било које пресликавање Шаблон:Math (тј., елемент у Шаблон:Math) са вредношћу Шаблон:Math. Зависно од конкретне разматране дуалности, као и од објекта Шаблон:Mvar, ово пресликавање може или не мора бити изоморфизам.

Поновни осврт на дуалне векторске просторе

Конструкција дуалног векторског простора $$V^{\ast }=\mathrm{Hom}(V,K)$$ поменута у уводу је пример овакве дуалности. Заиста, скуп морфизама, тј. линеарних пресликавања, формира векторски простор сам по себи. Пресликавање Шаблон:Math поменуто изнад је увек инјективно. Оно је сурјективно, а тиме и изоморфизам, ако и само ако је димензија од Шаблон:Mvar коначна. Ова чињеница карактерише коначнодимензионалне векторске просторе без позивања на базу.

Изоморфизми од Шаблон:Math и Шаблон:Math и простори унутрашњег производа

Векторски простор Шаблон:Math је изоморфан са Шаблон:Math тачно ако је Шаблон:Math коначнодимензионалан. У овом случају, такав изоморфизам је еквивалентан недегенерисаној билинеарној форми $$\phi :V\times V\to K$$ У овом случају Шаблон:Math се назива простором унутрашњег производа. На пример, ако је Шаблон:Math поље реалних или комплексних бројева, свака позитивно дефинитна билинеарна форма доводи до таквог изоморфизма. У Римановој геометрији, Шаблон:Math се узима као тангентни простор многострукости и такве позитивне билинеарне форме називају се Римановим метрикама. Њихова сврха је мерење углова и удаљености. Стога је дуалност темељна основа ове гране геометрије. Још једна примена простора унутрашњег производа је Хоџова звезда која пружа кореспонденцију између елемената екстеријерне алгебре. За Шаблон:Math-димензионални векторски простор, оператор Хоџове звезде пресликава [[Диференцијална форма|Шаблон:Math-форме]] у Шаблон:Math-форме. Ово се може користити за формулисање Максвелових једначина. У овом облику, дуалност инхерентна простору унутрашњег производа размењује улоге магнетног и електричног поља.

Дуалност у пројективној геометрији

Потпуни четвороугаоник, конфигурација од четири тачке и шест правих у пројективној равни (лево) и његова дуална конфигурација, потпуни четвоространик, са четири праве и шест тачака (десно).

У неким пројективним равнима, могуће је пронаћи геометријске трансформације које пресликавају сваку тачку пројективне равни у праву, и сваку праву пројективне равни у тачку, на начин који чува инциденцију. За такве равни настаје општи принцип дуалности у пројективним равнима: за сваку теорему у таквој равни пројективне геометрије, замена термина „тачка” и „права” свуда резултира новом, једнако валидном теоремом. Једноставан пример је да тврдња „две тачке одређују јединствену праву, праву која пролази кроз те тачке” има дуалну тврдњу да „две праве одређују јединствену тачку, тачку пресека те две праве”. За даље примере, види Дуалне теореме.

Концептуално објашњење овог феномена у неким равнима (посебно равнима поља) нуди дуални векторски простор. Заправо, тачке у пројективној равни ${ℝ\mathbb{P}}^2$ одговарају једнодимензионалним векторским потпросторима $V\subset {ℝ}^3$ док праве у пројективној равни одговарају векторским потпросторима $W$ димензије 2. Дуалност у таквим пројективним геометријама потиче од додељивања једнодимензионалном $V$ потпростора од $({ℝ}^3{)}^{\ast }$ који се састоји од оних линеарних пресликавања $f:{ℝ}^3\to ℝ$ која задовољавају $f(V)=0$. Као последица димензионе формуле линеарне алгебре, овај простор је дводимензионалан, тј. он одговара правој у пројективној равни придруженој $({ℝ}^3{)}^{\ast }$.

(Позитивно дефинитна) билинеарна форма $$⟨\cdot ,\cdot ⟩:{ℝ}^3\times {ℝ}^3\to ℝ,⟨x,y⟩=\sum _{i=1}^3{x}_i{y}_i$$ даје идентификацију ове пројективне равни са ${ℝ\mathbb{P}}^2$. Конкретно, дуалност додељује простору $V\subset {ℝ}^3$ његов ортогонални $\{w\in {ℝ}^3,⟨v,w⟩=0\text{ за све }v\in V\}$. Експлицитне формуле у дуалности у пројективној геометрији настају путем ове идентификације.

