Суперелипса

Суперелипса или Ламеова крива је затворена крива која подсећа на елипсу, задржавајући геометријске карактеристике полу-главне осе и полу-мале осе и симетрије око њих али другачијег облика. Специјални случајеви ових кривих, а припадају фамилији суперелипса су: ружа- криве, супер-ружа криве и суперспирале.

Суперелипсе

Нека x и y Декартове координате у равни ${\mathrm{E}}^2$. Тада је једначина круга полупречника r, чији је центар у координатном почетку О дата са

$x^2+y^2=r^2$,

и једначина елипсе са полуосама $a$ и $b\ne a$ , са центром у координатном почетку О дата са

${\left(\frac{x}{a}\right)}^2+{\left(\frac{y}{b}\right)}^2=1$

Француски математичар Gabriel Lamé (1795-1870), бавио се проучавањем ових кривих и увео је фамилију тзв. „суперелипси“. Према Ламеу, кругови и елипсе, исто као квадрати и правоугаоници, укључени су у фамилију тзв. „суперелипси“ тј. равних кривих датих Декартовим једначинама облика

(1) ${\left|\frac{x}{a}\right|}^n+{\left|\frac{y}{b}\right|}^n=1$

при чему су $a,b,n$  позитивни бројеви.

Специфични случајеви (Ламеових кривих)

Формула (1) дефинише затворену криву која се налази у правоугаонику $-a\le x\le a$ и $-b\le x\le b$ . Параметри $a$ и $b$ се називају полупречник кривине.

Када је $n$  између 0 и 1, суперелипса има облик звезде, док за $n=\frac{1}{2}$, краци те звезде су направљени од лукова параболе.

Ако је $n=1$, крива је дијамант са теменима ,$(\pm a,0)$ и $(0,\pm b)$, ако је $n$ између 1 и 2, изгледа као дијамант са истим теменима али са конвексне (споља закривљене) стране.

Ако је $n=2$  крива је обична елипса, а ако је $n$ веће од 2, та површина изгледа као правоугаоник са угловима.

• 
• 
• 

Математичка својства

Преласком на поларне координате $\rho$ и $\theta$, тако да је

$\{\begin{array}{c}\rho \cos \theta \\ \rho \sin \theta \end{array}$

Где уз то уводећи коефицијент $m/4$ (који допушта увођење специфичних ротационих симетрија око 0 од оних који се односе на четири квадранта координатног система). Заменом поларних координата у једначину (1) добијамо:

(2) $\rho =\{|\frac{\cos mq/4}{a}{|}^{n_2}+|\frac{\sin mq/4}{b}{|}^{n_3}{\}}^{-1/n_1}$

при чему $n_1\in R_0,n_2,n_3\in R$.

Равне криве дате помоћу поларне једначине (2), при чему је у сваком случају $a=b$  приказене су на слици 4.

Равне криве дате помоћу поларних једначина (2) могу се у извесном смислу интерпретирати, тако као да су добијене полазећи од јединичног круга са центром у 0, $\rho =1$, помоћу трансформације задате десном страном једначине (2) за било који избор параметра $a,b,m,n_1,n_2,n_3.$

Ове раванске криве одређене су помоћу поларних једначина $\rho =f(\theta )$ где  у $f$ основи може бити произвољна позитивна реална функција. Њихова поларна једначина је:

(3) $\rho =f(\theta )\cdot \{|\frac{\cos mq/4}{a}{|}^{n_2}+|\frac{\sin mq/4}{b}{|}^{n_3}{\}}^{-1/n_1}$

Једначина ружа- криве (Grandi) је

(4) $\rho =\rho (\theta )=\cos (2,50)$

Помоћу трансформације (3) са параметрима $m=2,5,n_1=1/1,3,n_2=n_3=2,7$ и $m=2,5,n_1=n_2=n_3=5$ добијамо супер-ружа криве.

Једначина логаритамске спирале је $\rho =f(\theta )=e^{0,2\theta }$. Помоћу трансформације (3) са параметрима $m=4,n_1=n_2=n_3=100$ и $m=10,n_1=n_2=n_3=5$, добијамо суперспирале.

• 
• 
•