Kvadratna formula

U elementarnoj algebri, kvadratna formula je rešenje kvadratne jednačine. Postoje jos načina rešavanja kvadratne jednačine umesto korišćenja kvadratne jednačine poput: faktorizacije,dopune do potpunog kvadrata,grafikom funkcije. Korišćenje kvadratne formule je uglavnom najpogodniji način.

Generalna kvadratna formula je:

$a x^{2} + b x + c = 0 .$

Ovde x predstavlja nepoznatu, dok su Шаблон:Math ,Шаблон:Math i Шаблон:Math konstante gde Шаблон:Math nije jednaka 0.Može se proveriti da li kvadratna formula zadovoljava kvadratnu jednačinu postavljanjem prethodnog u novo.Sa ovom parametrizacijom iznad, kvadratna formula je: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ Svako rešenje dobijeno od kvadratne formule se naziva korenom kvadratne jednačine.Geometrijski, ovi koreni predstavljaju Шаблон:Math vrednosti gde bilo koja parabola,eksplicitno data kao Шаблон:Math, seče Шаблон:Math-osu. Pored toga što je formula koja će dati nule bilo koje parabole,kvadratna formula će dati i osu simetriju parabole i može se koristiti da se odmah utvrdi koliko realnih nula ima kvadratna jednačina.

Izvođenje formule

Koristeći metodu „Dopuna do potpunog kvadrata”

Kvadratna formula se može izvesti sa jednostavnom primenom „dopune do potpunog kvadrata”.^[1]^[2]^[3]^[4] Dva izvođenja su sledeća :

Metoda 1

Podeliti kvadratnu jednačinu sa $a$ , što je dozvoljeno jer $a$ nije nula.

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 .$

Oduzeti $\frac{c}{a}$ od obe strane jednačine, time dobijamo :

$x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a} .$

Kvadratna jednačina je sada u formi gde možemo primeniti dopunu do potpunog kvadrata. Dakle, dodajte konstantu na obe strane jednačine tako da leva strana postane potpun kvadrat.

$x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2},$

što proizvodi :

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} .$

Prema tome, nakon preraspodele termina sa desne strane da bi imali zajednički imenilac, dobijamo sledeće :

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} .$

Kvadrat se time upotpunio. Korenovanjem obe strane dobijamo sledeću jednačinu :

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Izolovanjem broja x dobijamo kvadratnu formulu :

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Simbol plus-minus „±” označava da su

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} i x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

oboje rešenja kvadratne jednačine.^[5] Postoje mnoge varijacije ovog izvođenja sa malim razlikama, u većini slučajeva je to korišćenjem broja $a$ .

Kvadratna formula se može zapisati i kao :

$x = \frac{- b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}},$

što se može pojednostaviti na :

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{{(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}} .$

Ova verzija formule je korisna kada se kompleksni koreni dozvoljavaju. Izraz van korena će biti realan deo, dok će izraz sa kvadratnim korenom biti imaginaran deo. Izraz unutar korena je diskriminanta.

Neki izvori, pogotovo stariji, koriste alternativne parametrizacije kvadratne jednačine poput ax² − 2bx + c = 0^[6] ili ax² + 2bx + c = 0^[7] , gde $b$ ima vrednost polovine češće. Ovo dovodi do malo različitijih formi rešenja, ali su inače jednaki.

Manje poznata kvadratna formula, korišćena u Mulerovoj metodi i koja se može pronaći u Vietovim formulama, daje iste korene preko jednačine :

$x = \frac{- 2 c}{b \mp \sqrt{b^{2} - 4 a c}} = \frac{2 c}{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}} .$

Metoda 2

Veliki deo knjiga o algebri proteklih decenija uče o dopuni do potpunog kvadrata koristeći prethodnu formulu : (1) Podeli obe strane sa $a$ , (2) Preurediti , (3) Zatim dodaj $(b / 2 a) 2$ na obe strane da bi upotpunili kvadrat.