Тополошки векторски простори и Хилбертови простори

У домену тополошких векторских простора, постоји слична конструкција, где се дуал замењује тополошким дуалним векторским простором. Постоји неколико појмова тополошког дуалног простора, и сваки од њих доводи до одређеног концепта дуалности. Тополошки векторски простор $X$ који је канонски изоморфан свом бидуалу $X^{″}$ назива се рефлексивни простор: $$X\cong X^{″}.$$

Примери:

• Као у коначнодимензионалном случају, на сваком Хилбертовом простору Шаблон:Mvar његов унутрашњи производ Шаблон:Math дефинише пресликавање $$H\to H^{\ast },v\mapsto (w\mapsto ⟨w,v⟩),$$ које је бијекција због Рисове теореме о репрезентацији. Као последица, сваки Хилбертов простор је рефлексивни Банахов простор.
• Дуални нормирани простор [[Lp простори|Шаблон:Math-простора]] је Шаблон:Math где је Шаблон:Math под условом да је Шаблон:Math, али дуал од Шаблон:Math је већи од Шаблон:Math. Стога Шаблон:Math није рефлексиван.
• Дистрибуције су линеарни функционали на одговарајућим просторима функција. Они су важно техничко средство у теорији парцијалних диференцијалних једначина (ПДЈ): уместо директног решавања ПДЈ, може бити лакше прво решити ПДЈ у „слабом смислу”, тј. пронаћи дистрибуцију која задовољава ПДЈ и, друго, показати да решење мора, заправо, бити функција. Сви стандардни простори дистрибуција — $𝒟\text{'}(U)$, $𝒮\text{'}({ℝ}^n)$, ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}(U{)}^{\prime }$ — су рефлексивни локално конвексни простори.

Даљи дуални објекти

Дуална решетка решетке Шаблон:Mvar дата је са $$\mathrm{Hom}(L,\mathbb{Z}),$$ скупом линеарних функција на реалном векторском простору који садржи решетку и које пресликавају тачке решетке у целе бројеве $\mathbb{Z}$. Ово се користи у конструкцији торичних варијетета. Понтрјагинов дуал локално компактних тополошких група G дат је са $$\mathrm{Hom}(G,S^1),$$ непрекидним хомоморфизмима група са вредностима у кружници (са множењем комплексних бројева као групном операцијом).

Дуалне категорије

Супротна категорија и адјунговани функтори

У другој групи дуалности, објекти једне теорије преводе се у објекте друге теорије, а пресликавања између објеката у првој теорији преводе се у морфизме у другој теорији, али са обрнутим смером. Користећи речник теорије категорија, ово се своди на контраваријантни функтор између две категорије Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar: Шаблон:Block indent који за било која два објекта X и Y из C даје пресликавање Шаблон:Block indent Тај функтор може, али не мора бити еквиваленција категорија. Постоје разне ситуације где је такав функтор еквиваленција између супротне категорије Шаблон:Math категорије Шаблон:Mvar, и Шаблон:Mvar. Користећи дуалност овог типа, сваки исказ у првој теорији може се превести у „дуални” исказ у другој теорији, при чему се смер свих стрелица мора обрнути. Стога, свака дуалност између категорија Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar је формално иста као еквиваленција између Шаблон:Mvar и Шаблон:Math (или Шаблон:Math и Шаблон:Mvar). Међутим, у многим околностима супротне категорије немају инхерентно значење, што дуалност чини додатним, засебним концептом.

Категорија која је еквивалентна свом дуалу назива се самодуалном. Пример самодуалне категорије је категорија Хилбертових простора.

Многи категоријско-теоријски појмови долазе у паровима у смислу да одговарају једни другима приликом разматрања супротне категорије. На пример, Декартови производи Шаблон:Math и дисјунктне уније Шаблон:Math скупова су дуални једни другима у смислу да Шаблон:Block indent и Шаблон:Block indent за било који скуп Шаблон:Mvar. Ово је посебан случај општијег феномена дуалности, према којем лимеси у категорији Шаблон:Mvar одговарају колимесима у супротној категорији Шаблон:Math; даљи конкретни примери овога су епиморфизми наспрам мономорфизама, посебно факторски модули (или групе итд.) наспрам подмодула, директни производи наспрам директних сума (такође званих копроизводи да би се нагласио аспект дуалности). Због тога, у неким случајевима, докази одређених тврдњи се могу преполовити, користећи овакав феномен дуалности. Даљи појмови који приказују повезаност оваквом категоријском дуалношћу су пројективни и инјективни модули у хомолошкој алгебри, фибрације и кофибрације у топологији и генералније моделне категорије.

