Радон-Никодимова теорема

У математици, Радон-Никодимова теорема је резултат у теорији мере који изражава везу између две мере дефинисане на истом мерљивом простору. Мера је функција скупа која додељује конзистентну величину мерљивим подскуповима мерљивог простора. Примери мере укључују површину и запремину, где су подскупови скупови тачака; или вероватноћу догађаја, који је подскуп могућих исхода унутар ширег простора вероватноћа.

Један начин да се изведе нова мера из већ постојеће јесте да се додели густина свакој тачки простора, а затим да се интегрира преко мерљивог подскупа од интереса. Ово се може изразити као

$\nu (A)={\int }_{A}fd\mu ,$

где је Шаблон:Math нова мера која се дефинише за било који мерљиви подскуп Шаблон:Math, а функција Шаблон:Math је густина у датој тачки. Интеграл је у односу на постојећу меру Шаблон:Math, која често може бити канонска Лебегова мера на реалној правој Шаблон:Math или n-димензионалном Еуклидском простору Шаблон:Math (што одговара нашим стандардним појмовима дужине, површине и запремине). На пример, ако Шаблон:Math представља густину масе, а Шаблон:Math је Лебегова мера у тродимензионалном простору Шаблон:Math, онда би Шаблон:Math било једнако укупној маси у просторном региону Шаблон:Math.

Радон-Никодимова теорема у суштини тврди да се, под одређеним условима, било која мера Шаблон:Math може изразити на овај начин у односу на другу меру Шаблон:Math на истом простору. Функција Шаблон:Math се тада назива Радон-Никодимов извод и означава са $\frac{d\nu }{d\mu }$. Важна примена је у теорији вероватноће, што води до функција густине вероватноће случајне променљиве.

Теорема је названа по Јохану Радону, који је доказао теорему за посебан случај где је основни простор Шаблон:Math 1913. године, и по Отону Никодиму, који је доказао општи случај 1930. године. Године 1936. Ханс Фројдентал је генерализовао Радон-Никодимову теорему доказујући Фројденталову спектралну теорему, резултат у теорији Рисзових простора; ово садржи Радон-Никодимову теорему као посебан случај.

Банахов простор Шаблон:Mvar има Радон-Никодимово својство ако генерализација Радон-Никодимове теореме такође важи, mutatis mutandis, за функције са вредностима у Шаблон:Mvar. Сви Хилбертови простори имају Радон-Никодимово својство.

Формални опис

Радон-Никодимова теорема

Радон-Никодимова теорема укључује мерљив простор $(X,\mathrm{\Sigma })$ на којем су дефинисане две σ-коначне мере, $\mu$ и $\nu .$ Она тврди да, ако је $\nu \ll \mu$ (то јест, ако је $\nu$ апсолутно непрекидна у односу на $\mu$), онда постоји $\mathrm{\Sigma }$-мерљива функција $f:X\to [0,\mathrm{\infty }),$ таква да за било који мерљиви скуп $A\in \mathrm{\Sigma },$ $$\nu (A)={\int }_{A}fd\mu .$$

Радон-Никодимов извод

Функција $f$ која задовољава горњу једнакост је јединствено одређена до на скуп μ-мере нула, то јест, ако је $g$ друга функција која задовољава исто својство, онда је $f=g$ Шаблон:Nowrap. Функција $f$ се обично записује као $\frac{d\nu }{d\mu }$ и назива се Шаблон:Visible anchor. Избор нотације и назив функције одражавају чињеницу да је функција аналогна изводу у калкулусу у смислу да описује стопу промене густине једне мере у односу на другу (на начин на који се Јакобијева детерминанта користи у вишеструкој интеграцији).

