Неједнакост Минковског

У математичкој анализи, неједнакост Минковског утврђује да $L^p$ простори задовољавају неједнакост троугла у дефиницији нормираних векторских простора. Неједнакост је названа по немачком математичару Херману Минковском.

Нека је $S$ простор са мером, нека је $1\le p\le \mathrm{\infty }$ и нека су $f$ и $g$ елементи $L^p(S).$ Тада је $f+g$ у $L^p(S),$ и имамо неједнакост троугла

$$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$$

са једнакошћу за $1<p<\mathrm{\infty }$ ако и само ако су $f$ и $g$ позитивно линеарно зависни; то јест, $f=\lambda g$ за неко $\lambda \ge 0$ или $g=0.$ Овде је норма дата са:

$$\Vert f{\Vert }_p={(\int |f{|}^{p}d\mu )}^{\frac{1}{p}}$$

ако је $p<\mathrm{\infty },$ или у случају $p=\mathrm{\infty }$ есенцијалним супремумом

$$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}={\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}_{x\in S}|f(x)|.$$

Неједнакост Минковског је неједнакост троугла у $L^p(S).$ У ствари, то је посебан случај општије чињенице

$$\Vert f{\Vert }_p=\underset{\Vert g{\Vert }_q=1}{sup}\int |fg|d\mu ,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$$

где је лако видети да десна страна задовољава неједнакост троугла.

Као и Хелдерова неједнакост, неједнакост Минковског се може специјализовати за низове и векторе коришћењем мере пребројавања:

$$(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p{)}^{1/p}\le (\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p{)}^{1/p}+(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p{)}^{1/p}$$

за све реалне (или комплексне) бројеве $x_1,\dots ,x_n,y_1,\dots ,y_n$ и где је $n$ кардиналност скупа $S$ (број елемената у $S$).

У терминима вероватноће, за дати простор вероватноће $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P}),$ и где $𝔼$ означава оператор очекивања, за сваку реалну или комплексно вредновану случајну променљиву $X$ и $Y$ на $\mathrm{\Omega },$ неједнакост Минковског гласи

${(𝔼[|X+Y{|}^p])}^{\frac{1}{p}}⩽{(𝔼[|X{|}^p])}^{\frac{1}{p}}+{(𝔼[|Y{|}^p])}^{\frac{1}{p}}.$

Доказ

Доказ помоћу Хелдерове неједнакости

Прво, доказујемо да $f+g$ има коначну $p$-норму ако је имају и $f$ и $g$, што следи из

$$|f+g{|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p).$$

Заиста, овде користимо чињеницу да је $h(x)=|x{|}^p$ конвексна функција над ${ℝ}^{+}$ (за $p>1$) и тако, по дефиницији конвексности,

$${|\frac{1}{2}f+\frac{1}{2}g|}^p\le {|\frac{1}{2}|f|+\frac{1}{2}|g||}^p\le \frac{1}{2}|f{|}^p+\frac{1}{2}|g{|}^p.$$

Ово значи да

$$|f+g{|}^p\le \frac{1}{2}|2f{|}^p+\frac{1}{2}|2g{|}^p=2^{p-1}|f{|}^p+2^{p-1}|g{|}^p.$$

Сада можемо легитимно говорити о $\Vert f+g{\Vert }_p$. Ако је нула, онда неједнакост Минковског важи. Сада претпостављамо да $\Vert f+g{\Vert }_p$ није нула. Користећи неједнакост троугла, а затим Хелдерову неједнакост, налазимо да

$$\begin{array}{cc}\Vert f+g{\Vert }_p^p& =\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu \\ & =\int |f+g|\cdot |f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu \\ & \le \int (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu \\ & =\int |f||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu \\ & \le ({(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{p}}+{(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{\frac{1}{p}}){(\int |f+g{|}^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)}\mathrm{d}\mu )}^{1-\frac{1}{p}}& & \text{ Хелдерова неједнакост}\\ & =(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p}\end{array}$$

Добијамо неједнакост Минковског множењем обе стране са

$$\frac{\Vert f+g{\Vert }_p}{\Vert f+g{\Vert }_p^p}.$$

Доказ директним аргументом конвексности

За дато $t\in (0,1)$, имамо, по конвексности (Јенсенова неједнакост), за свако $x\in S$

$|f(x)+g(x){|}^p=|(1-t)\frac{f(x)}{1-t}+t\frac{g(x)}{t}{|}^p\le (1-t)|\frac{f(x)}{1-t}{|}^p+t|\frac{g(x)}{t}{|}^p=\frac{|f(x){|}^p}{(1-t{)}^{p-1}}+\frac{|g(x){|}^p}{t^{p-1}}.$

Интеграцијом ово води до

${\int }_S|f+g{|}^p\mathrm{d}\mu \le \frac{1}{(1-t{)}^{p-1}}{\int }_S|f{|}^p\mathrm{d}\mu +\frac{1}{t^{p-1}}{\int }_S|g{|}^p\mathrm{d}\mu .$

Затим се узима

$t=\frac{\Vert g{\Vert }_p}{\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p}$

да би се дошло до закључка.

