Функција индикатор

График функције индикатора дводимензионог скупа.

У математици, функција индикатор или карактеристична функција је функција дефинисана на скупу $X$, која означава припадност елемента подскупу $A$ од $X$.

Индикатор функција подскупа $A$ скупа $X$ је функција

${\mathrm{𝟏}}_A:X\to \{0,1\}$

дефинисана као

${\mathrm{𝟏}}_A(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{ako}x\in A,\\ 0& \text{ako}x\notin A.\end{array}$

Ајверсонове заграде дозвољавају следећу нотацију: $[x\in A]$.

Напомене о нотацији и терминологији

• Нотација ${\mathrm{𝟏}}_A$ може да означава функцију идентитета.
• Нотација ${\chi }_A$ може да означава карактерисичну функцију у конвексној анализи.

Израз карактеристична функција има другачије (неповезано) значење у теорији вероватноће. Због овога се у теорији вероватноће за овај појам готово увек користи израз функција индикатор, док математичари у другим областима чешће користе израз карактеристична функција за описивање функције која означава припадност скупу.

Основна својства

Пресликавање које повезује подскуп $A$ скупа $X$ са својом функцијом индикатором ${\mathrm{𝟏}}_A$ је инјективно.

У следећим формулама, тачка представља множење, 1·1 = 1, 1·0 = 0 итд. "+" и "−" представљају сабирање и одузимање. "$\cap$" и "$\cup$" су пресек и унија.

Ако су $A$ и $B$ два подскупа од $X$, онда

${\mathrm{𝟏}}_{A\cap B}=min\{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A\cdot {\mathrm{𝟏}}_B,$

${\mathrm{𝟏}}_{A\cup B}=max\{{\mathrm{𝟏}}_A,{\mathrm{𝟏}}_B\}={\mathrm{𝟏}}_A+{\mathrm{𝟏}}_B-{\mathrm{𝟏}}_A\cdot {\mathrm{𝟏}}_B,$

а комплемент функције индикатора за A, тј. A^C је:

${\mathrm{𝟏}}_{A^{\complement }}=1-{\mathrm{𝟏}}_A.$

Општије, претпоставимо да је $A_1,\dots ,A_n$ колекција подскупова од $X$. За свако $x\in X$,

$\prod _{k\in I}(1-{\mathrm{𝟏}}_{A_k}(x))$

је јасно производ нула и јединица. Овај производ има вредност $1$ тачно за оне $x\in X$ који не припадају ни једном од скупова $A_k$, а има вредност $0$ иначе. То јест

$\prod _{k\in I}(1-{\mathrm{𝟏}}_{A_k})={\mathrm{𝟏}}_{X-\bigcup _k{A}_k}=1-{\mathrm{𝟏}}_{\bigcup _k{A}_k}.$

Ако распишемо производ са елве стране, добијамо,

${\mathrm{𝟏}}_{\bigcup _k{A}_k}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}(-1{)}^{|F|}{\mathrm{𝟏}}_{\bigcap _F{A}_k}=\sum _{\mathrm{\varnothing }\ne F\subseteq \{1,2,\dots ,n\}}(-1{)}^{|F|+1}{\mathrm{𝟏}}_{\bigcap _F{A}_k}$

где је $|F|$ кардиналност од $F$. Ово је један облик принципа укључења-искључења.

Као што се види у претходном примеру, функција индикатор је корисна као средство нотације у комбинаторици. Ова нотација се користи и у другим областима, на пример у теорији вероватноће: ако је $X$ простор вероватноће са мером вероватноће $\mathbb{P}$ и $A$ је мерљиви скуп, онда ${\mathrm{𝟏}}_A$ постаје случајна променљива чија је очекивана вредност једнака вероватноћи $A:$

$E({\mathrm{𝟏}}_A)={\int }_X{\mathrm{𝟏}}_A(x)dP={\int }_{A}dP=P(A).$

Овај идентитет је једноставан доказ Марковљеве неједнакости.

Литература

• -{Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.}-
• -{Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. Шаблон:ISBN. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94-99.}-
• -{Martin Davis ed. (1965), The Undecidable, Raven Press Books, Ltd., New York.}-
• -{Stephen Kleene, (1952), Introduction to Metamathematics, Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company, Netherlands, Sixth Reprint with corrections 1971.}-
• -{George Boolos, John P. Burgess, Richard C. Jeffrey (2002), Cambridge University Press, Cambridge UK, Шаблон:ISBN.}-
• -{Lotfi A. Zadeh, 1965, "Fuzzy sets". Information and Control 8: 338–353. [1]}-
• -{Joseph Goguen, 1967, "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications 18: 145–174}-