Kao što je istakao Larri Hoehn 1975. godine, upotpunjavanje kvadrata može se postići različitim redosledom koji vodi do jednostavnijeg niza težih termina: (1) Pomnoži obe strane sa $4 a$ , (2) Preurediti, (3) Zatim dodaj $b^{2}$ .^[8]

Drugim rečima, kvadratna formula se može ovako izvesti :

$\begin{matrix} a x^{2} + b x + c & = 0 \\ 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c & = 0 \\ 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x & = - 4 a c \\ 4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2} & = b^{2} - 4 a c \\ (2 a x + b)^{2} & = b^{2} - 4 a c \\ 2 a x + b & = \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ 2 a x & = - b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c} \\ x & = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} . \end{matrix}$

Ovo zapravo predstavlja veoma staro izvođenje kvadratne formule i bila je poznata Hindusima 1025. godine.^[9] U poređenju sa standardnim izvođenjem, ovo izvođenje je kraće, uključuje manje kalkulacija sa apsolutnim koeficijentima, izbegava razlomke do poslednjeg koraka, ima lakše izraze, i uključuje lakšu matematiku. Kao što Hoen tvrdi, " lakše je dodati koren od $b^{'}$ nego dodati koren polovine koeficijenta $x$ ".^[8]

Veliki broj alternativnih izvođenja kvadratne formule se nalaze u literaturi. Ova izvođenja možda su jednostavnija od standardnog upotpunjavanja kvadrata i predstavljaju interesantne koristi drugih algebarskih tehnika ili možda nude uvid u druge oblasti matematike.

Korišćenjem zamene

Jedna tehnika je korišćenje zamene.^[10] U ovoj tehnici mi zamenjujemo $x = y + m$ u kvadratnu formulu da dobijemo :

$a (y + m)^{2} + b (y + m) + c = 0 .$

Proširivanjem i vađenjem $y$ ispred zagrade dobijamo :

$a y^{2} + y (2 a m + b) + (a m^{2} + b m + c) = 0 .$

Još nismo uveli drugi uslov na $y$ i $m$ , zato sada biramo $m$ da bi središnji izraz nestao. To bi bilo $2 a m + b = 0$ ili $m = - b / 2 a$ . Oduzimanjem konstantan izraz sa obe strane jednačine ( da bi je pomerili na desnu stranu jednačine ) a zatim podeliti sa $a$ nam daje :

$y^{2} = \frac{- (a m^{2} + b m + c)}{a} .$

Zamenjivanje sa $m$ daje :

$y^{2} = \frac{- (\frac{b^{2}}{4 a} + \frac{- b^{2}}{2 a} + c)}{a} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} .$

Tako da je :

$y = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Zamenom $x = y + m = y - b / 2 a$ nam daje kvadratnu formulu :

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Koristeći algebarske identitete

Ovu metodu su koristili razni matematičari kroz istoriju:^[11]

Neka koreni standardne kvadratne jednačine budu r₁ i r₂. Izvođenje počinje ponovnim pozivanjem identiteta:

$(r_{1} - r_{2})^{2} = (r_{1} + r_{2})^{2} - 4 r_{1} r_{2} .$

Korenovanjem obe strane dobijamo:

$r_{1} - r_{2} = \sqrt{(r_{1} + r_{2})^{2} - 4 r_{1} r_{2}} .$

Pošto je koeficijent a ≠ 0, možemo podeliti standardnu jednačinu sa a da bi dobili kvadratni polinom sa istim korenima. Naime,

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = (x - r_{1}) (x - r_{2}) = x^{2} - (r_{1} + r_{2}) x + r_{1} r_{2} .$

Iz ovoga se vidi da je zbir korena standardne kvadratne jednačine dobijen preko −b/a, a proizvod preko c/a. Stoga se identitet može prepisati kao:

$r_{1} - r_{2} = \pm \sqrt{{(- \frac{b}{a})}^{2} - 4 \frac{c}{a}} = \pm \sqrt{\frac{b^{2}}{a^{2}} - \frac{4 a c}{a^{2}}} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a} .$

Sada,

$r_{1} = \frac{(r_{1} + r_{2}) + (r_{1} - r_{2})}{2} = \frac{- \frac{b}{a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{a}}{2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Pošto je Шаблон:Math, ako uzmemo da je

$r_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

onda dobijemo da je

$r_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a},$

a ako uzmemo da je

$r_{1} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

onda dobijemo da je

$r_{2} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Kombinovanjem ovih rezultata koristeći skraćenicu ±, dobijemo da su rešenja kvadratne jednačine data pomoću:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Koristeći Lagranžove resolvente