Интегрална неједнакост Минковског

Претпоставимо да су $(S_1,{\mu }_1)$ и $(S_2,{\mu }_2)$ два сигма-коначна простора са мером и да је $F:S_1\times S_2\to ℝ$ мерљива функција. Тада интегрална неједнакост Минковског гласи:Шаблон:SfnШаблон:Sfn

$${[{\int }_{S_2}{|{\int }_{S_1}F(x,y){\mu }_1(\mathrm{d}x)|}^p{\mu }_2(\mathrm{d}y)]}^{\frac{1}{p}}\le {\int }_{S_1}{({\int }_{S_2}|F(x,y){|}^p{\mu }_2(\mathrm{d}y))}^{\frac{1}{p}}{\mu }_1(\mathrm{d}x),p\in [1,\mathrm{\infty })$$

са очигледним модификацијама у случају $p=\mathrm{\infty }.$ Ако је $p>1,$ и обе стране су коначне, онда једнакост важи само ако је $|F(x,y)|=\phi (x)\psi (y)$ скоро свуда за неке ненегативне мерљиве функције $\phi$ и $\psi$.

Ако је ${\mu }_1$ мера пребројавања на двотачкастом скупу $S_1=\{1,2\},$ тада интегрална неједнакост Минковског даје уобичајену неједнакост Минковског као посебан случај: за $f_i(y)=F(i,y)$ за $i=1,2,$ интегрална неједнакост даје

$$\Vert f_1+f_2{\Vert }_p={({\int }_{S_2}{|{\int }_{S_1}F(x,y){\mu }_1(\mathrm{d}x)|}^p{\mu }_2(\mathrm{d}y))}^{\frac{1}{p}}\le {\int }_{S_1}{({\int }_{S_2}|F(x,y){|}^p{\mu }_2(\mathrm{d}y))}^{\frac{1}{p}}{\mu }_1(\mathrm{d}x)=\Vert f_1{\Vert }_p+\Vert f_2{\Vert }_p.$$

Ако је мерљива функција $F:S_1\times S_2\to ℝ$ ненегативна, онда за све $1\le p\le q\le \mathrm{\infty },$Шаблон:Sfn

$${\Vert {\Vert F(\cdot ,s_2)\Vert }_{L^p(S_1,{\mu }_1)}\Vert }_{L^q(S_2,{\mu }_2)}\le {\Vert {\Vert F(s_1,\cdot )\Vert }_{L^q(S_2,{\mu }_2)}\Vert }_{L^p(S_1,{\mu }_1)}.$$

Ова нотација је генерализована на

$$\Vert f{\Vert }_{p,q}={\left({\int }_{{ℝ}^m}{[{\int }_{{ℝ}^n}|f(x,y){|}^q\mathrm{d}y]}^{\frac{p}{q}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{1}{p}}$$

за $f:{ℝ}^{m+n}\to E,$ са ${ℒ}_{p,q}({ℝ}^{m+n},E)=\{f\in E^{{ℝ}^{m+n}}:\Vert f{\Vert }_{p,q}<\mathrm{\infty }\}.$ Користећи ову нотацију, манипулација експонентима открива да, ако је $p<q,$ онда је $\Vert f{\Vert }_{q,p}\le \Vert f{\Vert }_{p,q}$.

Обратна неједнакост

Када је $p<1$, важи обратна неједнакост:

$$\Vert f+g{\Vert }_p\ge \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p.$$

Даље нам је потребно ограничење да су и $f$ и $g$ ненегативне, као што можемо видети из примера $f=-1,g=1$ и $p=1$

$\Vert f+g{\Vert }_1=0<2=\Vert f{\Vert }_1+\Vert g{\Vert }_1.$

Обратна неједнакост следи из истог аргумента као и стандардна неједнакост Минковског, али користи чињеницу да је и Хелдерова неједнакост такође обрнута у овом опсегу.

Користећи обрнуту неједнакост Минковског, можемо доказати да су степенске средине са $p\le 1,$ као што су хармонијска средина и геометријска средина, конкавне.

Генерализације на друге функције

Неједнакост Минковског се може генерализовати на друге функције $\varphi (x)$ изван функције степена $x^p$. Генерализована неједнакост има облик

$${\varphi }^{-1}\left(\sum _{i=1}^n\varphi (x_i+y_i)\right)\le {\varphi }^{-1}\left(\sum _{i=1}^n\varphi (x_i)\right)+{\varphi }^{-1}\left(\sum _{i=1}^n\varphi (y_i)\right).$$

Различите довољне услове за $\varphi$ су пронашли Mulholland и други. На пример, за $x\ge 0$ један скуп довољних услова од Mulholland-а је

1. $\varphi (x)$ је непрекидна и строго растућа са $\varphi (0)=0.$
2. $\varphi (x)$ је конвексна функција од $x.$
3. $\log \varphi (x)$ је конвексна функција од $\log (x).$

Види још

• Коши-Шварцова неједнакост
• Хелдерова неједнакост
• Малерова неједнакост
• Јангова неједнакост за конволуцију
• Јангова неједнакост за производе

Литература

• Шаблон:Cite book. Vol. 343.
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Cite book.
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Cite web

Додатна литература

• Шаблон:Cite book