Matroid

Matroid je uređeni par $M = (S, ℐ)$ formiran na sledeći način:

Skup $S$ je konačan.
Neka je $ℐ$ neprazna familija podskupova skupa $S$ (koji se nazivaju nezavisnim podskupovima) takva da ako je $B \in ℐ$ i $A \subseteq B$ , tada je $A \in ℐ$ . Ako familija $ℐ$ zadovoljava ovu osobinu tada je nazivamo nasleđenom (Hereditary). Primetimo da prazan skup $\emptyset$ obavezno pripada familiji $ℐ$ .
Ako je $A \in ℐ, B \in ℐ$ i $| A | < | B |$ , tada postoji element $x \in B ∖ A$ , takav da je $A \cup {x} \in ℐ$ . Govorimo da struktura $M$ zadovoljava osobinu zamene.

Termin „matroid“ je uveo Vitni Hasler. On je proučavao matrične matroide, čiji su elementi $S$ redovi zadate matrice. Skup redova je nezavisan, ako su oni linearno nezavisni u običnom smislu. Lako se pokazuje da ova struktura definiše matroid.

Kao suštinu drugog primera matroida razmotrimo matroid grafa $M_{G} = (S_{G}, ℐ_{G})$ , koji je definisan pomoću pojma neorijentisanog grafa $G = (V, E)$ , gde je:

$S_{G}$ skup $E$ ivica grafa $G$ ,
Ako je $A$ podskup skupa $E$ , tada je $A \in ℐ_{G}$ ako i samo ako je $A$ necikličan tj, skup ivica $A$ je nezavisan ako i samo ako podgraf $G_{A} = (V, A)$ obrazuje šumu.

Teorema 1

Ako je $G = (V, E)$ neorijentisan konačan graf tada je $M_{G} = (S_{G}, ℐ_{G})$ matroid.

Dokaz

Očigledno je da je

S_{G} = E

konačan skup. Osim toga

ℐ_{G}

je nasledna familija jer je podskup šume takođe šuma. Drugim rečima, odstranjivanje ivica iz acikličnog skupa ivica grafa ne može dati cikličan skup.

Na taj način ostaje nam da pokažemo da struktura

M_{G}

odgovara osobini zamene. Pretpostavimo da su

G_{A} = (V, A)

i

G_{B} = (V, B)

šume grafa

G

i da je

| A | < | B |

, tj.

A

i

B

su aciklični skupovi ivica, i da u skupu

B

ima više ivica nego u skupu

A

. Iz jedne od teorema koje su ranije razmatrane sledi da šuma u kojoj imamo

k

ivica ima tačno

| V | - k

drveta. Da to dokažemo pođimo od

| V |

drveta od kojih svako ima samo jedan vrh i ne sadrži ni jednu ivicu. Tada svako rebro (ivica) koje se dodaje šumi, za jedan smanjuje broj drveta. Na taj način šuma

G_{A}

ima

| V | - | A |

drveta, a šuma

G_{B}

ima

| V | - | B |

drveta.

Kako šuma

G_{B}

ima manje drveta od šume

G_{A}

tada u šumi

G_{B}

postoji ivica

(u, v)

takva da se vrhovi

u

i

v

nalaze u dva različita drveta šume

G_{A}

. Pošto ova ivica spaja vrhove dvaju različitih drveta šume

G_{A}

tada je možemo dodati u šumu

G_{A}

ne obrazujući krug na taj način. Na taj način struktura

M_{G}

zadovoljava osobinu zamene, čime se završava dokaz da je

M_{G}

matroid.

Za zadati matroid $M = (S, ℐ)$ definišimo element $x \in A$ kao proširenje skupa $A \in ℐ$ , ako je njega moguće dodati u $A$ bez narušavanja nezavisnosti tj. $x$ je proširenje skupa $A$ ako je $A \cup {x} \in ℐ$ . Kao primer razmotrimo matroid grafa $M_{G}$ . Ako je $A$ nezavisan skup ivica, tada je ivica $e$ proširenje skupa $A$ ako i samo ako ne pripada tom skupu i ako njeno dodavanje skupu ne dovodi do stvaranja ciklusa.

Ako je $A$ nezavisan podskup u matroidu $M$ , i ako u njemu nema proširenja (nisu moguća) tada kažemo da je $A$ maksimalan skup. Na taj način, skup $A$ je maksimalan ako se ne sadrži ni u jednom većem podskupu matroida $M$ . Dole data osobina je često vrlo korisna.

Teorema 2

Svi maksimalni nezavisni podskupovi matroida imaju istu veličinu.

Dokaz:

Teoremu dokazujemo metodom svođenja na protivrečnost. Pretpostavimo da je

A

maksimalan nezavisan podskup matroida

M

i da postoji drugi maksimalni nezavisni podskup

B

matroida

M

čija je veličina veća od veličine podskupa

A

. Tada iz osobine zamene sledi da skup

A

možemo proširiti do većeg nezavisnog skupa

A \cup {x}

pomoću nekog elementa

x \in B ∖ A

što je suprotno pretpostavci o maksimalnosti skupa

A

.

Kao ilustraciju primene ove teoreme razmotrimo primenu na matroid grafa $M_{G}$ vezanog za neorijentisani povezani graf $G$ . Svaki maksimalni nezavisni podskup matroida $M_{G}$ mora da bude (da predstavlja) slobodno drvo koje ima tačno $| V | - 1$ ivica koje spajaju vrhove grafa $G$ . Takvo drvo se zove osnovno drvo grafa $G$ .

Kažemo da je matroid $M = (S, ℐ)$ težinski, ako je sa njim povezana težinska funkcija $w$ koja svakom elementu $x \in S$ pridružuje strogo pozitivnu težinu $w (x)$ . Težinska funkcija $w$ se uopštava na podskupove skupa $S$ putem sumiranja:

w (A) = \sum_{x \in A} w (x)

za proizvoljni podskup

A \subseteq S

.

Na primer, ako sa $w (e)$ označimo dužinu ivice $e$ matroida grafa $M_{G}$ , tada je $w (A)$ ukupna dužina svih ivica koje pripadaju skupu $A$ .

Види још

Литература

Шаблон:Литература

Шаблон:Рефенд

Шаблон:Normativna kontrola

Matroid

Садржај

Teorema 1

Dokaz

Teorema 2

Dokaz:

Види још

Литература

Мени за навигацију

Matroid

Teorema 1

Dokaz

Teorema 2

Dokaz:

Види још

Литература

Мени за навигацију

Претрага