Alternativni način izvođenja kvadratnih formula je preko Lagranžovih resolvenata,^[12] koji su rani deo Galove teorije.^[13] Ova metoda može biti generalizovana radi dobijanja korena kubnih polinoma i funkcija četvrtog stepena i vodi do Galove teorije, koja omogućava razumevanje rešenja algebarske jednačine bilo kog stepena u pogledu grupa simetrija njihovih korena, Galove grupe. Ovaj pristup više se fokusira na korene nego na preuređivanje originalne jednačine. Dat je kvadratni polinom

$x^{2} + p x + q,$

pretpostavi da je

$x^{2} + p x + q = (x - α) (x - β),$

Proširenje se poništava

$x^{2} + p x + q = x^{2} - (α + β) x + α β,$

gde su Шаблон:Math i Шаблон:Math.

Pošto redosled množenja nije bitan, Шаблон:Math i Шаблон:Math se mogu menjati, a da se vrednosti Шаблон:Math i Шаблон:Math ne menjaju: može se reći da su Шаблон:Math i Шаблон:Math simetrični polinomi u Шаблон:Math i Шаблон:Math. Zapravo, oni su osnovni simetrični polinomi - bilo koji simetrični polinom u Шаблон:Math i Шаблон:Math može biti izražen preko Шаблон:Math+Шаблон:Math i Шаблон:Math Шаблон:Math. Pristup Galove teorije analiziranju i rešavanju polinoma je: uzimajući u obzir koeficijente polinoma, koje su simetrične funkcije u korenima, može li se "slomiti simetrija" i obnoviti koren? Tako je rešavanje polinoma stepena Шаблон:Math povezano sa načinima preuređivanja ("permutovanja") Шаблон:Math termina, koji se naziva simetrična grupa na Шаблон:Math slova, i označava Шаблон:Math. Za kvadratni polinom, jedini način da se preurede dva termina je da se oni zamene ("transponuju"), i tako rešavanje kvadratnog polinoma je jednostavno.

Da bi našao korene Шаблон:Math i Шаблон:Math, uzmi u obzir njihov zbir i razliku:

$\begin{matrix} r_{1} & = α + β \\ r_{2} & = α - β . \end{matrix}$

To se naziva Lagranžovim resolventima polinoma; primetite da jedna od ovih zavisi od reda korena, što je ključna tačka. Koreni iz resolvenata može se oporaviti invertovanjem gornjih jednačina:

$\begin{matrix} α & = \frac{1}{2} (r_{1} + r_{2}) \\ β & = \frac{1}{2} (r_{1} - r_{2}) . \end{matrix}$

Time, rešavanje resolventima daje originalne korene.

Sad je Шаблон:Math simetrična funkcija u Шаблон:Math i Шаблон:Math, te može biti izražena preko Шаблон:Math i Шаблон:Math, i zapravo Шаблон:Math kao što je gore navedeno. Ali Шаблон:Math nije simetrično jer zamenjivanjem Шаблон:Math i Шаблон:Math poništava se Шаблон:Math . Pošto Шаблон:Math nije simetrično, ne može biti predstavljeno preko koeficijenata Шаблон:Math i Шаблон:Math, jer su oni simetrični u korenu i time je i svaki polinomski izraz koji uključuje njih. Menjanje reda korena menja samo Шаблон:Math za -1 i time je Шаблон:Math simetrična u korenu i može se izraziti preko Шаблон:Math i Шаблон:Math. Koristeći jednačinu

$(α - β)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β$

poništava

$r_{2}^{2} = p^{2} - 4 q$

i time je

$r_{2} = \pm \sqrt{p^{2} - 4 q}$

Ako se uzme pozitivni koren,lomi se simetrija i dobija se:

$\begin{matrix} r_{1} & = - p \\ r_{2} & = \sqrt{p^{2} - 4 q} \end{matrix}$

i time je

$\begin{matrix} α & = \frac{1}{2} (- p + \sqrt{p^{2} - 4 q}) \\ β & = \frac{1}{2} (- p - \sqrt{p^{2} - 4 q}) . \end{matrix}$

Što znači da su koreni

$\frac{1}{2} (- p \pm \sqrt{p^{2} - 4 q})$

što je kvadratna formula. Menjanjem Шаблон:Math poništava se uobičajena forma.Resolventi se mogu prepoznati kao

Шаблон:Math koja je verteks, i Шаблон:Math koja je diskriminanta

.Sličan, ali složeniji metod funkcioniše za kubne jednačine, gde jedna ima tri rezolvente i kvadratnu jednačinu ("rešavajući polinom") koja se odnosi na Шаблон:Math i Шаблон:Math, što se može rešiti kvadratnom jednačinom, a slično za kvartičku jednačinu (stepen 4) ), čije je rešavanje polinoma kubno, što može biti rešeno.^[12] Ista metoda za kvintičku jednačinu daje polinom stepena 24, što ne pojednostavljuje problem, i, u stvari, rešenja kvintičkih jednačina uopšte se ne mogu izraziti koristeći samo korene.