Два функтора Шаблон:Math и Шаблон:Math су адјунгована ако за све објекте c у C и d у D важи Шаблон:Block indent на природан начин.  Заправо, кореспонденција лимеса и колимеса је пример адјункције, будући да постоји адјункција Шаблон:Block indent између функтора колимеса који сваком дијаграму у Шаблон:Mvar индексираном неком категоријом Шаблон:Mvar додељује његов колимес и дијагоналног функтора који пресликава било који објекат Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar у константан дијаграм који има Шаблон:Mvar на свим местима. Дуално, Шаблон:Block indent

Простори и функције

Гељфандова дуалност између комутативних C*-алгебри A и компактних Хаусдорфових простора X је исто: она простору X додељује простор непрекидних функција (које теже нули у бесконачности) са X у C, комплексне бројеве. Обрнуто, простор X може се реконструисати из A као спектар од A. И Гељфандова и Понтрјагинова дуалност се могу извести на углавном формалан, категоријско-теоријски начин.

У сличном духу постоји дуалност у алгебарској геометрији између комутативних прстена и афиних шема: за сваки комутативни прстен A постоји афини спектар, Spec A. Обрнуто, за дату афину шему S, добија се прстен узимањем глобалних пресека структурног снопа O_S. Поред тога, хомоморфизми прстена су у један-на-један кореспонденцији са морфизмима афиних шема, чиме се добија еквиваленција

(Комутативни прстени)^op ≅ (афине шеме)

Афине шеме су локални градивни блокови шема. Претходни резултат стога говори да је локална теорија шема исто што и комутативна алгебра, проучавање комутативних прстена.

Некомутативна геометрија црпи инспирацију из Гељфандове дуалности и проучава некомутативне C*-алгебре као да су функције на неком замишљеном простору. Танака-Крејнова дуалност је некомутативни аналог Понтрјагинове дуалности.

Галоаове конекције

У бројним ситуацијама, две категорије које су међусобно дуалне заправо произилазе из парцијално уређених скупова, тј. постоји неки појам да је објекат „мањи” од другог. Дуалност која поштује дотична уређења позната је као Галоаова конекција. Пример је стандардна дуалност у Галоаовој теорији поменута у уводу: већа екстензија поља одговара—под пресликавањем које било којој екстензији L ⊃ K (унутар неког фиксног већег поља Ω) додељује Галоаову групу Gal (Ω / L) —мањој групи.

Колекција свих отворених подскупова тополошког простора X формира комплетну Хејтингову алгебру. Постоји дуалност, позната као Стоунова дуалност, која повезује собер просторе и просторне локале.

• Биркофова теорема о репрезентацији која повезује дистрибутивне решетке и парцијалне поретке

Понтрјагинова дуалност

Понтрјагинова дуалност даје дуалност на категорији локално компактних Абелових група: за дату такву групу G, група карактера

χ(G) = Hom (G, S¹)

дата непрекидним хомоморфизмима група из G у кружну групу S¹ може бити опремљена компактно-отвореном топологијом. Понтрјагинова дуалност наводи да је група карактера поново локално компактна Абелова и да је

G ≅ χ(χ(G)).

Штавише, дискретне групе одговарају компактним Абеловим групама; коначне групе одговарају коначним групама. С једне стране, Понтрјагинова дуалност је посебан случај Гељфандове дуалности. С друге стране, она је концептуални разлог Фуријеове анализе, види испод.

Аналитичке дуалности

У анализи, проблеми се често решавају преласком на дуални опис функција и оператора.

Фуријеова трансформација пребацује између функција на векторском простору и његовом дуалу: $$\hat{f}(\xi ):={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx,$$ и обрнуто $$f(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(\xi )e^{2\pi ix\xi }d\xi .$$ Ако је f L²-функција на R или R^N, рецимо, онда је то и $\hat{f}$ и $f(-x)=\hat{\hat{f}}(x)$. Штавише, трансформација мења операције множења и конволуције на одговарајућим просторима функција. Концептуално објашњење Фуријеове трансформације добија се горепоменутом Понтрјагиновом дуалношћу, примењеном на локално компактне групе R (или R^N итд.): сваки карактер од R је дат са ξ ↦ e^−2πixξ. Карактер дуализовања Фуријеове трансформације има много других манифестација, на пример, у алтернативним описима квантно-механичких система преко координатних и импулсних репрезентација.