Проширење на мере са знаком или комплексне мере

Слична теорема се може доказати за мере са знаком и комплексне мере: наиме, ако је $\mu$ ненегативна σ-коначна мера, а $\nu$ је коначно-вредносна мера са знаком или комплексна мера таква да је $\nu \ll \mu ,$ то јест, $\nu$ је апсолутно непрекидна у односу на $\mu ,$ онда постоји $\mu$-интеграбилна реално- или комплексно-вредносна функција $g$ на $X$ таква да за сваки мерљиви скуп $A,$ $$\nu (A)={\int }_{A}gd\mu .$$

Примери

У следећим примерима, скуп Шаблон:Mvar је реални интервал [0,1], а $\mathrm{\Sigma }$ је Борелова σ-алгебра на Шаблон:Mvar.

1. $\mu$ је мера дужине на Шаблон:Mvar. $\nu$ додељује сваком подскупу Шаблон:Mvar од Шаблон:Mvar двоструку дужину од Шаблон:Mvar. Тада је $\frac{d\nu }{d\mu }=2$.
2. $\mu$ је мера дужине на Шаблон:Mvar. $\nu$ додељује сваком подскупу Шаблон:Mvar од Шаблон:Mvar број тачака из скупа {0.1, …, 0.9} које се налазе у Шаблон:Mvar. Тада $\nu$ није апсолутно-непрекидна у односу на $\mu$ јер додељује ненулту меру тачкама нулте дужине. Заиста, не постоји извод $\frac{d\nu }{d\mu }$: не постоји коначна функција која, када се интегрише нпр. од $(0.1-\epsilon )$ до $(0.1+\epsilon )$, даје $1$ за свако $\epsilon >0$.
3. $\mu =\nu +{\delta }_0$, где је $\nu$ мера дужине на Шаблон:Mvar, а ${\delta }_0$ је Диракова мера у 0 (додељује меру 1 сваком скупу који садржи 0 и меру 0 сваком другом скупу). Тада је $\nu$ апсолутно непрекидна у односу на $\mu$, и $\frac{d\nu }{d\mu }=1_{X\setminus \{0\}}$ – извод је 0 у $x=0$ и 1 за $x>0$.

Својства

• Нека су ν, μ, и λ σ-коначне мере на истом мерљивом простору. Ако је ν ≪ λ и μ ≪ λ (ν и μ су обе апсолутно непрекидне у односу на λ), онда је $$\frac{d(\nu +\mu )}{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\lambda }+\frac{d\mu }{d\lambda }\lambda \text{-скоро свуда}.$$
• Ако је ν ≪ μ ≪ λ, онда је $$\frac{d\nu }{d\lambda }=\frac{d\nu }{d\mu }\frac{d\mu }{d\lambda }\lambda \text{-скоро свуда}.$$
• Конкретно, ако је μ ≪ ν и ν ≪ μ, онда је $$\frac{d\mu }{d\nu }={\left(\frac{d\nu }{d\mu }\right)}^{-1}\nu \text{-скоро свуда}.$$
• Ако је μ ≪ λ и Шаблон:Mvar је μ-интеграбилна функција, онда је $${\int }_{X}gd\mu ={\int }_{X}g\frac{d\mu }{d\lambda }d\lambda .$$
• Ако је ν коначна мера са знаком или комплексна мера, онда је $$\frac{d|\nu |}{d\mu }=\left|\frac{d\nu }{d\mu }\right|.$$

Примене

Теорија вероватноће

Теорема је веома важна за проширење идеја теорије вероватноће са маса вероватноће и густина вероватноће дефинисаних на реалним бројевима на мере вероватноће дефинисане на произвољним скуповима. Она говори да ли је и како могуће прећи са једне мере вероватноће на другу. Конкретно, функција густине вероватноће случајне променљиве је Радон-Никодимов извод индуковане мере у односу на неку основну меру (обично Лебегова мера за непрекидне случајне променљиве).

На пример, може се користити за доказивање постојања условног очекивања за мере вероватноће. Ово последње је само по себи кључни концепт у теорији вероватноће, пошто је условна вероватноћа само посебан случај тога.

Финансијска математика

Између осталих области, финансијска математика увелико користи ову теорему, посебно путем Гирсановљеве теореме. Такве промене мере вероватноће су камен темељац рационалног одређивања цена деривата и користе се за претварање стварних вероватноћа у ризично-неутралне вероватноће.