Preko ekstrema

Poznavanje vrednosti Шаблон:Math u funkcionalnoj ekstremnoj tački omogućava da se reši samo za povećanje (ili smanjenje) potrebno u Шаблон:Math da se reši kvadratna jednačina. Ova metoda prvo koristi diferencijaciju da bi našla Шаблон:Math tj. Шаблон:Math u ekstremnoj tački.Zatim rešavamo za vrednost Шаблон:Math, koja osigurava da jeШаблон:Math. Iako to možda nije najintuitivniji metod, osigurava da je matematika jasna.

$\begin{matrix} f (x) & = a x^{2} + b x + c \\ \frac{\partial f}{\partial x} & = 2 a x + b . \end{matrix}$

Postavljanje gornjeg diferencijala na nulu daje nam ekstreme kvadratne funkcije

$x_{ext} = \frac{- b}{2 a} .$

Definišemo Шаблон:Math kao:

$q = x_{0} - x_{ext},$

Ovde je Шаблон:Math vrednost Шаблон:Math koja rešava kvadratnu jednačinu. Zbir Шаблон:Math i Шаблон:Math je ubačena u kvadratnu jednačinu

$\begin{matrix} a {(\frac{- b}{2 a} + q)}^{2} + b (\frac{- b}{2 a} + q) + c & = 0 \\ {(\frac{- b}{2 a} + q)}^{2} + \frac{b}{a} (\frac{- b}{2 a} + q) + \frac{c}{a} & = 0 & (a \neq 0) \\ \frac{b^{2}}{4 a^{2}} + q^{2} - \frac{b q}{a} - \frac{b^{2}}{2 a^{2}} + \frac{b q}{a} + \frac{c}{a} & = 0 \\ \frac{- b^{2}}{4 a^{2}} + q^{2} + \frac{c}{a} & = 0 \\ q^{2} & = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \\ q & = \frac{\pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} . \end{matrix}$

Vrednost Шаблон:Math se zatim dodaje na obe strane jednačine

$x_{0} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Ovo daje kvadratnu formulu. Na ovaj način se izbegava tehnika kompletiranja kvadrata i mnogo složenija matematika nije potrebna. Imajte na umu da je ovo rešenje veoma slično rešavanju koje dobija formulu supstitucijom.

Podelom na realne i imaginarne delove

Uzmimo da je jednačina

$a z^{2} + b z + c = 0$

gde je $z = x + i y$ kompleksan broj i gde su a,b i c su pravi brojevi. Onda

$\begin{matrix} a (x + i y)^{2} + b (x + i y) + c & = 0, a (x^{2} - y^{2} + i 2 x y) + b (x + i y) + c = 0 . \end{matrix}$

Ovo se deli na dve jednačine. Realni deo:

$a (x^{2} - y^{2}) + b x + c = 0$

i imaginarni deo:

$2 a x y + b y = 0 .$

Pretpostaviti da je $y \neq 0$ te podeliti drugu jednačinu sa y:

$2 a x + b = 0$

i rešiti za x:

$x = \frac{- b}{2 a} .$

Zameniti ovu vrednost x u prvoj jednačini i rešiti za y:

$\begin{matrix} a (\frac{b^{2}}{4 a^{2}} - y^{2}) - \frac{b^{2}}{2 a} + c & = 0 \\ \frac{b^{2}}{4 a} - a y^{2} - \frac{2 b^{2}}{4 a} + c & = 0 \\ \frac{- b^{2}}{4 a} - a y^{2} + c & = 0 \\ a y^{2} + \frac{b^{2}}{4 a} - c & = 0 \\ y^{2} & = \frac{c}{a} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}} \\ y & = \pm \sqrt{\frac{c}{a} - \frac{b^{2}}{4 a^{2}}} = \frac{\pm \sqrt{c a - \frac{b^{2}}{4}}}{a} = \frac{\pm \sqrt{4 c a - b^{2}}}{2 a} . \end{matrix}$

Pošto je $z = x + i y$ , onda

$\begin{matrix} z & = \frac{- b}{2 a} \pm \frac{i \sqrt{4 a c - b^{2}}}{2 a} \\ z & = \frac{- b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} . \end{matrix}$

Iako y ne bi trebalo da bude 0, poslednja formula se može koristiti za bilo koji koren originalne jednačine, pretpostavljajući da je y=0 nije od velike pomoći.

