Квадратна форма

Квадратна форма је алгебарски појам који означава пресликавање $\mathrm{\Phi }:V\to K$, где је -{V}- векторски простор над пољем -{K}-, индуковано пресликавањем $F:V\times V\to K$, и то тако да важи $(\mathrm{\forall }u\in V)\mathrm{\Phi }(u)=F(u,u)$, а које испуњава услове:

$1^{\circ }(\mathrm{\forall }\alpha \in K)(\mathrm{\forall }u\in V)\mathrm{\Phi }(\alpha u)={\alpha }^2\mathrm{\Phi }(u)$, и

$2^{\circ }{F}_0(u,v)=\mathrm{\Phi }(u+v)-\mathrm{\Phi }(u)-\mathrm{\Phi }(v)$ је билинеарно пресликавање.

Скуп свих оваквих пресликавања -{Ф}- означава се са -{Q(V, K)}-, и за њега важи да је потпростор простора свих пресликавања из -{V}- у -{K}- ($K^V$).

Особине квадратних форми

С обзиром на дефиницију, уколико је -{F}- симетрична билинеарна форма, важиће и $F_0=2F$, за већ дате ознаке. Додатно, ако поље -{K}- није поље карактеристике 2, тада ће, имајући у виду дату једнакост, бити и $F(u,v)=\frac{1}{2}(\mathrm{\Phi }(u+v)-\mathrm{\Phi }(u)-\mathrm{\Phi }(v))$.

Важи и обратно, тј. за ма које пресликавање -{Ф}- које испуњава 1° и 2° постојаће јединствена билинеарна форма -{F}- за коју важи $(\mathrm{\forall }u\in V)\mathrm{\Phi }(u)=F(u,u)$ и $F(u,v)=\frac{1}{2}(\mathrm{\Phi }(u+v)-\mathrm{\Phi }(u)-\mathrm{\Phi }(v))$, али само уколико је карактеристика поља -{K}- већа од 2.

Управо ова једнозначност дозвољава увођење посебног назива за функцију -{F}- — поларизација или поларна форма квадратне форме -{Ф}-.

Поред овога, може се дефинисати и изоморфизам веторских простора -{Q(V, K)}- и -{S2(V, K)}- — $\mathrm{\Omega }:Q(V,K)\to S2(V,K)$ са $\mathrm{\Omega }(\mathrm{\Phi })=F$.

Матрице квадратних форми

Нека је -{Ф}- квадратна форма и -{F}- њена поларизација и -{А}- ($A=[a_{ij}]$) матрица -{F}- у бази -{е}- ($e=[e_1,...,e_n]$). Пошто је -{F}- билинеарна форма, важи $F(u,v)=X^{T}AY$, за неке -{X}- и -{Y}-. Но, како $\mathrm{\Phi }(u)=F(u,u)$, то је $\mathrm{\Phi }(u)=X^{T}AY$, за -{X}- колону координата вектора -{u}- у бази -{е}-. Ипак, оваква матрица -{А}- није једнозначно одређена, али међу свима које испуњавају услов постоји јединствена која је симетрична. Ово је матрица поларизације -{F}- за -{Ф}- у бази -{е}-, а она се још назива и матрицом квадратне форме -{Ф}- у бази -{е}-, и означава се са $[\mathrm{\Phi }{]}_e$. Слично као малопре, дата матрица квадратне форме одређује тачно једну квадратну форму (тј. важи и обрат). Општа матрица квадратне форме у бази димензије -{n}- је облика

$A=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \dots & a_{1n}\\ a_{12}& a_{22}& a_{23}& \dots & a_{2n}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}& \dots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& a_{3n}& \dots & a_{nn}\end{array}\right]$,

тј. важи $[A{]}_{ij}=[A{]}_{ji}$ за -{i}- и -{j}- који су између 1 и -{n}-.

Детерминанта матрице квадратне форме -{Ф}- се још назива и дискриминантом квадратне форме, у ознаци ${\mathrm{\Delta }}_e(\mathrm{\Phi })=\det [\mathrm{\Phi }{]}_e$. Уколико постоји још нека база простора -{V}- — -{g}- таква да $g=Pe$ тада важи ${\mathrm{\Delta }}_g(\mathrm{\Phi })=(\det P{)}^2{\mathrm{\Delta }}_e(\mathrm{\Phi })$.

Види још

• Линеарна алгебра
• Пресликавање
• Векторски простор

Литература

• Шаблон:Cite book