Информационе дивергенције

Ако су μ и ν мере на Шаблон:Mvar, и μ ≪ ν

• Кулбак-Лајблерова дивергенција од ν до μ се дефинише као $$D_{\text{KL}}(\mu \parallel \nu )={\int }_X\log \left(\frac{d\mu }{d\nu }\right)d\mu .$$
• За α > 0, α ≠ 1, Рењијева дивергенција реда α од ν до μ се дефинише као $$D_{\alpha }(\mu \parallel \nu )=\frac{1}{\alpha -1}\log \left({\int }_X{\left(\frac{d\mu }{d\nu }\right)}^{\alpha -1}d\mu \right).$$

Претпоставка о σ-коначности

Радон-Никодимова теорема претпоставља да је мера μ, у односу на коју се рачуна стопа промене мере ν, σ-коначна.

Негативан пример

Ево примера где μ није σ-коначна и Радон-Никодимова теорема не важи.

Размотримо Борелову σ-алгебру на реалној правој. Нека је мера пребројавања, Шаблон:Mvar, Бореловог скупа Шаблон:Mvar дефинисана као број елемената скупа Шаблон:Mvar ако је Шаблон:Mvar коначан, и Шаблон:Math у супротном. Може се проверити да је Шаблон:Mvar заиста мера. Она није Шаблон:Mvar-коначна, јер није сваки Борелов скуп највише пребројива унија коначних скупова. Нека је Шаблон:Mvar уобичајена Лебегова мера на овој Бореловој алгебри. Тада је Шаблон:Mvar апсолутно непрекидна у односу на Шаблон:Mvar, јер за скуп Шаблон:Mvar важи Шаблон:Math само ако је Шаблон:Mvar празан скуп, а тада је и Шаблон:Math једнако нули.

Претпоставимо да Радон-Никодимова теорема важи, то јест, за неку мерљиву функцију Шаблон:Math важи

$\nu (A)={\int }_{A}fd\mu$

за све Борелове скупове. Узимајући Шаблон:Mvar да буде синглтон скуп, Шаблон:Math, и користећи горњу једнакост, налазимо

$0=f(a)$

за све реалне бројеве Шаблон:Mvar. Ово имплицира да је функција Шаблон:Math, а тиме и Лебегова мера Шаблон:Mvar, једнака нули, што је контрадикција.

Доказ

Овај одељак даје доказ теореме из перспективе теорије мере. Постоји и доказ из функционалне анализе, који користи методе Хилбертових простора, а први га је дао Џон фон Нојман.

За коначне мере Шаблон:Mvar и Шаблон:Mvar, идеја је разматрати функције Шаблон:Math такве да је Шаблон:Math. Супремум свих таквих функција, заједно са теорема о монотоној конвергенцији, даје Радон-Никодимов извод.

(Детаљан доказ је изостављен ради сажетости, али прати структуру доказивања за коначне мере, затим проширења на σ-коначне позитивне мере, и на крају на мере са знаком и комплексне мере.)

Лебегова теорема о декомпозицији

Лебегова теорема о декомпозицији показује да се претпоставке Радон-Никодимове теореме могу наћи чак и у ситуацији која је наизглед општија. Размотримо σ-коначну позитивну меру $\mu$ на простору мере $(X,\mathrm{\Sigma })$ и σ-коначну меру са знаком $\nu$ на $\mathrm{\Sigma }$, без претпоставке апсолутне непрекидности. Тада постоје јединствене мере са знаком ${\nu }_a$ и ${\nu }_s$ на $\mathrm{\Sigma }$ такве да је $\nu ={\nu }_a+{\nu }_s$, ${\nu }_a\ll \mu$, и ${\nu }_s\perp \mu$. Радон-Никодимова теорема се тада може применити на пар ${\nu }_a,\mu$.

Види још

• Гирсановљева теорема

Литература

• Шаблон:Cite book Садржи доказ за векторске мере које узимају вредности у Банаховом простору.
• Шаблон:Cite book Садржи јасан доказ у случају да мера ν није σ-коначна.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book Садржи доказ генерализације.
• Шаблон:Cite web