Istorijski razvoj

Najranije metode za rešavanje kvadratnih jednačina bile su geometrijske. Vavilonske klinaste tablice sadrže probleme koji se mogu svesti na rešavanje kvadratnih jednačina.^[15] Egipatski Berlin Papirus, koji datira još iz Srednjeg kraljevstva (2050. pne. Do 1650. pne), sadrži rešenje za dvosmernu kvadratnu jednačinu.^[16]

Elemenata uticajne matematičke studije.^[17] Pravila za kvadratne jednačine pojavljuju se u kineskih Devet poglavlja o matematičkoj umetnosti^[18]^[19] oko 200.

godine pre nove ere. U svom radu Arithmetica, grčki matematičar Diofant (otprilike 250 pne) rešavao je kvadratne jednačine metodom koja je više prepoznatljiva algebarska od geometrijske algebre Euklida.^[17] Njegovo rešenje daje samo jedan koren, čak i kada su oba korena pozitivna.^[20]

Indijski matematičar Brahmagupta (597–668 AD) eksplicitno je opisao kvadratnu formulu u svojoj raspravi Brahmasphutasiddhanta objavljenu 628. godine,^[21] ali napisanu rečima umjesto simbolima.^[22] Njegovo rešenje kvadratne jednačine Шаблон:Math bilo je sledeće: "Na apsolutni broj pomnožen četiri puta [koeficijentom] kvadrata, dodajte kvadrat [koeficijenta] srednjeg člana, kvadratni koren istog, bez [koeficijenta] srednjeg člana, podeljen dvostrukim [koeficijentom] kvadrata je vrednost.^[23] Ovo je ekvivalentno:

$x = \frac{\sqrt{4 a c + b^{2}} - b}{2 a} .$

Perzijski matematičar iz 9. veka Mumammad ibn Musa al-Khvarizmi rešio je kvadratne jednačine algebarski.^[24] Kvadratnu formulu koja pokriva sve slučajeve prvi put je dobio Simon Stevin 1594. godine^[25]

Godine 1637. Rene Dekart je objavio La Geometrie koji sadrži posebne slučajeve kvadratne formule u formi koju danas poznajemo.Prvo pojavljivanje opšteg rešenja u modernoj matematičkoj literaturi pojavilo se u izdanju Henrija Hitona^[26] iz 1896. godine.

Značajne koristi

Geometrijski značaj

Što se tiče analitičke geometrije, parabola je kriva čije su (x,y)-koordinate opisane polinomom drugog stepena,to jest, bilo koja jednačina oblika:

$y = p (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0},$

gde Шаблон:Math predstavlja polinom drugog stepena i Шаблон:Math i Шаблон:Math konstantne koeficijente čiji indeksi odgovaraju njihovom odgovarajućem stepenu.Geometrijska interpretacija kvadratne formule je ta da definiše tačke na Шаблон:Math-osi gde će parabola seći osu.Dodatno, ako gledamo kvadratnu formulu iz dva dela:

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = - \frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

osna simetrija se pojavljuje kao linija Шаблон:Math.Drugi deo,√b² − 4ac, pokazuje rastojanje između nula i osne simetrije, gde plus znak predstavlja desno rastojanje, dok znak minus predstavlja levo rastojanje.

Ako bi se rastojanje ovog dela smanjilo na 0, vrednost osne simetrije bi bila Шаблон:Math vrednost jedine nule,to jest,postoji samo jedno moguće rešenje kvadratne jednačine.Algebarski, to znači da Шаблон:Math, ili jednostavno Шаблон:Math (gde je leva strana poznata kao diskriminanta).Ovo je jedan od tri slučaja, gde diskriminanta označava koliko će nula sadržati parabola.Ako je diskriminanta pozitivna,distanca neće biti nula i postojaće 2 rešenja.Međutim, postoji slučaj gde je diskriminanta manja od nule i ovo ukazuje na to da će rastojanje biti imaginarno ili proizvod kompleksne jedinice Шаблон:Math, gde je Шаблон:Math - i nule parabole će biti kompleksni brojevi. Kompleksni koren će biti konjugovano kompleksan, gde će realni deo kompleksnog korena biti vrednost osne simetrije. Neće biti realnih vrednosti Шаблон:Math gde parabola seče Шаблон:Math-osu.