• Лапласова трансформација је слична Фуријеовој трансформацији и мења операторе множења полиномима са константним коефицијентом линеарним диференцијалним операторима.
• Лежандрова трансформација је важна аналитичка дуалност која пребацује између брзина у Лагранжевој механици и импулса у Хамилтоновој механици.

Хомологија и кохомологија

Теореме које показују да су одређени објекти од интереса дуални простори (у смислу линеарне алгебре) других објеката од интереса често се називају дуалностима. Многе од ових дуалности дате су билинеарним упаривањем два K-векторска простора

A ⊗ B → K.

За савршена упаривања, стога, постоји изоморфизам из A у дуал од B.

Поенкареова дуалност

Поенкареова дуалност глатке компактне комплексне многострукости X дата је упаривањем сингуларне кохомологије са C-коефицијентима (еквивалентно, кохомологијом снопова константног снопа C)

Hⁱ(X) ⊗ H²ⁿ⁻ⁱ(X) → C,

где је n (комплексна) димензија од X. Поенкареова дуалност се такође може изразити као релација сингуларне хомологије и Де Рамове кохомологије, тврдећи да је пресликавање

$(\gamma ,\omega )\mapsto {\int }_{\gamma }\omega$

(интегрисање диференцијалне k-форме преко (2n − k)-(реално-)димензионалног циклуса) савршено упаривање.

Поенкареова дуалност такође обрће димензије; то одговара чињеници да, ако је тополошка многострукост представљена као ћелијски комплекс, онда дуал тог комплекса (вишедимензионална генерализација дуала планарног графа) представља исту многострукост. У Поенкареовој дуалности, овај хомеоморфизам се огледа у изоморфизму k-те групе хомологије и (n − k)-те групе кохомологије.

Дуалност у алгебарској и аритметичкој геометрији

Исти образац дуалности важи за глатки пројективни варијетет преко сепарабилно затвореног поља, користећи уместо тога l-адичну кохомологију са Q_ℓ-коефицијентима. Ово је даље генерализовано на потенцијално сингуларне варијетете, користећи пресечну кохомологију, што је дуалност која се назива Вердијеова дуалност. Серова дуалност или кохерентна дуалност су сличне горенаведеним тврдњама, али се примењују на кохомологију кохерентних снопова.

Са повећањем нивоа општости, испоставља се да је све већа количина техничког предзнања корисна или неопходна за разумевање ових теорема: модерна формулација ових дуалности може се урадити помоћу изведених категорија и одређених функтора директне и инверзне слике снопова (у односу на класичну аналитичку топологију на многострукостима за Поенкареову дуалност, l-адичних снопова и еталне топологије у другом случају, и у односу на кохерентне снопове за кохерентну дуалност).

Још једна група сличних тврдњи о дуалности сусреће се у аритметици: етална кохомологија коначних, локалних и глобалних поља (такође позната као Галоаова кохомологија, јер је етална кохомологија над пољем еквивалентна кохомологији група (апсолутне) Галоаове групе поља) допушта слична упаривања. Апсолутна Галоаова група G(F_q) коначног поља, на пример, изоморфна је са $\widehat{𝐙}$, профинитним комплетирањем скупа Z, целих бројева. Стога је савршено упаривање (за било који G-модул M)

Hⁿ(G, M) × H¹⁻ⁿ (G, Hom (M, Q/Z)) → Q/Z

директна последица Понтрјагинове дуалности коначних група. За локална и глобална поља постоје сличне тврдње (локална дуалност и глобална или Поату-Тејтова дуалност).

Види још

• Адјунговани функтор
• Аутономна категорија
• Конвексно тело и поларно тело.
• Дуални Абелов варијетет
• Дуална база
• Дуал (теорија категорија)
• Дуални код
• Дуалност (електротехника)
• Дуалност (оптимизација)
• Дуализујући модул
• Дуализујући сноп
• Дуална решетка
• Дуална норма
• Дуални бројеви, одређена асоцијативна алгебра; термин „дуални” овде је синоним за двоструки, и није повезан са горе наведеним појмовима.
• Дуални систем
• Кошулова дуалност
• Ленглендсов дуал
• Линеарно програмирање#Дуалност
• Списак дуалности
• Матлисова дуалност
• Петријева дуалност
• Понтрјагинова дуалност
• S-дуалност
• T-дуалност, Огледална симетрија

Литература

Општа дуалност

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal

Дуалност у алгебарској топологији

• Шаблон:Cite journal

Специфичне дуалности

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book