Dimenziona analiza

Ako konstante Шаблон:Math,Шаблон:Math i/iliШаблон:Math imaju jedinice, onda jedinice od Шаблон:Math moraju biti jednaki jedinicama od Шаблон:Math, jer je potrebno da se Шаблон:Math i Шаблон:Math slažu po jedinicama.Štaviše,po istoj logici, jedinica od Шаблон:Math mora biti jednaka jedinicama od Шаблон:Math,sto može biti provereno bez rešavanja za Шаблон:Math.Ovo je dobar način za proveravanje da li je kvadratni izraz fizičkih veličina postavljen korektno, pre rešavanja.

Vidi još

Reference

Шаблон:Normativna kontrola

↑ Шаблон:Citation, Chapter 13 §4.4, p. 291
↑ Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."
↑ Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).
↑ Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Citation
↑ ^8,0 ^8,1 Шаблон:Cite journal
↑ Шаблон:Cite book
↑ Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1
↑ Debnath, L. (2009). The legacy of Leonhard Euler–a tricentennial tribute. Шаблон:Cite journal(3), 353–388. Section 3.6
↑ ^12,0 ^12,1 Шаблон:Cite book . Courier Corporation..
↑ Шаблон:Citation, §6.2, p. 134
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite book
↑ ^17,0 ^17,1 Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite book
↑ Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).
↑ Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Cite book
↑ Шаблон:Citation
↑ Шаблон:Cite journal

[1] Шаблон:Citation, Chapter 13 §4.4, p. 291

[2] Li, Xuhui. An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving, p. 56 (ProQuest, 2007): "The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square."

[3] Rockswold, Gary. College algebra and trigonometry and precalculus, p. 178 (Addison Wesley, 2002).

[4] Beckenbach, Edwin et al. Modern college algebra and trigonometry, p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).

[5] Шаблон:Citation

[6] Шаблон:Citation

[7] Шаблон:Citation

[:0-8] 8,0 ^8,1 Шаблон:Cite journal

[9] Шаблон:Cite book

[10] Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1

[11] Debnath, L. (2009). The legacy of Leonhard Euler–a tricentennial tribute. Шаблон:Cite journal(3), 353–388. Section 3.6

[:1-12] 12,0 ^12,1 Шаблон:Cite book . Courier Corporation..

[13] Шаблон:Citation, §6.2, p. 134

[14] Шаблон:Cite web

[15] Шаблон:Cite book

[16] Шаблон:Cite book

[:2-17] 17,0 ^17,1 Шаблон:Cite book

[18] Шаблон:Cite web

[19] Шаблон:Cite book

[20] Шаблон:Cite book

[21] Bradley, Michael. The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300, p. 86 (Infobase Publishing 2006).

[22] Mackenzie, Dana. The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations, p. 61 (Princeton University Press, 2012).

[23] Шаблон:Cite book

[24] Шаблон:Cite book

[25] Шаблон:Citation

[26] Шаблон:Cite journal

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

Kvadratna formula

Садржај

Izvođenje formule

Koristeći metodu „Dopuna do potpunog kvadrata”

Metoda 1

Metoda 2

Korišćenjem zamene

Koristeći algebarske identitete

Koristeći Lagranžove resolvente

Preko ekstrema

Podelom na realne i imaginarne delove

Istorijski razvoj

Značajne koristi

Geometrijski značaj

Dimenziona analiza

Vidi još

Reference

Мени за навигацију

Kvadratna formula

Izvođenje formule

Koristeći metodu „Dopuna do potpunog kvadrata”

Metoda 1

Metoda 2

Korišćenjem zamene

Koristeći algebarske identitete

Koristeći Lagranžove resolvente

Preko ekstrema

Podelom na realne i imaginarne delove

Istorijski razvoj

Značajne koristi

Geometrijski značaj

Dimenziona analiza

Vidi još

Reference

Мени за навигацију

Претрага